Sınır elemanı yöntemi - Boundary element method

Sınır eleman yöntemi ( BEM ) düz çözme sayısal bir hesaplama yöntemi kısmi diferansiyel denklemler olarak formüle edilmiştir integral denklemler (yani sınır integral biçimde), dahil olmak üzere, akışkan mekaniği , akustik , elektromanyetik tekniği olarak bilinmektedir ( momentler yöntemi veya MoM olarak kısaltılır ), kırılma mekaniği ve temas mekaniği .

matematiksel temel

İntegral denklem, yöneten kısmi diferansiyel denklemin tam bir çözümü olarak kabul edilebilir. Sınır eleman yöntemi , kısmi diferansiyel denklem tarafından tanımlanan uzay boyunca değerler yerine sınır değerlerini integral denkleme sığdırmak için verilen sınır koşullarını kullanmaya çalışır . Bu yapıldıktan sonra, işlem sonrası aşamada, integral denklemi daha sonra, çözüm alanının içinde istenen herhangi bir noktada çözümü doğrudan sayısal olarak hesaplamak için tekrar kullanılabilir.

BEM, Green fonksiyonlarının hesaplanabileceği problemlere uygulanabilir . Bunlar genellikle doğrusal homojen ortamdaki alanları içerir . Bu, sınır elemanlarının faydalı bir şekilde uygulanabileceği problemlerin kapsamı ve genelliği üzerinde önemli kısıtlamalar getirir. Formülasyona doğrusal olmama durumları dahil edilebilir, ancak bunlar genellikle , BEM'in en sık belirtilen avantajlarından birini ortadan kaldırarak, çözüm denenmeden önce hacmin ayrıklaştırılmasını gerektiren hacim integrallerini tanıtacaklardır . Hacmi ayrıklaştırmadan hacim integralini işlemek için yararlı bir teknik, ikili karşılıklılık yöntemidir . Teknik, radyal temel fonksiyonları (yerel enterpolasyon fonksiyonları) kullanarak integralin bir kısmına yaklaşır ve hacim alanı boyunca (sınır dahil) dağıtılmış seçilen noktalarda yan yana yerleştirdikten sonra hacim integralini sınır integraline dönüştürür. Çift-karşılıklı BEM'de, hacmi ağlara ayırmaya gerek olmamasına rağmen, çözüm alanı içinde seçilen noktalarda bilinmeyenler, ele alınan probleme yaklaşan lineer cebirsel denklemlerde yer alır.

Ağ tarafından tanımlanan kaynak ve alan yamaları çiftlerini birbirine bağlayan Green'in fonksiyon elemanları, sayısal olarak çözülen bir matris oluşturur. Green'in işlevi, en azından birbirine yakın yama çiftleri için iyi davranılmadığı sürece, Green'in işlevi, kaynak yama ve alan yamalarından biri veya her ikisi üzerine entegre edilmelidir. Kaynak ve alan yamaları üzerindeki integrallerin aynı olduğu yönteme " Galerkin yöntemi " denir . Galerkin'in yöntemi, kaynak ve alan noktalarının değiş tokuşuna göre simetrik olan problemler için bariz bir yaklaşımdır. Frekans alanı elektromanyetiklerinde bu, elektromanyetik karşılıklılık ile sağlanır . Saf Galerkin uygulamalarında yer alan hesaplama maliyeti tipik olarak oldukça ağırdır. (N'lik olsun elemanların her bir çifti üzerine bir şart döngü 2 etkileşimleri) boyunca elementlerin loop her çifti için Gauss noktaları Gauss-noktaların sayısına çarpımsal faktör orantılı üreten elemanları karesi. Ayrıca, trigonometrik/hiperbolik fonksiyon çağrılarını içeren gerekli fonksiyon değerlendirmeleri tipik olarak oldukça pahalıdır. Bununla birlikte, hesaplama maliyetinin ana kaynağı, tam olarak doldurulmuş bir matris üreten bu çift döngü elemanlarıdır.

Green fonksiyonları ya da temel çözümleri bir tekillik yükü (bir nokta kaynaktan çıkan, örneğin elektrik alanı) için sistem denklemleri konu eden bir çözeltiye göre gibi, çoğu zaman entegre sorunludur. Bu tür tekil alanları entegre etmek kolay değildir. Basit eleman geometrileri (örneğin düzlemsel üçgenler) için analitik entegrasyon kullanılabilir. Daha genel öğeler için, tekilliğe uyum sağlayan, ancak büyük hesaplama maliyetiyle tamamen sayısal şemalar tasarlamak mümkündür. Tabii ki, kaynak nokta ve hedef eleman (entegrasyonun yapıldığı yer) birbirinden uzak olduğunda, noktayı çevreleyen yerel gradyanın tam olarak ölçülmesine gerek yoktur ve temel çözümün düzgün bozunması nedeniyle kolayca entegre etmek mümkün hale gelir. Sınır eleman problem hesaplamalarını hızlandırmak için tasarlanmış şemalarda tipik olarak kullanılan bu özelliktir.

