Logaritmik türev - Logarithmic derivative

hakkında bir dizi makalenin bir parçası
kalkülüs
temel teorem Leibniz integral kuralı Fonksiyonların sınırları süreklilik Ortalama değer teoremi Rolle teoremi
Diferansiyel Tanımlar Türev  ( genellemeler ) Diferansiyel sonsuz küçük bir fonksiyonun Toplam kavramlar farklılaşma gösterimi İkinci türev örtük farklılaşma Logaritmik farklılaşma İlgili oranlar Taylor teoremi Kurallar ve kimlikler toplam Ürün Zincir Güç bölüm L'Hôpital kuralı Ters Genel Leibniz Faà di Bruno'nun formülü Reynolds
integral integral listeleri integral dönüşüm Tanımlar ters türev İntegral  ( yanlış ) Riemann integrali Lebesgue entegrasyonu Kontur entegrasyonu Ters fonksiyonların integrali Entegrasyon Parçalar diskler Silindirik kabuklar İkame  ( trigonometrik , Weierstrass , Euler ) Euler formülü Kısmi kesirler Değişen sıra Azaltma formülleri İntegral işareti altında farklılaşma risk algoritması
Dizi Geometrik  ( aritmetik-geometrik ) Harmonik dönüşümlü Güç binom Taylor yakınsama testleri Toplam limit (dönem testi) Oran Kök integral Doğrudan karşılaştırma Sınır karşılaştırması alternatif seri Cauchy yoğunlaşması Dirichlet Habil
Vektör Gradyan uyuşmazlık kıvırmak Laplacian Yönlü türev kimlikler teoremler Gradyan Yeşillik Stoklamak' uyuşmazlık genelleştirilmiş Stokes
çok değişkenli formalizmler Matris tensör Dış Geometrik Tanımlar Kısmi türev Çoklu integral çizgi integrali Yüzey integrali hacim integrali Jacobian kendir
İhtisas kesirli mallivin stokastik Varyasyonlar
Çeşitli ön kalkülüs Tarih Sözlük konu listesi Entegrasyon Arı analiz
v T e

Gelen matematik , spesifik olarak hesabı ve kompleks analiz , logaritmik türevi a fonksiyonu f , aşağıdaki formül ile tanımlanmaktadır

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}}$

burada bir türevi arasında f . Sezgisel olarak bu derece küçük olduğu göreceli değişim içinde f ; yani, f'deki sonsuz küçük mutlak değişim , yani f'nin mevcut değeriyle ölçeklenir .${\görüntüleme stili f'}$${\görüntüleme stili f',}$

Tüm ön fonksiyonudur f ( x gerçek değişken bölgesinin) x ve alır gerçek kesinlikle pozitif değerler, bu ln (türevi eşittir f ) ya da doğal logaritma arasında f . Bu doğrudan zincir kuralından kaynaklanır :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}}$

Temel özellikler

Gerçek logaritmanın Birçok özellikleri de fonksiyon gelmez bile, logaritmik türev için geçerli değil pozitif reals değerleri alır. Örneğin, bir çarpımın logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamı olduğundan,

${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.\!}$

Yani pozitif-gerçek değerli fonksiyonlar için, bir çarpımın logaritmik türevi, faktörlerin logaritmik türevlerinin toplamıdır. Ancak bir ürünün türevi için Leibniz yasasını da kullanabiliriz.

${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v '}{v}}.\!}$

Bu nedenle, bir ürünün logaritmik türevinin, faktörlerin (tanımlandığında) logaritmik türevlerinin toplamı olduğu herhangi bir fonksiyon için doğrudur .

Bunun bir sonucu , bir fonksiyonun tersinin logaritmik türevinin, fonksiyonun logaritmik türevinin olumsuzlaması olmasıdır:

${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'} {u}},\!}$

tıpkı pozitif bir gerçek sayının tersinin logaritmasının, sayının logaritmasının olumsuzlaması olması gibi.

Daha genel olarak, bir bölümün logaritmik türevi, temettü ve bölenin logaritmik türevlerinin farkıdır:

${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!}$

Tıpkı bir bölümün logaritmasının, bölenin ve bölenin logaritmasının farkı olması gibi.

Başka bir yönde genelleme yapacak olursak, bir gücün (sabit reel üslü) logaritmik türevi, üssün çarpımı ile tabanın logaritmik türevinin çarpımıdır:

${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{ \frac {u'}{u}},\!}$

Tıpkı bir kuvvetin logaritmasının, üssün ve tabanın logaritmasının çarpımı olması gibi.

Özetle, hem türevlerin hem de logaritmaların bir çarpım kuralı , bir karşılıklı kuralı , bir bölüm kuralı ve bir kuvvet kuralı vardır ( logaritmik özdeşlikler listesini karşılaştırın ); her bir kural çifti, logaritmik türev yoluyla ilişkilidir.

Logaritmik türevleri kullanarak sıradan türevleri hesaplama

Logaritmik türevler , aynı sonucu üretirken çarpım kuralı gerektiren türevlerin hesaplanmasını basitleştirebilir . Prosedür aşağıdaki gibidir: ƒ( x ) =  u ( x ) v ( x ) olduğunu ve ƒ'( x ) hesaplamak istediğimizi varsayalım . Doğrudan ƒ' =  u' v + v' u olarak hesaplamak yerine, logaritmik türevini hesaplıyoruz. Yani, hesaplıyoruz:

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$

ƒ ile çarpma, ƒ' değerini hesaplar :

${\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\sağ).}$

Bu teknik, en çok, ƒ çok sayıda faktörün bir ürünü olduğunda kullanışlıdır. Bu teknik , her faktörün logaritmik türevini hesaplayarak , toplayarak ve ƒ ile çarparak ƒ' hesaplamasını mümkün kılar .

Örneğin, logaritmik türevi hesaplayabilir olması . ${\displaystyle e^{x^{2}}{\frac {(x-2)^{3}(x-3)}{x-1}}}$${\displaystyle 2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}}$

Bütünleştirici faktörler

Logaritmik türev fikri, birinci mertebeden diferansiyel denklemler için integral alma faktörü yöntemiyle yakından bağlantılıdır . In operatör açısından, yazma

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$

${\görüntüleme stili }$

ve M , verilen bir G ( x ) fonksiyonu ile çarpma operatörünü göstersin . Sonra

${\displaystyle M^{-1}DM}$

( ürün kuralına göre ) şu şekilde yazılabilir:

${\görüntüleme stili D+M^{*}}$

burada hemen logaritmik türevi ile çarpma operatörü göstermektedir ${\görüntüleme stili M^{*}}$

${\displaystyle {\frac {G'}{G}}}$

Uygulamada bize şöyle bir operatör verilir:

${\görüntüleme stili D+F=L}$

ve denklemleri çözmek istiyorum

${\görüntüleme stili L(h)=f}$

h fonksiyonu için verilen f . Bu daha sonra çözmeyi azaltır

${\displaystyle {\frac {G'}{G}}=F}$

Çözüm olarak olan

${\displaystyle \exp \textstyle (\int F)}$

F'nin herhangi bir belirsiz integrali ile .

Karmaşık analiz

Verilen formül daha yaygın olarak uygulanabilir; örneğin f ( z ) bir meromorfik fonksiyon ise , f'nin ne sıfıra ne de kutba sahip olduğu tüm karmaşık z değerlerinde anlamlıdır . Ayrıca, sıfır veya kutupta logaritmik türev, özel durum açısından kolayca analiz edilebilecek şekilde davranır.

z ⁿ

ile , n , bir tamsayı, n  ≠ 0 logaritmik türevi daha sonra,

n / z ;

ve bir genel sonuç çıkarabiliriz bunun için ön meromorfik, logaritmik türevinin tekillik f hepsi basit olan direkler, tortu n için bir sıfır , n , tortu, - n, sırası bir kutuptan n . Argüman ilkesine bakın . Bu bilgi genellikle kontur entegrasyonunda kullanılır .

Nevanlinna Teorisi alanında, önemli bir lemma, logaritmik bir türevin yakınlık fonksiyonunun, örneğin, orijinal fonksiyonun Nevanlinna Özelliğine göre küçük olduğunu belirtir . ${\görüntüleme stili m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))}$

çarpımsal grup

Hakkında logaritmik türev yalan iki temel gerçeklerin kullanımı arkasında GL ₁ olduğunu, çarpımsal grubunda gerçek sayılar ya da diğer alanda . diferansiyel operatör

${\displaystyle X{\frac {d}{dX}}}$

olduğu değişmez dilatasyon altında (değiştirerek X ile aX için bir sabit). ve diferansiyel formu

dX/X

aynı şekilde değişmezdir. İşlevleri için F içine GL ₁ , formül

dF/F

bu nedenle değişmez formun bir geri çekilmesidir .

Örnekler

• Üstel büyüme ve üstel bozulma , sabit logaritmik türevi olan süreçlerdir.
• Gelen matematiksel finans , Yunan  λ altta yatan fiyata göre türev fiyatın logaritmik türevidir.
• Olarak sayısal analizi , durum numarası girişi göreceli değişim çıkış sonsuz görece değişikliktir, ve böylece, logaritmik türevlerinin bir oranıdır.

Referanslar

Ayrıca bakınız

• Logaritmik farklılaşma