harmonik ortalama - Harmonic mean

Gelen matematik , harmonik ortalama birkaç çeşit biri olan ortalama , ve özellikle de bir Pisagor aracı . Bazen ortalama oranın istendiği durumlar için uygundur .

Harmonik ortalama olarak ifade edilebilir karşılıklı bir aritmetik ortalama gözlem verilen bir grubu reciprocals. Basit bir örnek olarak, 1, 4 ve 4'ün harmonik ortalaması,

Tanım

Pozitif reel sayıların harmonik ortalaması H olarak tanımlanır.

Yukarıdaki denklemdeki üçüncü formül, harmonik ortalamayı, karşılıkların aritmetik ortalamasının tersi olarak ifade eder.

Aşağıdaki formülden:

harmonik ortalamanın aritmetik ve geometrik ortalamalarla ilişkili olduğu daha açıktır . Bu karşılıklıdır çift arasında aritmetik ortalama pozitif girişler için:

Harmonik ortalama, Schur-içbükey bir fonksiyondur ve herhangi bir pozitif argüman seti için, . Bu nedenle, harmonik ortalama, bazı değerleri daha büyük değerlere değiştirerek (en az bir değer değişmeden kalırken) keyfi olarak büyütülemez.

Harmonik ortalama aynı zamanda içbükeydir ve bu, Schur-içbükeylikten bile daha güçlü bir özelliktir. Negatif değerler kullanılırsa ortalama içbükey olamayacağından, yalnızca pozitif sayıları kullanmaya özen gösterilmelidir.

Diğer yollarla ilişki

Geometrik kelime olmadan kanıtı olduğunu max  ( a , b ) > kök ortalama kare ( RMS ) veya kuadratik ortalama ( QM ) > aritmetik ortalama ( AM ) > geometrik ortalaması ( GM ) > harmonik ortalama ( HM ) > dk  ( a , b ) arasında iki pozitif sayı a ve b

Harmonik ortalama, üç Pisagor ortalamasından biridir . En az bir eşit olmayan değer çifti içeren tüm pozitif veri kümeleri için , harmonik ortalama her zaman üç ortalamanın en küçüğüdür , aritmetik ortalama her zaman üçün en büyüğüdür ve geometrik ortalama her zaman arasındadır. (Boş olmayan bir veri kümesindeki tüm değerler eşitse, üç ortalama her zaman birbirine eşittir; örneğin, {2, 2, 2}'nin harmonik, geometrik ve aritmetik ortalamalarının tümü 2'dir.)

Bu özel bir durumdur M -1 arasında güç ortalama :

Bir sayı listesinin harmonik ortalaması, listenin en küçük öğelerine doğru güçlü bir eğilim gösterdiğinden, (aritmetik ortalamaya kıyasla) büyük aykırı değerlerin etkisini azaltma ve küçük olanların etkisini artırma eğilimindedir.

Aritmetik ortalama, genellikle harmonik ortalamayı gerektiren yerlerde yanlışlıkla kullanılır. Örneğin aşağıdaki hız örneğinde, 40'ın aritmetik ortalaması yanlış ve çok büyük.

Aşağıdaki denklemde görüldüğü gibi harmonik ortalama, diğer Pisagor ortalamaları ile ilgilidir. Bu, paydayı n kez sayıların çarpımının aritmetik ortalaması olarak yorumlayarak, ancak her seferinde j -inci terimi çıkararak görülebilir . Yani birinci terim için birinci hariç tüm n sayıları çarpıyoruz; ikincisi için, ikinci hariç tüm n sayıları çarpıyoruz; ve bunun gibi. Pay hariç n aritmetik ortalama gider, iktidara geometrik ortalaması olan  n . Bu nedenle , n harmonik ortalama inci ilgilidir n geometrik ve aritmetik ortalama inci. Genel formül

Özdeş olmayan bir sayı kümesi, ortalamayı koruyan bir yayılmaya tabi tutulursa - yani, kümenin iki veya daha fazla elemanı, aritmetik ortalama değişmeden bırakılırken birbirinden "yayılır" - o zaman harmonik ortalama her zaman azalır.

İki veya üç sayının harmonik ortalaması

iki sayı

a ve b olmak üzere iki sayının üç Pisagor aracının geometrik yapısı . Harmonik ortalama mor renkte H ile gösterilir . Q , dördüncü bir ortalamayı, ikinci dereceden ortalamayı belirtir . Bir hipotenüs her zaman bir dik üçgenin bir ayağından daha uzun olduğundan , diyagram Q > A > G > H olduğunu gösterir .

Sadece iki sayının özel durumu için ve harmonik ortalama yazılabilir.

veya

Bu özel durumda, harmonik ortalama ilgilidir aritmetik ortalaması ve geometrik ortalama ile

Yana göre aritmetik ve geometrik ortalamaları eşitsizliği , bu gösterir , n = 2 durumunda bu , HG (aslında tüm tutan bir özellik n ). Ayrıca , iki sayının geometrik ortalamasının, aritmetik ve harmonik ortalamalarının geometrik ortalamasına eşit olduğu anlamına gelir.

üç sayı

Üç sayının özel durumu için , ve , harmonik ortalama yazılabilir

Üç pozitif sayı H , G ve A sırasıyla üç pozitif sayının harmonik, geometrik ve aritmetik ortalamalarıdır, ancak ve ancak aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse

ağırlıklı harmonik ortalama

Bir dizi halinde ağırlıkları , ..., veri kümesine ilişkilidir , ..., , ağırlıklı harmonik ortalaması ile tanımlanır

Ağırlıksız harmonik ortalama, tüm ağırlıkların eşit olduğu özel durum olarak kabul edilebilir.

Örnekler

fizikte

Ortalama sürat

Oranları ve oranları içeren birçok durumda , harmonik ortalama doğru ortalamayı sağlar . Örneğin, bir araç belirli bir d mesafesini x hızında (örn. 60 km/sa) gidiyorsa ve aynı mesafeyi y hızında (örn. 20 km/sa) geri getiriyorsa, ortalama hızı x'in harmonik ortalamasıdır. ve y (30 km/sa) – aritmetik ortalama (40 km/sa) değil. Toplam seyahat süresi, tüm mesafeyi bu ortalama hızda kat etmiş gibi aynıdır. Bu şu şekilde kanıtlanabilir:

Tüm yolculuk için ortalama hız = Kat edilen toplam mesafe/Her segment için toplam süre = 2 gün/NS/x + NS/y = 2/1/x+1/y

Araç, belirli bir süre için hareket, ancak zaman bir hızda x ve daha sonra bir hızda zaman aynı miktarda y , daha sonra, ortalama hızı aritmetik ortalaması ve x ve y , yukarıda örnekte 40 km / H. Aynı prensip ikiden fazla segment için geçerlidir: farklı hızlarda bir dizi alt açma verildiğinde, eğer her bir alt açma aynı mesafeyi kapsıyorsa , o zaman ortalama hız tüm alt açma hızlarının harmonik ortalamasıdır; ve eğer her bir alt sefer aynı miktarda zaman alıyorsa , o zaman ortalama hız, tüm alt sefer hızlarının aritmetik ortalamasıdır. (Her ikisi de değilse, ağırlıklı harmonik ortalama veya ağırlıklı aritmetik ortalama gereklidir. Aritmetik ortalama için, yolculuğun her bir bölümünün hızı o bölümün süresiyle ağırlıklandırılırken, harmonik ortalama için karşılık gelen ağırlık mesafedir. Her iki durumda da elde edilen formül, toplam mesafeyi toplam süreye bölmeye indirgenir.)

Bununla birlikte, "mesafeye göre ağırlıklandırma" durumunda harmonik ortalamanın kullanılmasından kaçınılabilir. Sorunu, "yavaşlığın" (kilometre başına saat cinsinden) hızın tersi olduğu yolculuğun "yavaşlığını" bulmak olarak ortaya koyun. Yolculuk yavaşlığı bulunduğunda, "gerçek" ortalama yolculuk hızını bulmak için onu ters çevirin. Her bir açma segmenti i için, yavaşlık s i = 1/hız i . Daha sonra ağırlıklı almak aritmetik ortalaması s arasında I 'in ilgili mesafelerle ağırlıklı (isteğe bağlı olarak, yolculuk uzunluğu bölünmesi ile 1 toplamı böylece normalize ağırlıklar). Bu, gerçek ortalama yavaşlığı verir (kilometre başına süre olarak). Harmonik ortalama bilgisi olmadan yapılabilen bu prosedürün, harmonik ortalama kullanılarak bu problemin çözümünde kullanılacak matematiksel işlemlerin aynısına denk geldiği ortaya çıktı. Böylece harmonik ortalamanın bu durumda neden işe yaradığını gösterir.

