Sipariş edilen çift - Ordered pair

Gelen matematik , bir düzenli çifti ( a , b ) bir nesne çiftidir. Nesnelerin çiftte görünme sırası önemlidir: sıralı çift ( a , b ), a = b olmadıkça sıralı ( b , a ) çiftinden farklıdır . (Buna karşılık, sırasız { a , b } çifti, sırasız { b , a } çiftine eşittir .)

Sıralı çiftlere ayrıca 2 uzunluklu diziler veya diziler (bazen bilgisayar bilimi bağlamındaki listeler) denir . Sıralı skaler çiftlerine bazen 2 boyutlu vektörler denir . (Teknik olarak, bu sıralı bir çift ihtiyacı bir elemanı vermeye yana terminolojinin suiistimali olan vektör uzayı .) Düzenli bir çiftin girişleri sipariş yinelemeli tanımlanmasına olanak sağlayarak, sıralanacaklarını çiftleri olabilir , n -tuples sıralı (listeleri n nesneler). Örneğin, sıralı üçlü ( a , b , c ) ( a , ( b , c ) ), yani bir çift diğerinin içine yerleştirilmiş olarak tanımlanabilir.

Sıralı çift (in bir , b ), nesne bir adlandırılan ilk giriş ve nesneyi b ikinci giriş çiftinin. Alternatif olarak, nesnelere birinci ve ikinci bileşenler , birinci ve ikinci koordinatlar veya sıralı çiftin sol ve sağ projeksiyonları denir .

Kartezyen ürünler ve ikili ilişkiler (ve dolayısıyla işlevler ) sıralı çiftler cinsinden tanımlanır.

genellikler

Bırak ve çiftler sıralansın. Daha sonra sıralı çiftin karakteristik (veya tanımlayıcı ) özelliği şudur:

Grubu , ilk giriş bir grubu olan bütün sipariş çiftlerinin A olan ve ikinci giriş bazı grubu içinde B olarak adlandırılır Kartezyen ürün bir A ve B , ve yazılı bir x B . Bir ikili ilişki setleri arasında A ve B a, alt kümesi arasında bir x B .

( A , b ) gösterimi, diğer amaçlar, özellikle olarak gösteren için kullanılabilen açık aralıkları ile ilgili gerçek sayı hattı . Bu gibi durumlarda, bağlam genellikle hangi anlamın amaçlandığını netleştirecektir. Ek açıklama için, sıralı çift varyant gösterimi ile gösterilebilir , ancak bu gösterimin başka kullanımları da vardır.

Bir p çiftinin sol ve sağ izdüşümü genellikle π 1 ( p ) ve π 2 ( p ) veya sırasıyla π ( p ) ve π r ( p ) ile gösterilir. Rastgele n- tuple'ların dikkate alındığı bağlamlarda , πn
i
( t ) bir n- tuple t'nin i- inci bileşeni için ortak bir gösterimdir .

Resmi olmayan ve resmi tanımlar

Bazı giriş niteliğindeki matematik ders kitaplarında sıralı ikilinin resmi olmayan (veya sezgisel) bir tanımı verilir, örneğin

Herhangi iki a ve b nesnesi için , sıralı çift ( a , b ) iki a ve b nesnesini bu sırayla belirten bir gösterimdir .

Bunu genellikle iki öğeden oluşan bir setle karşılaştırma izler; bir kümede a ve b'nin farklı olması gerektiğini, ancak sıralı bir çiftte eşit olabileceklerini ve bir kümenin öğelerini listeleme sırasının önemli olmadığını, sıralı bir çiftte farklı girişlerin sırasını değiştirmenin değiştiğini belirtmek sipariş edilen çift.

Bu "tanım" yetersizdir, çünkü yalnızca tanımlayıcıdır ve sezgisel bir düzen anlayışına dayanır . Ancak bazen belirtildiği gibi, bu açıklamaya güvenmekten bir zarar gelmez ve hemen hemen herkes bu şekilde sıralı çiftleri düşünür.

Daha tatmin edici bir yaklaşım, yukarıda verilen sıralı çiftlerin karakteristik özelliğinin, sıralı çiftlerin matematikteki rolünü anlamak için gerekli olan tek şey olduğunu gözlemlemektir. Bu nedenle, sıralı çift , ilişkili aksiyomu karakteristik özellik olan ilkel bir kavram olarak alınabilir . Bu, N. Bourbaki grubunun 1954'te yayınlanan Kümeler Teorisi'nde benimsediği yaklaşımdı. Bununla birlikte, bu yaklaşımın dezavantajları da vardır, çünkü hem sıralı çiftlerin varlığı hem de karakteristik özelliklerinin aksiyomatik olarak varsayılması gerekir.

Sıralı çiftleri titizlikle ele almanın bir başka yolu, onları küme teorisi bağlamında resmi olarak tanımlamaktır. Bu, birkaç yolla yapılabilir ve varlığın ve karakteristik özelliğin küme teorisini tanımlayan aksiyomlardan kanıtlanabilmesi avantajına sahiptir. Bu tanımın en çok alıntı yapılan versiyonlarından biri Kuratowski'ye aittir (aşağıya bakınız) ve onun tanımı Bourbaki'nin Kümeler Kuramı'nın 1970'de yayınlanan ikinci baskısında kullanılmıştır . Sıralı çiftlerin gayri resmi tanımını veren matematik ders kitapları bile sıklıkla Bir alıştırmada Kuratowski'nin biçimsel tanımından bahsedin.

Küme teorisini kullanarak sıralı çifti tanımlama

Küme teorisinin matematiğin çekici bir temeli olduğu kabul edilirse , tüm matematiksel nesneler bir tür küme olarak tanımlanmalıdır . Dolayısıyla sıralı ikili ilkel olarak alınmıyorsa bir küme olarak tanımlanmalıdır. Sıralı ikilinin birkaç küme-teorik tanımı aşağıda verilmiştir (ayrıca bkz.).

Wiener'in tanımı

Norbert Wiener , sıralı çiftin ilk set teorik tanımını 1914'te önerdi:

Bu tanım mümkün tanımlamak için yaptığı o gözlenen türde arasında Principia Mathematica batarken. Principia Mathematica türleri ve dolayısıyla tüm aritelerin ilişkilerini ilkel olarak almıştı .

Wiener , tanımı bir sınıftaki tüm öğelerin aynı "tip" olması gerektiği tür teorisiyle uyumlu hale getirmek için { b } yerine {{ b }} kullandı . Ek bir küme içinde iç içe b ile , türü 's'ye eşittir .

Hausdorff'un tanımı

Wiener (1914) ile hemen hemen aynı zamanda, Felix Hausdorff tanımını önerdi:

"burada 1 ve 2, a ve b'den farklı iki ayrı nesnedir."

Kuratowski'nin tanımı

1921'de Kazimierz Kuratowski , sıralı çiftin ( a , b ) şimdi kabul edilen tanımını sundu :

Bu tanımın, birinci ve ikinci koordinatlar aynı olduğunda bile kullanıldığına dikkat edin:

Sıralı bir p çifti verildiğinde , " x , p'nin ilk koordinatıdır " özelliği şu şekilde formüle edilebilir:

" x , p'nin ikinci koordinatıdır " özelliği şu şekilde formüle edilebilir:

Sol ve sağ koordinatların aynı olması durumunda, Y 1Y 2 hiçbir zaman böyle olmadığından, sağ bağlaç önemsiz derecede doğrudur .

Bir çiftin ilk koordinatını şu şekilde çıkarabiliriz ( keyfi kesişim ve keyfi birleşim için gösterimi kullanarak ):

İkinci koordinat şu şekilde çıkarılabilir:

Varyantlar

Sıralı çiftin yukarıdaki Kuratowski tanımı, sıralı bir çiftin sağlaması gereken karakteristik özelliği, yani . Özellikle, 'düzeni' yeterince ifade eder , bu yanlış olmadıkça yanlıştır . Aynı derecede yeterli olan benzer veya daha az karmaşıklığa sahip başka tanımlar da vardır:

Ters tanım sadece Kuratowski tanımı önemsiz bir varyantıdır ve bu şekilde bağımsız bir ilgi konusudur. Tanım kısa bu iki yerine üç daha çiftleri gerektirdiğinden olarak adlandırılan bir parantez . Kanıtlanması kısa tatmin karakteristik özelliği gerektirir Zermelo-Fraenkel grubu teorisi düzenlilik aksiyomu . Ayrıca, eğer biri von Neumann'ın doğal sayılar kümesi-teorik yapısını kullanırsa , o zaman 2, (0, 0) kısa çiftinden ayırt edilemeyen {0, 1} = {0, {0}} kümesi olarak tanımlanır . Kısa çiftin bir başka dezavantajı, a ve b aynı türden olsa bile , kısa çiftin öğelerinin olmamasıdır. (Ancak, eğer a  =  b ise , kısa versiyon, herhangi bir "sıralı çift" dahil olmak üzere herhangi bir "çiftten" beklenebilecek bir şey olan kardinalite 2'ye sahip olmaya devam eder. Ayrıca, kısa versiyonun Tarski–Grothendieck küme teorisinde kullanıldığını unutmayın , Mizar sisteminin üzerine kurulduğu.)

Tanımların karakteristik özelliği karşıladığını kanıtlamak

Kanıtlayın: ( a , b ) = ( c , d ) ancak ve ancak a = c ve b = d ise .

Kuratowski :
Eğer . Eğer a = c ve b = d , sonra da {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}. Böylece ( a, b ) K = ( c, d ) K .

Sadece eğer . İki durum: a = b ve ab .

Eğer bir = b :

( a, b ) K = {{ a }, { a, b }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }}.
( c, d ) K = {{ c }, { c, d }} = {{ bir }}.
Böylece { c } = { c, d } = { a }, bu da a = c ve a = d anlamına gelir . Hipoteze göre, a = b . Dolayısıyla b = d .

Eğer ab ise ( a, b ) K = ( c, d ) K , {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }} anlamına gelir.

{ c, d } = { a } olduğunu varsayalım . O zaman c = d = a , ve böylece {{ c }, { c, d }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }}. Ama o zaman {{ a }, { a, b }} da {{ a }}'ya eşit olur , böylece b = a , ab ile çelişir .
{ c } = { a, b } varsayalım . O zaman a = b = c , bu da ab ile çelişir .
Bu nedenle { c } = { a }, öyle ki c = a ve { c, d } = { a, b }.
Eğer d = a doğru olsaydı , o zaman { c, d } = { a, a } = { a } ≠ { a, b }, bir çelişki. Böylece d = b durum böyledir, böylece a = c ve b = d olur .

Ters :
( a, b ) ters = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) K .

eğer . Eğer ( a, b ) ters = ( c, d ) ters , ( b, a ) K = ( d, c ) K . Bu nedenle, b = d ve a = c .

Sadece eğer . Eğer a = c ve b = d , sonra da {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }}. Böylece ( a, b ) ters = ( c, d ) ters .

Kısa boylu:

Eğer : a = c ve b = d ise , o zaman { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Böylece ( a, b ) kısa = ( c, d ) kısa .

Yalnızca şu durumda : Varsayalım ki { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. O zaman a sol tarafta ve dolayısıyla sağ taraftadır. Eşit kümeler eşit öğelere sahip olduğundan, a = c veya a = { c, d } durumlarından biri olmalıdır.

Eğer a = { c, d } ise, yukarıdakine benzer bir mantıkla, { a, b } sağ taraftadır, yani { a, b } = c veya { a, b } = { c, d }.
{İse a, b } = C daha sonra c {olan c, d } = bir ve bir olduğunu c , ve bu kombinasyon {olarak, düzenli belitini ters a, c } "ilişki sonucunda elemanının minimal bir elemanı vardır "
{ a, b } = { c, d } ise, o zaman a , a = { c, d } = { a, b } den bir a öğesidir , yine düzenlilikle çelişir.
Dolayısıyla a = c olmalıdır.

Yine { a, b } = c veya { a, b } = { c, d } olduğunu görüyoruz .

Seçeneği { a, b } = C ve a = c ima C arasında bir elemandır c Düzenlilik ters.
Yani elimizde a = c ve { a, b } = { c, d } var ve böylece: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d }, yani b = d .

Quine-Rosser tanımı

Rosser (1953) , doğal sayıların önceden tanımlanmasını gerektiren Quine nedeniyle sıralı çiftin bir tanımını kullandı . Doğal sayılar kümesi olsun ve önce tanımla

İşlev , doğal bir sayıysa argümanını artırır ve aksi durumda olduğu gibi bırakır; 0 sayısı işlevsel değer olarak görünmez . Devam etmeyen öğelerin kümesi olduğu gibi

Bu set görüntü seti arasında under , bazen ifade ile de. Bir x kümesine fonksiyon uygulamak, içindeki her doğal sayıyı basitçe artırır. Özellikle, hiçbir zaman 0 sayısını içermez, bu nedenle herhangi bir x ve y kümesi için ,

Ayrıca, tanımlayın

Bununla, her zaman 0 sayısını içerir.

Son olarak, sıralı çifti ( A , B ) ayrık birleşim olarak tanımlayın.

( alternatif gösterimde olan).

Çiftin 0 içermeyen tüm öğelerini çıkarmak ve geri almak A sonucunu verir . Benzer şekilde, çiftin 0 içeren elemanlarından B elde edilebilir.

Örneğin, çift sağlandığı gibi kodlanmıştır .

Gelen türü teori ve çıkıntılar bunların bu belitsel grubu teorisi olarak NF , Quine'ın-Rosser parite çıkıntılar ile aynı tip sahiptir ve bu nedenle bir "tip seviye" sıralı çifti olarak adlandırılmaktadır. Dolayısıyla bu tanım, sıralı çiftler kümesi olarak tanımlanan bir işlevin argümanlarının türünden yalnızca 1 daha yüksek bir türe sahip olmasını sağlama avantajına sahiptir . Bu tanım, yalnızca doğal sayılar kümesi sonsuz olduğunda işe yarar. NF'de durum böyledir , ancak tip teorisinde veya NFU'da değildir . J. Barkley Rosser , böyle bir tip-seviye sıralı çiftinin (hatta "1 ile tip yükseltme" sıralı çiftinin) varlığının sonsuz aksiyomunu ima ettiğini gösterdi . Quinian küme teorileri bağlamında sıralı ikilinin kapsamlı bir tartışması için bkz. Holmes (1998).

Cantor-Frege tanımı

Küme teorisinin geliştirilmesinin başlarında, paradokslar keşfedilmeden önce, Cantor, ilişki kavramının ilkel olduğunu varsayarak, sıralı iki küme çiftini bu kümeler arasında geçerli olan tüm ilişkilerin sınıfı olarak tanımlayarak Frege'yi izledi:

Bu tanım, çoğu modern resmi küme teorisinde kabul edilemez ve metodolojik olarak, bir kümenin kardinalini , verilen kümeyle eşdeğer olan tüm kümelerin sınıfı olarak tanımlamaya benzer .

Mors tanımı

Morse-Kelley küme teorisi , uygun sınıfları ücretsiz olarak kullanır . Morse , sıralı çifti tanımladı, böylece izdüşümleri kümeler kadar uygun sınıflar olabilirdi. (Kuratowski tanımı buna izin vermez.) İlk önce, izdüşümleri Kuratowski'nin tarzında kümelenen sıralı çiftleri tanımladı. Daha sonra çifti yeniden tanımladı

bileşen Kartezyen ürünleri Kuratowski küme çiftleridir ve nerede

Bu, projeksiyonları uygun sınıflar olan olası çiftleri oluşturur. Yukarıdaki Quine-Rosser tanımı da uygun sınıfları projeksiyonlar olarak kabul eder . Benzer şekilde üçlü, aşağıdaki gibi bir 3 demeti olarak tanımlanır:

Eklenmiş bir boş kümeye sahip tekil kümenin kullanımı, kümelerin, a bir n -tuple ve b bir m -tuple ve a = b ise, o zaman n = m olan benzersizlik özelliğine sahip olmasına izin verir . Sıralı ikili olarak tanımlanan sıralı üçlüler, sıralı ikililere göre bu özelliğe sahip değildir.

aksiyomatik tanım

Sıralı çiftler Zermelo-Fraenkel küme teorisine (ZF) aksiyomatik olarak sadece ZF'ye yeni bir arite 2 fonksiyon sembolü (genellikle atlanır) ve aşağıdakiler için tanımlayıcı bir aksiyom eklenerek tanıtılabilir :

Bu tanım kabul edilebilir çünkü ZF'nin bu uzantısı muhafazakar bir uzantıdır .

Tanım, (a,a) = {{a}}, {a} ∈ (a,b) gibi tesadüfi teoremlerden kaçınmaya yardımcı olur, eğer Kuratowski'nin tanımı (a,b) = {{a}, {a,b }} kullanıldı.

kategori teorisi

Ayarlanan ürün X 1 × X 2 için değişmeli diyagram .

Bir kategori teorik ürün A x B a set kategorisinde birinci eleman tarafından gelen sıralı çiftleri kümesini temsil eder, A ve ikinci gelen B . Bu bağlamda, yukarıdaki karakteristik özellik , ürünün evrensel özelliğinin ve bir X kümesinin elemanlarının 1'den (bir elemanlı bir küme) X'e kadar olan morfizmlerle tanımlanabilmesinin bir sonucudur . Farklı nesneler evrensel özelliğe sahip olsa da, hepsi doğal olarak izomorfiktir .

Referanslar