Üçlü ürün kuralı - Triple product rule

Üç ürün, kural olarak anılan, siklik zincir kuralı , siklik ilişki , çevrimsel bir kural veya Euler zincir kuralı , ilgili bir formül kısmi türev , üç birbirine bağlı değişkenler. Kural , genellikle üç değişkenin f ( x , y , z ) = 0 biçimindeki bir fonksiyonla ilişkilendirilebildiği termodinamikte uygulama bulur , bu nedenle her değişken diğer iki değişkenin örtük bir fonksiyonu olarak verilir. Örneğin, bir durum denklemi bir için sıvı ile ilgilidir sıcaklık , basınç ve hacim , bu şekilde. Bu tür birbiriyle ilişkili değişkenler x , y ve z için üçlü çarpım kuralı , kapalı fonksiyon teoreminin sonucu üzerinde bir karşılıklılık ilişkisi kullanmaktan gelir ve şu şekilde verilir:

${\displaystyle \sol({\frac {\kısmi x}{\kısmi y}}\sağ)_{z}\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi z}}\sağ)_{x }\sol({\frac {\kısmi z}{\kısmi x}}\sağ)_{y}=-1.}$

Not: Her faktörde paydaki değişken, diğer ikisinin örtük bir işlevi olarak kabul edilir. Her bir faktörde, indisli değişken sabit tutulmaktadır.

Burada indisler, kısmi türev alındığında hangi değişkenlerin sabit tutulduğunu gösterir. Kendisine, açık bir şekilde kısmi türevi hesaplamak için x göre y ile z tutulan sabit bir mal olur x bir fonksiyonu olarak y ve z ve ile ilgili olarak bu fonksiyonun kısmi türevini alabilir y sadece.

Üçlü çarpım kuralının avantajı, terimleri yeniden düzenleyerek, analitik olarak değerlendirilmesi, deneysel olarak ölçülmesi veya çalışması daha kolay olan kısmi türevlerin bölümleriyle entegre edilmesi zor olan kısmi türevlerin değiştirilmesine izin veren bir dizi ikame özdeşliğinin türetilebilmesidir. ile birlikte. Örneğin,

${\displaystyle \sol({\frac {\partial x}{\partial y}}\sağ)_{z}=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}} \sağ)_{x}}{\sol({\frac {\kısmi z}{\kısmi x}}\sağ)_{y}}}}$

Literatürde kuralın çeşitli başka biçimleri de mevcuttur; bunlar { x , y , z } değişkenlerine izin verilerek türetilebilir .

türetme

Resmi olmayan bir türetme izler. Varsayalım ki f ( x , y , z ) = 0 Yazma z bir fonksiyonu olarak , x ve y . Bu nedenle tam diferansiyel dz olan

${\displaystyle dz=\sol({\frac {\partial z}{\partial x}}\sağ)_{y}dx+\sol({\frac {\partial z}{\partial y}}\sağ) _{x}dy}$

Eğrinin x ile parametrelendiği dz = 0 olan bir eğri boyunca hareket ettiğimizi varsayalım . Böylece y , x cinsinden yazılabilir , yani bu eğri üzerinde

${\displaystyle dy=\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi x}}\sağ)_{z}dx}$

Bu nedenle, dz = 0 denklemi

${\displaystyle 0=\sol({\frac {\partial z}{\partial x}}\sağ)_{y}\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\ sağ)_{x}\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi x}}\sağ)_{z}\,dx}$

Bunun tüm dx için doğru olması gerektiğinden , terimleri yeniden düzenlemek

${\displaystyle \sol({\frac {\partial z}{\partial x}}\sağ)_{y}=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\sağ)_ {x}\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi x}}\sağ)_{z}}$

Sağ taraftaki türevlere bölmek üçlü çarpım kuralını verir.

${\displaystyle \sol({\frac {\kısmi x}{\kısmi y}}\sağ)_{z}\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi z}}\sağ)_{x }\sol({\frac {\kısmi z}{\kısmi x}}\sağ)_{y}=-1}$

Bu kanıt, kısmi türevlerinin varlığı ile ilgili pek çok kapalı varsayımlar yapar Not varlığı tam diferansiyel dz , yeteneği, bazı bir eğri oluşturmak için mahalle sahip dz  = 0 ve kısmi türevleri ve bunların reciprocals sıfır olmayan bir değer. Matematiksel analize dayalı resmi bir kanıt, bu olası belirsizlikleri ortadan kaldıracaktır.

alternatif türetme

x , y ve z'nin birbirinin fonksiyonları olduğu f(x,y,z)=0 bir fonksiyon varsayalım . Değişkenlerin toplam farklarını yazın

${\displaystyle dx=\sol({\frac {\kısmi x}{\kısmi y}}\sağ)_{z}dy+\sol({\frac {\kısmi x}{\kısmi z}}\sağ) _{y}dz}$

${\displaystyle dy=\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi x}}\sağ)_{z}dx+\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi z}}\sağ) _{x}dz}$

Yedek dy içine dx

${\displaystyle dx=\sol({\frac {\kısmi x}{\kısmi y}}\sağ)_{z}\sol[\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi x}}\ sağ)_{z}dx+\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi z}}\sağ)_{x}dz\sağ]+\sol({\frac {\partial x}{\partial) z}}\sağ)_{y}dz}$

Zincir kuralı kullanılarak sağ taraftaki dx katsayısının bire eşit olduğu gösterilebilir, bu nedenle dz katsayısı sıfır olmalıdır.

