Form Kanunları -Laws of Form

Form Kanunları (bundan sonra LoF olarak anılacaktır ), G. Spencer-Brown'ın 1969'da yayınlanan ve matematik ve felsefe arasındaki sınırı aşanbir kitabıdır. LoF , üç farklı mantıksal sistemi tanımlar:

• Modelleri Boole aritmetiğini içeren "birincil aritmetik" ( LoF Bölüm 4'te açıklanmıştır ) ;
• Modelleri iki elemanlı Boole cebirini (bundan sonra 2 olarak kısaltılacaktır ), Boole mantığını ve klasik önermeler hesabını içeren "birincil cebir " ( LoF Bölüm 6 ) ;
• Kimin "ikinci dereceden denklemleri" (Bölüm 11), yorumların dahil sonlu otomata ve Alonzo Church 'ın Kısıtlı Recursive Aritmetik (RRA).

"Sınır cebiri", Meguire'nin (2011) birincil cebir ve birincil aritmetiğin birleşimi için kullandığı terimdir. Form Kanunları bazen gevşek bir şekilde "birincil cebire" ve ayrıca LoF'ye atıfta bulunur .

Kitap

Önsöz, çalışmanın ilk olarak 1959'da araştırıldığını belirtir ve Spencer Brown, Bertrand Russell'ın bu çabasını desteklediğinden bahseder . Ayrıca , Londra Üniversitesi Koleji'nden JCP Miller'a düzeltme okumasına yardım ettiği ve başka rehberlik sunduğu için teşekkür eder. 1963'te Spencer Brown, Londra Üniversitesi'nin Duvar Dışı Çalışmalar bölümünde fizik bilimlerinde öğretim görevlisi olan Harry Frost tarafından mantık matematiği üzerine bir ders vermek üzere davet edildi.

LoF , yazarının 1960 civarında yaptığı elektronik mühendisliği çalışmasından ve Londra Üniversitesi'nin genişletme programının himayesinde verdiği matematiksel mantık üzerine sonraki derslerden ortaya çıktı . LoF birkaç sürümde yer aldı. İkinci baskı serisi, 1972'de, kendine referans veren paradoksların kullanımını vurgulayan "Birinci Amerikan Baskısına Önsöz" ile çıktı. en sonuncusu 1997 Almanca çevirisidir ve baskısı hiç tükenmemiştir.

Matematik sadece 55pp doldurur ve oldukça temeldir. Ancak LoF'un mistik ve küstahça düzyazısı ve paradoksa olan sevgisi onu herkes için zorlu bir okuma haline getiriyor. Spencer-Brown, Wittgenstein ve RD Laing'den etkilenmiştir . LoF ayrıca Charles Sanders Peirce , Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead'in yazılarından bir dizi temayı da yansıtıyor .

Kitabın tamamı operasyonel bir şekilde yazılmıştır ve okuyucuya "ne" olduğunu söylemek yerine talimatlar verir. G. Spencer-Brown'ın paradokslara olan ilgisine uygun olarak, bir şeyin var olduğunu bildiren tek cümle, bu kitapta bu tür ifadelerin kullanılmadığını söyleyen ifadedir. Bu tek cümle dışında kitap bir E-Prime örneği olarak görülebilir .

Resepsiyon

Görünüşte resmi bir matematik ve felsefe eseri olan LoF , bir tür kült klasiği haline geldi : Heinz von Foerster tarafından Whole Earth Catalog için gözden geçirdiğinde övüldü . Aynı fikirde olanlar, LoF'un muammalı bir " bilinç matematiği" ni somutlaştırdığına , cebirsel sembolizminin bilişin (belki de "hatta") örtük bir kökünü : "ayırt etme" yeteneğini yakaladığına işaret ederler. LoF , birincil cebirin mantık , Boole cebiri ve aritmetik ile dil ve zihin felsefesi arasındaki çarpıcı bağlantıları ortaya çıkardığını savunuyor .

Banaschewski (1977), birincil cebirin Boolean cebiri için yeni bir gösterimden başka bir şey olmadığını iddia eder. Aslında, iki elemanlı Boole cebiri 2 , birincil cebirin amaçlanan yorumu olarak görülebilir. Yine de birincil cebirin gösterimi:

• Yalnızca Boole cebirlerini değil, tüm kafesleri karakterize eden dualiteden tam olarak yararlanır ;
• Mantıkta sözdizimsel olarak farklı ifadelerin ve 2'nin nasıl aynı anlambilime sahip olabileceğini vurgular ;
• Boole cebri hesaplamalarını ve cümlesel ve kıyas mantığındaki ispatları önemli ölçüde basitleştirir .

Ayrıca, birincil cebirin sözdizimi, 2 ve cümle mantığı dışındaki biçimsel sistemlere genişletilebilir ve bu da sınır matematiğiyle sonuçlanır (aşağıdaki § İlgili Çalışmaya bakın).

LoF , diğerleri arasında Heinz von Foerster , Louis Kauffman , Niklas Luhmann , Humberto Maturana , Francisco Varela ve William Bricken'i etkiledi . Bu yazarlardan bazıları, birincil cebiri çeşitli ilginç şekillerde değiştirmiştir.

LoF , dört renk teoremi , Fermat'ın Son Teoremi ve Goldbach varsayımı gibi çok uzun süredir geçerli olan bazı iyi bilinen matematiksel varsayımların , birincil cebirin uzantıları kullanılarak kanıtlanabileceğini iddia etti. Spencer-Brown sonunda dört renk teoreminin sözde bir kanıtını dağıttı, ancak şüpheyle karşılandı.

Form (Bölüm 1)

Sembol:

"İşaret" veya "çapraz" olarak da adlandırılan, Form Kanunlarının temel özelliğidir. Spencer-Brown'ın eşsiz ve esrarengiz şekilde, Mark kök sembolize biliş yani, ikili Mark "Bu" dan "her şey farklılaşma kabiliyetini gösterir ama bu".

Gelen lof her seferde, bir çapraz bir "ayrım" çizimi temsil eder, ve aşağıdaki anlamına olarak düşünülebilir:

• Bir şeyin çevresine sınır çizerek onu diğer her şeyden ayırma eylemi;
• Sınır çizerek her şeyden farklılaşan;
• Sınırın bir tarafından diğer tarafına geçmek.

