Üstel kararlılık - Exponential stability

Daha genel dinamik sistemler için asimptotik stabilite tanımını veren Lyapunov stabilitesine bakınız . Tüm üssel olarak kararlı sistemler aynı zamanda asimptotik olarak kararlıdır.

Olarak kontrol teori , sürekli doğrusal zamanla değişmeyen sistemi (LTI) olan üssel olarak stabil olmadığını ve sistem sahip olması durumunda öz (yani, kutuplu bir giriş-çıkış sistemleri) kesinlikle negatif reel kısım. (yani, karmaşık düzlemin sol yarısında ). Ayrık zamanlı bir giriş-çıkış LTI sistemi, ancak ve ancak transfer fonksiyonunun kutupları , karmaşık düzlemin orijini üzerinde merkezlenmiş birim daire içinde yer alıyorsa, üssel olarak kararlıdır . Üstel kararlılık, bir asimptotik kararlılık biçimidir . Onların yakınsama ise LTI olmayan sistemler katlanarak kararlı sınırlandırılmış tarafından üstel çürüme .

Pratik sonuçlar

Üssel olarak kararlı bir LTI sistemi, sonlu bir girdi veya sıfır olmayan bir başlangıç ​​koşulu verildiğinde "patlamayacak" (yani sınırsız bir çıktı vermeyecek) bir sistemdir. Dahası, sisteme sabit, sonlu bir girdi (yani, bir adım ) verilirse , çıktıda ortaya çıkan herhangi bir salınım üstel bir oranda azalacak ve çıktı asimptotik olarak yeni bir son, sabit durum değerine yönelecektir. Bunun yerine sisteme girdi olarak bir Dirac delta impulsu verilirse , indüklenen salınımlar ortadan kalkacak ve sistem önceki değerine geri dönecektir. Salınımlar ortadan kalkmazsa veya bir dürtü uygulandığında sistem orijinal çıkışına geri dönmezse, sistem bunun yerine marjinal olarak kararlıdır .

Üstel kararlı LTI sistemleri örneği

Üssel olarak kararlı iki sistemin dürtü tepkileri

Sağdaki grafik, iki benzer sistemin dürtü tepkisini göstermektedir . Yeşil eğri, sistemin dürtü yanıtlı tepkisidir , mavi ise sistemi temsil eder . Bir yanıt salınımlı olsa da, her ikisi de zamanla orijinal 0 değerine geri döner.

Gerçek dünya örneği

Bir kepçeye bir misket koyduğunuzu hayal edin. Kendini potanın en alt noktasına yerleştirecek ve rahatsız edilmediği sürece orada kalacaktır. Şimdi, topa bir Dirac delta itkisine bir yaklaşım olan bir itme verdiğinizi hayal edin . Mermerler ileri geri yuvarlanacak ancak sonunda potanın dibine yerleşecektir. Zamanla mermerin yatay pozisyonunu çizmek, yukarıdaki görüntüdeki mavi eğriye benzer şekilde giderek azalan bir sinüzoid verecektir.

Bu durumda bir basamak girişi, mermerin geri yuvarlanmaması için potanın dibinden uzağa desteklenmesini gerektirir. Aynı pozisyonda kalacak ve sistem sadece marjinal olarak stabil veya tamamen istikrarsız ise olduğu gibi, ağırlığına eşit bu sabit kuvvet altında potanın altından uzaklaşmaya devam etmeyecektir.

Bu örnekte, sistemin tüm girişler için kararlı olmadığına dikkat etmek önemlidir. Mermere yeterince büyük bir itme uyguladığınızda potadan düşecek ve sadece yere ulaştığında duracaktır. Bu nedenle bazı sistemler için, bir sistemin belirli bir girdi aralığında üssel olarak kararlı olduğunu belirtmek doğrudur .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar