Belirsizlik ilkesi - Uncertainty principle

Bir parçacığın konum q ve momentum p değişkenleri için kanonik komütasyon kuralı , 1927. pqqp = h /2 πi . Heisenberg'in belirsizlik ilkesi, 1927.

Olarak kuantum mekaniği , belirsizlik ilkesi (aynı zamanda Heisenberg belirsizlik ilkesi ) olan bir dizi herhangi bir matematiksel eşitsizlikler doğruluğu için temel bir sınır iddia hangi bir fiziksel miktarların belirli çiftleri için değerler tanecik gibi, konum , x , ve momentum , p , başlangıç ​​koşullarından tahmin edilebilir .

Bu tür değişken çiftleri, tamamlayıcı değişkenler veya kanonik olarak eşlenik değişkenler olarak bilinir ; ve, kuantum fiziğinin matematiksel çerçevesi, tek bir değerle ifade edilen aynı anda iyi tanımlanmış eşlenik özellikler kavramını desteklemediğinden, yorumlamaya bağlı olarak, belirsizlik ilkesi, bu tür eşlenik özelliklerin yaklaşık anlamlarını ne ölçüde koruduğunu sınırlar . Belirsizlik ilkesi, tüm başlangıç ​​koşulları belirtilse bile, bir miktarın değerini keyfi bir kesinlikle tahmin etmenin genel olarak mümkün olmadığını ima eder.

İlk olarak 1927'de Alman fizikçi Werner Heisenberg tarafından tanıtılan belirsizlik ilkesi, bir parçacığın konumu ne kadar kesin olarak belirlenirse, momentumunun başlangıç ​​koşullarından o kadar az kesinlikte tahmin edilebileceğini ve bunun tersini ifade eder. σ x konumunun standart sapması ve σ p momentumunun standart sapması ile ilgili biçimsel eşitsizlik, aynı yıl Earle Hesse Kennard ve 1928'de Hermann Weyl tarafından türetildi :

burada ħ olan indirgenmiş Planck sabiti , h / (2 π ).

Tarihsel olarak, belirsizlik ilkesi, belirli sistemlerin ölçümlerinin sistemi etkilemeden, yani sistemdeki bir şeyi değiştirmeden yapılamayacağını belirten gözlemci etkisi olarak adlandırılan fizikte ilgili bir etkiyle karıştırılmıştır . Heisenberg, kuantum belirsizliğinin fiziksel bir "açıklaması" olarak kuantum düzeyinde (aşağıya bakınız) böyle bir gözlemci etkisini kullandı. Bununla birlikte, belirsizlik ilkesinin tüm dalga benzeri sistemlerin özelliklerine içkin olduğu ve kuantum mekaniğinde tüm kuantum nesnelerinin madde dalga doğası nedeniyle ortaya çıktığı o zamandan beri daha açık hale geldi . Bu nedenle, belirsizlik ilkesi aslında kuantum sistemlerinin temel bir özelliğini belirtir ve mevcut teknolojinin gözlemsel başarısı hakkında bir ifade değildir . Ölçmenin yalnızca bir fizikçi-gözlemcinin yer aldığı bir süreç olmadığı, daha çok herhangi bir gözlemciden bağımsız olarak klasik ve kuantum nesneler arasındaki herhangi bir etkileşim anlamına geldiği vurgulanmalıdır .

Belirsizlik ilkesi kuantum mekaniğinde çok temel bir sonuç olduğundan, kuantum mekaniğindeki tipik deneyler rutin olarak onun yönlerini gözlemler. Bununla birlikte, belirli deneyler, ana araştırma programlarının bir parçası olarak belirsizlik ilkesinin belirli bir biçimini kasıtlı olarak test edebilir. Bunlar, örneğin, süperiletken veya kuantum optik sistemlerinde sayı-faz belirsizlik ilişkilerinin testlerini içerir . Çalışmaları için belirsizlik ilkesine bağlı uygulamalar, yerçekimi dalga interferometrelerinde gerekli olduğu gibi son derece düşük gürültülü teknolojiyi içerir .

Tanıtım

Bir dalga paketi oluşturmak için birkaç düzlem dalganın üst üste binmesi. Bu dalga paketi, birçok dalganın eklenmesiyle giderek daha fazla yerelleşir. Fourier dönüşümü, bir dalga paketini kendi düzlem dalgalarına ayıran matematiksel bir işlemdir. Burada gösterilen dalgalar yalnızca açıklama amacıyla gerçektir, oysa kuantum mekaniğinde dalga fonksiyonu genellikle karmaşıktır.

Belirsizlik ilkesi, günlük deneyimin makroskopik ölçeklerinde hemen belirgin değildir. Bu nedenle, daha kolay anlaşılan fiziksel durumlara nasıl uygulanacağını göstermek yararlıdır. Kuantum fiziği için iki alternatif çerçeve, belirsizlik ilkesi için farklı açıklamalar sunar. Dalga mekaniği belirsizlik ilkesinin resim görsel olarak daha kolay olmakla birlikte, daha soyut matris mekaniği genelleştirmesinden daha kolay bir şekilde formüle bu resim.

Karşılık gelen iki dalga fonksiyonunun ifadeleri nedeniyle Matematiksel olarak, dalga mekaniği, konum ve momentum arasındaki farkların belirsizliği ilişkisi ortaya ortonormal bazlar içinde Hilbert alanı olan Fourier dönüşümleri birbirinden (yani, konum ve momentum vardır konjugat değişkenler ). Sıfır olmayan bir fonksiyon ve onun Fourier dönüşümü aynı anda kesin olarak lokalize edilemez. Fourier eşleniklerinin varyansları arasında benzer bir değiş tokuş, Fourier analizinin altında yatan tüm sistemlerde, örneğin ses dalgalarında ortaya çıkar: Saf bir ton, tek bir frekansta keskin bir yükselmedir , Fourier dönüşümü ise zaman içindeki ses dalgasının şeklini verir. tamamen delokalize sinüs dalgası olan etki alanı. Kuantum mekaniği olarak, iki önemli nokta parçacığın pozisyonlar biçimini alır olan madde dalga , ve momentum ile güvence altına Fourier bağı, de Broglie ilişki p = HK , k bir dalga sayısı .

Olarak matris mekaniği , kuantum mekaniği matematiksel formülasyonu , olmayan herhangi bir çift işe gidiş-geliş özeslenik operatörleri temsil gözlenebilirleri içindeki belirsizliği sınırları tabidir. Bir gözlenebilirin öz durumu, belirli bir ölçüm değeri (özdeğer) için dalga fonksiyonunun durumunu temsil eder. Örneğin, gözlemlenebilir bir A'nın ölçümü yapılırsa , sistem o gözlemlenebilirin belirli bir Ψ öz durumundadır . Bununla birlikte, gözlenebilir A'nın belirli özdurumu, başka bir gözlemlenebilir B'nin özdurumu olmak zorunda değildir : Eğer öyleyse, sistem o gözlenebilirin öz durumunda olmadığı için, bunun için benzersiz bir ilişkili ölçümü yoktur.

Dalga mekaniği yorumu

(Ref )

1d'de de Broglie dalgalarının yayılımı — karmaşık genliğin gerçek kısmı mavi, sanal kısmı yeşildir. Belirli bir x noktasında parçacığı bulma olasılığı (renk opaklığı olarak gösterilir ), bir dalga biçimi gibi yayılır, parçacığın kesin bir konumu yoktur. Genlik sıfırın üzerine çıktıkça eğrilik işareti tersine döner, bu nedenle genlik tekrar azalmaya başlar ve bunun tersi de geçerlidir - sonuç değişken bir genliktir: bir dalga.

De Broglie hipotezine göre evrendeki her nesne bir dalgadır , yani bu olguyu meydana getiren bir durumdur. Parçacığın konumu bir dalga fonksiyonu ile tanımlanır . Dalga sayısı k 0 veya momentum p 0 olan tek modlu bir düzlem dalganın zamandan bağımsız dalga fonksiyonu ,

Born kural bu şekilde yorumlanması gerektiği durumlar olasılık yoğunluk genliği fonksiyonu arasındaki parçacığı bulma olasılığı anlamında bir ve b ise

Tek moded düzlem dalgası halinde, a, düzgün dağılım . Başka bir deyişle, parçacık konumu, dalga paketi boyunca esasen herhangi bir yerde olabileceği anlamında son derece belirsizdir.

Öte yandan, birçok dalganın toplamı olan bir dalga fonksiyonu düşünelim ve şu şekilde yazabiliriz:

Burada A n , p n modunun genel toplama göreli katkısını temsil eder . Sağdaki şekiller, birçok düzlem dalganın eklenmesiyle dalga paketinin nasıl daha yerel hale gelebileceğini göstermektedir. Bunu, dalga fonksiyonunun tüm olası modlar üzerinde bir integral olduğu süreklilik sınırına bir adım daha ileri götürebiliriz.
ile bu modların genliğini temsil eden dalga fonksiyonu olarak adlandırılır ivme alanı . Matematiksel olarak, söz konusu demek olan Fourier dönüşümü arasında ve x ve p olan eşlenik değişkenler . Tüm bu düzlem dalgaları bir araya getirmenin bir bedeli vardır, yani momentum, birçok farklı momentuma sahip dalgaların bir karışımı haline gelerek daha az hassas hale gelmiştir.