Her üç yol da, ayrımı yapan bilişsel varlığın (örneğin, kişi) bir eylemini ima eder. As LOF koyar:

"İlk komut:

• Bir ayrım çizin

iyi şu şekilde ifade edilebilir:

• Ayrım olsun,
• Bir ayrım bul,
• Ayrım görmek,
• Bir ayrımı tanımlayın,
• Bir ayrım tanımlayın,

Veya:

• Bir ayrım yapılsın ". ( LoF , 2. Bölüme Notlar)

İşaretli durumun kontrpuanı, basitçe hiçbir şey, boşluk veya bir boşlukla temsil edilen ifade edilemez sonsuz olan İşaretsiz durumdur. Bu sadece bir Haç'ın yokluğudur. Hiçbir ayrım yapılmadı ve hiçbir şey geçilmedi. İşaretli durum ve boşluk, Form Kanunlarının iki ilkel değeridir.

Haç, biri "bir sembol olarak kabul edilen" ve diğeri bu şekilde kabul edilmeyen iki durum arasındaki ayrımı ifade ediyor olarak görülebilir. Bu olgudan, bazı bilinç ve dil teorileri arasında ilginç bir rezonans doğar . Paradoksal olarak, Form hem Gözlemci hem de Gözlenendir ve aynı zamanda yaratıcı bir gözlem yapma eylemidir. LoF (arka madde hariç) şu kelimelerle kapanır:

...ilk ayrım, İşaret ve gözlemci sadece birbirinin yerine kullanılabilir değil, aynı zamanda formda aynıdır.

CS Peirce , 1890'larda bununla ilgili bir kavrayışa ulaştı; bkz. § İlgili çalışma .

Birincil aritmetik (Bölüm 4)

Sözdizimi aşağıdaki gibidir birincil aritmetik gider. Sadece iki atomik ifade vardır :

• Boş Haç  ;
• Boş sayfanın tamamı veya bir kısmı ("boşluk").

İki endüktif kural vardır:

• Herhangi bir ifadenin üzerine bir Haç yazılabilir;
• Herhangi iki ifade birleştirilebilir .

Semantik birincil aritmetik belki de daha tek açık daha başka bir şey değildir tanımı içinde LOF : "Fark mükemmel kontinansı" dedi.

"İşaretsiz durum" boşluğun eşanlamlısı olsun. Boş bir çarpı "işaretli durumu" göstersin. Çapraz, bir değerden, işaretlenmemiş veya işaretlenmiş durumdan diğerine geçmektir. Şimdi , birincil aritmetiği (ve dolayısıyla tüm Form Kanunlarını) temel alan A1 ve A2 "aritmetik" aksiyomlarını belirtebiliriz :

"A1. Çağrı Yasası". Bir eyaletten iki kez aramak, bir kez aramaktan farksızdır. İki kez ayrım yapmak, bir kez yapmakla aynı etkiye sahiptir. Örneğin, "Işık olsun" deyip tekrar "Işık olsun" demek, bir kez söylemekle aynı şeydir. Resmi olarak:

${\görüntüleme stili \ =}$

"A2. Geçiş Yasası". İşaretlenmemiş durumdan işaretli duruma geçişten sonra, işaretli durumdan başlayarak tekrar geçiş ("yeniden çaprazlama"), birini işaretlenmemiş duruma döndürür. Dolayısıyla yeniden geçiş, geçişi iptal eder. Resmi olarak:

${\görüntüleme stili \ =}$

Hem A1 hem de A2'de, '=' öğesinin sağındaki ifade, '=' solundaki ifadeden daha az sembole sahiptir. Bu, her birincil aritmetik ifadenin, A1 ve A2'nin tekrar tekrar uygulanmasıyla iki durumdan birine basitleştirilebileceğini gösterir: işaretli veya işaretsiz durum. Bu gerçekten de böyledir ve sonuç, ifadenin "basitleştirilmesidir". Birincil aritmetiğin iki temel metateoremi şu şekildedir:

• Her sonlu ifadenin benzersiz bir sadeleştirmesi vardır. ( LoF'da T3 );
• Bir ilk işaretli veya işaretsiz durumdan başlayarak, A1 ve A2'nin sonlu sayıda tekrarlanan uygulamasıyla bir ifadeyi "karmaşık hale getirmek", basitleştirmesi ilk durumdan farklı olan bir ifade veremez. ( LoF'da T4 ).

Böylece ilişki içinde mantıksal denklik bölümleri ikiye tüm birincil aritmetik ifadeler denklik sınıfları : Cross basitleştirmek olanlar ve boşluğa basitleştirmek olanlar.

A1 ve A2, seri ve paralel elektrik devrelerinin özelliklerinde ve akış şeması dahil olmak üzere diğer diyagram oluşturma süreçlerinde gevşek analoglara sahiptir. A1 bir paralel bağlantıya ve A2 bir seri bağlantıya karşılık gelir, bir ayrım yapmanın sadece kablo eklemeye değil, bir devredeki iki noktanın nasıl bağlanacağını değiştirmeye tekabül ettiği anlayışıyla.

Birincil aritmetik, matematik ve bilgisayar bilimlerindeki aşağıdaki biçimsel dillere benzer :

• Boş alfabeye sahip 1. dereceden bir Dyck dili ;
• En basit bağlamdan bağımsız dil içinde Chomsky hiyerarşisi ;
• Bir yeniden yazma sistemi olan güçlü normale ve birleşik .

LoF'daki "göstergeler hesabı" ifadesi , "birincil aritmetik" ile eşanlamlıdır.

kanon kavramı

LoF'a özgü bir kavram da "kanon" kavramıdır . İken LOF kanon tanımlamıyor, Notlar Aşağıdaki iki alıntılar Chpt için. 2 uygundur:

Daha önemli komuta yapılarına bazen kanunlar denir . Bunlar, yol gösterici buyrukların kendilerini takımyıldızlar halinde gruplandırıyormuş gibi görünme biçimleridir ve bu nedenle hiçbir şekilde birbirinden bağımsız değildirler. Bir kanon, yapım aşamasında olan sistemin dışında olma (yani, tanımlama) özelliğini taşır, ancak inşa etme emri (örneğin, 'bir ayrım çizme'), merkezi öneme sahip olsa bile, bir kanon değildir. Bir kanon, izin vermek veya izin vermek, ancak inşa etmek veya yaratmak için değil, bir emir veya emirler dizisidir.

...matematiksel iletişimin birincil biçimi betimleme değil, emirdir... Müzik de benzer bir sanat biçimidir, besteci aklındaki ses dizisini, bunların yol açtığı duygu dizisini bir yana, betimlemeye bile çalışmaz. , ancak icracı tarafından bunlara uyulursa, bestecinin orijinal deneyiminin dinleyiciye yeniden üretilmesiyle sonuçlanabilecek bir dizi komut yazar.