${\displaystyle \sol({\frac {\kısmi x}{\kısmi y}}\sağ)_{z}\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi z}}\sağ)_{x }+\sol({\frac {\kısmi x}{\kısmi z}}\sağ)_{y}=0}$

İkinci terimi çıkarıp tersiyle çarpmak üçlü çarpım kuralını verir.

${\displaystyle \sol({\frac {\kısmi x}{\kısmi y}}\sağ)_{z}\sol({\frac {\kısmi y}{\kısmi z}}\sağ)_{x }\sol({\frac {\kısmi z}{\kısmi x}}\sağ)_{y}=-1.}$

Uygulamalar

t (düz çizgi) ve t +Δ t (kesik çizgi) zamanında hareket eden bir dalganın profili . Δ t zaman aralığında , p ₂ noktası , p _1'in t zamanında sahip olduğu yüksekliğe kadar yükselecektir .

Üçlü çarpım kuralının geometrik bir gerçekleştirmesi, hareket eden bir dalganın hızına olan yakın bağlarında bulunabilir.

${\displaystyle \phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)}$

sağda t zamanında (düz mavi çizgi) ve kısa bir süre sonra t +Δ t (kesik çizgili) gösterilir. Dalga, yayılırken şeklini korur, böylece t zamanında x konumundaki bir nokta, t +Δ t zamanında x +Δ x konumundaki bir noktaya karşılık gelir ,

${\displaystyle A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t))).}$

Bu denklem, yalnızca k  Δ x − ω  Δ t = 0 ise tüm x ve t için karşılanabilir , bu da faz hızı formülüyle sonuçlanır.

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.}$

Üç ürün, kuralına bağlantı aydınlatmak için, nokta dikkate p ₁ kez de t ve (aynı yükseklikte) karşılık gelen noktası , s ₁ ile T + Δ t . Tanımlama p ₂ saat nokta olarak t olan bu sonuç x koordinatı p ₁ ve tanımlamak p ₂ karşılık gelen noktası olmaya p ₂ sağdaki Şekilde görüldüğü gibi. p ₁ ve p̄ ₁ arasındaki Δ x mesafesi, p ₂ ve p̄ ₂ (yeşil çizgiler) arasındaki mesafeyle aynıdır ve bu mesafenin Δ t'ye bölünmesi dalganın hızını verir.

Δ x'i hesaplamak için , p _2'de hesaplanan iki kısmi türevi düşünün ,

${\displaystyle \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\sağ)_{x}\Delta t={\text{}}p_{2}{\text{'ten }'ye yükselir }{\bar {p}}_{1}{\text{ zamanında }}\Delta t{\text{ (altın çizgi)}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\sağ)_{t}={\text{dalganın eğimi (kırmızı çizgi) }}t.}$

Bu iki kısmi türevi bölerek ve eğim tanımını kullanarak (yükseliş bölü yatay mesafe) bize istenen formülü verir.

${\displaystyle \Delta x=-{\frac {\sol({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\sağ)_{x}\Delta t}{\sol({\frac {\ kısmi \phi }{\kısmi x}}\sağ)_{t}}},}$

burada negatif işaret , dalganın hareketine göre p _1'in p _2'nin arkasında olduğu gerçeğini açıklar . Böylece, dalganın hızı ile verilir

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\sol({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\sağ)_{x} }{\sol({\frac {\kısmi \phi }{\kısmi x}}\sağ)_{t}}}.}$

Sonsuzküçük Δ için t , ve biz üçlü ürün kuralını kurtarmak ${\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\sol({\frac {\partial x}{\partial t}}\sağ)_{\phi }}$

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\sol({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\sağ)_{x} }{\sol({\frac {\kısmi \phi }{\kısmi x}}\sağ)_{t}}}.}$

Ayrıca bakınız

• Tam diferansiyel (üçlü çarpım kuralının başka bir türevine sahiptir)
• Toplam türev
• Vektörler ve skalerler için üçlü çarpım .

Referanslar

• Elliott, JR; Lira, CT (1999). Giriş Kimya Mühendisliği Termodinamiği (1. baskı). Prentice Salonu. P. 184. ISBN 0-13-011386-7.
• Carter, Ashley H. (2001). Klasik ve İstatistiksel Termodinamik . Prentice Salonu. P. 392. ISBN 0-13-779208-5.