Konum ve momentumun kesinliğini ölçmenin bir yolu standart sapma  σ'dır . Yana konum için olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğu için, standart sapma hesaplayın.

Konumun kesinliği artırılır, yani birçok düzlem dalga kullanılarak azaltılmış

σ x , böylece momentumun kesinliği zayıflatılır, yani artan σ p . Bunu belirtmenin bir başka yolu, σ x ve σ p'nin ters bir ilişkiye sahip olması veya en azından aşağıdan sınırlandırılmasıdır. Bu, kesin sınırı Kennard sınırı olan belirsizlik ilkesidir. Dalga mekaniği kullanılarak Kennard eşitsizliğinin yarı biçimsel bir türevini görmek için aşağıdaki göster düğmesine tıklayın .
Dalga mekaniği kullanılarak Kennard eşitsizliğinin kanıtı  —

olarak tanımlanan konum ve momentum varyanslarıyla ilgileniyoruz.

Genelliği kaybetmeden , ortalamaların ortadan kalktığını varsayacağız , bu da sadece koordinatlarımızın başlangıç ​​noktasının kayması anlamına gelir . (Bu varsayımı yapmayan daha genel bir kanıt aşağıda verilmiştir.) Bu bize daha basit biçimi verir.

Fonksiyon bir şekilde yorumlanabilir vektör bir de işlev alanı . Bu vektör uzayında bir çift u ( x ) ve v ( x ) fonksiyonu için bir iç çarpım tanımlayabiliriz :

burada yıldız işareti karmaşık eşleniği belirtir .

Tanımlanan bu iç çarpımla, konum varyansının şu şekilde yazılabileceğini not ediyoruz:

Fonksiyonu bir vektör olarak yorumlayarak bunu momentum için tekrarlayabiliriz , ancak ve ve birbirlerinin Fourier dönüşümleri olduğu gerçeğinden de yararlanabiliriz . Ters Fourier dönüşümünü parçalara göre entegrasyon yoluyla değerlendiriyoruz :

burada dalga fonksiyonu sonsuzda yok olduğu için iptal edilen terim yok olur. Bu terime genellikle konum uzayında momentum operatörü denir. Parseval teoremini uygulayarak momentum varyansının şu şekilde yazılabileceğini görüyoruz.

Cauchy-Schwartz eşitsizliği olduğunu iddia

Herhangi bir karmaşık sayı z'nin modül karesi şu şekilde ifade edilebilir:

biz izin ve ve almak için yukarıdaki denklemin içine bu yerine

Geriye bu iç ürünleri değerlendirmek kalıyor.

Bunu yukarıdaki eşitsizliklere eklersek,

veya karekökünü alarak

Not sadece o fizik bu kanıtı dahil oldu ve birbirinden Fourier dönüşümleri olan konum ve momentum için dalga fonksiyonları vardır. Benzer bir sonuç,

herhangi bir eşlenik değişken çifti için geçerli olacaktır .

Matris mekaniği yorumu

(Ref )

Matris mekaniğinde, konum ve momentum gibi gözlenebilirler, kendine eş operatörler tarafından temsil edilir . Gözlenebilir çiftleri dikkate alırken, önemli bir nicelik komütatördür . Bir çift operatör  ve B̂ için , komütatörleri şu şekilde tanımlanır:

Konum ve momentum durumunda, komütatör kanonik komütasyon bağıntısıdır.

Değişmezliğin fiziksel anlamı, komütatörün konum ve momentum özdurumları üzerindeki etkisi dikkate alınarak anlaşılabilir . Sabit özdeğeri x 0 olan konumun sağ özdurumu olsun . Tanım olarak, bu , komütatörün verimlere uygulanması anlamına gelir.

burada Î , kimlik operatörüdür .

Çelişkiyle ispat için , bunun aynı zamanda sabit özdeğeri p 0 olan bir momentumun sağ özdurumu olduğunu varsayalım . Eğer bu doğruysa, o zaman biri yazabilirdi.

Öte yandan, yukarıdaki kanonik komütasyon bağıntısı şunu gerektirir:
Bu, hiçbir kuantum durumunun aynı anda hem konum hem de momentum özdurumu olamayacağı anlamına gelir.

Bir durum ölçüldüğünde, ilgili gözlemlenebilir temelinde bir özdurum üzerine yansıtılır. Örneğin, bir parçacığın konumu ölçülürse, durum bir konum özdurumuna karşılık gelir. Bu, durumun bir momentum özdurumu olmadığı , ancak bunun yerine çoklu momentum temelli özdurumların toplamı olarak temsil edilebileceği anlamına gelir . Başka bir deyişle, momentum daha az kesin olmalıdır. Bu kesinlik standart sapmalarla ölçülebilir ,

Yukarıdaki dalga mekaniği yorumunda olduğu gibi, belirsizlik ilkesiyle nicelenen, ikisinin ilgili kesinlikleri arasında bir ödünleşim görülür.

Heisenberg sınırı

Olarak kuantum metroloji ve özellikle interferometre , Heisenberg sınırı , bir ölçümün doğruluğu ölçümünde kullanılan enerji ile ölçeklendirilebilir hangi uygun oranıdır. Tipik olarak, bu bir fazın ölçümüdür (bir ışın ayırıcının bir koluna uygulanır ) ve enerji, bir interferometrede kullanılan fotonların sayısı ile verilir . Bazıları Heisenberg sınırını aştığını iddia etse de, bu, ölçekleme kaynağının tanımındaki anlaşmazlığı yansıtıyor. Uygun bir şekilde tanımlanmış olan Heisenberg limiti, kuantum mekaniğinin temel ilkelerinin bir sonucudur ve zayıf Heisenberg limiti yenilebilse de, yenilemez.

Robertson-Schrödinger belirsizlik ilişkileri

Belirsizlik ilkesinin en yaygın genel biçimi Robertson belirsizlik ilişkisidir .

Keyfi bir Hermit operatörü için standart sapmayı ilişkilendirebiliriz.

burada parantezler bir beklenti değerini gösterir . Operatörleri bir çifti için ve , onların tanımlayabilir komütatör olarak

Bu gösterimde, Robertson belirsizlik ilişkisi şu şekilde verilmektedir:

Robertson belirsizlik ilişkisi , biraz daha güçlü bir eşitsizliğin hemen ardından gelir , Schrödinger belirsizlik ilişkisi ,

antikomütatörü tanıttığımız yerde ,

Schrödinger belirsizlik ilişkisinin kanıtı  —

Burada gösterilen türetme, Robertson, Schrödinger ve Griffiths gibi standart ders kitaplarında gösterilenleri birleştirir ve geliştirir. Herhangi hermit operatörleri için tanımına dayanarak varyans , elimizdeki

izin verdik ve böylece

Benzer şekilde, aynı durumdaki diğer Hermitian operatör için

için

İki sapmanın ürünü böylece şu şekilde ifade edilebilir:

 

 

 

 

( 1 )

İki vektörü ilişkilendirmek için ve olarak tanımlanan Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanırız.

ve böylece Denklem ( 1 ) şu şekilde yazılabilir:

 

 

 

 

( 2 )

Bu yana , genel olarak karmaşık sayı olduğu için, herhangi bir karmaşık sayının kare modülü gerçeğini kullanımı olarak tanımlanır burada, kompleks eşleniği olan . Modülün karesi şu şekilde de ifade edilebilir:

 

 

 

 

( 3 )

biz izin ve ve almak için yukarıdaki denklemin içine bu yerine

 

 

 

 

( 4 )

İç çarpım açıkça şu şekilde yazılır:

ve gerçeği kullanarak ve Hermitsel operatörleri, biz bulmak

Benzer şekilde gösterilebilir ki

Böylece biz var

ve

Şimdi yukarıdaki iki denklemi tekrar Denklem'de yerine koyuyoruz. ( 4 ) ve al

Yukarıdakileri Denklem ( 2 ) ile değiştirerek Schrödinger belirsizlik bağıntısını elde ederiz.

Bu kanıtın ilgili operatörlerin etki alanlarıyla ilgili bir sorunu vardır. Kanıtın anlamlı olması için vektörün sınırsız operatörün etki alanında olması gerekir ki bu her zaman böyle değildir. Aslında, eğer bir açı değişkeniyse ve bu değişkene göre türev ise Robertson belirsizlik ilişkisi yanlıştır . Bu örnekte, komütatör sıfırdan farklı bir sabittir -tıpkı Heisenberg belirsizlik bağıntısında olduğu gibi- ve yine de belirsizliklerin çarpımının sıfır olduğu durumlar vardır. (Aşağıdaki karşı örnek bölümüne bakın.) Bu sorun , ispat için değişken bir yöntem kullanılarak veya kurallı komütasyon ilişkilerinin üslü bir versiyonuyla çalışılarak aşılabilir .

Not Robertson-Schrödinger belirsizlik ilişkisi genel formda, operatörler varsaymak gerek olmadığını ve olan özeslenik operatörler . Bunların yalnızca simetrik operatörler olduklarını varsaymak yeterlidir . (Bu iki kavram arasındaki ayrım, Hermitian teriminin operatör sınıflarından biri veya her ikisi için kullanıldığı fizik literatüründe genellikle üstü örtülür .

karışık durumlar

Robertson-Schrödinger belirsizlik ilişkisi, karışık durumları tanımlamak için basit bir şekilde genelleştirilebilir .

Maccone-Pati belirsizlik ilişkileri

Robertson-Schrödinger belirsizlik ilişkisi, sistemin durumu gözlemlenebilirlerden birinin öz durumu olarak seçilirse önemsiz olabilir. Maccone ve Pati tarafından kanıtlanan daha güçlü belirsizlik ilişkileri, uyumsuz iki gözlemlenebilir için varyansların toplamı üzerinde önemsiz olmayan sınırlar verir. (Varyansların toplamı olarak formüle edilen belirsizlik ilişkileri üzerine daha önceki çalışmalar, örneğin, Huang'a bağlı Ref.'yi içerir.) Değişmeyen iki gözlemlenebilir için ve ilk daha güçlü belirsizlik ilişkisi şu şekilde verilir:

burada , , sistemin durumuna dik olan normalleştirilmiş bir vektördür ve bu gerçek niceliği pozitif bir sayı yapmak için işaretinin seçilmesi gerekir .

İkinci daha güçlü belirsizlik ilişkisi şu şekilde verilir:

bir durum ortogonal nerede . Formu yeni belirsizlik ilişkisi sağ taraftaki sürece sıfırdan farklı olduğu anlamına gelir bir özdurumu . Herhangi birinin veya öğesinin özdurumu olmadan özdurumu olabileceği not edilebilir . Bununla birlikte, iki gözlenebilirden birinin özdurumu olduğunda , Heisenberg-Schrödinger belirsizlik ilişkisi önemsiz hale gelir. Ancak yeni bağıntıdaki alt sınır , her ikisinin de özdurumu olmadıkça sıfır değildir .

Faz boşluğu

Olarak faz alanı formülasyon kuantum mekaniği, Robertson-Schrödinger ilişki, gerçek bir yıldız kare fonksiyonu üzerinde bir pozitif durumda izler.

Yıldız çarpımı ★ ile bir Wigner işlevi ve f işlevi verildiğinde, aşağıdakiler genellikle doğrudur:

Seçerek varıyoruz

Bu pozitiflik koşulu tüm a , b ve c için doğru olduğundan, matrisin tüm özdeğerlerinin negatif olmadığı sonucu çıkar.

Negatif olmayan özdeğerler daha sonra determinant üzerinde karşılık gelen negatif olmayan bir koşul anlamına gelir ,

veya açıkça, cebirsel manipülasyondan sonra,

Örnekler

Robertson ve Schrödinger bağıntıları genel operatörler için olduğundan, belirli belirsizlik ilişkileri elde etmek için ilişkiler herhangi iki gözlenebilire uygulanabilir. Literatürde bulunan en yaygın ilişkilerden birkaçı aşağıda verilmiştir.

  • Konum ve doğrusal momentum için, kurallı komütasyon ilişkisi yukarıdan Kennard eşitsizliğini ifade eder:
  • Bir nesnenin toplam açısal momentum operatörünün iki ortogonal bileşeni için :
    burada i , j , k farklıdır ve J i x i ekseni boyunca açısal momentumu gösterir . Bu ilişki, üç bileşenin tümü birlikte yok olmadıkça, bir sistemin açısal momentumunun yalnızca tek bir bileşeninin keyfi bir kesinlikle tanımlanabileceği anlamına gelir, normalde bileşen bir harici (manyetik veya elektrik) alana paraleldir. Ayrıca, bir seçim için , , açısal momentum katlarında,
ψ = | j , m ⟩, Casimir değişmezini (açısal momentum karesi, ) aşağıdan sınırlar ve böylece j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) ve dolayısıyla jm gibi yararlı kısıtlamalar verir .
  • Göreceli olmayan mekanikte, zaman bağımsız bir değişken olarak ayrıcalıklıdır . Bununla birlikte, 1945'te LI Mandelshtam ve IE Tamm, göreli olmayan bir zaman-enerji belirsizliği ilişkisini aşağıdaki gibi türetmiştir . Durağan olmayan ψ durumundaki bir kuantum sistemi ve kendine eşlenik operatör tarafından temsil edilen gözlemlenebilir bir B için aşağıdaki formül geçerlidir:
    burada σ e durum enerji operatör (Hamilton) standart sapma ψ , σ B standart sapma anlamına gelir B . Sol taraftaki ikinci faktör zaman boyutuna sahip olmasına rağmen, Schrödinger denklemine giren zaman parametresinden farklıdır . Bu bir kullanım süresi durumu arasında ψ gözlemlenebilir göre B : Diğer bir deyişle, bu zaman aralığıt beklenti değeri), bundan sonra ölçüde değişir.
    İlkenin resmi olmayan, sezgisel bir anlamı şudur: Sadece kısa bir süre için var olan bir durum kesin bir enerjiye sahip olamaz. Kesin bir enerjiye sahip olmak için, durumun frekansı doğru bir şekilde tanımlanmalıdır ve bu, durumun, gerekli doğruluğun karşılığı olarak, birçok döngü için etrafta dolaşmasını gerektirir. Örneğin, spektroskopide , uyarılmış durumların sonlu bir ömrü vardır. Zaman-enerji belirsizliği ilkesine göre, belirli bir enerjileri yoktur ve her bozunmalarında saldıkları enerji biraz farklıdır. Giden fotonun ortalama enerjisi, durumun teorik enerjisinde bir tepe noktasına sahiptir, ancak dağılımın doğal çizgi genişliği adı verilen sonlu bir
  • genişliği vardır . Hızlı azalan eyaletler geniş bir çizgi genişliğine sahipken, yavaş azalan eyaletler dar bir çizgi genişliğine sahiptir.
    Aynı çizgi genişliği etkisi ,
    parçacık fiziğinde kararsız, hızlı bozunan parçacıkların kalan kütlesini belirlemeyi de zorlaştırır . Parçacık ne kadar hızlı bozunursa (ömrü ne kadar kısaysa), kütlesi o kadar az kesindir (parçacığın genişliği o kadar büyüktür ).
  • Bir elektron sayısı için süper iletken ve faz kendi arasında Ginzburg-Landau düzen parametresi
  • bir karşı örnek

    Bir halka üzerinde , dalga fonksiyonunun aralıkta yer aldığını kabul edebileceğimiz açısal bir değişkene bağlı olduğu bir kuantum

    parçacığı ele aldığımızı varsayalım . "Pozisyonunu" ve "Momentum" operatörleri tanımlayın ve tarafından
    ve
    burada periyodik sınır koşulları uygularız . Tanımı olması bizim seçim bağlıdır 0'dan aralığı . Bu operatörler, konum ve momentum operatörleri için olağan komütasyon ilişkilerini sağlar, .

    Şimdi , tarafından verilen özdurumlarından herhangi biri olsun . Bu durumlar, hattaki momentum operatörünün öz durumlarından farklı olarak normalleştirilebilir. Aralıklar sınırlı bir aralığın üzerinde olduğu için operatör de sınırlıdır . Böylece, durumunda , belirsizliği sıfırdır ve belirsizliği sonludur, böylece

    Bu sonuç Robertson belirsizlik ilkesini ihlal ediyor gibi görünse de , çarpım tarafından uygulanan periyodik sınır koşullarını bozduğu için operatörün etki alanında olmadığını not ettiğimizde paradoks çözülür . Bu nedenle, tanımlanması gereken ve tanımlanması gereken Robertson bağıntısının türetilmesi geçerli değildir. (Bunlar ayrıca kanonik komütasyon ilişkilerini sağlayan ancak
    Weyl ilişkilerini sağlamayan operatörlerin bir örneğini sağlar .)

    Olağan konum ve momentum operatörleri için ve gerçek çizgide, böyle bir karşı örnek oluşamaz. Durumda ve tanımlandığı sürece , Heisenberg belirsizlik ilkesi , veya alanında olmasa bile geçerlidir .

    Örnekler

    (Referanslar)

    Kuantum harmonik osilatör sabit durumları

    Tek boyutlu bir kuantum harmonik osilatör düşünün. Konum ve momentum operatörlerini yaratma ve yok etme operatörleri cinsinden ifade etmek mümkündür :

    Enerji özdurumları üzerinde yaratma ve yok etme operatörleri için standart kuralları kullanarak,

    varyanslar doğrudan hesaplanabilir
    Bu standart sapmaların ürünü daha sonra

    Özellikle, yukarıdaki Kennard sınırı, olasılık yoğunluğunun sadece

    normal dağılım olduğu temel durum n = 0 için doymuştur .

    Gauss başlangıç ​​koşuluna sahip kuantum harmonik osilatörler

    Başlangıç ​​Gauss dağılımı için konum (mavi) ve momentum (kırmızı) olasılık yoğunlukları. Yukarıdan aşağıya, animasyonlar Ω=ω, Ω=2ω ve Ω=ω/2 durumlarını gösterir. Dağılımların genişlikleri arasındaki ödünleşime dikkat edin.

    Karakteristik açısal frekansı ω olan bir kuantum harmonik osilatörde, potansiyelin altından bir miktar yer değiştirme x 0 ile dengelenmiş bir durumu şu şekilde yerleştirin:

    burada Ω, başlangıç ​​durumunun genişliğini tanımlar ancak ω ile aynı olması gerekmez. Yayıcı üzerinden entegrasyon sayesinde , tam zamana bağlı çözümü çözebiliriz. Birçok iptalden sonra, olasılık yoğunlukları azalır
    burada notasyonu ortalama μ ve varyansın σ
    2 normal dağılımını belirtmek için kullandık . Yukarıdaki varyansları kopyalayıp trigonometrik özdeşlikleri uygulayarak standart sapmaların çarpımını şu şekilde yazabiliriz.

    ilişkilerden

    Şu sonuca varabiliriz: (en sağdaki eşitlik yalnızca Ω = ω olduğunda geçerlidir  ).

    tutarlı durumlar

    Tutarlı bir durum, yok etme operatörünün bir sağ özdurumudur ,

    olarak Fock durumları cinsinden temsil edilebilir

    Tutarlı durumun bir kuantum harmonik osilatörde büyük bir parçacık olduğu resimde, konum ve momentum operatörleri, yukarıdaki aynı formüllerde yok etme operatörleri cinsinden ifade edilebilir ve varyansları hesaplamak için kullanılabilir,

    Bu nedenle, her tutarlı durum Kennard sınırını doyurur.
    konum ve momentum ile her biri "dengeli" bir şekilde bir miktar katkıda bulunur . Ayrıca, konum ve momentumun bireysel katkılarının genel olarak dengelenmesi gerekmese de , her
    sıkıştırılmış tutarlı durum Kennard sınırını da doyurur.

    Bir kutudaki parçacık

    Tek boyutlu bir uzunluk kutusundaki bir parçacığı düşünün .

    Konum ve momentum uzayında özfonksiyonlar vardır
    ve
    nerede ve
    de Broglie bağıntısını kullandık . Arasında sapmalar ve açıkça hesaplanabilir:

    Standart sapmaların ürünü bu nedenle

    Hepsi için , miktar 1'den büyüktür, bu nedenle belirsizlik ilkesi asla ihlal edilmez. Sayısal somutluk için en küçük değer , bu durumda ortaya çıkar.

    Sabit momentum

    Boş uzayda minimum belirsiz, sabit momentumda hareket eden bir başlangıçta Gauss durumunun konum uzayı olasılık yoğunluğu

    Bir parçacığın başlangıçta bir sabit momentum

    p 0 etrafında normal bir dağılımla tanımlanan bir momentum uzay dalga fonksiyonuna sahip olduğunu varsayalım .
    burada bir referans ölçek dahil olması ile, dağıtım-cf genişliğini tanımlayan.
    boyutsuzlaştırma . Durumun boş uzayda gelişmesine izin verilirse, zamana bağlı momentum ve konum uzayı dalga fonksiyonları şu şekildedir:

    ve 'den beri , bu, sabit bir momentum ile keyfi olarak yüksek hassasiyette hareket eden bir parçacık olarak yorumlanabilir. Öte yandan, konumun standart sapması

    öyle ki belirsizlik ürünü ancak zamanla artabilir

    Ek belirsizlik ilişkileri

    Sistematik ve istatistiksel hatalar

    Yukarıdaki eşitsizlikler , standart sapma ile ölçüldüğü gibi, gözlemlenebilirlerin istatistiksel belirsizliğine odaklanır . Ancak Heisenberg'in orijinal versiyonu,

    sistematik hata , ölçüm cihazı tarafından üretilen kuantum sisteminin bir bozukluğu, yani bir gözlemci etkisi ile ilgileniyordu .

    İzin ver Eğer hata (yani temsil

    yanlışlık gözlenebilir bir ölçüm) A ve konjugat değişken bir sonraki ölçüm üretilen rahatsızlık B eski ölçümü ile A , daha sonra eşitsizlik Ozawa önerdiği - her ikisi de sistematik ve istatistiksel kapsayan hatalar — tutar:

    Heisenberg'in belirsizlik ilkesi, başlangıçta 1927 formülasyonunda tanımlandığı gibi, sistematik hatayla ilgili olarak Ozawa eşitsizliğinin yalnızca ilk teriminden bahseder .

    Sıralı ölçümlerin (önce A , sonra B ) hata/bozulma etkisini açıklamak için yukarıdaki notasyonu kullanarak, şu şekilde yazılabilir:

    Heisenberg ilişkisinin biçimsel türevi mümkündür, ancak sezgisel olmaktan uzaktır. O edildi değil sadece son yıllarda Heisenberg tarafından önerilen, ancak matematiksel olarak tutarlı bir şekilde formüle. Ayrıca, Heisenberg formülasyonunun içsel istatistiksel hataları ve . Toplam kuantum belirsizliğinin yalnızca Heisenberg terimiyle tanımlanamayacağına dair artan deneysel kanıtlar vardır, ancak Ozawa eşitsizliğinin üç teriminin de varlığını gerektirir.

    Aynı formalizmi kullanarak, genellikle bir öncekiyle karıştırılan başka tür bir fiziksel durumu, yani eşzamanlı ölçümler durumunu ( A ve B aynı anda) tanıtmak da mümkündür :

    A ve B üzerindeki iki eş zamanlı ölçüm mutlaka keskin değildir veya zayıftır .

    Ozawa'nınki gibi hem istatistiksel hem de sistematik hata bileşenlerini birleştiren, ancak Heisenberg orijinal eşitsizliğine çok yakın bir form tutan bir belirsizlik ilişkisi türetmek de mümkündür. Robertson ekleyerek

    ve elde ettiğimiz Ozawa ilişkileri

    Dört terim şu şekilde yazılabilir:
    tanımlama:
    olarak yanlışlık değişken ölçüm değerlerinde A ve
    olarak ortaya çıkan dalgalanmanın konjugat değişken olarak B , Fujikawa hem Heisenberg'in orijinal benzer, ancak geçerli bir belirsizlik ilişki kurulmuş sistematik ve istatistiksel hatalarını :

    Kuantum entropik belirsizlik ilkesi

    Birçok dağılım için standart sapma, yapıyı nicelleştirmenin özellikle doğal bir yolu değildir. Örneğin, gözlemlenebilirlerden birinin bir açı olduğu belirsizlik ilişkilerinin, bir periyottan daha büyük dalgalanmalar için çok az fiziksel anlamı vardır. Diğer örnekler, yüksek oranda iki modlu dağılımları veya farklı varyansa sahip tek modlu dağılımları içerir .

    Bu sorunların üstesinden gelen bir çözüm , varyansların ürünü yerine entropik belirsizliğe dayalı bir belirsizliktir . 1957'de kuantum mekaniğinin çok-dünyalı yorumunu formüle ederken , Hugh Everett III , entropik kesinliğe dayanan belirsizlik ilkesinin daha güçlü bir uzantısını tahmin etti. Bu saptama, aynı zamanda Hirschman tarafından incelenmiştir ve Beckner ile ve Iwo Bialynicki-Birula Jerzy Mycielski tarafından 1975 yılında kanıtlanmış iki normalize için bu, boyutsuzdur Fourier dönüşümü çiftleri f  ( a ) ve g ( b ) burada

        ve    

    Shannon bilgi entropileri

    ve
    aşağıdaki kısıtlamaya tabidir,

    logaritmalar herhangi bir tabanda olabilir.

    Konum dalga fonksiyonu ψ ( x ) ve momentum dalga fonksiyonu φ ( x ) ile ilişkili olasılık dağılım fonksiyonları sırasıyla ters uzunluk ve momentum boyutlarına sahiptir, ancak entropiler şu şekilde boyutsuz hale getirilebilir:

    burada x 0 ve p 0 , logaritmaların argümanlarını boyutsuz kılan, sırasıyla keyfi olarak seçilen uzunluk ve momentumdur. Entropilerin bu seçilen parametrelerin fonksiyonları olacağına dikkat edin. Konum dalga fonksiyonu
    ψ ( x ) ile momentum dalga fonksiyonu φ ( p ) arasındaki Fourier dönüşüm ilişkisi nedeniyle , yukarıdaki kısıtlama karşılık gelen entropiler için şu şekilde yazılabilir:

    nerede h olan Planck sabiti .

    x 0 p 0 çarpımının seçimine bağlı olarak , ifade birçok şekilde yazılabilir. Eğer x 0 p 0 olacak şekilde seçilir saat sonra,

    Bunun yerine, x 0 p 0 ħ olarak seçilirse , o zaman

    Eğer x 0 ve p 0 birim ne olursa olsun sisteme birlik olacak şekilde seçilir, sonra kullanılmaktadır

    burada h , seçilen birim sisteminde Planck sabitinin değerine eşit boyutsuz bir sayı olarak yorumlanır. Bu eşitsizliklerin çok modlu kuantum durumlarına veya birden fazla uzaysal boyuttaki dalga fonksiyonlarına genişletilebileceğini unutmayın.

    Kuantum entropik belirsizlik ilkesi, Heisenberg belirsizlik ilkesinden daha kısıtlayıcıdır. Ters logaritmik Sobolev eşitsizliklerinden

    (eşdeğer olarak, normal dağılımların belirli bir varyansla tüm bu türlerin entropisini maksimize etmesi gerçeğinden yola çıkarak), bu entropik belirsizlik ilkesinin standart sapmalara dayalı olandan daha güçlü olduğu kolayca çıkar , çünkü

    Başka bir deyişle, Heisenberg belirsizlik ilkesi, kuantum entropik belirsizlik ilkesinin bir sonucudur, ancak bunun tersi geçerli değildir. Bu eşitsizlikler üzerine birkaç not. İlk olarak, e tabanının seçimi fizikte popüler bir gelenek meselesidir. Logaritma, alternatif olarak, eşitsizliğin her iki tarafında da tutarlı olması şartıyla herhangi bir tabanda olabilir. İkincisi, kuantum

    von Neumann entropisi değil , Shannon entropisinin kullanıldığını hatırlayın . Son olarak, normal dağılım eşitsizliği doyurur ve bu özelliğe sahip tek dağılımdır, çünkü sabit varyansa sahip olanlar arasındaki maksimum entropi olasılık dağılımıdır ( kanıt için buraya bakınız ).

    Bir ölçüm cihazı, Born kuralı tarafından verilen kutulardan birinin içinde bulunma olasılığı ile, olası çıktılarının kutulara ayrıklaştırılmasıyla belirlenen sonlu bir çözünürlüğe sahip olacaktır. Kutuların tek tip boyutta olduğu en yaygın deneysel durumu ele alacağız. δx uzaysal çözünürlüğün bir ölçüsü olsun . Sıfırıncı bölmeyi, muhtemelen bazı küçük sabit ofset c ile orijine yakın ortalanacak şekilde alıyoruz . Genişliği, j aralığı içinde uzanan olasılığı Ax isimli

    Bu ayrıklaştırmayı hesaba katmak için, belirli bir ölçüm cihazı için dalga fonksiyonunun Shannon entropisini şu şekilde tanımlayabiliriz:

    Yukarıdaki tanım altında, entropik belirsizlik ilişkisi

    Burada δx δp / h'nin bir bölme fonksiyonunun hesaplanmasında kullanılan tipik bir sonsuz küçük faz uzayı hacmi olduğuna dikkat

    çekiyoruz . Eşitsizlik de katıdır ve doygun değildir. Bu sınırı iyileştirme çabaları aktif bir araştırma alanıdır.

    Pauli matrislerine göre Efimov eşitsizliği

    1976'da Sergei P. Efimov, yüksek dereceli komütatörleri uygulayarak Robertson ilişkisini iyileştiren bir eşitsizlik çıkardı. Yaklaşımı Pauli matrislerine dayanmaktadır . Daha sonra VV Dodonov, Clifford cebirini kullanarak birkaç gözlemlenebilir için ilişkiler türetmek için yöntemi kullandı .

    Jackiw'e göre, Robertson belirsizliği sadece komütatör C-sayısı olduğunda geçerlidir. Efimov yöntemi, örneğin kinetik enerji operatörü ve bir koordinat için, yüksek mertebeden komütatörleri olan değişkenler için etkilidir. İki operatörleri düşünün ve komütatör o :

    Formülleri kısaltmak için operatör sapmalarını kullanırız:

    yeni operatörler sıfır ortalama sapmaya sahip olduğunda. Pauli matrislerini kullanmak için operatörü düşünebiliriz:
    2×2 spin matrislerinin komütatörleri olduğu yerde:
    nerede
    antisimetrik sembol . Spin uzayında bağımsız olarak hareket ederler . Pauli matrisleri Clifford cebirini tanımlar . Operatördeki rasgele sayıları gerçek olarak alıyoruz .

    Operatörün fiziksel karesi şuna eşittir:

    nerede olduğunu

    eşlenik operatörü ve kollektör ve aşağıdaki gibidir:

    Operatör pozitif tanımlı, aşağıda bir eşitsizlik elde etmek için gerekli olan şey. Durum üzerinden ortalama değerini alarak , 2×2 pozitif tanımlı matris elde ederiz:

    kavramı nerede kullanılır:

    ve operatörler için benzer bir tane . Denklemde katsayıların keyfi olduğuna ilişkin olarak, 6×6

    pozitif tanımlı matrisi elde ederiz . Sylvester'ın kriteri , önde gelen küçüklerin negatif olmadığını söylüyor. Robertson belirsizliği dördüncü dereceden minörden gelir . Sonucu güçlendirmek için altıncı dereceden determinantı hesaplıyoruz:

    Eşitlik, yalnızca durum operatör için ve aynı şekilde spin değişkenleri için bir özdurum olduğunda gözlemlenir :

    Bulunan bağıntıyı kinetik enerji operatörüne ve koordinat operatörüne uygulayabiliriz :

    Özellikle, osilatörün temel durumu için formüldeki eşitlik gözlenirken, Robertson belirsizliğinin sağdaki öğesi ortadan kalkar:

    İlişkinin fiziksel anlamı, aşağıdakileri veren kare sıfırdan farklı ortalama dürtüye bölünürse daha açıktır:

    burada bir parçacığın ortalama yörüngeye yakın hareket ettiği etkin zamanın karesidir (parçacığın kütlesi 1'e eşittir).

    Yöntem, açısal momentumun değişmeyen üç operatörü için uygulanabilir . Operatörü derliyoruz:

    Operatörlerin yardımcı olduğunu ve parçacığın spin değişkenleri arasında bir ilişki olmadığını hatırlıyoruz . Bu şekilde, onların değişmeli özellikleri sadece önemlidir. Karesi ve ortalaması alınmış operatör , aşağıdaki eşitsizliği elde ettiğimiz pozitif tanımlı matris verir:

    Bir operatör grubu için yöntem geliştirmek için Pauli matrisleri yerine Clifford cebiri kullanılabilir.

    harmonik analiz

    Bir matematik dalı olan harmonik analiz bağlamında , belirsizlik ilkesi, bir fonksiyonun değerini ve onun Fourier dönüşümünü aynı anda yerelleştiremeyeceğini ima eder . Zekâ için, aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir,

    Yukarıdaki entropik belirsizlik dahil olmak üzere diğer matematiksel belirsizlik eşitsizlikleri, bir f fonksiyonu ile onun Fourier dönüşümü ƒ̂ arasında

    tutulur :

    Sinyal işleme

    Sinyal işleme ve özellikle zaman-frekans analizi bağlamında , belirsizlik ilkeleri

    Dennis Gabor'dan sonra Gabor limiti veya bazen Heisenberg-Gabor limiti olarak adlandırılır . Aşağıdaki "Benedicks teoremi"nden çıkan temel sonuç, bir fonksiyonun hem zaman sınırlı hem de bant sınırlı olamayacağıdır (bir fonksiyon ve onun Fourier dönüşümünün her ikisi de sınırlı alana sahip olamaz) - bkz. bant sınırlı ve zaman sınırlı . Böylece
    nerede ve sırasıyla zaman ve frekans tahminlerinin standart sapmalarıdır.

    Alternatif bir şekilde ifade "bir anda hızla bir işaret (fonksiyon tespit edemez f hem de) zaman alanında ve frekans alanında ( ƒ , Fourier dönüşümü)".

    Filtrelere uygulandığında sonuç, aynı anda yüksek zamansal çözünürlük ve frekans çözünürlüğü elde edilemeyeceğini gösterir; Somut bir örnek , kısa süreli Fourier dönüşümünün çözünürlük sorunlarıdır - eğer geniş bir pencere kullanılırsa, zamansal çözünürlük pahasına iyi frekans çözünürlüğü elde edilirken, dar bir pencerede tam tersi bir denge vardır.

    Alternatif teoremler daha kesin nicel sonuçlar verir ve zaman-frekans analizinde, (1 boyutlu) zaman ve frekans alanlarını ayrı ayrı yorumlamak yerine, bunun yerine limit, (2. -boyutlu) zaman-frekans düzlemi. Uygulamada, Gabor limiti, bir kişinin müdahale olmadan elde edebileceği eşzamanlı zaman-frekans çözünürlüğünü sınırlar ; daha yüksek çözünürlük elde etmek mümkündür, ancak sinyalin farklı bileşenlerinin birbirine karışması pahasına.

    Sonuç olarak, geçici olayların önemli olduğu sinyalleri analiz etmek için Fourier yerine genellikle

    dalgacık dönüşümü kullanılır.

    Ayrık Fourier dönüşümü

    Izin bir dizisi

    , N karmaşık sayı ve onun ayrık Fourier dönüşümü .

    Tarafından Göstermek zaman dizisi içindeki sıfır olmayan elemanların sayısı tarafından frekans sırayla sıfır olmayan elemanların sayısı . Sonra,

    Bu eşitsizlik keskindir ; eşitlik, x veya X bir Dirac kütlesi olduğunda veya daha genel olarak x , modulo N tamsayılarının bir alt grubunda desteklenen bir Dirac tarakının sıfırdan farklı bir katı olduğunda elde edilir (bu durumda X , aynı zamanda desteklenen bir Dirac tarağıdır). tamamlayıcı bir alt grupta ve tam tersi).

    Eğer Daha genel olarak, T ve W, tamsayılar alt kümeleri modulo olan N , izin zaman sınırlayıcı operatör ve göstermektedirler

    bant sınırlandırıcı operatörler , sırasıyla. Sonra
    norm olduğu operatör normu Hilbert uzayında operatörlerin tamsayılar üzerinde fonksiyonlarının modulo
    N . Bu eşitsizliğin sinyal rekonstrüksiyonu üzerinde etkileri vardır .

    Ne zaman N bir olan asal sayı , daha güçlü bir eşitsizlik tutar:

    Terence Tao tarafından keşfedilen bu eşitsizlik de keskindir.

    Benedicks teoremi

    Amrein–Berthier ve Benedicks'in teoremi sezgisel olarak f'nin sıfır olmadığı noktalar kümesi ile ƒ̂'nin sıfır olmadığı noktalar kümesinin her ikisinin de küçük olamayacağını söyler .

    Spesifik olarak,

    L 2 ( R ) ' deki bir f fonksiyonunun ve onun Fourier dönüşümü ƒ̂'nin her ikisinin de sonlu Lebesgue ölçüsü kümelerinde desteklenmesi imkansızdır . Daha nicel bir versiyon

    Ce C|S||Σ| faktörünün olması

    beklenir. ile ikame edilebilir Ce C (| S || Σ |) 1 / d , ya yalnızca bilinen, S ya da Σ dışbükeydir.

    Hardy'nin belirsizlik ilkesi

    Matematikçi GH Hardy , aşağıdaki belirsizlik ilkesini formüle etti: f ve ƒ̂'nin her ikisinin de "çok hızlı azalan" olması mümkün değildir . Spesifik olarak, eğer f in öyle ise

    ve
    ( bir tam sayı),

    bundan sonra da, ab > 1, f = 0 , ise, çok ab = 1 , daha sonra bir polinom vardır p derece K şekilde

    Aşağıdaki gibi sonradan düzeldi: eğer şekildedir

    sonra
    burada P ( Nd )/2 dereceli bir polinomdur ve A gerçek bir d × d pozitif tanımlı matristir.

    Bu sonuç, Beurling'in kanıtsız bütün eserlerinde belirtilmiş ve genel durum için Hörmander (vaka ) ve Bonami, Demange ve Jaming'de ispatlanmıştır. Hörmander–Beurling'in versiyonunun Hardy Teoremi'nde

    ab > 1 durumunu ima ettiğini, Bonami–Demange–Jaming'in versiyonunun ise Hardy Teoreminin tüm gücünü kapsadığını unutmayın. Liouville teoremine dayanan Beurling teoreminin farklı bir kanıtı ref.

    ab < 1 durumunun tam açıklaması ve ayrıca Schwartz sınıf dağılımlarının aşağıdaki uzantısı ref.

    Teorem  —  Temperlenmiş bir dağılım şu şekilde ise

    ve
    sonra
    d × d tipi bazı uygun polinom P ve gerçek pozitif tanımlı matris A için .

    Tarih

    Werner Heisenberg , kuantum mekaniğinin matematiksel temelleri üzerinde çalışırken Niels Bohr'un Kopenhag'daki enstitüsünde belirsizlik ilkesini formüle etti .

    Werner Heisenberg ve Niels Bohr

    1925'te Hendrik Kramers ile öncü çalışmanın ardından Heisenberg , geçici

    kuantum teorisini modern kuantum mekaniği ile değiştiren matris mekaniğini geliştirdi . Temel öncül, bir atomdaki elektronlar keskin bir şekilde tanımlanmış yörüngelerde hareket etmediğinden, klasik hareket kavramının kuantum seviyesine uymamasıydı . Aksine, hareketleri garip bir şekilde dağılır: Zamana bağlılığının Fourier dönüşümü yalnızca radyasyonlarının kuantum sıçramalarında gözlemlenebilen frekansları içerir.

    Heisenberg'in makalesi, elektronun herhangi bir zamanda bir yörüngedeki tam konumu gibi gözlemlenemeyen nicelikleri kabul etmedi; teorisyenin sadece hareketin Fourier bileşenleri hakkında konuşmasına izin verdi. Fourier bileşenleri klasik frekanslarda tanımlanmadığından, kesin bir yörünge oluşturmak için kullanılamazlar , bu nedenle formalizm, elektronun nerede olduğu veya ne kadar hızlı gittiğiyle ilgili aşırı kesin soruları yanıtlayamazdı.

    Bir hesaba göre: “Heisenberg'in makalesi, yalnızca gözlemlenebilir nicelikleri kullanarak atom problemlerini çözmeye yönelik önceki girişimlerden radikal bir ayrılığa işaret ediyordu. 9 Temmuz 1925 tarihli bir mektupta, "Bütün yetersiz çabalarım, insanın gözlemleyemediği yörünge yolları kavramını öldürmeye ve uygun bir şekilde değiştirmeye yönelik" diye yazdı.

    Aslında, 1926'da ilk gerçek tartışmaları üzerine sorunu Heisenberg'e ilk kez gündeme getiren Einstein'dı. Einstein, girişinden sonra Heisenberg'i matris mekaniği tartışması için evine davet etmişti. Heisenberg tartışmayı şöyle tanımlıyor: “Eve dönerken bana geçmişim, Sommerfeld'deki çalışmalarım hakkında sorular sordu. Ama vardığında hemen yeni kuantum mekaniğinin felsefi temeli hakkında merkezi bir soruyla başladı. Benim matematiksel tanımımda 'elektron yolu' kavramının hiç ortaya çıkmadığını, ancak bir bulut odasında elektronun izinin elbette doğrudan gözlemlenebileceğini belirtti. Bulut odasında gerçekten bir elektron yolu olduğunu iddia etmek ona saçma geliyordu, ama atomun içinde hiç yoktu. Bu durumda, elbette, biz [Heisenberg ve Bohr] birçok tartışma, zorlu tartışmalar yaptık, çünkü hepimiz kuantum veya dalga mekaniğinin matematiksel şemasının zaten nihai olduğunu hissettik. Değiştirilemezdi ve tüm hesaplamalarımızı bu şemadan yapmak zorunda kalırdık. Öte yandan, bir elektronun bulut odasından geçen yolu gibi basit bir durumu bu şemada nasıl temsil edeceğini kimse bilmiyordu.”


    Mart 1926 yılında Bohr'un enstitüsünde çalışan, Heisenberg olmayan fark Yerdeğiştirme belirsizlik ilkesini ima eder. Bu ima, değişmezlik için net bir fiziksel yorum sağladı ve kuantum mekaniğinin Kopenhag yorumu olarak bilinen şeyin temelini attı . Heisenberg, komütasyon ilişkisinin bir belirsizliği veya Bohr'un dilinde bir tamamlayıcılığı ima ettiğini gösterdi . Değişmeyen iki değişken aynı anda ölçülemez - biri ne kadar kesin olarak bilinirse, diğeri o kadar az kesin olarak bilinebilir. Heisenberg yazdı:

    En basit haliyle şu şekilde ifade edilebilir: En küçük parçacıklardan birinin hareketini belirleyen iki önemli faktörün her ikisi de - konumu ve hızı - hiçbir zaman tam bir doğrulukla bilinemez. Bir parçacığın

    aynı anda hem konumunu hem de yönünü ve hızını doğru olarak belirlemek imkansızdır .

    Heisenberg, 1927 tarihli ünlü makalesinde, "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik" ("Kuantum Teorik Kinematik ve Mekaniğinin Algısal İçeriği Üzerine") bu ifadeyi, herhangi bir konum ölçümünün neden olduğu kaçınılmaz momentum bozulmasının minimum miktarı olarak belirledi. ancak Δx ve Δp belirsizlikleri için kesin bir tanım vermedi. Bunun yerine, her durumda ayrı ayrı bazı makul tahminler verdi. Chicago konferansında ilkesini geliştirdi:

     

     

     

     

    ( A1 )

    Kennard 1927'de modern eşitsizliği ilk kez kanıtladı:

     

     

     

     

    ( A2 )

    nerede ħ = H/2 π, ve σ x , σ p , konum ve momentumun standart sapmalarıdır. Heisenberg sadece Gauss durumlarının özel durumu için ( A2 ) bağıntısını kanıtladı .

    Terminoloji ve çeviri

    Heisenberg, Almanca yazdığı 1927 tarihli orijinal makalesinin ana gövdesi boyunca, temel teorik ilkeyi tanımlamak için "Ungenauigkeit" ("belirsizlik") kelimesini kullandı. Sadece son notta "Unsicherheit" ("belirsizlik") kelimesine geçti. Heisenberg'in ders kitabının İngilizce versiyonu , Kuantum Teorisinin Fiziksel İlkeleri 1930'da yayınlandığında, "belirsizlik" çevirisi kullanıldı ve bundan sonra İngilizce dilinde daha yaygın olarak kullanılan bir terim haline geldi.

    Heisenberg'in mikroskobu

    Heisenberg'in bir elektronu bulmak için gama ışını mikroskobu (mavi renkle gösterilmiştir). Gelen gama ışını (yeşil renkle gösterilmiştir) elektron tarafından mikroskobun açıklık açısına θ kadar saçılır . Saçılan gama ışını kırmızı ile gösterilmiştir. Klasik optik , elektron pozisyonunun yalnızca θ'ye ve gelen ışığın dalga boyuna λ bağlı olan bir Δ x belirsizliğine kadar çözülebileceğini gösterir .

    Prensip oldukça sezgiseldir, bu nedenle kuantum teorisinin ilk öğrencilerine, onu ihlal edecek naif ölçümlerin her zaman işe yaramayacağına dair güvence verilmeliydi. Heisenberg'in belirsizlik ilkesini ihlal etmenin içsel imkansızlığını orijinal olarak göstermesinin bir yolu, bir ölçüm cihazı olarak hayali bir mikroskobun gözlemci etkisini kullanmaktır .

    Bir elektronun konumunu ve momentumunu ona bir foton çekerek ölçmeye çalışan bir deneyci hayal ediyor .

    • Problem 1 – Fotonun dalga boyu kısaysa ve dolayısıyla büyük bir momentuma sahipse , konum doğru bir şekilde ölçülebilir. Ancak foton rastgele bir yönde saçılır ve elektrona büyük ve belirsiz miktarda momentum aktarır. Fotonun dalga boyu uzun ve momentumu düşükse, çarpışma elektronun momentumunu çok fazla bozmaz, ancak saçılma konumunu sadece belli belirsiz gösterir.
    • Problem 2 – Mikroskop için geniş bir açıklık kullanılıyorsa, elektronun konumu iyi çözülebilir (bakınız Rayleigh kriteri ); ancak momentumun korunumu ilkesine göre , gelen fotonun enine momentumu elektronun ışın çizgisi momentumunu etkiler ve bu nedenle elektronun yeni momentumu zayıf bir şekilde çözülür. Küçük bir diyafram kullanılırsa, her iki çözünürlüğün doğruluğu tam tersidir.

    Bu değiş tokuşların kombinasyonu, hangi foton dalga boyu ve açıklık boyutu kullanılırsa kullanılsın, ölçülen konumdaki ve ölçülen momentumdaki belirsizliğin ürününün bir alt sınırdan daha büyük veya ona eşit olduğu anlamına gelir, yani (küçük bir sayısal faktöre kadar). ) Planck sabitine eşittir . Heisenberg, belirsizlik ilkesini kesin bir sınır olarak formüle etmeyi umursamadı ve bunun yerine, onu kuantum mekaniğinin radikal olarak yeni değişmezliğini kaçınılmaz kılan küçük sayısal faktörleri düzelten buluşsal bir nicel ifade olarak kullanmayı tercih etti.

    kritik reaksiyonlar

    Kuantum mekaniğinin Kopenhag yorumu ve Heisenberg'in Belirsizlik İlkesi, aslında, altta yatan bir determinizm ve gerçekçiliğe inanan muhalifler tarafından ikiz hedefler olarak görülüyordu . Kuantum mekaniğinin Kopenhag yorumuna göre , kuantum durumunun tanımladığı temel bir gerçeklik yoktur , sadece deneysel sonuçları hesaplamak için bir reçete vardır. Bir sistemin durumunun temelde ne olduğunu söylemenin bir yolu yoktur, yalnızca gözlemlerin sonucunun ne olabileceğini söylemenin bir yolu yoktur.

    Albert Einstein , rastgeleliğin, gerçekliğin bazı temel özelliklerine dair bilgisizliğimizin bir yansıması olduğuna inanırken, Niels Bohr , olasılık dağılımlarının temel ve indirgenemez olduğuna ve hangi ölçümleri yapmayı seçtiğimize bağlı olduğuna inanıyordu. Einstein ve Bohr , uzun yıllar belirsizlik ilkesini tartıştılar .

    Bağımsız gözlemcinin ideali

    Wolfgang Pauli , Einstein'ın belirsizlik ilkesine temel itirazını "bağımsız gözlemcinin ideali" olarak adlandırdı (Almanca'dan çevrilmiş bir ifade):

    Einstein geçen kış bana, "Ay'ın belirli bir konumu olduğu gibi, aya baksak da bakmasak da, aynı şey atomik nesneler için de geçerli olmalı, çünkü bunlarla makroskopik nesneler arasında keskin bir ayrım mümkün değil. olamaz oluşturmak tekabül fiziksel gerçekliğin tam açıklaması bulunan bir şey olmalı, bir pozisyon gibi gerçeklik unsurunu olasılığı gözlem aslında yapılmış zaten önce bir pozisyon gözlemleme." Umarım Einstein'dan doğru alıntı yapmışımdır; Aynı fikirde olmayan birinin hafızasından alıntı yapmak her zaman zordur. Bağımsız gözlemcinin ideali olarak adlandırdığım şey tam da bu tür bir postüladır.

    • Pauli'den Niels Bohr'a Mektup, 15 Şubat 1955

    Einstein'ın yarığı

    Einstein'ın belirsizlik ilkesine meydan okuyan düşünce deneylerinden ilki şöyleydi:

    Genişliği d olan bir yarıktan geçen bir parçacık düşünün . Yarık, momentumda yaklaşık olarak bir belirsizlik yaratır.H/NSçünkü parçacık duvardan geçer. Ancak, duvarın geri tepmesini ölçerek parçacığın momentumunu belirleyelim. Bunu yaparken, momentumun korunumu yoluyla parçacığın momentumunu keyfi doğrulukta buluruz.

    Bohr'un yanıtı, duvarın aynı zamanda kuantum mekanik olduğu ve geri tepmeyi Δ p doğruluğunda ölçmek için , duvarın momentumunun parçacık geçmeden önce bu doğrulukta bilinmesi gerektiğiydi. Bu, duvarın pozisyonunda bir belirsizliğe ve dolayısıyla yarığın pozisyonuna eşittir.H/Δ sve duvarın momentumu geri tepmeyi ölçmek için yeterince kesin olarak biliniyorsa, yarığın konumu bir konum ölçümüne izin vermeyecek kadar belirsizdir.

    Çoklu yarıklardan kırınım yapan parçacıkların benzer bir analizi Richard Feynman tarafından yapılmıştır .