Bu alıntılar ayrım ilgili metalogic arasında nesne dil , tartışılan mantıksal sistem resmi dili ve üstdil , exposit ve nesne dili tartışmak için kullanılan nesne dilden farklı bir dilde (genellikle doğal dil). İlk alıntı, kanunların üst dilin bir parçası olduğunu iddia ediyor gibi görünüyor . İkinci alıntı, nesne dilindeki ifadelerin esasen yazar tarafından okuyucuya gönderilen komutlar olduğunu iddia ediyor gibi görünüyor. Standart metalojikte her iki iddia da geçerli değildir.

Birincil cebir (Bölüm 6)

Sözdizimi

Herhangi bir geçerli birincil aritmetik ifade verildiğinde, bir veya daha fazla konuma isteğe bağlı sayısal alt simgeler taşıyan herhangi bir sayıda Latin harfini ekleyin; sonuç birincil cebir formülüdür . Matematikte ve mantıkta bu şekilde kullanılan harflere değişken denir . Birincil cebir değişkeni, ilkel değerin veya onun tamamlayıcısının yazılabileceği bir konumu belirtir . Aynı değişkenin birden çok örneği, aynı ilkel değerin birden çok konumunu belirtir.

Mantıksal denkliği yöneten kurallar

'=' işareti, mantıksal olarak eşdeğer iki ifadeyi birbirine bağlayabilir; sonuç bir denklemdir . "Mantıksal olarak eşdeğer" ile, iki ifadenin aynı sadeleştirmeye sahip olduğu kastedilmektedir. Mantıksal eşdeğerlik , R1 ve R2 kuralları tarafından yönetilen birincil cebir formülleri kümesi üzerinde bir denklik ilişkisidir . "C" ve "D", her biri A alt formülünün en az bir örneğini içeren formüller olsun :

• R1 , Eşitlerin yer değiştirmesi . Yerine bir veya daha fazla örneklerini A içinde C ile B sonuçlanan E . Eğer bir = B , sonra C = E .
• R2 , Üniforma değiştirme . Yerine tüm örneklerini A olarak C ve D ile B . C , E olur ve D , F olur . Eğer C = D , daha sonra D = F . A = B'nin gerekli olmadığını unutmayın .

R2 , birincil cebir gösterimlerinde çok sık kullanılır (aşağıya bakın), neredeyse her zaman sessizce. Bu kurallar rutin olarak mantıkta ve matematiğin çoğunda, neredeyse her zaman bilinçsizce çağrılır .

Birincil cebir oluşur denklem , yani, Infix '=' ile bağlı formüllerin çiftleri. R1 ve R2 , bir denklemi diğerine dönüştürmeyi sağlar. Bu nedenle, birincil cebir , çeşitler olan Boole cebiri de dahil olmak üzere birçok cebirsel yapı gibi bir denklemsel biçimsel sistemdir . Denklemsel mantık, Principia Mathematica'dan önce yaygındı (örneğin, Peirce, ^1,2,3 Johnson 1892) ve günümüzde savunucuları var (Gries ve Schneider 1993).

Geleneksel matematiksel mantık , ön ekli bir turnike tarafından işaret edilen totolojik formüllerden oluşur . Birincil cebir formül A'nın bir totoloji olduğunu belirtmek için " A = " yazmanız yeterlidir . R1 ve R2'deki '=' yerine iki koşullu ile değiştirilirse , ortaya çıkan kurallar geleneksel mantıkta geçerlidir. Bununla birlikte, geleneksel mantık esas olarak modus ponens kuralına dayanır ; bu nedenle geleneksel mantık ponentialdır . Denklemsel-ponansiyel ikiliği, matematiksel mantığı matematiğin geri kalanından ayıran şeylerin çoğunu damıtır.

baş harfler

Bir ilk a, birincil cebri bir Denklem doğrulanabilir karar prosedürü ve bu gibidir olmayan bir aksiyomu . LoF baş harflerini sıralar :

J1:

bir bir

= .

Yukarıdaki "=" işaretinin sağında herhangi bir şeyin olmaması kasıtlıdır.

J2:

bir B

C

=

AC M.Ö

.

J2 tanıdık dağıtım hukuk ait cümlesel mantığı ve Boole cebir .

Hesaplamalara daha yakın olan başka bir baş harf grubu:

J0:

bir

=

A.

J1a:

bir bir

=

.

C2:

bir

AB

=

bir

B

.

Bu sayesinde C2 bu birincil cebir a, kafes . Sayesinde J1a , bu a, komplemente kafes , üst sınırdır . Tarafından J0 , karşılık gelen alt sınır ve bir kimlik elemanı . J0 ayrıca A2'nin cebirsel bir versiyonudur ve boş sayfa ile hangi takma adların anlamını netleştirir .

İçinde T13 lof genelleştirilmiş C2 olarak izler. Herhangi bir birincil cebir (veya cümle mantığı) formülü B , dalları olan sıralı bir ağaç olarak görüntülenebilir . Sonra:

T13 : A altformülü A herhangi derinlikte içine iradesiyle kopyalanabilir B daha büyük A sürece, A ve kopya aynı işkolunda olduğu B . Ayrıca, B öğesinin aynı dalında birden çok A örneği verildiğinde , en sığ olanlar dışındaki tüm örnekler gereksizdir.

T13'ün bir kanıtı tümevarım gerektirse de , bunun altında yatan sezgi açık olmalıdır.

C2 veya eşdeğeri şu şekilde adlandırılır:

• LoF'da "Nesil" ;
• Johnson'da (1892) "Dışlama";
• William Bricken'ın eserinde "Yaygınlık".

Belki de gücüyle bir aksiyomu veya kural ilk örneği C2 T13 ve birleştirme "(De) yineleme kuralı" idi AA = A bölgesinin CS Peirce 'in varoluş grafikler .

