denklik sınıfı - Equivalence class

Uyum , denklik ilişkisine bir örnektir. En soldaki iki üçgen uyumludur, üçüncü ve dördüncü üçgenler ise burada gösterilen diğer üçgenlerle uyumlu değildir. Böylece, ilk iki üçgen aynı denklik sınıfındayken, üçüncü ve dördüncü üçgenlerin her biri kendi denklik sınıfındadır.

Gelen matematik bazı unsurları zaman, resim grubu denklik kavramını (bir şöyle ifade edilen sahip denklik ilişkisi üzerinde tanımlı), daha sonra bir doğal olarak bir dizi bölünmüş olabilir içine denklik sınıfları . Bu denklik sınıfları elemanlarının şekilde inşa edilir ve aynı aittir eşdeğerlik sınıfı ise, ancak ve ancak , bunlar eşdeğerdir.

Biçimsel olarak, bir dizi verilmiştir ve bir denklik ilişkisi ile denklik sınıfı bir elemanın içerisinde ile gösterilen grubu olduğu

eşdeğer olan elemanların denklik sınıfları meydana getirir, ve denklik ilişkilerinin tanımlanması özelliklerinden, kanıtlanmış olabilir It bölümü arasında denklik bu bölüm kümesi sınıfları-bazen adlandırılan bölüm grubu ya da bölüm alanı içinde tarafından ve bir ile gösterilir

Küme bir yapıya sahip olduğunda (bir

grup işlemi veya topoloji gibi ) ve denklik ilişkisi bu yapıyla uyumlu olduğunda, bölüm kümesi genellikle ana kümeden benzer bir yapı devralır. Örnekleri arasında lineer cebir bölüm boşluk , topoloji bölüm boşluk , bölüm grubunun , homojen boşluk , bölüm halkaları , bölüm Monoidler ve bölüm kategoriler .

Örnekler

  • Eğer bütün araçların kümesidir ve bir
denklik bağıntısı "ile aynı renge sahip", daha sonra belirli bir denklik sınıfı tüm yeşil otomobillerin oluşacak ve doğal olarak tüm araç renklerin kümesi ile tespit edilebilir.
  • Bir düzlemdeki tüm dikdörtgenlerin kümesi olsun ve eşdeğerlik ilişkisi "aynı alana sahip" olsun, o zaman her pozitif gerçek sayı için alanı olan tüm dikdörtgenlerin bir denklik sınıfı olacaktır.
  • Düşünün modülo setinde 2 denklik ilişkisini tamsayılar , öyle ki bunların farkı ancak ve ancak bir olduğunu
  • çift sayı . Bu ilişki tam olarak iki denklik sınıfına yol açar: Bir sınıf tüm çift sayılardan, diğer sınıf ise tüm tek sayılardan oluşur. Bu ilişki altında bir denklik sınıfını belirtmek için sınıfın bir üyesinin etrafında köşeli parantezler kullanmak ve hepsi aynı öğeyi temsil eder.
  • Izin kümesini olarak
  • sipariş çiftlerinin tamsayı olmayan sıfır ve bir denklik ilişkisini tanımlayan ilgili şekilde ancak ve eğer daha sonra çift denklik sınıfı ile tespit edilebilir rasyonel sayı ve eşdeğerlik ilişkisi ve denklik sınıfları kullanılabilir rasyonel sayılar kümesinin resmi bir tanımını vermek. Aynı yapı, herhangi bir integral etki alanının kesirleri alanına genelleştirilebilir .
  • Örneğin
  • Öklid düzlemindeki tüm doğrulardan oluşuyorsa ve bu ve paralel doğrular anlamına geliyorsa , birbirine paralel olan doğrular kümesi, bir doğru kendisine paralel olarak kabul edildiği sürece bir denklik sınıfı oluşturur . Bu durumda, her denklik sınıfı sonsuzda bir nokta belirler .

    Tanım ve gösterim

    Bir denklik bağıntısı bir sette bir olan

    ikili ilişki üzerinde üç özelliği tatmin:
    • herkes için (
    refleksivite ),
  • herkes için ima eder (
  • simetri ),
  • if and then for all (
  • geçişlilik ).

    Bir elemanın denklik sınıfı genellikle gösterilir ya da ve kümesi olarak tanımlanır ilgili elemanların tarafından  genel olarak "eş anlamlı olarak kabul edilebilir terimi, "eşdeğerlik sınıfı" kelimesi "sınıfı"

    grubu bir denklik, ancak" sınıflar kümeler değil, uygun sınıflardır . Örneğin, " izomorfik olmak " gruplar üzerinde bir denklik ilişkisidir ve izomorfizm sınıfları adı verilen denklik sınıfları küme değildir.

