Sporadik grup - Sporadic group

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir eylem Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v T e

Gelen grup teorisi , bir sporadik grubu 26 olağanüstü biridir grupları bulunan basit sonlu grupların sınıflandırılması .

Bir basit bir grup bir grup olduğu G herhangi yoktur Normal alt gruplar önemsiz grubu ve haricinde G kendisi. Sınıflandırma teoremi , sonlu basit grupların listesinin 18 sayılabilir sonsuz aile artı böyle sistematik bir model izlemeyen 26 istisnadan oluştuğunu belirtir. Bu 26 istisna sporadik gruplardır. Ayrıca sporadik basit gruplar veya sporadik sonlu gruplar olarak da bilinirler. Kesinlikle Lie tipi bir grup olmadığı için , Tits grubu bazen sporadik bir grup olarak kabul edilir, bu durumda 27 sporadik grup olacaktır.

Canavar grup sporadik grupların en büyüğüdür ve diğer sporadik grupların tüm ama altı olan subquotients bunun.

İsimler

Sporadik grupların beşi 1860'larda Mathieu tarafından keşfedildi ve diğer 21'i 1965 ile 1975 arasında bulundu. Bu grupların birçoğunun inşa edilmeden önce var olduğu tahmin edildi. Grupların çoğu, varlıklarını ilk kez tahmin eden matematikçi(ler)den almıştır. Tam liste:

Diyagram, sporadik gruplar arasındaki alt bölüm ilişkilerini gösterir. Bir bağlantı çizgisi, alt grubun, aralarında basit bir alt bölüm olmaksızın, üst grubun bir alt bölümü olduğu anlamına gelir.
1. nesil, 2. nesil, 3. nesil, Pariah

• Mathieu grupları M ₁₁ (M11), M ₁₂ (M12), M ₂₂ (M22), M ₂₃ (M23), M ₂₄ (M24)
• Janko grupları J ₁ (J1), J ₂ veya HJ (J2), J ₃ veya HJM (J3), J ₄ (J4)
• Conway grupları Co ₁ (Co1), Co ₂ (Co2), Co ₃ (Co3)
• Fischer grupları Fi ₂₂ (Fi22), Fi ₂₃ (Fi23), Fi ₂₄ ′ veya F ₃₊ (Fi24)
• Higman-Sims grubu HS
• McLaughlin grubu McL
• Sahip olunan grup He veya F ₇₊ veya F ₇
• Rudvalis grubu Ru
• Suzuki grubu Suz veya F ₃₋
• O'Nan grubu O'N (AÇIK)
• Harada–Norton grubu HN veya F ₅₊ veya F ₅
• Lyons grubu Ly
• Thompson grubu Th veya F _3|3 veya F ₃
• Bebek Canavar grubu B veya F ₂₊ veya F ₂
• Fischer–Griess Canavarı grubu M veya F ₁

Göğüsler grup T bazen de sporadik grup olarak kabul edilir (öyle neredeyse ama kesinlikle Lie türünde bir grup) neden bazı kaynaklarda dağınık grupların sayısı diğer bazı kaynaklarda 27 yerine 26 ile verilir edilir, Tits grubu ne sporadik ne de Lie tipi olarak kabul edilir. Yine de, bu ise ( n = 0) -Member ² F ₄ '(2) arasında sonsuz komütatör gruplarının etti ² F ₄ (2 ^{2 N + 1} )' - ve bu nedenle definitionem başına sporadik değildir. İçin n > 0 , bu sonlu basit grupları ile denk Lie tip gruplar ² F ₄ (2 ^{2 N + 1} ). Ancak için n = 0, elde edilen alt grup ² F ₄ (2) ' olarak adlandırılan Meme grubu, basit ve sonlu grubunda bir İndeksi 2 ² F ₄ (2) bütün sadece biri gibi- Lie Çeşidi aile - basit değil.

Tüm sporadik gruplar için sonlu alanlar üzerinde matris temsilleri oluşturulmuştur.

Terimi ilk işlenmesinin sporadik grupta olabilir Burnside (1911 o Mathieu gruplar hakkında yorumlar., S 504, not K): "Bunlar görünüşte sporadik basit gruplar muhtemelen onlar henüz almış daha yakından inceleme ödemek istiyorum"

Sağdaki diyagram Ronan'a (2006) dayanmaktadır . Sporadik grupların sayısız sporadik olmayan basit alt bölümlerini göstermez.

organizasyon

Mutlu aile

26 sporadik gruplardan, 20 içinde görülmektedir canavar grubu olarak alt ya da quotients alt grup (arasında bölümleri ). Bu yirmi kişi Robert Griess tarafından mutlu aile olarak adlandırılmıştır ve üç kuşak halinde organize edilebilirler.