LoF , birleştirmenin varsayılan olarak gidip gelme ve ilişkilendirme olarak okunabileceğini ve bu nedenle açıkça varsayılması veya gösterilmesi gerekmediğini iddia eder . (Peirce varoluşsal grafikleri hakkında benzer bir iddiada bulundu .) Gruplandırmayı oluşturmak için bir nokta geçici bir gösterim olsun. Bu birleştirmenin işe gidip geldiği ve ilişkilendirdiği daha sonra aşağıdakilerden gösterilebilir:

• Başlangıç AC.D = CD.A ve sonuç AA = A (Byrne 1946). Bu sonuç tüm kafesler için geçerlidir , çünkü AA = A , tüm kafesler için geçerli olan absorpsiyon yasasının kolay bir sonucudur ;
• Baş harfleri AC.D = AD.C ve J0 . Yana J0 yalnızca alt sınır olan kafeslerin için de geçerlidir, bu yöntem için de geçerlidir sınırlı örgüleri (içerir birincil cebir ve 2 ). Değişebilirlik önemsizdir; sadece A = ayarlayın . İlişkilendirme: AC.D = CA.D = CD.A = A.CD .

Çağrışım gösterdikten sonra, dönem atılabilir.

Meguire'deki (2011) baş harfleri AC.D = CD.A şeklindedir ve B1 olarak adlandırılır ; yukarıdaki B2 , J0; yukarıdaki B3 , J1a; ve B4 , C2. Tasarım gereği, bu harfler, bir aksiyomlarına çok benzer değişmeli grubu , G1-G3 , aşağıdaki.

ispat teorisi

Birincil cebir kanıtladı iddiaların üç tür içerir:

• Sonuç , bir gösteri ile doğrulanan bir birincil cebir denklemidir . Bir gösteri bir dizi adımdan oluşur , her adım bir başlangıç ​​veya daha önce kanıtlanmış bir sonuçla gerekçelendirilir.
• Teorem ,eğitimli matematikçiler ve mantıkçılar tarafından kabul edilen, üst dilde formüle edilmişbir kanıt , yani bir argümantarafından doğrulananüst dilde bir ifadedir.
• Başlangıç , yukarıda tanımlanmıştır. Gösteriler ve kanıtlar, sanki bir aksiyommuş gibi bir başlangıcı çağırır.

Sonuç ve teorem arasındaki ayrım , matematik ve mantık dahil tüm biçimsel sistemler için geçerlidir, ancak genellikle açık hale getirilmez. Bir gösteri veya karar prosedürü bilgisayar tarafından gerçekleştirilebilir ve doğrulanabilir. Kanıtı a teoremi olamaz.

Let A ve B olmak birincil cebir formülleri . Bir gösteri A = B iki yöntemden birini ilerleyebilir:

• B elde edilene kadar A'yı adım adım değiştirin veya tam tersi;
• Kolaylaştırın hem ve için . Bu bir "hesaplama" olarak bilinir.

Bir kez bir = B gösterilmiştir, bir = B sonraki gösterilerde adımları haklı çıkarmak için çağrılabilir. Birincil cebir gösteriler ve hesaplamalar genellikle en fazla ihtiyaç J1a , J2 , C2 , ve sonuçlar ( C3 içinde lof ), ( C1- ) ve AA = A ( C5 ).

Sonuç , LoF'deki C7' , LoF'nin T14'ün ispatında taslağı çizilen, keyfi bir birincil cebir formülünü derinliği ikiyi geçmeyen eşdeğer bir formüle dönüştüren bir algoritmayı mümkün kılar . Sonuç normal bir biçimdir , birleşik normal formun birincil cebir analoğudur . LoF (T14–15) , her formülün normal bir forma sahip olduğu iyi bilinen Boole cebir teoreminin birincil cebir analogunu kanıtlar .

Let bir bir olmak altformülü bazı formül B . C3 ile eşleştirildiğinde , J1a hesaplamalar için kapatma koşulu olarak görülebilir: B bir totolojidir, ancak ve ancak A ve ( A ) her ikisi de B'nin 0 derinliğinde görünüyorsa . Doğal kesintinin bazı sürümlerinde ilgili bir koşul görünür . Hesaplama yoluyla bir gösterim genellikle şundan biraz daha fazlasıdır:

• Gereksiz alt formülleri ortadan kaldırmak için T13'ü tekrar tekrar çağırmak;
• Forma sahip alt formüllerin silinmesi .

Bir hesaplamanın son adımı her zaman J1a'yı çağırır .

LOF aşağıdaki standart zarif yeni deliller içermektedir metateori :

• Tamlık : tüm birincil cebir sonuçları baş harflerinden gösterilebilir (T17).
• Kurtuluş : J1 ile gösterilebilir edilemez J2 tersi ve mengene (T18).

Yani cümlesel mantık her ilk üniversite kursuna öğretilir tamamlandıktan matematiksel mantık . Ancak Boole cebrindeki üniversite dersleri 2'nin tamlığından nadiren bahseder .

yorumlar

Olarak işaretlendi ve İşaretlenmemiş devletler okunur ise Boole 1 ve (veya 0 değerlerini Doğru ve Yanlış ), birincil cebir , yorumlayan 2 (veya cümlesel mantık ). LOF nasıl gösterileri birincil cebir yorumlayabilir tasımı . Bu yorumların her biri aşağıdaki bir alt bölümde tartışılmaktadır. Genişletme birincil cebir o diye yorumlamak standart birinci dereceden mantığı henüz yapılması gereken, ancak Peirce 'nin beta varoluşsal grafikleri bu uzatma mümkün olduğunu göstermektedir.

İki elemanlı Boole cebiri 2

Birincil cebir için zarif minimalist gösterimi olan iki eleman Boole cebri 2 . İzin Vermek:

• Boolean birleştirme (+) veya karşılama (×) birleştirme yorumlarından biri ;
• Tamamlayıcı bir A yorumlamak
• 0 (1) birleştirme (meet) birleştirmeyi yorumluyorsa boş İşareti yorumlayın (çünkü sıfır işlenenlere uygulanan bir ikili işlem , bu işlemin kimlik öğesine eşit olarak kabul edilebilir ; veya başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, eksik, varsayılan olarak kimlik öğesi gibi hareket ediyor olarak kabul edilebilir).

