Sertlik matrisi - Stiffness matrix

İçinde sonlu eleman yöntemi elips sayısal çözümü için kısmi diferansiyel denklemler , rijitlik matrisi , diferansiyel denkleme yaklaşık çözelti tespit etmek amacıyla çözülmesi gereken lineer denklem sistemini temsil eder.

Poisson problemi için rijitlik matrisi

Basit olması için önce Poisson problemini ele alacağız.

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f}$

bazı Ω alanında, Ω sınırında u = 0 sınır koşuluna tabidir . Bu denklemi sonlu elemanlar yöntemiyle ayrıklaştırmak için , Ω üzerinde tanımlanan ve yine sınırda kaybolan bir dizi temel fonksiyon { φ ₁ , ..., φ _n } seçilir . Bir sonra yaklaşır

${\displaystyle u\yaklaşık u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.}$

u ₁ , ..., u _n katsayıları , yaklaşımdaki hatanın her bir temel fonksiyona ortogonal olması için belirlenir φ _i :

${\displaystyle \int _{\Omega }\varphi _{i}\cdot f\,dx=-\int _{\Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}u^{h}\, dx=-\sum _{j}\left(\int _{\Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}\varphi _{j}\,dx\sağ)\,u_{j}= \sum _{j}\left(\int _{\Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx\sağ)u_{j}.}$

Rijitlik matrisi ile tanımlanan, n-eleman kare matris A

${\displaystyle A_{ij}=\int _{\Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.}$

F vektörünü bileşenlerle tanımlayarak, u _i katsayıları Au = F lineer sistemi tarafından belirlenir . Sertlik matrisi simetriktir, yani A _ij = A _ji , dolayısıyla tüm özdeğerleri gerçektir. Dahası, bu kesinlikle pozitif tanımlı bir matristir , öyle ki Au = F sisteminin her zaman benzersiz bir çözümü vardır. (Diğer problemler için bu güzel özellikler kaybolacaktır.) ${\textstyle F_{i}=\int _{\Omega}\varphi _{i}f\,dx}$

Sertlik matrisinin, alan için kullanılan hesaplama ızgarasına ve ne tür bir sonlu elemanın kullanıldığına bağlı olarak farklı olacağına dikkat edin. Örneğin, rijitlik matrisi, parçalı ikinci dereceden sonlu elemanlar kullanıldığında, parçalı lineer elemanlardan daha fazla serbestlik derecesine sahip olacaktır.

Diğer problemler için sertlik matrisi

Diğer PDE için rijitlik matrisinin belirlenmesi temelde aynı prosedürü takip eder, ancak sınır koşullarının seçimi ile karmaşık hale gelebilir. Daha karmaşık bir örnek olarak, eliptik denklemi düşünün

${\displaystyle -\sum _{k,l}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l) }}}\sağ)=f}$

burada A ( x ) = a ^kl ( x ) etki alanındaki her x noktası için tanımlanan pozitif tanımlı bir matristir . Biz empoze Robin sınır koşulu

${\displaystyle -\sum _{k,l}\nu _{k}a^{kl}{\frac {\kısmi u}{\kısmi x_{l}}}=c(ug),}$

burada ν _k dışa biriminin bileşeni normal vektördür ν içinde k inci yönü. Çözülmesi gereken sistem

${\displaystyle \sum _{j}\left(\sum _{k,l}\int _{\Omega }a^{kl}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{ k}}}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{l}}}dx+\int _{\partial \Omega}c\varphi _{i}\varphi _{j}\ ,ds\right)u_{j}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}g\,ds,}$

Green'in kimliğinin bir analogu kullanılarak gösterilebileceği gibi. u _i katsayıları hala bir lineer denklem sistemi çözülerek bulunur, ancak sistemi temsil eden matris, sıradan Poisson probleminden önemli ölçüde farklıdır.

Genel olarak, her bir skaler eliptik operatör için L 2 seviyesinde k , bir iki-doğrusal bir şekilde birleştirilmiştir; B ile sobolev alan H ^k böylece, zayıf formülasyon denkleminin Lu = f olduğu

${\ Displaystyle B[u,v]=(f,v)}$

Tüm fonksiyonlar için v içinde H ^k . O halde bu problem için rijitlik matrisi

${\displaystyle A_{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}].}$

Sertlik matrisinin pratik montajı

Bir bilgisayarda sonlu elemanlar yöntemini uygulamak için, önce bir dizi temel fonksiyon seçilmeli ve ardından rijitlik matrisini tanımlayan integraller hesaplanmalıdır. Genellikle, Ω alanı , genellikle elemanlar olarak adlandırılan örtüşmeyen üçgenlere veya dörtgenlere bölündüğü bir tür ağ oluşturma biçimiyle ayrıklaştırılır . Daha sonra temel fonksiyonlar, her eleman içinde belirli bir düzenin polinomları ve eleman sınırları boyunca sürekli olacak şekilde seçilir. En basit seçenekler üçgen elemanlar için parçalı doğrusal ve dikdörtgen elemanlar için parçalı çift doğrusaldır.

Eleman rijitlik matrisi bir ^{[ k ]} eleman için , T _k matrisidir

${\displaystyle A_{ij}^{[k]}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.}$

Eleman rijitlik matrisi karşılık gelen baz fonksiyonları içinde sıfır olan en i değerleri ve j, sıfır olan T _k . Tam sertlik matrisi A , eleman sertlik matrislerinin toplamıdır. Özellikle, yalnızca yerel olarak desteklenen temel fonksiyonlar için rijitlik matrisi seyrektir .

Temel fonksiyonların birçok standart seçimi için, yani üçgenler üzerinde parçalı doğrusal temel fonksiyonlar için, eleman katılık matrisleri için basit formüller vardır. Örneğin, parçalı doğrusal elemanlar için, köşeleri ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ), ( x ₃ , y ₃ ) olan bir üçgen düşünün ve 2×3 matrisini tanımlayın

${\displaystyle D=\left[{\begin{matrix}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{1}\\y_{3}-y_{ 2}&y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{1}\end{matrix}}\sağ].}$

Daha sonra eleman sertlik matrisi

${\displaystyle A^{[k]}={\frac {D^{\mathsf {T}}D}{4\operatöradı {alan} (T)}}.}$

Diferansiyel denklem, örneğin homojen olmayan bir difüzyon katsayısına sahip olarak daha karmaşık olduğunda, eleman sertlik matrisini tanımlayan integral Gauss kareleme ile değerlendirilebilir .

Durum numarası rijitlik matrisinin sayısal ızgara kalitesine çok bağlıdır. Özellikle, sonlu eleman ağındaki küçük açılara sahip üçgenler, çözüm kalitesini düşürerek katılık matrisinin büyük özdeğerlerini indükler.

Referanslar

• Ern, A.; Guermond, J.-L. (2004), Sonlu Elemanların Teorisi ve Uygulaması , New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0387205748
• Gockenbach, MS (2006), Sonlu Elemanlar Yöntemini Anlamak ve Uygulamak , Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 0898716144
• Grossmann, C.; Roos, H.-G.; Stynes, M. (2007), Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Tedavisi , Berlin, Almanya: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-71584-9
• Johnson, C. (2009), Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Sayısal Çözümü , Dover, ISBN 978-0486469003
• Zienkiewicz, OC ; Taylor, RL; Zhu, JZ (2005), Sonlu Elemanlar Yöntemi: Temeli ve Temelleri (6. baskı), Oxford, İngiltere: Elsevier Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750663205