π içeren formüllerin listesi -List of formulae involving π

Bir kısmı yazı dizisi üzerine
matematiksel sabit π
3,14159 26535 89793 23846 26433 ...
kullanır
Bir dairenin alanı çevre Diğer formüllerde kullanın
Özellikler
Mantıksızlık aşkınlık
Değer
22/7'den az yaklaşıklıklar ezberleme
İnsanlar
Arşimet Liu Hui Zu Chongzhi Aryabhata Madhava Ludolph van Ceulen Seki Takakazu Takebe Kenko William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John İngiliz anahtarı Chudnovsky kardeşler Yasumasa Kanada
Tarih
kronoloji Kitap
Kültürde
Mevzuat Pi Günü
İlgili konular
Çemberin karesini alma Basel sorunu Altı dokuzlu tt π ile ilgili diğer konular
v T e

Aşağıda, matematiksel sabit π içeren önemli formüllerin bir listesi bulunmaktadır . Bu formüllerin birçoğu Pi makalesinde veya π Yaklaşımları makalesinde bulunabilir .

Öklid geometrisi

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$

burada Cı olduğu çevre uzunluğu a daire , d olan çap .

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

burada bir olan bir daire alanı ve r, bir yarıçap .

${\displaystyle V={4 \üzerinde 3}\pi r^{3}}$

burada V bir kürenin hacmi ve r yarıçaptır.

${\displaystyle SA=4\pi r^{2}}$

burada SA küre yüzey alanı ve r yarıçapı.

${\displaystyle H={1 \over 2}\pi ^{2}r^{4}}$

burada H , 3 kürenin hiper hacmi ve r yarıçaptır.

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}}$

burada SV 3 kürenin yüzey hacmi ve r yarıçaptır.

Fizik

• Kozmolojik sabit :

${\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho }$

• Heisenberg'in belirsizlik ilkesi :

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$

• Einstein'ın alan denklemi ait genel görelilik :

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4 }}T_{\mu \nu }}$

• Vakumdaki elektrik kuvveti için Coulomb yasası :

${\displaystyle F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$

• Boş alanın manyetik geçirgenliği :

${\displaystyle \mu _{0}\yaklaşık 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}}$

• Küçük genliğe sahip basit bir sarkacın periyodu :

${\displaystyle T\yaklaşık 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

• Kepler'in üçüncü gezegensel hareket yasası :

${\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}}$

• Burkulma formül:

${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}$

π veren formüller

integraller

${\displaystyle 2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi }$( yarıçaplı bir dairenin alanını elde etmek için iki yarının birleştirilmesi )${\displaystyle y(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$${\görüntüleme stili r=1}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatör adı {sech} (x)\,dx=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-1/2t^{2}-x^{2}+xt}\,dx \,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-t^{2}-1/2x^{2}+xt}\, dx\,dt=\pi }$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi }$( artan'ın tüm etki alanı üzerindeki integral formu , tan periyodunu verir ).

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$(bkz. Gauss integrali ).

${\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i}$(entegrasyon yolu bir kez saat yönünün tersine 0 civarında sarıldığında. Ayrıca Cauchy'nin integral formülüne bakın ).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\sağ)\,dx=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \7'nin üzerinde}-\ sayı }$(bakınız ayrıca 22/7 aşan kanıtı olduğu TT ).

Simetrik integrallerle , formun formüllerinin de formüllere çevrilebileceğini unutmayın . ${\görüntüleme stili f(-x)=f(x)}$${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx}$${\displaystyle 2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}$

Verimli sonsuz seri

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}}$(ayrıca bkz. Çift faktöriyel )

${\displaystyle 12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{ 3}640320^{3k+3/2}}}={\frac {1}{\pi }}}$(bkz: Chudnovsky algoritması )

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k !)^{4}396^{4k}}}={\frac {1}{\pi }}}$(bkz. Srinivasa Ramanujan , Ramanujan-Sato serisi )

Aşağıdakiler, π'nin rastgele ikili basamaklarını hesaplamak için etkilidir :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1) }}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\sağ)=\pi }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac { 2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\sağ)=\pi }$( Bailey–Borwein–Plouffe formülüne bakınız )

${\displaystyle {\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n }}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+ 1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n +7}}+{\frac {1}{10n+9}}\sağ)=\pi }$

π'nin rastgele ondalık basamaklarını hesaplamak için Plouffe'un serisi :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3}$

Diğer sonsuz seriler

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2 }}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$   ( Basel problemi ve Riemann zeta fonksiyonuna da bakınız )

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4 }}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\,={\frac {1}{1^{2n }}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\ cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$, Burada B _{2 , n} a, Bernoulli sayısı .