Join (meet) AC'yi yorumlarsa , Meet (join) yorumlarını yorumlar . Bu nedenle, birincil cebir ve 2 izomorfiktir, ancak bir ayrıntı için: birincil cebir tamamlaması sıfır olabilir, bu durumda ilkel bir değeri belirtir. Modulo bu ayrıntı, 2 birincil cebirin bir modelidir . Birincil aritmetik, 2'nin aşağıdaki aritmetik aksiyomatizasyonunu önerir : 1+1=1+0=0+1=~0, ve 0+0=0=~1. ${\displaystyle {\overline {{\overline {A|}}\ \ {\overline {C|}}{\Big |}}}}$

Dizi olduğu Boole alanı veya taşıyıcı . Dilinde evrensel cebir , birincil cebir olan cebirsel yapısı Çeşidi . İfade yeterliliği arasında Sheffer inme işaret birincil cebir da olmak Çeşidi cebri . Her iki durumda da kimlikler J1a, J0, C2 ve ACD=CDA şeklindedir . Yana birincil cebir ve 2 olan izomorfik , 2 bir şekilde görülebilir Çeşidi cebir . 2'nin bu açıklaması geleneksel olandan, yani cebir türünden daha basittir . ${\görüntüleme stili \ B=\{}$ ${\görüntüleme stili,}$ ${\görüntüleme stili \\}}$ ${\displaystyle \langle B,-\ -,{\overline {-\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle }$${\ Displaystyle \ langle 2,1,0\rangle }$${\displaystyle \langle B,{\overline {-\ -\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle }$${\displaystyle \langle 2,0\rangle }$${\displaystyle \ langle B,+,\lnot ,1\rangle }$${\ Displaystyle \ langle 2,1,0\rangle }$${\displaystyle \langle B,+,\times ,\lnot ,1,0\rangle }$${\displaystyle \ langle 2,2,1,0,0\rangle }$

İki olası yorum, Boolean anlamda birbirine çifttir. (Boole cebrinde, bir denklem boyunca VE ↔ OR ve 1 ↔ 0 değiş tokuş edilmesi eşit derecede geçerli bir denklem verir.) Hangi yorumlamanın seçildiğine bakılmaksızın özdeşlikler değişmez kalır, dolayısıyla dönüşümler veya hesaplama modları aynı kalır; sadece her formun yorumu farklı olurdu. Örnek: J1a . Yan yana koymayı VEYA ve 1 olarak yorumlamak , hangisinin doğru olduğunu çevirir . Yan yana koymayı AND ve 0 olarak yorumlamak , bu, hangisinin doğru olduğunu (ve 'nin ikilisi ) de çevirir . ${\displaystyle \neg A\lor A=1}$${\displaystyle \neg A\land A=0}$${\displaystyle \neg A\lor A=1}$

cümle mantığı

Boş sayfa göstermektedirler edelim sahte ve Çapraz olarak okunabilir izin Değil . Daha sonra birincil aritmetik aşağıdaki cümlesel okumaya sahiptir:

 =   Yanlış

 =   Doğru  =   Yanlış değil

 =   Doğru değil  =   Yanlış

Birincil cebir şöyle cümlesel mantığı yorumlar. Bir harf, verilen herhangi bir cümlesel ifadeyi temsil eder. Böylece:

yorumlayıp Not A

yorumlayıp A Veya B

yorumlayıp Değil Bir Veya B veya Ardından ise A B .

yorumlayıp Değil (Not A Or Not B)

veya Değil (A ise B Değilse)

veya A ve B .

bir b bir b

,

bir b ab

her ikisi de A'yı ancak ve ancak B veya A'nın B'ye eşdeğer olması durumunda yorumlar .

Bu nedenle herhangi bir ekspresyon cümlesel mantık bir sahiptir birincil cebir çeviri. Eşdeğer, birincil cebir yorumlamaktadır cümlesel mantık. Her değişkenin İşaretli veya İşaretsiz durumlarına atanması verildiğinde, bu birincil cebir çevirisi, basitleştirilebilen birincil bir aritmetik ifadeye indirgenir. Bu alıştırmayı her değişkene iki ilkel değerin olası tüm atamaları için tekrarlamak, orijinal ifadenin totolojik mi yoksa tatmin edici mi olduğunu ortaya çıkarır . Bu, az ya da çok geleneksel doğruluk tablolarının ruhuna uygun bir karar prosedürü örneğidir . N değişken içeren bazı birincil cebir formülü verildiğinde , bu karar prosedürü 2 ^N birincil aritmetik formülün basitleştirilmesini gerektirir . Daha ruhuyla daha az sıkıcı kararın usul için Quine 'ın 'gerçek değer analizi', Meguire (2003) bakınız.

(1981) Schwartz kanıtladı primer cebri - eşdeğerdir sözdizimsel , semantik ve teorik olarak dayanıklı - ile klasik önermeler mantığı . Benzer şekilde, birincil cebirin , klasik true ve false doğruluk değerlerinden , NOT, OR ve AND mantıksal bağlaçlarından ve parantezlerden olağan şekilde oluşturulmuş ifadelerle sözdizimsel olarak eşdeğer olduğu gösterilebilir.

İşaretsiz Durumu Yanlış olarak yorumlamak tamamen keyfidir; bu durum True olarak da okunabilir . Tek gereken, birleştirme yorumunun VEYA'dan VE'ye değişmesidir. IF A THEN B şimdi yerine . Daha genel olarak, birincil cebir "kendinden çiftlidir ", yani herhangi bir birincil cebir formülünün , her biri diğerinin ikilisi olan iki cümle veya Boolean okumaya sahip olduğu anlamına gelir . Self-dualitenin bir başka sonucu, De Morgan'ın yasalarının ilgisizliğidir ; bu yasalar , başlangıçtan itibaren birincil cebirin sözdiziminde yerleşiktir .

Bir yanda birincil cebir ile diğer yanda 2 ve cümle mantığı arasındaki ayrımın gerçek doğası şimdi ortaya çıkıyor. İkinci biçimciliklerde, "hiçbir şey" üzerinde işleyen tamamlama / olumsuzlama iyi biçimlenmemiştir. Ancak boş bir Haç, ilkel bir değer olan İşaretli durumu ifade eden iyi biçimlendirilmiş bir birincil cebir ifadesidir. Bu nedenle boş olmayan bir çapraz bir bir operatör , boş çapraz bir iken, işlenen bir temel değerini belirtir, çünkü. Böylece birincil cebir , şimdiye kadar farklı olan operatör ve işlenen matematiksel kavramlarının aslında tek bir temel eylemin, yani bir ayrım yapmanın yalnızca farklı yüzleri olduğunu ortaya çıkarır.

kıyaslar

2. Ek LOF nasıl geleneksel çevirmek için gösteriler syllogisms ve sorites içine birincil cebir . Geçerli bir kıyas basitçe, birincil cebir çevirisi boş bir Haç'a basitleştiren bir kıyastır. Let A * anlamında olabildikleri bir edebi , yani, ya A ya da kayıtsızca. O halde bir veya daha fazla terimin boş varsayılmasını gerektirmeyen her kıyas, Barbara'nın birincil cebir eşdeğeri olan bir genellemesinin 24 olası permütasyonundan biridir . Bu 24 olası permütasyon, Aristotelesçi ve ortaçağ mantığında geçerli sayılan 19 kıyas biçimini içerir . Bu birincil cebir syllogistic mantığın çeviri de düşündürmektedir birincil cebir olabilir yorumlamak monadic ve terim mantığı olduğunu ve birincil cebir için benzerliklere sahip olduğu Boole süreli schemata (: Bölüm II 1982) Quine'ın. ${\displaystyle {\overline {A|}}}$${\displaystyle {\overline {A^{*}\ B|}}\ \ {\overline {{\overline {B|}}\ C^{*}{\Big |}}}\ A^{*} \ C^{*}}$

Bir hesaplama örneği

Leibniz'in önemsiz Praeclarum Teoreminin aşağıdaki hesaplaması , birincil cebirin ispat gücünü örneklemektedir . C1 olsun = A , C2 olsun , C3 olsun , J1a olsun ve OI değişkenlerin ve alt formüllerin değiştirilebilirlik ve ilişkiselliğin izin verdiği şekilde yeniden düzenlendiği anlamına gelsin . ${\displaystyle {\overline {{\overline {A|}}{\Big |}}}}$${\displaystyle A\ {\overline {A\ B|}}=A\ {\overline {B|}}}$${\displaystyle {\overline {\ \ |}}\ A={\overline {\ \ |}}}$${\displaystyle {\overline {A|}}\ A={\overline {\ \ |}}}$

[( P → R )∧( Q → S )]→[( P ∧ Q )→( R ∧ S )].	Praeclarum Teoremi .
P $ S S P S $ S .	birincil cebir çevirisi
P $ S S P S $ S .	C1.
P $ S S P S $ S .	C1.
P P $ S S S $ S .	HAK.
P $ S S S $ S .	C2.
P $ S S S $ S .	HAK.
P $ S S $ S .	C2.
P S S $ $ S .	HAK.
P S S $ S .	C2.
P S S $ S .	C1.
P S S S $ .	HAK.
P S B $ .	J1a.
B P S $ .	HAK.
B	C3. ${\görüntüleme stili\kare }$

Magmalarla ilişkisi

Birincil cebir tarafından da belirtildiği bir noktaya temsil Huntington 1933 yılında: Boole cebri bir ek gerektirir tekli çalışması , bir ve iki değil, ikili operasyonlar . Bu nedenle, Boole cebirlerinin magmalar olduğu nadiren belirtilen gerçektir . (Magmaların çağrıldı grupoid ikincisi terim tarafından tahsis edilene dek kategori teorisi .) Bunu görmek için, nota o birincil cebir bir olduğunu değişmeli :

• Yarıgrup çünkü birincil cebir yan yana gidip gelir ve ilişkilendirir ;
• Monoid ile kimlik elemanı sayesinde, J0 .

Gruplar ayrıca Boolean tamamlamanın grup karşılığı olan ters adı verilen tekli bir işlem gerektirir . Izin tersini gösteren bir . Let grubunu kimlik elemanı . Daha sonra gruplar ve birincil cebir aynı imzalara sahiptir , yani her ikisi de 〈2,1,0〉 türünde cebirlerdir. Dolayısıyla birincil cebir bir sınır cebiridir . Bir değişmeli grup için sınır gösteriminde aksiyomlar şunlardır: ${\displaystyle \langle -\ -,{\overline {-\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle }$

• G1 . abc = acb (soldan ilişkilendirme varsayılarak);
• G2 .
• G3 . .

Kaynaktan G1 ve G2 , Yerdeğiştirme ve birleştirme birleşme yukarıdaki gibi, elde edilebilir. Not G3 ve J1a özdeştir.  =  A2 ile    değiştirilirse G2 ve J0 özdeş olacaktır    . Bu, sınır gösteriminde grup teorisinin tanımlayıcı aritmetik kimliğidir.

Birincil cebri bir farklılık değişmeli grup iki şekilde:

• Gönderen A2 , o izler ≠ . Eğer birincil cebri bir edildi grubu , = tutun ve bir olacaktır    bir  =     ya da    bir  =  bir    a olması gerekir birincil cebir sonucu. Not olduğu ve karşılıklı olarak birinci cebri grup teorisi, böylece gerektirir, tamamlayıcı iki grup teorisi geçerlidir birincil cebir ;  ${\displaystyle {\overline {\ {\overline {\ {\overline {\ \ |}}\ {\Big |}}}\ {\Bigg |}}}={\overline {\ \ |}}}$
• C2 , birincil cebiri diğer magmalardan en açık şekilde ayırır, çünkü C2 , kafesleri tanımlayan soğurma yasasını ve Boole cebirinin merkezinde yer alan dağılım yasasını göstermeye olanak tanır .

Hem A2 hem de C2 , B'nin sıralı bir küme olmasını takip eder .

İkinci dereceden denklemler (Bölüm 11)

LoF Bölüm 11, "sonsuz" derinliğe sahip olarak görülebilen özyinelemeli formüllerden oluşan ikinci dereceden denklemleri tanıtır . Bazı özyinelemeli formüller, işaretli veya işaretsiz durumu basitleştirir. Diğerleri, belirli bir derinliğin çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlı olarak iki durum arasında süresiz olarak "salınır". Spesifik olarak, belirli özyinelemeli formüller, ardışık zaman aralıklarında doğru ve yanlış arasında salınım olarak yorumlanabilir , bu durumda bir formülün "hayali" bir doğruluk değerine sahip olduğu kabul edilir. Böylece zamanın akışı birincil cebire dahil edilebilir .

Turney (1986), bu özyinelemeli formüllerin Alonzo Church'ün Sınırlı Özyinelemeli Aritmetiği (RRA) aracılığıyla nasıl yorumlanabileceğini göstermektedir . Church, RRA'yı 1955'te sonlu otomatların aksiyomatik bir resmileştirmesi olarak tanıttı . Turney (1986), ikinci dereceden denklemleri Church'ün RRA'sına çevirmek için genel bir yöntem sunar, yöntemini LoF'nin 11. bölümünde E1 , E2 ve E4 formüllerini kullanarak gösterir . RRA'ya yapılan bu çeviri, Spencer-Brown'ın E1 ve E4'e verdiği "bellek" ve "sayaç" adlarına ışık tutuyor . Böylece RRA, LoF'un hayali bir doğruluk değeri kavramını resmileştirir ve netleştirir .

İlgili iş

Gottfried Leibniz , 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarından önce yayınlanmayan muhtıralarda Boole mantığını icat etti . Onun gösterimi LoF'ninkiyle eşbiçimliydi : birleştirme, bağlaç olarak okundu ve "( X ) olmayan " , X'in tamamlayıcısı olarak okundu . Leibniz'in cebirsel mantıktaki öncü rolünün tanınması, Lewis (1918) ve Rescher (1954) tarafından öngörülmüştür . Ancak Leibniz'in başarılarının tam olarak takdir edilmesi, 1980'lerde yayınlanan ve Lenzen'de (2004) gözden geçirilen Wolfgang Lenzen'in çalışmasını beklemek zorundaydı.

Charles Sanders Peirce (1839–1914), birincil cebiri üç çalışma alanında öngördü :

1. 1886'da yazdığı iki makale, yalnızca bir sembol kullanan mantıksal bir cebir önerdi, flama , LoF Haçı ile neredeyse aynı . Yayıncının semantiği Haç'ınkiyle aynıdır, ancak Peirce hiçbir zaman altında hiçbir şey olmayan bir flama yazmamıştır. Bu makalelerden birinden bir alıntı 1976'da yayınlandı, ancak 1993'e kadar tam olarak yayınlanmadılar.
2. 1902 tarihli bir ansiklopedi makalesinde, Peirce Boole cebrini ve cümle mantığını bu giriş tarzında not etti, ancak iki ayraç stili kullandı, '(', ')' ve '[', ']' arasında her bir artışla geçiş yaptı. formül derinliği.
3. Sözdizimi kendi alfa varoluş grafikler sadece bir birleştirme olarak okunduğunda, bağlantılı olarak okunduğunda, oval ile, ve muhafazanın reddi . Eğer birincil cebri birleştirme olarak okunur birlikte , o zaman, bu grafiklerdir izomorfik için birincil cebir (Kauffman 2001).

İronik olarak, LoF vol. Yukarıda (2) ve (3)'teki formalizmlerin kaynağı olan Peirce'nin Toplu Makalelerinden 4'ü . (1)-(3), o zamanlar (1960'lar) ve (İngiltere) LoF'un yazıldığı yerde neredeyse bilinmiyordu . Peirce göstergebilim hangi, LOF sessiz, henüz felsefi yönlerine ışık tutabilir LOF .

Kauffman (2001) , Bertrand Russell'ın öğrencisi olan Jean Nicod'un 1917 tarihli bir makalesindeki LoF'a benzer başka bir gösterimi tartışır .

Yukarıdaki formalizmler, birincil cebir gibi, sınır matematiğinin tüm örnekleridir , yani sözdizimi harfler ve parantezlerle (kapatma aygıtları) sınırlı olan matematik. Bu nitelikteki minimalist bir sözdizimi, bir "sınır gösterimi" dir. Sınır gösterimi, infix , prefix veya postfix operatör sembolleri içermez . Küme teorisinin çok iyi bilinen küme parantezleri ('{', '}') bir sınır gösterimi olarak görülebilir.

Leibniz, Peirce ve Nicod'un çalışmaları, Emil Post'un 1920'deki dönüm noktası niteliğindeki makalesinden ( LoF'un alıntıladığı ) önce ve cümle mantığının tamamlandığını kanıtlayan ve Hilbert ve Łukasiewicz'in kullanarak aksiyom bağımsızlığının nasıl kanıtlanacağını göstermeden önce yazdıkları gibi metateoriden masumdur. modeller .

Craig (1979), dünyanın ve insanların bu dünyayı nasıl algıladığı ve onunla nasıl etkileşime girdiğinin zengin bir Boole yapısına sahip olduğunu savundu. Craig, ortodoks bir mantıkçıydı ve cebirsel mantık konusunda bir otoriteydi .

İkinci nesil bilişsel bilim , 1970'lerde LoF yazıldıktan sonra ortaya çıktı . Bilişsel bilim ve bunun Boole cebri, mantık ve küme teorisi ile ilgisi hakkında , bakınız Lakoff (1987) ("Görüntü şeması örnekleri: kapsayıcı" altındaki dizin girişlerine bakınız) ve Lakoff ve Núñez (2001). Her iki kitap da LoF'tan bahsetmez .

Biyologlar ve bilişsel bilim adamları Humberto Maturana ve öğrencisi Francisco Varela , "farklılığı" temel bilişsel eylem olarak tanımlayan yazılarında LoF'u tartışıyorlar . Berkeley psikoloğu ve bilişsel bilim adamı Eleanor Rosch , yakından ilişkili kategorizasyon kavramı üzerine kapsamlı yazılar yazdı.

Birincil cebire olası yakınlıkları olan diğer resmi sistemler şunları içerir:

• Tipik olarak Boole cebrine çok benzeyen bir kafes yapısına sahip olan mereoloji . Birkaç yazarlar için, mereology bir basitçe modeli arasında Boole cebri ve dolayısıyla birincil cebir de.
• Boole cebirinden doğası gereği daha zengin olan Mereotopoloji ;
• Temel ilkeli "gösterge" olan Whitehead'in (1934) sistemi.

Birincil aritmetik ve cebir, cümle mantığı ve Boole cebri için minimalist bir formalizmdir . Küme teorisinin gücüne sahip diğer minimalist formalizmler şunları içerir:

• Lambda taşı ;
• İki ( S ve K ) veya hatta bir ( X ) ilkel birleştirici ile kombinasyon mantığı ;
• Matematiksel mantık , yalnızca üç ilkel kavramla yapılır: bir bağlaç , NAND ( birincil cebir çevirisi veya ikilisi olan ), evrensel niceleme ve küme üyeliğini gösteren bir ikili atom formülü . Bu Quine'in (1951) sistemidir .${\displaystyle {\overline {A\ \ B\ |}}}$${\displaystyle {\overline {A|}}\ \ {\overline {B|}}}$
• Beta varoluşsal grafikleri tek olan, ikili yüklem seti üyelik gösteren. Bu henüz keşfedilmedi. A yukarıda belirtilen grafikler özel bir durumu olan , beta grafikler.

Ayrıca bakınız

• Boole cebiri (Basit İngilizce Vikipedi)
• Boole cebiri (giriş)
• Boole cebiri (mantık)
• Boole cebiri (yapı)
• Kanonik olarak tanımlanmış Boole cebirleri
• Boole mantığı
• özgün grafik
• varoluşsal grafik
• Boole cebri konularının listesi
• önermeler hesabı
• İki elemanlı Boole cebiri

Notlar

Referanslar

• Form Kanunlarının Basımları :
  • 1969. Londra: Allen & Unwin, ciltli.
  • 1972. Crown Publishers, ciltli: ISBN  0-517-52776-6
  • 1973. Bantam Kitapları, ciltsiz kitap. ISBN  0-553-07782-1
  • 1979. EP Dutton, ciltsiz kitap. ISBN  0-525-47544-3
  • 1994. Portland VEYA: Cognizer Company, ciltsiz kitap. ISBN  0-9639899-0-1
  • 1997 Almanca çeviri, başlıklı Gesetze der Form . Lübeck: Bohmeier Verlag. ISBN  3-89094-321-7
  • 2008 Bohmeier Verlag, Leipzig, 5. uluslararası baskı. ISBN  978-3-89094-580-4
• Bostock, David, 1997. Orta Düzey Mantık . Oxford Üniv. Basın.
• Byrne, Lee, 1946, "Boole Cebirinin İki Formülasyonu", Amerikan Matematik Derneği Bülteni : 268-71.
• Craig, William (1979). "Boole Mantık ve Gündelik Fiziksel Dünya". Amerikan Felsefe Derneği'nin Bildirileri ve Adresleri . 52 (6): 751–78. doi : 10.2307/3131383 . JSTOR  3131383 .
• David Gries ve Schneider, FB, 1993. Ayrık Matematik için Mantıksal Bir Yaklaşım . Springer-Verlag.
• William Ernest Johnson , 1892, "Mantıksal Hesap", Akıl 1 (ns): 3-30.
• Louis H. Kauffman , 2001, " CS Peirce'in Matematiği ", Sibernetik ve İnsan Bilgisi 8: 79-110.
• ------, 2006, " Harita Renk Teoreminin Yeniden Oluşturulması. "
• ------, 2006a. " Form Yasaları - Matematik ve Temellerde Bir Keşif. " Kitap taslağı (dolayısıyla büyük).
• Lenzen, Wolfgang, 2004, Gabbay, D. ve Woods, J., eds., The Rise of Modern Logic: From Leibniz to Frege'de " Leibniz's Logic " (Handbook of the History of Logic – Vol. 3) . Amsterdam: Elsevier, 1-83.
• Lakoff, George , 1987. Kadınlar, Ateş ve Tehlikeli Şeyler . Chicago Üniversitesi Yayınları.
• -------- ve Rafael E. Núñez , 2001. Matematiğin Nereden Geldiği : Bedenlenmiş Zihin Matematiği Nasıl Varlığa Getirir . Temel Kitaplar.
• Meguire, PG (2003). "Sınır Cebirini Keşfetmek: Boole Cebiri ve Doğruluk İşlevleri için Basitleştirilmiş Bir Gösterim". Uluslararası Genel Sistemler Dergisi . 32 : 25–87. CiteSeerX  10.1.1.106.634 . doi : 10.1080/0308107031000075690 . S2CID  9460101 .
• --------, 2011. Sınır Cebiri: Temel Mantık ve Boole Cebirine Daha Basit Bir Yaklaşım . VDM Yayıncılık Ltd. ISBN  978-3639367492 . LoF'un bir çarpı işaretinin altına yerleştirdiği şeyleri parantez içine alan gösterim de dahil olmak üzere bu girdinin çoğunun kaynağı . LoF'un daha spekülatif yönlerinden uzak durur .
• Willard Quine , 1951. Matematiksel Mantık , 2. baskı. Harvard Üniversitesi Yayınları.
• --------, 1982. Mantık Yöntemleri , 4. baskı. Harvard Üniversitesi Yayınları.
• Rescher, Nicholas (1954). "Leibniz'in Mantıksal Hesaplarının Yorumu" . Sembolik Mantık Dergisi . 18 (1): 1-13. doi : 10.2307/2267644 . JSTOR  2267644 . S2CID  689315 .
• Schwartz, Daniel G. (1981). "G. Spencer-Brown'ın Form Yasalarının ve F. Varela'nın Kendine Referans için Hesabının İzomorfizmleri ". Uluslararası Genel Sistemler Dergisi . 6 (4): 239–55. doi : 10.1080/03081078108934802 .
• Turney, PD (1986). " Biçim Kanunları ve Sonlu Otomatlar". Uluslararası Genel Sistemler Dergisi . 12 (4): 307–18. doi : 10.1080/03081078608934939 .
• AN Whitehead , 1934, "Gösterge, sınıflar, sayı, doğrulama", Akıl 43 (ns): 281–97, 543. Düzeltme, s. 543 sayısı çoktur ve önemlidir ve bu makalenin sonraki baskıları bunları içermemektedir.
• Dirk Baecker (ed.) (1993), Kalkül der Form. Suhrkamp; Dirk Baecker (ed.), Probleme der Form . Suhrkamp.
• Dirk Baecker (ed.) (1999), Form Problemleri , Stanford University Press.
• Dirk Baecker (ed.) (2013), A Mathematics of Form, A Sociology of Observers , Cybernetics & Human Knowing, cilt. 20, hayır. 3-4 .

Dış bağlantılar

• Form Kanunları , Richard Shoup'un web sitesinin arşivi.
• Spencer-Brown'ın Esalen'deki konuşmaları, 1973. Kendinden referanslı formlar "Denklemlerin Derecesi ve Tipler Teorisi" başlıklı bölümde tanıtılmaktadır.
• Louis H. Kauffman , " Kutu Cebiri, Sınır Matematiği, Mantık ve Form Kanunları. "
• Kissel, Matthias, " Form Yasalarına sistematik olmayan ama anlaşılması kolay bir giriş . "
• Form Forumu'nun Yasalar birincil cebir ve ilgili Biçimsel 2002 yılından bu yana tartışılmıştır.
• Moshe Klein tarafından GSB ile bir toplantı
• The Markable Mark , Form Kanunları fikirlerine kolay aşamalarla giriş
• Louis Kauffman ve Arthur Collings'in BF Hesabı ve Olumsuzlamanın Karekökü; hayali bir mantıksal değer ekleyerek Form Kanunlarını genişletir. (Hayali mantıksal değerler, Form Yasaları kitabının 11. bölümünde tanıtılmaktadır .)
• Form Yasaları Kursu - insanları, Spencer-Brown'ın yazarla birlikte çalışan son öğrencisi Leon Conrad'ın Form Yasaları metninin ana gövdesine götüren ücretsiz bir çevrimiçi kurs .