    Einstein'ın kutusu

    Einstein, Einstein'ın kutusu olarak bilinen düşünce deneyini önerdiğinde Bohr oradaydı . Einstein, "Heisenberg'in belirsizlik denkleminin, zamandaki belirsizliğin enerjideki belirsizlikle ilişkili olduğunu, ikisinin çarpımının Planck sabiti ile ilişkili olduğunu ima ettiğini" savundu . Sonsuza kadar ışığı tutabilmesi için aynalarla kaplı ideal bir kutu düşünün, dedi. Kutu, bir saat mekanizması, tek bir fotonun kaçmasına izin vermek için seçilen bir anda ideal bir deklanşör açmadan önce tartılabilir. "Artık biliyoruz, diye açıkladı Einstein, fotonun kutuyu terk ettiği zamanı tam olarak biliyoruz." "Şimdi kutuyu tekrar tartın. Kütle değişimi yayılan ışığın enerjisini söyler. Bu şekilde, dedi Einstein, belirsizlik ilkesine aykırı olarak, yayılan enerjiyi ve serbest bırakılma zamanı istenilen herhangi bir hassasiyetle ölçülebilir. "

    Bohr bu argümanı düşünerek uykusuz bir gece geçirdi ve sonunda bunun hatalı olduğunu anladı. Kutunun, örneğin bir yay ve bir ölçekte bir gösterge ile tartılması durumunda, "kutunun ağırlığındaki bir değişiklikle dikey olarak hareket etmesi gerektiğinden, dikey hızında ve dolayısıyla masanın üzerindeki yüksekliği... Üstelik, Dünya yüzeyinin üzerindeki yükseklikle ilgili belirsizlik, Einstein'ın kendi yerçekimi teorisinin zaman üzerindeki etkisi nedeniyle, saatin hızında bir belirsizliğe neden olacaktır . "Bu belirsizlikler zinciri aracılığıyla Bohr, Einstein'ın ışık kutusu deneyinin hem fotonun enerjisini hem de kaçış zamanını aynı anda tam olarak ölçemeyeceğini gösterdi."

    Dolaşmış parçacıklar için EPR paradoksu

    Bohr, Einstein'ın başka bir düşünce deneyinden sonra belirsizlik ilkesine ilişkin anlayışını değiştirmek zorunda kaldı. 1935'te Einstein, Podolsky ve Rosen (bkz. EPR paradoksu ), geniş çapta ayrılmış dolaşık parçacıkların bir analizini yayınladı . Einstein, bir parçacığı ölçmenin diğerinin olasılık dağılımını değiştireceğini fark etti, ancak burada diğer parçacığın bozulması mümkün değildi. Bu örnek, Bohr'un ilkeye ilişkin anlayışını gözden geçirmesine yol açtı ve belirsizliğin doğrudan bir etkileşimden kaynaklanmadığı sonucuna vardı.

    Ancak Einstein, aynı düşünce deneyinden çok daha geniş kapsamlı sonuçlara ulaştı. Gerçekliğin tam bir tanımının "yerel olarak değişen deterministik niceliklerden" deneylerin sonuçlarını tahmin etmesi gerektiğine ve bu nedenle belirsizlik ilkesinin izin verdiği mümkün olan maksimumdan daha fazla bilgi içermesi gerektiğine dair "doğal temel varsayıma" inanıyordu.

    1964'te John Bell , farklı deneylerin olasılıkları arasında belirli bir eşitsizliği ima edeceğinden, bu varsayımın yanlışlanabileceğini gösterdi. Deneysel sonuçlar, kuantum mekaniğinin tahminlerini doğrular ve Einstein'ın onu gizli değişkenlerinin önerisine götüren temel varsayımını dışlar . Bu gizli değişkenler, çok büyük veya çok küçük nesnelerin gözlemlenmesi sırasında oluşan bir yanılsama nedeniyle "gizli" olabilir. Bu yanılsama, farklı konumlarda ortaya çıkıp yok oluyormuş gibi görünen, bazen de gözlemlendiğinde aynı yerde ve aynı anda varmış gibi görünen dönen fan kanatlarına benzetilebilir. Aynı yanılsama, atom altı parçacıkların gözlemlenmesinde de kendini gösterir. Hem fan kanatları hem de atom altı parçacıklar o kadar hızlı hareket ediyor ki, illüzyon gözlemci tarafından görülüyor. Bu nedenle, çok yüksek hızda izleme yapabilen bir kayıt cihazında atom altı parçacıkların davranış ve özelliklerinin öngörülebilir olması mümkündür.... İronik olarak bu gerçek, Karl Popper'ın geçersiz kılma felsefesini destekleyen en iyi kanıtlardan biridir. tahrif deneyleri yoluyla bir teorinin . Yani burada Einstein'ın "temel varsayımı" , Bell'in eşitsizliklerine dayanan deneylerle yanlışlandı . Karl Popper'ın Heisenberg eşitsizliğine itirazları için aşağıya bakınız.

    Kuantum mekaniği tahminlerinin yerel olmayan, gizli değişkenlerden kaynaklandığını varsaymak mümkün olsa da ve aslında David Bohm böyle bir formülasyon icat etse de , bu çözüm fizikçilerin büyük çoğunluğu için tatmin edici değildir. Rastgele bir sonucun yerel olmayan bir teori tarafından önceden belirlenip belirlenmediği sorusu felsefi olabilir ve potansiyel olarak zorlu olabilir. Gizli değişkenler sınırlandırılmamışsa, ölçüm sonuçlarını üretmek için kullanılan rastgele rakamların bir listesi olabilir. Bunu mantıklı kılmak için, yerel olmayan gizli değişkenlerin varsayımı bazen ikinci bir varsayımla artırılır - gözlemlenebilir evrenin boyutunun bu değişkenlerin yapabileceği hesaplamalara bir sınır koyduğu. Bu türden yerel olmayan bir teori, bir kuantum bilgisayarının , yaklaşık 10.000 veya daha fazla basamaklı sayıları çarpanlarına ayırmaya çalışırken temel engellerle karşılaşacağını öngörür ; kuantum mekaniğinde potansiyel olarak ulaşılabilir bir görev .

    Popper'ın eleştirisi

    Karl Popper belirsizlik sorununa bir mantıkçı ve metafizik gerçekçi olarak yaklaştı . Belirsizlik ilişkilerinin aynı şekilde hazırlanmış parçacık topluluklarından ziyade tek tek parçacıklara uygulanmasına karşı çıktı ve bunlara "istatistiksel dağılım ilişkileri" olarak atıfta bulundu. Bu istatistiksel yorumda, kuantum teorisini geçersiz kılmadan keyfi kesinlik için belirli bir ölçüm yapılabilir. Bu , deterministik olmayan ancak yerel gizli değişkenlerden yoksun olan kuantum mekaniğinin Kopenhag yorumuyla doğrudan çelişir .

    1934 yılında Popper yayınlanan Ungenauigkeitsrelationen der Zur Kritik ( Belirsizlik İlişkiler Eleştirisi olarak) Naturwissenschaften ve aynı yıl Forschung der Logik (tercüme gibi yazar tarafından güncellenen Scientific Discovery Mantık istatistiksel fikrini savunurken özetleyen, 1959 yılında) tercüme. 1982'de Kuantum teorisindeki teorisini ve Fizikteki bölünmeyi daha da geliştirdi ve şunları yazdı:

    [Heisenberg'in] formülleri, şüphesiz, kuantum teorisinin türetilebilir istatistiksel formülleridir . Ancak , bu formüllerin, ölçümlerimizin kesinliğinin bir üst sınırını belirlemek olarak yorumlanabileceğini söyleyen kuantum teorisyenleri tarafından alışkanlıkla yanlış yorumlandılar . [orijinal vurgu]

    Popper belirsizlik ilişkilerini tahrif etmek için bir deney önerdi , ancak daha sonra Weizsäcker , Heisenberg ve Einstein ile yaptığı görüşmelerden sonra ilk versiyonunu geri çekti ; bu deney, EPR deneyinin formülasyonunu etkilemiş olabilir .

    Çoklu dünya belirsizliği

    İlk olarak 1957'de Hugh Everett III tarafından ana hatları çizilen çoklu dünyalar yorumu , kısmen, Bohr'un dalga fonksiyonu çöküşünü , dağılımı dalga fonksiyonları ve Schrödinger denklemi tarafından yönetilen deterministik ve bağımsız evrenler topluluğu ile değiştirerek Einstein'ın ve Bohr'un görüşleri arasındaki farkları uzlaştırmayı amaçlar. . Bu nedenle, çok dünyalar yorumundaki belirsizlik, diğer evrenlerde neler olup bittiğine dair hiçbir bilgisi olmayan herhangi bir evrendeki her gözlemciden kaynaklanır.

    Özgür irade

    Arthur Compton ve Martin Heisenberg gibi bazı bilim adamları , belirsizlik ilkesinin veya en azından kuantum mekaniğinin genel olasılıklı doğasının, iki aşamalı özgür irade modeli için kanıt olabileceğini öne sürdüler. Bununla birlikte, bir eleştiri, kimya için bir temel olarak kuantum mekaniğinin temel rolünden ayrı olarak, kuantum sistemlerinin oda sıcaklığındaki hızlı decoherence süresi nedeniyle kuantum mekaniği gerektiren önemsiz biyolojik mekanizmaların olası olmadığıdır . Bu teorinin savunucuları, genellikle bu eşevresizliğin biyolojik hücrelerde bulunan hem tarama hem de eşevresizlikten bağımsız alt uzaylar tarafından üstesinden gelindiğini söylerler.

    Termodinamik

    Belirsizlik ilkesini ihlal etmenin aynı zamanda termodinamiğin ikinci yasasının ihlali anlamına da geldiğine inanmak için sebepler var . Gibbs paradoksuna bakın .

    Ayrıca bakınız

    Notlar

    Referanslar

    Dış bağlantılar