Yoğunluk

Benzer şekilde, bir alaşımın yoğunluğunu, bileşen elementlerinin yoğunlukları ve bunların kütle fraksiyonları (veya eşdeğer olarak kütlece yüzdeleri) göz önüne alarak tahmin etmek istersek, o zaman alaşımın tahmin edilen yoğunluğu (atom nedeniyle tipik olarak küçük hacim değişiklikleri hariç) paketleme etkileri), ilk başta beklendiği gibi ağırlıklı aritmetik ortalamadan ziyade kütleye göre ağırlıklandırılmış bireysel yoğunlukların ağırlıklı harmonik ortalamasıdır. Ağırlıklı aritmetik ortalamayı kullanmak için yoğunlukların hacme göre ağırlıklandırılması gerekir. Kütle birimlerini eleman bazında etiketlerken probleme boyutsal analiz uygulamak ve sadece eleman-kütleler gibi iptal olduğundan emin olmak bunu netleştirir.

Elektrik

Biri x direncine (örn. 60 Ω ) ve diğeri y direncine (örn. 40 Ω) sahip iki elektrik direncini paralel olarak bağlarsa, etki aynı dirence sahip iki direnç kullanılmış gibi aynıdır, her ikisi de x ve y'nin harmonik ortalamasına eşittir (48 Ω): her iki durumda da eşdeğer direnç 24 Ω'dur (harmonik ortalamanın yarısı). Aynı prensip , seri bağlı kapasitörler veya paralel indüktörler için de geçerlidir .

Bununla birlikte, dirençler seri olarak bağlanırsa, ortalama direnç x ve y'nin aritmetik ortalamasıdır (toplam direnç x ve y'nin toplamına eşittir). Bu ilke , paralel bağlı kapasitörler veya seri bağlı indüktörler için geçerlidir .

Önceki örnekte olduğu gibi, ikiden fazla direnç, kapasitör veya indüktör bağlandığında, hepsinin paralel olması veya hepsinin seri olması şartıyla aynı ilke geçerlidir.

Bir yarı iletkenin "iletkenlik etkin kütlesi", üç kristalografik yön boyunca etkin kütlelerin harmonik ortalaması olarak da tanımlanır.

Optik

Diğer optik denklemlere gelince , ince lens denklemi 1/F = 1/sen + 1/vf odak uzaklığı , u öznesi ve v nesnesinin mercekten uzaklıklarının harmonik ortalamasının yarısı olacak şekilde yeniden yazılabilir .

Finans alanında

Ağırlıklı harmonik ortalama, fiyat-kazanç oranı (F/K) gibi katların ortalamasını almak için tercih edilen yöntemdir . Bu oranların ağırlıklı bir aritmetik ortalama kullanılarak ortalaması alınırsa, yüksek veri noktalarına düşük veri noktalarından daha fazla ağırlık verilir. Ağırlıklı harmonik ortalama ise her bir veri noktasını doğru şekilde ağırlıklandırır. F/K gibi fiyat dışı normalleştirilmiş oranlara uygulandığında basit ağırlıklı aritmetik ortalama yukarı yönlüdür ve eşitlenmiş kazançlara dayandığından sayısal olarak doğrulanamaz; Tıpkı bir gidiş-dönüş yolculuk için araçların hızlarının ortalaması alınamaması gibi (yukarıya bakın).

Örneğin, biri 150 milyar dolarlık piyasa değeri ve 5 milyar dolarlık (30 F/K) ve diğeri 1 milyar dolarlık piyasa değeri ve 1 milyon dolarlık (1000 F/K) olan iki firma düşünün . İlk hisseye %30, ikinci hisseye %70 yatırım yapılmış iki hisse senedinden oluşan bir endeks düşünün . Bu endeksin F/K oranını hesaplamak istiyoruz.

Ağırlıklı aritmetik ortalamanın kullanılması (yanlış):

Ağırlıklı harmonik ortalamanın kullanılması (doğru):

Bu nedenle, bu endeksin 93.46'lık doğru P/E'si yalnızca ağırlıklı harmonik ortalama kullanılarak bulunabilirken, ağırlıklı aritmetik ortalama bunu önemli ölçüde fazla tahmin edecektir.

geometride

Herhangi birinde, üçgen , yarı çapı incircle harmonik ortalama üçte biri olan yükseklikler .