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{ \frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4 }}}$   ( pi için Leibniz formülüne bakınız )

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1 }{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1 }{3^{4}\cdot 9}}-\cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{\sqrt {12}}}}$( Madhava serisi )

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{ 2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+ \cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+\cdots ={\frac { \pi ^{2}}{24}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\sağ)^{2}={\frac { 1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^ {2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\sağ)^{3}={\frac { 1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^ {3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sol({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\sağ)^{4}={\frac { 1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^ {4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\sağ)^{5}={\frac { 1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^ {5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sol({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\sağ)^{6}={\frac { 1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^ {6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1 }}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+ {\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n^{2}+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{ n+1}+6n-3\sağ)/4}\sağ|=|G_{1}|+|G_{2}|-|G_{4}|-|G_{5}|+|G_{7 }|+|G_{8}|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}}$(bkz. Gregory katsayıları )

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}={\frac {1 }{\pi }}}$(burada olduğu artan faktörlü )${\görüntüleme stili (x)_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}}=\pi -3 }$( Nilakantha serisi)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {4\ pi ^{2}}{25{\sqrt {5}}}}}$(burada olduğu , n -inci Fibonacci sayısı )${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{ 2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\ frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11 }}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots }$   (burada formunun asal faktörlerin sayısı arasında , Euler , 1748)${\görüntüleme stili \varepsilon (n)}$${\displaystyle p\eşdeğer 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$${\görüntüleme stili n}$

π ve harmonik sayılarla ilgili bazı formüller burada verilmiştir .

Makine benzeri formüller

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$(orijinal Machin formülü)

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1 }{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac { 1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac { 1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\ frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

burada bir N inci Fibonacci sayısı . ${\displaystyle F_{n}}$

Sonsuz seriler

π içeren bazı sonsuz seriler şunlardır:

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16} ^{3n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{ 441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\sağ)_{n}^{3 }}{{4^{n}}(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {32}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\sağ)^{8n}{\frac { (42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\sağ)_{n}^{3}}{{ 64^{n}}(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {27}{4Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\sağ)^{n}{\frac {(15n+2)\left( {\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\sol({\frac {1}{3}}\sağ)_{n}\sol({\frac {2}{3}} \sağ)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\sol({\frac {4}{125}}\sağ)^{n}{\frac {(33n+4)\sol( {\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\sol({\frac {1}{3}}\sağ)_{n}\sol({\frac {2}{3}} \sağ)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\sol({\frac {4}{85}}\sağ)^{n}{\frac {(133n+8)\sol( {\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\sol({\frac {1}{6}}\sağ)_{n}\sol({\frac {5}{6}} \sağ)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\sağ)^{n}{\frac {(11n+1)\sol( {\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\sol({\frac {1}{6}}\sağ)_{n}\sol({\frac {5}{6}} \sağ)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\left( {\frac {1}{4}}\sağ)_{n}\sol({\frac {3}{4}}\sağ)_{n}}{(n!)^{3}{9} ^{n}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\left( {\frac {1}{4}}\sağ)_{n}\sol({\frac {3}{4}}\sağ)_{n}}{(n!)^{3}{49} ^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\left( {\frac {1}{4}}\sağ)_{n}\sol({\frac {3}{4}}\sağ)_{n}}{(n!)^{3}{99} ^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\left( {\frac {1}{4}}\sağ)_{n}\sol({\frac {3}{4}}\sağ)_{n}}{(n!)^{3}{9} ^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\sağ)_{n}\sol( {\frac {1}{4}}\sağ)_{n}\sol({\frac {3}{4}}\sağ)_{n}}{(n!)^{3}5^{ n}{72}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\sol({\frac {1}{2}}\sağ) )_{n}\sol({\frac {1}{4}}\sağ)_{n}\sol({\frac {3}{4}}\sağ)_{n}}{(n! )^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\sol({\frac {1}{2}}\sağ) )_{n}\sol({\frac {1}{4}}\sağ)_{n}\sol({\frac {3}{4}}\sağ)_{n}}{(n! )^{3}{2}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {72}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4 ^{4n}18^{2n}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {3528}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4 ^{4n}882^{2n}}}}$

yükselen faktöriyel için Pochhammer sembolü nerede . Ayrıca bkz. Ramanujan–Sato serisi . ${\görüntüleme stili (x)_{n}}$

Sonsuz ürünler

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\sağ)\ cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\sağ)={\frac {3}{4}}\cdot {\ frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$ (Euler)

payların tek asal sayılar olduğu durumlarda; her payda, paya en yakın dördün katıdır.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb { P} }{\frac {p}{p-1}}\sağ)\cdot \left(\displaystyle \prod _{p\equiv 5{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p+1}}\sağ)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {11}{12} }\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{18}}\cdots ,}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot { \frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac { 16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$(ayrıca Wallis ürününe bakın )

Viète'nin formülü :

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt { 2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots ={\frac {2}{\pi }}}$

Thue-Morse dizisini içeren bir çift sonsuz çarpım formülü :

${\displaystyle \prod _{m\geq 1}\prod _{n\geq 1}\left({\frac {(4m^{2}+n-2)(4m^{2}+2n-1)) ^{2}}{4(2m^{2}+n-1)(4m^{2}+n-1)(2m^{2}+n)}}\sağ)^{\epsilon _{n }}={\frac {\pi }{2}},}$

Thue-Morse dizisi nerede ve nerede ( Tóth 2020 ).${\displaystyle \epsilon _{n}=(-1)^{t_{n}}}$${\görüntüleme stili t_{n}}$

arktanjant formülleri

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}} ,}$

nerede böyle . ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c}$

ne zaman ve , , pozitif gerçek sayılardır (bkz . trigonometrik özdeşlikler listesi ). Özel bir durum ${\görüntüleme stili a+b+c=abc}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili c}$

${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.}$

Devam eden kesirler

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\ cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2} }{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}) }{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\cfrac {10^{2}}{12+{ \cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}}$

Üçüncü özdeşlik hakkında daha fazla bilgi için, Euler'in sürekli kesir formülüne bakın .

(Ayrıca bkz. Devamlı kesir ve Genelleştirilmiş sürekli kesir .)

Çeşitli

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\sağ)^{n}}$( Stirling'in yaklaşımı )

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$( Euler'in kimliği )

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}}$(bkz. Euler'in totient işlevi )

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}}$(bkz. Euler'in totient işlevi )

${\displaystyle \pi =\mathrm {B} (1/2,1/2)=\Gama (1/2)^{2}}$(ayrıca bkz. Beta işlevi ve Gama işlevi )

${\displaystyle \pi ={\frac {\Gamma (3/4)^{4}}{\operatöradı {agm} (1,1/{\sqrt {2}})^{2}}}={\ frac {\Gamma \left({1/4}\sağ)^{4/3}\operatöradı {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}}$(burada agm, aritmetik-geometrik ortalamadır )

${\displaystyle \pi =\operatöradı {agm} \left(\theta _{2}^{2}(1/e),\theta _{3}^{2}(1/e)\sağ)}$( Jacobi teta fonksiyonları nerede ve nelerdir )${\ Displaystyle \ theta _{2}}$${\ Displaystyle \ theta _{3}}$

${\displaystyle \pi =-{\frac {\operatöradı {K} (k)}{\operatöradı {K} \left({\sqrt {1-k^{2}}}\sağ)}}\ln q ,\quad k={\frac {\theta _{2}^{2}(q)}{\theta _{3}^{2}(q)}}}$(burada  ve bir birinci tür tam eliptik entegre modül ile , yansıtıcı nome ters sorun -modulus)${\görüntüleme stili q\in (0,1)}$${\ Displaystyle \ operatör adı {K} (k)}$${\görüntüleme stili k}$

${\displaystyle \pi =-{\frac {\operatöradı {agm} \left(1,{\sqrt {1-k'^{2}}}\sağ)}{\operatöradı {agm} (1,k' )}}\ln q,\quad k'={\frac {\theta _{4}^{2}(q)}{\theta _{3}^{2}(q)}}}$(nerede )${\görüntüleme stili q\in (0,1)}$

${\displaystyle \operatöradı {agm} (1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$(nedeniyle Gauss , bir lemniscate sabiti )${\görüntüleme stili \varpi }$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n{\bmod {k}})= 1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}}$(burada bir geri kalan bölümü üzerine n ile  k )${\textstyle n{\bmod {k}}}$

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y =-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r\end{durumlar}}}$ (bir dairenin alanını toplayarak)

${\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {4}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2 }-k^{2}}}}$( Birim çemberin alanını hesaplamak için Riemann toplamı )

${\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}}{n{2n \n}^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sol({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\sağ)^{2}}$( Stirling'in yaklaşımına göre )

${\displaystyle a_{0}=1,\,a_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{2n+1}}\sağ)a_{n},\,\pi =\ lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{2}}{n}}}$ (yukarıdaki formülün yineleme formu)

${\displaystyle a_{1}=0,\,a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}},\,\pi =\lim _{n\to \infty }2^{ n}{\sqrt {2-a_{n}}}}$ (Yakından Viète formülü ile ilgili)

${\displaystyle a_{1}=1,\,a_{n+1}=a_{n}+\sin a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n} }$ (kübik yakınsama)

${\displaystyle a_{0}=2{\sqrt {3}},\,b_{0}=3,\,a_{n+1}=\operatör adı {hm} (a_{n},b_{n} ),\,b_{n+1}=\operatöradı {gm} (a_{n+1},b_{n}),\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}= \lim _{n\to \infty }b_{n}}$( Arşimet algoritması, ayrıca bkz. harmonik ortalama ve geometrik ortalama )

Ayrıca bakınız

• Matematiksel kimliklerin  listesi – Wikipedia liste makalesi
• Matematik konularının  listeleri – Wikipedia liste makalesi
• Trigonometrik kimliklerin listesi  – Trigonometrik fonksiyonları içeren eşitlikler
• π ile ilgili konuların  listesi – Wikipedia liste makalesi
• e'nin temsillerinin listesi

Referanslar

• Tóth, László (2020), "+1 Thue-Morse Sequence ile İlişkili Transandantal Sonsuz Ürünler" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 23 : 20.8.2, arXiv : 2009.02025.

daha fazla okuma

• Peter Borwein, İnanılmaz Sayı Pi
• Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Sayı Teorisi 1: Fermat'ın Rüyası. Amerikan Matematik Derneği, Providence 1993, ISBN  0-8218-0863-X .