Kapalı biçimli Green fonksiyonlarının türetilmesi, özellikle elektromanyetikte, sınır eleman yönteminde özellikle ilgi çekicidir. Spesifik olarak katmanlı ortamın analizinde, uzamsal alanlı Green fonksiyonunun türetilmesi, analitik olarak türetilebilir spektral alanlı Green fonksiyonunun Sommerfeld yol integrali yoluyla tersine çevrilmesini gerektirir. Bu integral analitik olarak değerlendirilemez ve salınımlı ve yavaş yakınsak davranışı nedeniyle sayısal entegrasyonu maliyetlidir. Sağlam bir analiz için, uzamsal Green fonksiyonları, Prony'nin yöntemi veya genelleştirilmiş fonksiyon kalemi gibi yöntemlerle karmaşık üsteller olarak yaklaştırılır ve integral, Sommerfeld özdeşliği ile değerlendirilir . Bu yöntem, ayrık karmaşık görüntü yöntemi olarak bilinir.

Diğer yöntemlerle karşılaştırma

Sınır eleman yöntemi, yüzey/hacim oranının küçük olduğu problemler için hesaplama kaynakları açısından, sonlu elemanlar da dahil olmak üzere diğer yöntemlerden genellikle daha verimlidir. Kavramsal olarak, modellenen yüzey üzerinde bir " ağ " oluşturarak çalışır . Bununla birlikte, birçok problem için sınır eleman yöntemleri hacim-ayrıklaştırma yöntemlerinden ( sonlu elemanlar yöntemi , sonlu farklar yöntemi , sonlu hacimler yöntemi ) önemli ölçüde daha az verimlidir . Sınır elemanları yönteminin uygulanması iyi bir örneği, etkin hesaplanmasıdır doğal frekanslar arasında sıvı Fluent VOF tanklarında. Sınır eleman yöntemi, özellikle yapışkan temasların simülasyonu için temas problemlerinin sayısal simülasyonu için en etkili yöntemlerden biridir.

Sınır eleman formülasyonları tipik olarak tam doldurulmuş matrislere yol açar. Bu, depolama gereksinimlerinin ve hesaplama süresinin, problem boyutunun karesine göre artma eğiliminde olacağı anlamına gelir. Buna karşılık, sonlu eleman matrisleri tipik olarak bantlıdır (elemanlar yalnızca yerel olarak bağlanır) ve sistem matrisleri için depolama gereksinimleri tipik olarak problem boyutuyla oldukça doğrusal olarak büyür. Sıkıştırma teknikleri (örneğin, çok kutuplu açılımlar veya uyarlamalı çapraz yaklaşıklık/ hiyerarşik matrisler ) bu sorunları iyileştirmek için kullanılabilir, ancak bunun maliyeti daha fazla karmaşıklık pahasına ve büyük ölçüde çözülmekte olan sorunun doğasına ve ilgili geometriye bağlı olan bir başarı oranı ile .

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya

daha fazla okuma

  • Köstence, Hıristiyan; Doty, Dale; Hamill, William (2016). Sınır İntegral Denklem Yöntemleri ve Sayısal Çözümler: Elastik Bir Temel Üzerinde İnce Plakalar . New York: Springer. ISBN'si 978-3-319-26307-6.

Dış bağlantılar

Ücretsiz yazılım

  • Bembel A 3D, izogeometrik, yüksek mertebeden, Laplace, Helmholtz ve Maxwell problemleri için açık kaynaklı BEM yazılımı, sıkıştırma ve hesaplama maliyetinin azaltılması için hızlı çok kutuplu bir yöntem kullanır
  • boundary-element-method.com çözme akustik / Helmholtz ve Laplace sorunları için bir açık kaynak BEM yazılım
  • Puma-EM Açık kaynaklı ve yüksek performanslı Momentlerin Metodu / Çok Düzeyli Hızlı Çok Kutuplu Yöntem paralel programı
  • AcouSTO Akustik Simülasyon Aracı, Kirchhoff-Helmholtz İntegral Denklemi (KHIE) için ücretsiz ve açık kaynaklı bir paralel BEM çözücü
  • FastBEM 2D/3D potansiyel, elastikiyet, Stokes akışı ve akustik sorunları çözmek için ücretsiz hızlı çok kutuplu sınır eleman programları
  • ParaFEM Gernot Beer, Ian Smith, Christian Duenser, The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientific , Springer, ISBN  978-3-211-71574-1 ( 2008)
  • Sınır Elemanı Şablon Kitaplığı (BETL) Sınır integral operatörlerinin ayrıklaştırılması için genel amaçlı bir C++ yazılım kitaplığı
  • Nemoh Açık deniz yapılarındaki birinci dereceden dalga yüklerinin hesaplanmasına adanmış bir açık kaynaklı hidrodinamik BEM yazılımı (ek kütle, radyasyon sönümleme, kırınım kuvvetleri)
  • Bempp , 3D Laplace, Helmholtz ve Maxwell problemleri için açık kaynaklı bir BEM yazılımı
  • MNPBEM , keyfi olarak şekillendirilmiş nanoyapılar için Maxwell denklemlerini çözmek için açık kaynaklı bir Matlab araç kutusu
  • Contact Mechanics and Tribology Simulator , Ücretsiz, BEM tabanlı yazılım