Aritmetik-geometrik ortalama - Arithmetic–geometric mean

Aritmetik-geometrik ortalamanın grafiği (koyu mavi)

\operatöradı {agm} (1,x)

Gelen matematik , aritmetik geometrik ortalama iki pozitif gerçek sayılar $X$ ve $Y$ , aşağıdaki gibi tanımlanır:

Çağrı $x$ ve $y$ $, bir 0$ ve $g 0$ :

{\begin{hizalanmış}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y.\end{hizalı}}

Daha sonra birbirine bağlı iki diziyi $(a n)$ ve $(g n)$ şu şekilde tanımlayın:

{\begin{aligned}a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={ \sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{hizalı}}

Bu iki dizi aynı sayıya, $x$ ve $y'nin$ aritmetik-geometrik ortalamasına yakınsar ; bu ile gösterilir $M$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ , ya da bazen ile $AGM ($ $x$ $,$ $y$ $)$ veya $AGM ($ $x$ $,$ $y$ $)$ .

Aritmetik-geometrik ortalama, üstel ve trigonometrik fonksiyonlar için hızlı algoritmalarda ve ayrıca bazı matematiksel sabitlerde , özellikle $π$ hesaplamasında kullanılır .

Örnek

$a 0 = 24$ ve $g 0 = 6'nın$ aritmetik-geometrik ortalamasını bulmak için aşağıdaki gibi yineleyin:

{\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt { 24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{dizi}}

İlk beş yineleme aşağıdaki değerleri verir:

$n$	$bir n$	$g n$
0	24	6
1	1 5	1 2
2	13 .5	13 .416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 7 45 176 983 217 305...	13.458 171 481 7 06 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 8 20...	13.458 171 481 725 615 420 766 8 06...

$Bir n$ ve $g n'nin$ uyuştuğu (altı çizili) basamak sayısı her yinelemede yaklaşık olarak iki katına çıkar. 24 ve 6'nın aritmetik-geometrik ortalaması, bu iki dizinin ortak sınırıdır;13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 .

Tarih

Bu dizi çiftine dayanan ilk algoritma Lagrange'ın çalışmalarında ortaya çıktı . Özellikleri ayrıca Gauss tarafından analiz edildi .

Özellikler

İki pozitif sayının geometrik ortalaması asla aritmetik ortalamadan büyük değildir (bkz . aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliği ). Bunun bir sonucu olarak, için $n > 0$ , $(g n)$ artan bir dizisidir $(bir n)$ azalan bir sekansıdır, ve $g n \leq M (x, y) \leq bir n$ . $x \neq y$ ise bunlar katı eşitsizliklerdir .

$M (x, y)$ , $x$ ve $y'nin$ geometrik ve aritmetik ortalaması arasındaki bir sayıdır; ayrıca $x$ ve $y$ arasındadır.

Eğer $R \geq 0$ , daha sonra $E (rx, ry) = rM (x, y)$ .

$M (x, y)$ için bir integral form ifadesi vardır :

{\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{ \frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\sağ)^{-1}\ \&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}} }\sağ)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\sol({\frac {xy}{x+y}) }\sağ)}}\end{hizalı}}

nerede $K (k)$ olan birinci türden tam eliptik integrali :

K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2 }(\teta )}}}

Gerçekten de, aritmetik-geometrik süreç çok hızlı yakınsadığından, bu formül aracılığıyla eliptik integralleri hesaplamak için verimli bir yol sağlar. Mühendislikte, örneğin eliptik filtre tasarımında kullanılır.

Aritmetik-geometrik ortalama Jacobi teta işlevine şu şekilde bağlanır : ${\ Displaystyle \ theta _{3}}$

M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)))}{M\left(1, {\sqrt {1-x^{2}}}\sağ)}}\sağ)\sağ)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{ 2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\sol(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\sağ)}}\sağ)\sağ)^{-2 }.

Ilgili kavramlar

1'in aritmetik-geometrik ortalamasının ve 2'nin karekökünün tersi, Carl Friedrich Gauss'tan sonra Gauss sabiti olarak adlandırılır .

{\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\nokta

1941'de (ve dolayısıyla ) Theodor Schneider tarafından aşkın olduğu kanıtlandı . $M(1,{\sqrt {2}})$ ${\görüntüleme stili G}$

Geometrik harmonik ortalama geometrik ve dizilerini kullanarak, benzer bir metotla hesaplanabilir harmonik aracı. Bu bir buluntular $GH (x, y), 1 / M (1 / = X, 1 / y) = xy / M (x, y)$ . Aritmetik-harmonik ortalama benzer şekilde tanımlanabilir, ancak geometrik ortalama ile aynı değeri alır ( buradaki "Hesaplama" bölümüne bakın ).

Aritmetik-geometrik ortalama, - diğerlerinin yanı sıra - logaritmaları , birinci ve ikinci türden tam ve eksik eliptik integralleri ve Jacobi eliptik fonksiyonlarını hesaplamak için kullanılabilir .

varlığın kanıtı

Gönderen aritmetik ve geometrik araçlarının eşitsizlik şu sonuca varabiliriz:

g_{n}\leq a_{n}

ve böylece

g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}

yani, $g n$ dizisi azalmamaktadır.

