Çoklu indeks gösterimi - Multi-index notation

Çoklu indeks gösterimi , bir tamsayı indeksi kavramını sıralı bir indeks demetine genelleştirerek, çok değişkenli hesapta , kısmi diferansiyel denklemlerde ve dağılım teorisinde kullanılan formülleri basitleştiren matematiksel bir gösterimdir .

Tanım ve temel özellikler

Bir n boyutlu çoklu endeks bir olan n - tuple

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n})

bir negatif olmayan tam (yani bir elemanın n - boyutlu dizi arasında doğal sayılar ile gösterilen ). $\mathbb {N} _{0}^{n}$

Çoklu endeksler ve bir tanımlar için: $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

Bileşensel toplam ve fark: $\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$
Kısmi sipariş: $\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _ {i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$
Bileşenlerin toplamı (mutlak değer): $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$
faktöriyel: $\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$
Binom katsayısı: ${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!} }$
multinom katsayısı: ${\binom {k}{\alpha }}}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={ \frac {k!}{\alfa !}}$ nerede . $k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}$
Güç: $x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n} }$ .
Yüksek mertebeden kısmi türev: $\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^ {\alfa _{n}}$ burada (ayrıca bkz. 4-gradyan ). Bazen gösterim de kullanılır. $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$ $D^{\alpha }=\kısmi ^{\alpha }$

Bazı uygulamalar

Çoklu indeks gösterimi, birçok formülün temel hesaptan karşılık gelen çok değişkenli duruma kadar genişletilmesine izin verir. Aşağıda bazı örnekler verilmiştir. Aşağıdakilerin tamamında, (veya ) , ve (veya ). $x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ $f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

çok terimli teoremi: $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\sağ)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alfa }$
Çoklu binom teoremi: $(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$ Not beri bu $x + y$ için bir vektör ve $α$ çok endeksidir, soldaki ifade kısa olan $(x 1 + y 1) α 1 \dots (x, n + y, n) α n$ .
Leibniz formülü: Düzgün işlevler için f ve g $\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\ kısmi ^{\alpha -\nu }g.$
Taylor serisi: n değişkenli bir analitik fonksiyon f için $f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{ \alpha !}}h^{\alpha }}.$ Aslında, yeterince düzgün bir fonksiyon için benzer Taylor açılımına sahibiz. $f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),$ burada son terim (kalan) Taylor formülünün tam versiyonuna bağlıdır. Örneğin, Cauchy formülü için (integral kalanlı), $R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.$
Genel lineer kısmi diferansiyel operatör: n değişkenli bir formal lineer N. mertebeden kısmi diferansiyel operatör şu şekilde yazılır: $P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.$
Parçalara göre entegrasyon: İle pürüzsüz işlevler için kompakt destek sınırlı bir etki alanında birine sahiptir $\Omega \altküme \mathbb {R} ^{n}$ $\int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\ alfa }u)v\,dx}.$ Bu formül, dağılımların ve zayıf türevlerin tanımı için kullanılır .

Örnek bir teorem

Eğer çoklu endeks ve vardır , daha sonra $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\başlangıç{durumlar}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{aksi halde.}}\end{durumlar}}

Kanıt

Kanıt , adi türev için kuvvet kuralından gelir ; Eğer α ve β {0, 1, 2, ...}, daha sonra içindedir

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\ alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{aksi halde.}}\end{durumlar}}

( 1 )

Diyelim ki , ve . O zaman bizde var $\alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

{\begin{hizalanmış}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\ alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{ n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _ {1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{ n}}.\end{hizalanmış}}

{1, …, n } içindeki her i için , işlev yalnızca 'ye bağlıdır . Yukarıdakilerde, her kısmi farklılaşma bu nedenle karşılık gelen sıradan farklılaşmaya indirgenir . Dolayısıyla, denklem ( 1 )'den, {1, …, n }' deki en az bir i için α _i > β _i ise ortadan kalkar . Eğer durum böyle değilse, yani çoklu indeks olarak α ≤ β ise, o zaman $x_{i}^{\beta _{i}}$ $x_{i}$ ${\görüntüleme stili \kısmi /\kısmi x_{i}}$ $d/dx_{i}$ $\kısmi ^{\alpha }x^{\beta }$

{\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\ frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}

her biri için teorem aşağıdaki gibidir. QED

{\görüntüleme stili ben}

Ayrıca bakınız

Referanslar

Aziz Raymond, Xavier (1991). Sözde Diferansiyel Operatörler Teorisine Temel Giriş . Bölüm 1.1. CRC Basın. ISBN 0-8493-7158-9

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki bir gücün çok endeksli türevinden alınan materyali içermektedir .

Languages

In other projects