Galerkin yöntemi - Galerkin method

Diferansiyel denklemler
Bir engel etrafındaki hava akışını simüle etmek için kullanılan Navier-Stokes diferansiyel denklemleri
Kapsam
Alanlar Doğa Bilimleri Mühendislik Astronomi Fizik Kimya Biyoloji jeoloji Uygulamalı matematik Süreklilik mekaniği Kaos teorisi dinamik sistemler Sosyal Bilimler ekonomi Nüfus dinamikleri
sınıflandırma
Türler Sıradan Kısmi diferansiyel-cebirsel integral diferansiyel kesirli Doğrusal doğrusal olmayan Değişken türüne göre Bağımlı ve bağımsız değişkenler özerk karmaşık Birleştirilmiş / Ayrılmış Bire bir aynı Homojen  / Homojen olmayan Özellikleri Emir Şebeke gösterim
Süreçlerle ilişkisi Fark (ayrık analog) stokastik Stokastik kısmi Gecikme
Çözüm
Varlık ve benzersizlik Picard-Lindelöf teoremi Peano varlığı teoremi Carathéodory'nin varlık teoremi Cauchy-Kowalevski teoremi
Genel başlıklar Wronskiyen Faz portresi Faz boşluğu Lyapunov  / Asimptotik  / Üstel kararlılık yakınsama oranı Seri  / İntegral çözümler Sayısal entegrasyon Dirac delta işlevi
Çözüm yöntemleri İnceleme özelliklerin yöntemi Euler Üstel yanıt formülü Sonlu fark  ( Crank–Nicolson ) Sonlu elemanlar sonsuz eleman sonlu hacim Galerkin Petrov-Galerkin entegre etme faktörü integral dönüşümler Pertürbasyon teorisi Runge-Kuta Değişkenlerin ayrılması belirsiz katsayılar Parametrelerin varyasyonu
İnsanlar
Liste Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy john krank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v T e

Gelen matematik , alanda sayısal analizi , Galerkin yöntemleri Rus matematikçi adını, Boris Galerkin , bu tür bir şekilde, sürekli bir operatör sorunu dönüştürmek diferansiyel denklem yaygın olarak, zayıf formülasyon doğrusal kısıtlamaları sonlu ile tespit uygulayarak bir ayrık sorun, temel fonksiyon kümeleri.

Genellikle bir Galerkin yöntemine atıfta bulunulurken, kullanılan tipik varsayımlar ve yaklaşık yöntemler ile birlikte ad da verilir:

• Ritz-Galerkin metodu (sonra Walther Ritz ) tipik kabul simetrik ve pozitif belirli çift doğrusal formu içinde zayıf bir formülasyon , diferansiyel denklem bir için fiziksel sistem ile formüle edilebilir aza a ikinci dereceden bir fonksiyonu sistemi temsil eden enerji ve yaklaşık çözüm a, doğrusal verilen temel fonksiyonların kombinasyonu .
• Bubnov-Galerkin yöntemi ( Ivan Bubnov'dan sonra ), çift doğrusal formun simetrik olmasını gerektirmez ve enerji minimizasyonunu , çözümü yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılan aynı temel fonksiyonlarla belirlenen ortogonallik kısıtlamaları ile değiştirir . Diferansiyel denklemin operatör formülasyonunda , Bubnov-Galerkin yöntemi operatöre ortogonal bir izdüşüm uygulamak olarak görülebilir .
• Petrov–Galerkin yöntemi (Georgii I. Petrov'dan sonra), çözüme yaklaşmak için kullanılan temel işlevlerden farklı olanortogonallik kısıtlamaları ( test temel işlevleri olarak adlandırılır) için temel işlevlerin kullanılmasına izin verir. Petrov–Galerkin yöntemi, Bubnov–Galerkin yönteminin bir uzantısı olarak görülebilir ve diferansiyel denklemin operatör formülasyonunda mutlaka ortogonal olmayan bir izdüşüm uygulanır.

Galerkin yöntemlerinin örnekleri şunlardır:

• ağırlıklı kalıntıların Galerkin metodu , genel hesaplama en yaygın yöntem rijitlik matrisi içinde sonlu eleman yöntemi ,
• integral denklemlerini çözmek için sınır eleman yöntemi ,
• Krylov altuzay yöntemleri .

Örnek: matris lineer sistem

İlk olarak , aşağıdaki simetrik ve pozitif tanımlı matrise sahip bir lineer denklem sistemine uygulanan Galerkin yöntemini tanıtıyor ve gösteriyoruz.${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

${\displaystyle A={\başlangıç{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}$

ve çözüm ve sağ taraf vektörleri

${\displaystyle \mathbf {x} ={\başlangıç{bmatrix}1\\0\\0\son{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\başlangıç{bmatrix}2\\0\\0 \end{bmatris}}.}$

Alalım

${\displaystyle V={\başlangıç{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\son{bmatrix}},}$

o zaman Galerkin denkleminin matrisi

${\displaystyle V^{*}AV={\başlangıç{bmatrix}2&1\\1&2\son{bmatrix}},}$

Galerkin denkleminin sağ taraftaki vektörü

${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} ={\başlangıç{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

çözüm vektörünü elde etmek için

${\displaystyle \mathbf {y} ={\başlangıç{bmatrix}0\\0\son{bmatrix}}}$

Orijinal denklemin yaklaşık çözümünü şu şekilde belirlemek için nihayet yükselttiğimiz Galerkin denklemine${\displaystyle \sol(V^{*}AV\sağ)\mathbf {y} =V^{*}\mathbf {b} }$

${\displaystyle V\mathbf {y} ={\başlangıç{bmatrix}0\\0\\0\son{bmatrix}}.}$

Bu örnekte, orijinal Hilbert uzayımız aslında standart skaler ürünle donatılmış 3 boyutlu Öklid uzayıdır , 3'e 3 matrisimiz çift doğrusal formu tanımlar ve sağ taraftaki vektör sınırlı doğrusal fonksiyoneli tanımlar . Kolonlar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} }$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle a(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle f(\mathbf {v} )=\mathbf {b} ^{T}\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix} 0\\0\\1\end{bmatris}},}$

matrisin karesi, Galerkin izdüşümünün 2 boyutlu alt uzayının bir ortonormal tabanını oluşturur. 2'ye 2 Galerkin matrisinin girişleri , Galerkin denkleminin sağ taraftaki vektörünün bileşenleri ise . Son olarak, Galerkin denkleminin çözüm vektörünün bileşenlerinden yaklaşık çözüm elde edilir ve temel olarak . ${\görüntüleme stili V}$${\ Displaystyle V^{*}AV}$${\displaystyle a(e_{j},e_{i}),\,i,j=1,2}$${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} }$${\displaystyle f(e_{i}),\,i=1,2}$${\displaystyle V\mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \sum _{j=1}^{2}\mathbf {y} _{j}\mathbf {e} _{j}}$

Hilbert uzayında lineer denklem

Doğrusal bir denklemin zayıf formülasyonu

Bir Hilbert uzayı üzerinde zayıf bir formülasyon olarak ortaya konan soyut bir problemle Galerkin'in yöntemini tanıtalım , yani, ${\görüntüleme stili V}$

herkes için öyle bul .${\displaystyle u\in V}$${\displaystyle v\in V,a(u,v)=f(v)}$

Burada, bir olan iki çizgili formu (kesin şartlar sonradan belirtilecektir) ve fonksiyonel tarihinde adlı doğrusal sınırlı olduğunu . ${\ Displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\ Displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V}$

Galerkin boyut küçültme

n boyutunda bir alt uzay seçin ve öngörülen problemi çözün: ${\displaystyle V_{n}\altküme V}$

Herkes için böyle bulun .${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$

Buna Galerkin denklemi diyoruz . Denklemin değişmeden kaldığına ve sadece boşlukların değiştiğine dikkat edin. Problemi sonlu boyutlu bir vektör alt uzayına indirgemek, temel vektörlerin sonlu lineer kombinasyonu olarak sayısal olarak hesaplamamızı sağlar . ${\ Displaystyle u_{n}}$${\görüntüleme stili V_{n}}$

Galerkin dikliği

Galerkin yaklaşımının temel özelliği, hatanın seçilen alt uzaylara dik olmasıdır. olduğundan , orijinal denklemde bir test vektörü olarak kullanabiliriz . İkisini çıkararak , orijinal problemin çözümü ile Galerkin denkleminin çözümü arasındaki hata olan hata için Galerkin diklik ilişkisini elde ederiz ,${\displaystyle V_{n}\altküme V}$${\displaystyle v_{n}}$${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$${\görüntüleme stili u}$${\ Displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f (v_{n})=0.}$

Galerkin denkleminin matris formu

Galerkin'in yönteminin amacı doğrusal bir denklem sistemi üretmek olduğundan, çözümü algoritmik olarak hesaplamak için kullanılabilecek matris formunu oluşturuyoruz.

Let bir olmak temeli için . Daha sonra, Galerkin denklemi test etmek için sırayla bu kullanmak yeterlidir, yani: bulmak öyle ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$${\görüntüleme stili V_{n}}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Bu temele göre genişletiyoruz ve elde etmek için yukarıdaki denkleme yerleştiriyoruz. ${\ Displaystyle u_{n}}$${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\sağ)=\sum _{j=1}^{n}u_{ j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Bu önceki denklem aslında lineer bir denklem sistemidir , burada ${\ Displaystyle Au=f}$

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

matrisin simetrisi

Matris girdileri tanımına bağlı Galerkin denkleminin matristir simetrik iki-doğrusal bir şekilde ancak ve ancak simetriktir. ${\ Displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$

Galerkin yöntemlerinin analizi

Burada kendimizi simetrik çift doğrusal formlarla sınırlayacağız , yani

${\görüntüleme stili a(u,v)=a(v,u).}$

Bu gerçekten Galerkin yöntemlerinin bir kısıtlaması olmasa da, standart teorinin uygulanması çok daha basit hale gelir. Ayrıca, simetrik olmayan durumda Petrov-Galerkin yöntemi gerekebilir.

Bu yöntemlerin analizi iki adımda ilerler. İlk olarak, Galerkin denkleminin Hadamard anlamında iyi kurgulanmış bir problem olduğunu ve bu nedenle benzersiz bir çözümü kabul ettiğini göstereceğiz . İkinci adımda, Galerkin çözümünün yaklaşıklık kalitesini inceliyoruz . ${\ Displaystyle u_{n}}$

Analiz çoğunlukla iki doğrusal formun iki özelliğine dayanacaktır :

• Sınırlılık: tüm muhafazalar için ${\displaystyle u,v\in V}$

  ${\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}$ bazı sabitler için ${\görüntüleme stili C>0}$

• Eliptiklik: tüm tutuşlar için ${\displaystyle u\in V}$

  ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}$ bazı sabitler için ${\görüntüleme stili c>0.}$

Lax-Milgram teoremi ile (bkz. zayıf formülasyon ), bu iki koşul, zayıf formülasyonda orijinal problemin iyi ortaya konduğunu ima eder. Aşağıdaki bölümlerdeki tüm normlar, yukarıdaki eşitsizliklerin geçerli olduğu normlar olacaktır (bu normlara genellikle enerji normu denir).

Galerkin denkleminin iyi pozlanmışlığı

Çünkü bilineer formun sınırlılığı ve eliptikliği için geçerlidir . Bu nedenle, Galerkin probleminin iyi ortaya konmuş olması, aslında orijinal problemin iyi ortaya konulmuş olmasından miras alınır. ${\displaystyle V_{n}\altküme V}$${\görüntüleme stili V_{n}}$

Yarı-en iyi yaklaşım (Céa's lemma)

Orijinal ve Galerkin çözümü arasındaki hata , tahmini kabul ediyor ${\displaystyle u-u_{n}}$

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\| .}$

Bu, sabite kadar Galerkin çözümünün , içindeki diğer vektörler kadar orijinal çözüme yakın olduğu anlamına gelir . Özellikle, çözülmekte olan denklemi tamamen unutarak, boşluklarla yaklaşıklığı incelemek yeterli olacaktır . ${\ Displaystyle C/c}$${\ Displaystyle u_{n}}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili V_{n}}$${\görüntüleme stili V_{n}}$

Kanıt

Kanıt çok basit ve tüm Galerkin yöntemlerinin arkasındaki temel ilke olduğundan, onu buraya dahil ediyoruz: çift doğrusal formun (eşitsizlikler) ve Galerkin dikliğinin (ortadaki eşittir işareti) eliptikliği ve sınırlılığı ile, keyfi için : ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{ n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$

Bölmek ve olası tüm infimumu üzerinden almak lemmayı verir. ${\displaystyle c\|u-u_{n}\|}$${\displaystyle v_{n}}$

Galerkin'in enerji normunda en iyi yaklaşım özelliği

Yukarıdaki bölümde sunumun basitliği için, çift doğrusal formun simetrik ve pozitif tanımlı olduğunu varsaydık , bu da onun skaler bir ürün olduğunu ve ifadenin aslında enerji normu olarak adlandırılan geçerli bir vektör normu olduğunu ima eder . Bu varsayımlar altında, Galerkin'in enerji normundaki en iyi yaklaşım özelliği de kolaylıkla kanıtlanabilir. ${\görüntüleme stili a(u,v)}$${\displaystyle \|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}}$

Enerji normu için Galerkin ortogonalliği ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılarak,

${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u- v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}$

Bölmek ve mümkün olan her şeyin üzerine infimumu almak, Galerkin yaklaşımının altuzay içindeki enerji normunda en iyi yaklaşım olduğunu , yani çözümün skaler ürüne göre ortogonalden, çözümün altuzaya izdüşümünden başka bir şey olmadığını kanıtlar . ${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}}$${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle V_{n}\altküme V}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ ${\görüntüleme stili a(u,v)}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili V_{n}}$

Kademeli Yapılar için Galerkin yöntemi

I. Elishakof , M. Amato, A. Marzani, PA Arvan ve JN Reddy, Galerkin yönteminin basamaklı yapılara uygulanmasını inceledi. Doğru sonuçlar elde etmek için genelleştirilmiş fonksiyonun, yani birim-adım fonksiyonunun, Dirac'ın delta fonksiyonunun ve ikili fonksiyonun gerekli olduğunu gösterdiler.

Tarih

Yaklaşım genellikle Boris Galerkin'e atfedilir . Yöntem, diğerlerinin yanı sıra Hencky ve Duncan tarafından Batılı okuyucuya açıklanmıştır. Yakınsaması Mikhlin ve Leipholz tarafından incelenmiştir. Fourier yöntemiyle çakışması Elishakoff ve diğerleri tarafından gösterilmiştir . Muhafazakar problemler için Ritz'in yöntemine eşdeğerliği Singer tarafından gösterilmiştir. Gander ve Wanner, Ritz ve Galerkin yöntemlerinin modern sonlu elemanlar yöntemine nasıl yol açtığını gösterdi. Yüz yıllık yöntemin gelişimi Repin tarafından tartışıldı. Elishakoff, Kaplunov ve Kaplunov, Galerkin'in yönteminin Timoshenko'nun açıklamalarının aksine Ritz tarafından geliştirilmediğini göstermektedir.

Ayrıca bakınız

• Ritz yöntemi

Referanslar

Dış bağlantılar

• "Galerkin yöntemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld'den Galerkin Yöntemi