Ayrıca, yukarıda ayrıca $x$ ve $y'nin$ daha büyüğü tarafından sınırlandırıldığını görmek kolaydır (bu, iki sayının hem aritmetik hem de geometrik ortalamalarının aralarında yer alması gerçeğinden kaynaklanır). Böylece, monoton yakınsama teoremi ile dizi yakınsaktır, dolayısıyla şöyle bir $g$ vardır:

\lim _{n\to \infty}g_{n}=g

Ancak şunu da görebiliriz:

a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}

ve bu yüzden:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}} ={\frac {g^{2}}{g}}=g

QED

İntegral form ifadesinin kanıtı

Bu ispat Gauss tarafından verilmiştir. İzin vermek

I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y ^{2}\sin ^{2}\theta }}},

Entegrasyon değişkenini olarak değiştirmek , nerede ${\görüntüleme stili \teta '}$

\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(xy)\sin ^{2}\theta '}},

verir

{\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\ frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^ {2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\ büyük )}.\end{hizalı}}

Böylece, sahip olduğumuz

{\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I {\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{hizalı}}

Son eşitlik bunu gözlemlemekten gelir .

{\görüntüleme stili I(z,z)=\pi /(2z)}

Sonunda istediğimiz sonucu elde ederiz.

M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.

Uygulamalar

π sayısı

Örneğin Gauss-Legendre algoritmasına göre :

\pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^ {j+1}c_{j}^{2}}},

nerede

c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\sağ),

kullanılarak hassasiyet kaybı olmadan hesaplanabilen ve ile $a_{0}=1$ $g_{0}=1/{\sqrt {2}}$

c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.

Tam eliptik integral K (sin α )

Genel Kurul'un alınması ve sonuçlandırılması $a_{0}=1$ $g_{0}=\cos \alpha$

M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},

burada $K (k)$ birinci türden tam bir eliptik integraldir :

K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .

Yani bu üç aylık dönemin , Genel Kurul aracılığıyla verimli bir şekilde hesaplanabileceği,

K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.

Diğer uygulamalar

Artan dönüşümler ile birlikte AGM bu özelliği kullanarak John Landen , Richard P. Brent ilköğretim transandantal fonksiyonların hızlı değerlendirilmesine yönelik ilk AGM algoritmaları önerilmiştir ( $e x$ , $cos x$ , $sin x$ ). Daha sonra, birçok yazar AGM algoritmalarının kullanımını incelemeye devam etti.

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

Aritmetik-Geometrik Ortalama Hesaplayıcı

Referanslar

Notlar

Başka

Daróczy, Zoltán; Pales, Zsolt (2002). "Araçların Gauss-bileşimi ve Matkowski-Suto probleminin çözümü". Yayınlar Mathematicae Debrecen . 61 (1-2): 157-218.
"Aritmetik-geometrik ortalama işlem" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Aritmetik-geometrik ortalama" . Matematik Dünyası .

^ AGM (24, 6) en Wolfram Alpha
^ ^a ^b Cox, David A. (2004). "Gauss'un Aritmetik-Geometrik Ortalaması" . Berggren'de J. Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter (ed.). Pi: Bir Kaynak Kitap (üçüncü baskı). Springer. P. 481. ISBN'si 978-0-387-20571-7.ilk olarak L'Enseignement Mathématique'de yayınlandı , t. 30 (1984), s. 275-330
^ Carson, BC (2010), "Eliptik İntegraller" , Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
^ Dimopoulos, Herkül G. (2011). Analog Elektronik Filtreler: Teori, Tasarım ve Sentez . Springer. s. 147–155. ISBN'si 978-94-007-2189-0.
^ Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi ve AGM: Analitik Sayı Teorisi ve Hesaplamalı Karmaşıklık Üzerine Bir Çalışma (İlk baskı). Wiley-Interscience. ISBN'si 0-471-83138-7. sayfa 35, 40
^ Schneider, Theodor (1941). Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale . Journal für die reine und angewandte Mathematik [ Temel ve Uygulamalı Matematik Dergisi ] . 183 . s. 110–128.
^ Todd, John (1975). "Lemniscate Sabitleri" . ACM'nin İletişimi . 18 (1): 14-19. doi : 10.1145/360569.360580 .
^ R [takma ad], Martin, Geometrik-Harmonik Ortalama (Cevap) , StackExchange , alındı 19 Eylül 2020
^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ed. (1983) [Haziran 1964]. "Bölüm 17" . Formüller, Grafikler ve Matematik Tabloları ile Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı . Uygulamalı Matematik Serisi. 55 (Düzeltmelerle birlikte onuncu orijinal baskının ek düzeltmeleriyle birlikte dokuzuncu baskı (Aralık 1972); ilk baskı). Washington DC; New York: Amerika Birleşik Devletleri Ticaret Bakanlığı, Ulusal Standartlar Bürosu; Dover Yayınları. s. 598–599. ISBN'si 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Kral, Louis V. (1924). Eliptik Fonksiyonların ve İntegrallerin Doğrudan Sayısal Hesaplanması Üzerine . Cambridge Üniversitesi Yayınları.
^ Salamin, Eugene (1976). "Aritmetik-geometrik ortalama kullanılarak π hesaplanması" . Hesaplama Matematiği . 30 (135): 565-570. doi : 10.2307/2005327 . JSTOR 2005327 . MR 0404124 .
^ Landen, John (1775). "Herhangi bir konik hiperbolün herhangi bir yayının uzunluğunu iki eliptik yay vasıtasıyla bulmak için genel bir teoremin araştırılması ve bunlardan çıkarılan diğer bazı yeni ve faydalı teoremler". Kraliyet Cemiyetinin Felsefi İşlemleri . 65 : 283-289. doi : 10.1098/rstl.1775.0028 . S2CID 186208828 .
^ Brent, Richard P. (1976). "Temel Fonksiyonların Hızlı Çoklu Hassas Değerlendirmesi" . ACM Dergisi . 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721 . doi : 10.1145/321941.321944 . MR 0395314 . S2CID 6761843 .
^ Borwein, Jonathan M. ; Borwein, Peter B. (1987). Pi ve Genel Kurul . New York: Wiley. ISBN'si 0-471-83138-7. MR 0877728 .