Birinci nesil (5 grup): Mathieu grupları

n = 11, 12, 22, 23 ve 24 için M _n , n noktasında çoklu geçişli permütasyon gruplarıdır . Hepsi 24 noktada bir permütasyon grubu olan M _24'ün alt gruplarıdır .

İkinci nesil (7 grup): Sülük kafesi

Tüm subquotients arasında otomorfizmalarını bir kafesin 24 olarak adlandırılan boyutları Sülük kafes :

• Co ₁ , otomorfizm grubunun merkezine göre bölümüdür {±1}
• Co ₂ , tip 2 (yani uzunluk 2) vektörünün dengeleyicisidir
• Co ₃ , tip 3 (yani uzunluk √ 6 ) vektörünün dengeleyicisidir
• Suz , karmaşık bir yapıyı koruyan otomorfizmalar grubudur (merkezi modulo)
• McL , tip 2-2-3 üçgeninin dengeleyicisidir
• HS , tip 2-3-3 üçgeninin dengeleyicisidir
• J ₂ , kuaterniyonik bir yapıyı koruyan otomorfizmalar grubudur (merkezi modulo).

Üçüncü nesil (8 grup): Canavarın diğer alt grupları

Monster grubu M ile yakından ilişkili alt gruplardan oluşur :

• B veya F ₂ , M'deki 2. dereceden bir elemanın merkezleyicisi olan bir çift kapağa sahiptir.
• Fi ₂₄ ′, M'de 3 dereceli bir elemanın merkezileştiricisi olan üçlü bir kapağa sahiptir ( "3A" eşlenik sınıfında )
• Fi ₂₃ bir alt grubudur Fi ₂₄ '
• Fi ₂₂ , Fi _23'ün bir alt grubu olan çift kapağa sahiptir.
• Ürün Th = F ₃ ve sipariş 3 bir grup için 3 bir elemanının merkezleme olan M ( "3C" eşlenik sınıfında)
• HN = F _5'in çarpımı ve _5. dereceden bir grup, M'deki 5. dereceden bir elemanın merkezileştiricisidir.
• He = F ₇ ve _7. dereceden bir grubun çarpımı, M'deki 7. dereceden bir elemanın merkezileştiricisidir .
• Son olarak, Monster grubunun kendisi de bu nesilde kabul edilir.

(Bu seri daha da devam eder: M _12'nin çarpımı ve 11. dereceden bir grup, M'deki 11. dereceden bir elemanın merkezileştiricisidir .)

Meme grubu sporadik grubu olarak ise, bu kuşak içinde ait olacaktır: bir alt vardır S olan ₄ x ² F ₄ (2) 'a 2C normalize ² alt grubu B bir alt 2'ye yol açan, · S ₄ x ² F ₄ (2)′ , Monster'ın belirli bir Q ₈ alt grubunu normalleştirir . ² F ₄ (2)' aynı zamanda Fischer grubu Fi _22'nin ve dolayısıyla ayrıca Fi ₂₃ ve Fi ₂₄ ' ve Baby Monster B'nin bir alt bölümüdür . ² F ₄ (2)' aynı zamanda (parya) Rudvalis grubunun bir alt bölümüdür Ru ve daha önce bahsedilenler dışında sporadik basit gruplarla ilgisi yoktur.

paryalar

Altı özel durumlar vardır J ₁ , J ₃ , J ₄ , O'N , Ru ve Ly olarak da bilinmektedir, pariahs .

Sporadik grup siparişleri tablosu (göğüs grubuyla birlikte)

Grup	Gen.	Sipariş , OEIS A001228		çarpanlara ayrılmış sipariş	Standart jeneratörler üçlü (a, b, ab)	Diğer koşullar
F 1 veya M	3 üncü	80801742479451 28758864599049617107 57005754368000000000	≈ 8 × 10 53	2 46 · 3 20 · 5 9 · 7 6 · 11 2 · 13 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71	2A, 3B, 29	Hiçbiri
F 2 ya da B	3 üncü	41547814812264 26191177580544000000	≈ 4 × 10 33	2 41 · 3 13 · 5 6 · 7 2 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47	2C, 3A, 55	${\displaystyle o\left((ab)^{2}\left(abab^{2}\sağ)^{2}ab^{2}\sağ)=23}$
Fi 24 ' veya F 3+	3 üncü	12552 05709190661721292800	≈ 1 × 10 24	2 21 · 3 16 · 5 2 · 7 3 · 11 · 13 · 17 · 23 · 29	2A, 3E, 29	${\görüntüleme stili o\sol((ab)^{3}b\sağ)=33}$
Fi 23	3 üncü	4089470473293004800	≈ 4 × 10 18	2 18 · 3 13 · 5 2 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23	2B, 3B, 28	Hiçbiri
Fi 22	3 üncü	64561751654400	≈ 6 × 10 13	2 17 · 3 9 · 5 2 · 7 · 11 · 13	2A, 13, 11	${\displaystyle o\left((ab)^{2}\left(abab^{2}\sağ)^{2}ab^{2}\sağ)=12}$
F 3 veya Th	3 üncü	9074594388872000	≈ 9 × 10 16	2 15 · 3 10 · 5 3 · 7 2 · 13 · 19 · 31	2, 3A, 19	Hiçbiri
Ly	Parya	51765179004000000	≈ 5 × 10 16	2 8 · 3 7 · 5 6 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67	2, 5A, 14	${\displaystyle o\sol(ababab^{2}\sağ)=67}$
F 5 veya HN	3 üncü	273030912000000	≈ 3 × 10 14	2 14 · 3 6 · 5 6 · 7 · 11 · 19	2A, 3B, 22	${\görüntüleme stili o([a,b])=5}$
Ortak 1	2.	41577768065433360000	≈ 4 × 10 18	2 21 · 3 9 · 5 4 · 7 2 · 11 · 13 · 23	2B, 3C, 40	Hiçbiri
Ortak 2	2.	42305421312000	≈ 4 × 10 13	2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23	2A, 5A, 28	Hiçbiri
Ortak 3	2.	495766656000	≈ 5 × 10 11	2 10 · 3 7 · 5 3 · 7 · 11 · 23	2A, 7C, 17	Hiçbiri
ÜZERİNDE	Parya	460815505920	≈ 5 × 10 11	2 9 · 3 4 · 5 · 7 3 · 11 · 19 · 31	2A, 4A, 11	Hiçbiri
Suz	2.	448345497600	≈ 4 × 10 11	2 13 · 3 7 · 5 2 · 7 · 11 · 13	2B, 3B, 13	${\görüntüleme stili o([a,b])=15}$
Ru	Parya	145926144000	≈ 1 × 10 11	2 14 · 3 3 · 5 3 · 7 · 13 · 29	2B, 4A, 13	Hiçbiri
F 7 veya O	3 üncü	4030387200	≈ 4 × 10 9	2 10 · 3 3 · 5 2 · 7 3 · 17	2A, 7C, 17	Hiçbiri
McL	2.	898128000	≈ 9 × 10 8	2 7 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11	2A, 5A, 11	${\displaystyle o\left((ab)^{2}\left(abab^{2}\sağ)^{2}ab^{2}\sağ)=7}$
HS	2.	44352000	≈ 4 × 10 7	2 9 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11	2A, 5A, 11	Hiçbiri
J 4	Parya	86775571046077562880	≈ 9 × 10 19	2 21 · 3 3 · 5 · 7 · 11 3 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43	2A, 4A, 37	${\displaystyle o\sol(abab^{2}\sağ)=10}$
J 3 veya HJM	Parya	50232960	≈ 5 × 10 7	2 7 · 3 5 · 5 · 17 · 19	2A, 3A, 19	${\görüntüleme stili o([a,b])=9}$
J 2 veya HJ	2.	604800	≈ 6 × 10 5	2 7 · 3 3 · 5 2 · 7	2B, 3B, 7	${\görüntüleme stili o([a,b])=12}$
J 1	Parya	175560	≈ 2 × 10 5	2 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19	2, 3, 7	${\displaystyle o\sol(abab^{2}\sağ)=19}$
T	3 üncü	17971200	≈ 2 × 10 7	2 11 · 3 3 · 5 2 · 13	2A, 3, 13	${\görüntüleme stili o([a,b])=5}$
M 24	1 inci	244823040	≈ 2 × 10 8	2 10 · 3 3 · 5 · 7 · 11 · 23	2B, 3A, 23	${\displaystyle o\left(ab\left(abab^{2}\sağ)^{2}ab^{2}\sağ)=4}$
M 23	1 inci	10200960	≈ 1 × 10 7	2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23	2, 4, 23	${\displaystyle o\left((ab)^{2}\left(abab^{2}\sağ)^{2}ab^{2}\sağ)=8}$
M 22	1 inci	443520	≈ 4 × 10 5	2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11	2A, 4A, 11	${\displaystyle o\sol(abab^{2}\sağ)=11}$
M 12	1 inci	95040	≈ 1 × 10 5	2 6 · 3 3 · 5 · 11	2B, 3B, 11	Hiçbiri
M 11	1 inci	7920	≈ 8 × 10 3	2 4 · 3 2 · 5 · 11	2, 4, 11	${\displaystyle o\left((ab)^{2}\left(abab^{2}\sağ)^{2}ab^{2}\sağ)=4}$

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Sporadik Grup" . Matematik Dünyası .
• Sonlu Grup Temsilleri Atlası: Sporadik gruplar