İle herhangi bir P noktası için küçük ark ait BC circumcircle bir bölgesinin eşkenar üçgen mesafeleri ABC, q ve t , sırasıyla B ve C, ve PA ve BC mesafe olmak kesişmesiyle y noktası P, söz konusu olması y q ve t'nin harmonik ortalamasının yarısıdır .

Bir de dik üçgen ayaklı bir ve b ve yükseklik h den hipotenüs dik açı, s ² yarısı harmonik ortalaması olan bir ² ve b ² .

Let t ve s ( t > s ) iki tarafı olarak bir dik üçgen içinde yazılı kareler hipotenüsü c . O halde s ² , c ² ve t ²'nin harmonik ortalamasının yarısına eşittir .

Bir izin trapez dizisi sahip noktalar A, B, C ve D ve paralel yanlara AB ve CD vardır. E köşegenlerin kesişimi olsun ve FEG AB ve CD'ye paralel olacak şekilde F DA tarafında ve G BC tarafında olsun. O halde FG, AB ve DC'nin harmonik ortalamasıdır. (Bu, benzer üçgenler kullanılarak kanıtlanabilir.)

Çapraz merdivenler. h , A ve B'nin harmonik ortalamasının yarısıdır

Bu yamuk sonucun bir uygulaması, çapraz merdiven probleminde , iki merdivenin bir ara sokakta karşılıklı olarak uzandığı, her birinin ayakları bir yan duvarın tabanında, biri A yüksekliğinde bir duvara , diğeri ise A yüksekliğindeki duvara yaslanmış haldedir. yükseklik B , gösterildiği gibi. Merdivenler , sokak tabanından h yükseklikte kesişir . O halde h , A ve B'nin harmonik ortalamasının yarısıdır . Bu sonuç, duvarlar eğimli ancak yine de paralelse ve "yükseklikler" A , B ve h , duvarlara paralel çizgiler boyunca zeminden mesafeler olarak ölçüldüğünde hala geçerlidir . Bu, bir yamuğun alan formülü ve alan toplama formülü kullanılarak kolayca kanıtlanabilir.

Bir elipste , semi-latus rektum (küçük eksene paralel bir çizgi boyunca bir odaktan elipse olan mesafe), elipsin bir odaktan maksimum ve minimum mesafelerinin harmonik ortalamasıdır.

diğer bilimlerde

Gelen bilgisayar bilimi , özellikle bilgi alma ve makine öğrenimi , harmonik ortalama hassasiyet (öngörülen pozitifliği başına gerçek pozitif) ve geri çağırma (gerçek pozitif reel pozitifliği başına) genellikle algoritmalar ve sistemlerin değerlendirilmesi için bir toplu performans puanı olarak kullanılır: F-mı (ya da F-ölçer). Bu, bilgi almada kullanılır, çünkü yalnızca pozitif sınıf alaka düzeyine sahipken, genel olarak negatiflerin sayısı çoktur ve bilinmemektedir. Bu nedenle, doğru pozitif tahminlerin, tahmin edilen pozitiflerin sayısıyla mı yoksa gerçek pozitiflerin sayısıyla mı ilgili olarak ölçülmesi gerektiğine dair bir değiş tokuştur, bu nedenle, ikisinin aritmetik ortalaması olan varsayılan pozitif sayısına karşı ölçülür. olası paydalar.

İnsanların veya sistemlerin birlikte çalıştığı problemlerde temel cebirden bir sonuç doğar. Örnek olarak, gazla çalışan bir pompa bir havuzu 4 saatte, akülü bir pompa aynı havuzu 6 saatte boşaltabiliyorsa, her iki pompayı da alacaktır.6·4/6 + 4Havuzu birlikte boşaltmak için 2,4 saate eşittir. Bu, 6 ve 4'ün harmonik ortalamasının yarısıdır:2·6·4/6 + 4= 4.8 . Yani, iki tip pompa için uygun ortalama harmonik ortalamadır ve bir çift pompa (iki pompa) ile bu harmonik ortalama sürenin yarısını alırken, iki çift pompa (dört pompa) ile bu harmonik ortalama sürenin yarısını alır. bu harmonik ortalama zamanın çeyreği.

Gelen hidrolojinin , harmonik ortalama benzer şekilde ortalama için kullanılan hidrolik iletkenliği tabakalar paralel akış aritmetik ortalaması kullanır - (örneğin, jeolojik veya toprak) katmanlara dik olan bir akış değerleri. Ortalama almadaki bu belirgin fark, hidrolojinin direncin tersi olan iletkenliği kullanması gerçeğiyle açıklanır.