[1] AGM (24, 6) en Wolfram Alpha

[BerggrenBorwein2004-2] Cox, David A. (2004). "Gauss'un Aritmetik-Geometrik Ortalaması" . Berggren'de J. Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter (ed.). Pi: Bir Kaynak Kitap (üçüncü baskı). Springer. P. 481. ISBN'si 978-0-387-20571-7.ilk olarak L'Enseignement Mathématique'de yayınlandı , t. 30 (1984), s. 275-330

[3] Carson, BC (2010), "Eliptik İntegraller" , Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

[Dimopoulos2011-4] Dimopoulos, Herkül G. (2011). Analog Elektronik Filtreler: Teori, Tasarım ve Sentez . Springer. s. 147–155. ISBN'si 978-94-007-2189-0.

[5] Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi ve AGM: Analitik Sayı Teorisi ve Hesaplamalı Karmaşıklık Üzerine Bir Çalışma (İlk baskı). Wiley-Interscience. ISBN'si 0-471-83138-7. sayfa 35, 40

[7] Schneider, Theodor (1941). Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale . Journal für die reine und angewandte Mathematik [ Temel ve Uygulamalı Matematik Dergisi ] . 183 . s. 110–128.

[8] Todd, John (1975). "Lemniscate Sabitleri" . ACM'nin İletişimi . 18 (1): 14-19. doi : 10.1145/360569.360580 .

[9] R [takma ad], Martin, Geometrik-Harmonik Ortalama (Cevap) , StackExchange , alındı 19 Eylül 2020

[10] Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ed. (1983) [Haziran 1964]. "Bölüm 17" . Formüller, Grafikler ve Matematik Tabloları ile Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı . Uygulamalı Matematik Serisi. 55 (Düzeltmelerle birlikte onuncu orijinal baskının ek düzeltmeleriyle birlikte dokuzuncu baskı (Aralık 1972); ilk baskı). Washington DC; New York: Amerika Birleşik Devletleri Ticaret Bakanlığı, Ulusal Standartlar Bürosu; Dover Yayınları. s. 598–599. ISBN'si 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .

[11] Kral, Louis V. (1924). Eliptik Fonksiyonların ve İntegrallerin Doğrudan Sayısal Hesaplanması Üzerine . Cambridge Üniversitesi Yayınları.

[12] Salamin, Eugene (1976). "Aritmetik-geometrik ortalama kullanılarak π hesaplanması" . Hesaplama Matematiği . 30 (135): 565-570. doi : 10.2307/2005327 . JSTOR 2005327 . MR 0404124 .

[13] Landen, John (1775). "Herhangi bir konik hiperbolün herhangi bir yayının uzunluğunu iki eliptik yay vasıtasıyla bulmak için genel bir teoremin araştırılması ve bunlardan çıkarılan diğer bazı yeni ve faydalı teoremler". Kraliyet Cemiyetinin Felsefi İşlemleri . 65 : 283-289. doi : 10.1098/rstl.1775.0028 . S2CID 186208828 .

[14] Brent, Richard P. (1976). "Temel Fonksiyonların Hızlı Çoklu Hassas Değerlendirmesi" . ACM Dergisi . 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721 . doi : 10.1145/321941.321944 . MR 0395314 . S2CID 6761843 .

[15] Borwein, Jonathan M. ; Borwein, Peter B. (1987). Pi ve Genel Kurul . New York: Wiley. ISBN'si 0-471-83138-7. MR 0877728 .

Languages

In other projects