    Bir denklik ilişkisine göre tüm denklik sınıfları kümesi olarak gösterilir ve buna

    modulo (veya katsayısı seti arasındagöre). Surjective haritasıdanüzerinekendi denklik sınıfına her bir elemanını, hangi denir kanonik tahminveyakanonik projeksiyon.

    Eşdeğer bir sınıfın her öğesi, sınıfı karakterize eder ve onu temsil etmek için kullanılabilir . Böyle bir eleman seçildiğinde, sınıfın temsilcisi olarak adlandırılır . Her bir sınıftaki bir temsilcisinin bir seçim bir tanımlayan enjeksiyon gelen için

    X . Bunu yana bileşim kanonik örten ile özdeşliğidir Bir enjeksiyon denen bölümü terminolojisini kullanıldığında, Kategori teorisi .

    Bazen diğerlerine göre daha "doğal" olan bir bölüm vardır. Bu durumda temsilcilere kanonik temsilciler denir . Örneğin, modüler aritmetik her için tamsayı m göre daha fazla 1 , uyum modülo m tamsayılar üzerinde bir denklik bağıntısı olan iki tamsayı olan bir ve b olan eşdeğer bu örnekte, tek bir der uyuşan -eğer m bölme bu belirtilir Her sınıf, daha küçük negatif olmayan benzersiz bir tamsayı içerir ve bu tamsayılar kurallı temsilcilerdir.

    Sınıfları temsil etmek için temsilcilerin kullanılması, sınıfları açıkça kümeler olarak düşünmekten kaçınmayı sağlar. Bu durumda, bir öğeyi sınıfına eşleyen kurallı tahmin, bir öğeyi sınıfının temsilcisine eşleyen işlevle değiştirilir. Yukarıdaki örnekte, bu fonksiyon ifade edilir ve kalanını

    Öklid bölümü arasında bir ile m .

    Özellikler

    Her eleman bir eşdeğerlik sınıfı üyesi olan her iki denklik sınıfları ve , ya eşit veya

    ayrık . Bu nedenle, tüm eşdeğerlik sınıflarının bir bölümü aşağıdakilerin bir bölümünü oluşturur : 'nin her öğesi bir ve yalnızca bir eşdeğerlik sınıfına aittir. Tersine, her bölümü bu şekilde bir denklik ilişkisinden gelir, buna göre ancak ve ancak aynı bölüm kümesine aitse ve buna aitse.

    Bir denklik ilişkisinin özelliklerinden şu sonucu çıkar:

    ancak ve ancak

    Başka bir deyişle, eğer bir küme üzerinde bir denklik bağıntısı ise ve ve iki elemanı ise, o zaman bu ifadeler eşdeğerdir:

    Grafik gösterimi

    7 sınıflı örnek denklik grafiği

    Bir yönsüz grafik herhangi ilişkilendirilebilir simetrik ilişki bir dizi köşe elemanları olan ve iki köşe ve birleştirilir, ancak ve ancak bu grafiklerin arasında denklik grafiğini vardır; öyle ki grafik olarak da karakterize edilir

    bağlı bileşenler olan klikler .

    değişmezler

    Eğer bir eşdeğerlik ilişkidir ve elemanlarının bir özelliktir her şekilde bu durum geçerlidir doğrudur, özellik bir olduğu söylenir

    değişmez bir ya da iyi tanımlanmış bir ilişki sonucunda

    Bir fonksiyondan başka bir kümeye geçtiğinde sık görülen bir özel durum oluşur ; eğer o zaman

    altında sınıf değişmezi veya altında basitçe değişmez olduğu söylenirse Bu, örneğin, sonlu grupların karakter teorisinde ortaya çıkar. Bazı yazarlar , "altında değişmez" yerine "uyumlu " veya yalnızca "saygılar " kullanır .

    Herhangi bir fonksiyonun kendisi bir denklik ilişkisini tanımlar, buna göre ancak ve ancak denklik sınıfı, bununla eşlenen tüm öğelerin kümesi ise, sınıf bunun

    ters görüntüsüdür . Bu denklik ilişkisinin çekirdeği olarak bilinir .

    Daha genel olarak, bir işlev (bir denklik ilişkisi altında eşdeğer bağımsız değişkenleri eşlemek üzerinde (bir denklik ilişkisi altında eşdeğer değerlere) ile ). Böyle bir fonksiyon, denklik bağıntısı ile donatılmış kümelerin

    morfizmidir .

    Topolojide bölüm uzayı

    Olarak topoloji , bir bölüm alan a, topolojik alan eşdeğerlik sınıfları setinde topolojisi oluşturmak için orijinal mekanın topolojisini kullanan, bir topolojik alanı bir denklik ilişkisi denklik sınıflarının grubu üzerinde oluşturulan.

    Gelen soyut cebir , uyum ilişkileri bir cebirin temel sette cebir denen ilişki denklik sınıfları, bir cebir neden izin bölüm cebir . Olarak lineer cebir , bir bölüm alanı bir çerçeve içinde oluşturulan bir vektör alanıdır bölüm grubu bölüm homomorfizması a,, lineer harita . Ek olarak, soyut cebirde, bölüm uzayı terimi, bölüm modülleri , bölüm halkaları , bölüm grupları veya herhangi bir bölüm cebiri için kullanılabilir. Bununla birlikte, terimin daha genel durumlar için kullanımı, genellikle bir grup eyleminin yörüngeleri ile analoji yoluyla olabilir.

    Bir küme üzerindeki bir grup eyleminin yörüngeleri , özellikle grup eyleminin yörüngeleri , bir grubun bir alt grubunun, alt grubun eyleminden kaynaklanan doğru kosetleri olduğunda, küme üzerindeki eylemin bölüm uzayı olarak adlandırılabilir . grup, sol ötelemelerle veya sırasıyla sol kosetler, sağ öteleme altında yörüngeler olarak.

    Bir topolojik grubun normal bir alt grubu, grup üzerinde öteleme eylemiyle hareket eder, aynı anda topoloji, soyut cebir ve grup eylemleri anlamında bir bölüm uzayıdır.

    Terim, herhangi bir denklik ilişkisinin denklik sınıfları seti için, muhtemelen daha ileri yapılar için kullanılabilse de, terimin kullanılmasının amacı, genellikle, bir kümedeki bu tür denklik ilişkisini, ya sette bazı yapıları indükleyen bir denklik ilişkisiyle karşılaştırmaktır. Aynı türden bir yapıdan bir grup eyleminin yörüngeleri üzerinde veya yörüngelerine denklik sınıfları . Hem bir denklik bağıntısı tarafından korunan bir yapının anlamı hem de grup eylemleri altındaki

    değişmezlerin incelenmesi, yukarıda verilen eşdeğerlik bağıntılarının değişmezlerinin tanımına yol açar .

    Ayrıca bakınız

    Lie gruplarının bölüm uzayı
  • Kısmi denklik ilişkisi  – Nesneleri karşılaştırmak için matematiksel kavram
  • Denklik bağıntısına göre bölüm
  • Enine (kombinatorik)  - Bir çizgi sistemini kesen bir çizgi.
  • Notlar

    Referanslar

    • Avelsgaard, Carol (1989), İleri Matematik Temelleri , Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
    • Devlin, Keith (2004), Kümeler, Fonksiyonlar ve Mantık: Soyut Matematiğe Giriş (3. baskı), Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
    • Maddox, Randall B. (2002), Matematiksel Düşünme ve Yazma , Harcourt/ Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
    • Wolf, Robert S. (1998), Kanıt, Mantık ve Varsayım: Bir Matematikçinin Araç Kutusu , Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

    daha fazla okuma

    • Sundstrom (2003), Matematiksel Akıl Yürütme: Yazma ve Kanıt , Prentice-Hall
    • Smith; yumurta; St.Andre (2006), İleri Matematiğe Geçiş (6. baskı), Thomson (Brooks/Cole)
    • Schumacher, Carol (1996), Sıfır Bölüm: Soyut Matematiğin Temel Kavramları , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
    • O'Leary (2003), İspatın Yapısı: Mantık ve Küme Teorisi ile , Prentice-Hall
    • Lay (2001), Kanıta Giriş ile Analiz , Prentice Hall
    • Morash, Ronald P. (1987), Bridge to Abstract Mathematics , Random House, ISBN 0-394-35429-X
    • Gilbert; Vanstone (2005), Matematiksel Düşünmeye Giriş , Pearson Prentice-Hall
    • Fletcher; Patty, Yüksek Matematiğin Temelleri , PWS-Kent
    • Iglewicz; Stoyle, Matematiksel Akıl Yürütmeye
    Giriş , MacMillan
  • D'Angelo; West (2000), Matematiksel Düşünme: Problem Çözme ve Kanıtlar , Prentice Hall
  • Cupillari , Kanıtların Somunları ve Cıvataları , Wadsworth
  • Bond, Soyut Matematiğe Giriş , Brooks/Cole
  • bariyer; Feldman (2000), İleri Matematiğe Giriş , Prentice Hall
  • Ash, A Primer of Abstract Mathematics , MAA
  • Dış bağlantılar