Gelen sabermetrics , bir oyuncunun Güç hızlı numara onların harmonik ortalaması olan home run ve çalıntı baz toplamları.

Gelen nüfus genetiği etkili nüfus büyüklüğüne, nüfus sayımı büyüklüğünde dalgalanmaların etkilerinin hesaplarken, harmonik ortalama kullanılır. Harmonik ortalama, popülasyon darboğazı gibi olayların , genetik sürüklenme oranını arttırdığı ve popülasyondaki genetik varyasyon miktarını azalttığı gerçeğini hesaba katar . Bu, bir darboğazın ardından çok az bireyin gelecek nesiller için popülasyonda mevcut olan genetik çeşitliliği sınırlayan gen havuzuna katkıda bulunmasının bir sonucudur .

Otomobillerde yakıt ekonomisi düşünüldüğünde yaygın olarak iki ölçü kullanılır – galon başına mil (mpg) ve 100 km başına litre. Bu büyüklüklerin boyutları birbirinin tersi olduğundan (biri hacim başına mesafe, diğeri mesafe başına hacimdir), bir dizi otomobilin yakıt ekonomisinin ortalama değerini alırken bir ölçüm diğerinin harmonik ortalamasını üretecektir – yani, 100 km'de litre olarak ifade edilen yakıt ekonomisinin ortalama değerini galon başına mile dönüştürmek, galon başına mil olarak ifade edilen yakıt ekonomisinin harmonik ortalamasını üretecektir. Bireysel yakıt tüketimlerinden bir araç filosunun ortalama yakıt tüketimini hesaplamak için, filo galon başına mil kullanıyorsa harmonik ortalama, filo 100 km'de litre kullanıyorsa aritmetik ortalama kullanılmalıdır. ABD'de CAFE standartları (federal otomobil yakıt tüketimi standartları) harmonik ortalamayı kullanır.

Gelen kimya ve nükleer fizik farklı türlerin (örneğin, molekül ya da izotoplar) 'den oluşan bir karışımın partikül başına ortalama kütle, kendi kütle oranı ile ağırlıklı tek tek türlerin kitlelerin harmonik ortalama ile belirlenir.

Beta dağıtımı

0 < α < 5 ve 0 < β < 5 için Beta dağılımı için harmonik ortalama
0'dan 2'ye kadar alfa ve betaya karşı Beta dağılımı için (Ortalama - HarmonicMean)
Beta dağılımı için Harmonik Ortalamalar Mor=H(X), Sarı=H(1-X), daha küçük değerler alfa ve beta önde
Beta dağılımı için Harmonik Ortalamalar Mor=H(X), Sarı=H(1-X), daha büyük değerler alfa ve beta önde

Şekil parametreleri α ve β olan bir beta dağılımının harmonik ortalaması :

α < 1 olan harmonik ortalama tanımsızdır çünkü onun tanımlayıcı ifadesi [0, 1] ile sınırlı değildir.

İzin vermek α = β

için olduğunu gösteren α = β 0 harmonik ortalama aralıkları için α = β = 1, 1/2 için α = β → ∞ iken.

Aşağıdakiler, bir parametrenin sonlu (sıfır olmayan) ve diğer parametrenin bu limitlere yaklaştığı limitlerdir:

Geometrik ortalama ile harmonik ortalama, dört parametreli durumda maksimum olabilirlik tahmininde faydalı olabilir.

Bu dağılım için ikinci bir harmonik ortalama ( H 1 - X ) de mevcuttur.

β < 1 olan bu harmonik ortalama tanımsızdır çünkü tanımlayıcı ifadesi [ 0, 1 ] ile sınırlı değildir.

İzin vermek α = β Yukarıdaki ifadede

gösteren bu için α = β 0 harmonik ortalama aralıkları için, a = β = 1, 1/2, için α = β → ∞ iken.

Aşağıdakiler, bir parametresi sonlu (sıfır olmayan) ve diğeri bu limitlere yaklaşan limitlerdir:

Her iki harmonik ortalama asimetrik olmasına rağmen, α = β olduğunda iki ortalama eşittir.

Lognormal dağılım

Harmonik ortalama ( H a) lognormal dağılım olduğu

burada μ aritmetik ortalamadır ve σ 2 dağılımın varyansıdır.

Harmonik ve aritmetik ortalamalar şu şekilde ilişkilidir:

burada Cı- h olan değişkenlik katsayısı .

Geometrik ( G ), aritmetik ve harmonik ortalamalar şu şekilde ilişkilidir:

Pareto dağılımı

Tip 1 Pareto dağılımının harmonik ortalaması ,

burada k ölçek parametresidir ve α şekil parametresidir.

İstatistik

Rastgele bir örnek için harmonik ortalama yukarıdaki gibi hesaplanır. Hem ortalama hem de varyans sonsuz olabilir (1/0 biçiminde en az bir terim içeriyorsa).

Ortalama ve varyansın örnek dağılımları

Numunenin ortalaması m , varyans s 2 ile normal olarak asimptotik olarak dağılmıştır .

Ortalamanın kendisinin varyansı,

burada m , karşılıkların aritmetik ortalamasıdır, x değişkenlerdir, n popülasyon büyüklüğüdür ve E beklenti operatörüdür.

Delta yöntemi

Varyansın sonsuz olmadığını ve merkezi limit teoreminin örneğe uygulandığını varsayarsak delta yöntemi kullanılarak varyans şu şekildedir:

burada H harmonik ortalama olduğu, m, reciprocals aritmetik ortalamasıdır

s 2 , verilerin karşılıklılarının varyansıdır

ve n , örnekteki veri noktalarının sayısıdır.

çakı yöntemi

Ortalama biliniyorsa, varyansı tahmin etmek için bir jackknife yöntemi mümkündür. Bu yöntem, 'delete m' versiyonundan ziyade normal 'delete 1' yöntemidir.

Bu yöntem ilk önce numunenin ortalamasının hesaplanmasını gerektirir ( m )

burada x örnek değerlerdir.

Bir dizi w i daha sonra hesaplanır.

w i'nin ortalaması ( h ) daha sonra alınır:

Ortalamanın varyansı

Ortalama için anlamlılık testi ve güven aralıkları daha sonra t testi ile tahmin edilebilir .

Boyut önyargılı örnekleme

Rastgele bir değişkenin f ( x ) dağılımına sahip olduğunu varsayalım . Ayrıca bir değişkenin seçilme olasılığının değeriyle orantılı olduğunu varsayalım. Bu, uzunluk temelli veya boyuta dayalı örnekleme olarak bilinir.

Popülasyonun ortalaması μ olsun . O zaman, boyut önyargılı popülasyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu f *( x )

Bu uzunluk taraflı dağılımın beklentisi E * ( x )

burada σ 2 varyanstır.

Harmonik ortalamanın beklentisi, uzunluk olmayan önyargılı versiyon E( x ) ile aynıdır.

Uzunluk önyargılı örnekleme sorunu, tekstil üretimi soyağacı analizi ve hayatta kalma analizi dahil olmak üzere birçok alanda ortaya çıkmaktadır.

Akman et al. numunelerde uzunluk temelli sapmanın tespiti için bir test geliştirdiler.

Kaydırılan değişkenler

Eğer X, pozitif bir rastgele değişken ve bir q tüm sonra> 0 £ değerinin > 0

anlar

X ve E( X )'in > 0 olduğunu varsayarsak

Bu, Jensen eşitsizliğinden kaynaklanmaktadır .

Gurland, yalnızca pozitif değerler alan bir dağılım için, herhangi bir n > 0 için

Bazı koşullar altında

burada ~ yaklaşık anlamına gelir.

Örnekleme özellikleri

( x ) değişkenlerinin bir lognormal dağılımdan çizildiğini varsayarsak, H için birkaç olası tahmin edici vardır :

nerede

Bunlardan H 3 muhtemelen 25 veya daha fazla örnekler için en iyi tahmincisi olduğunu.

Önyargı ve varyans tahmin edicileri

Bir birinci derece yaklaşım önyargı ve varyans H 1 olan

burada C v varyasyon katsayısıdır.

Benzer bir şekilde bir önyargı ve varyans bir birinci dereceden yaklaşım H 3 olan

Sayısal deneylerde H 3 , genel olarak daha harmonik ortalama üstün bir tahmin olup , H 1 . H 2 büyük ölçüde benzer tahminler üretir H 1 .

Notlar

Çevre Koruma Ajansı suda maksimum toksin seviyesini ayarlamaya harmonik ortalama kullanılmasını önerir.

Jeofizik rezervuar mühendisliği çalışmalarında harmonik ortalama yaygın olarak kullanılmaktadır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar