Homojen diferansiyel denklem - Homogeneous differential equation
Bir diferansiyel denklem olabilir homojen iki bakımdan biriyle.
Bir birinci mertebeden diferansiyel denklem bu yazılabilir, homojen olduğu söylenir
burada f ve g olan homojen fonksiyonlar aynı derecede x ve y . Bu durumda, y = ux değişkeninin değişimi , formun bir denklemine yol açar
iki üyenin entegrasyonu ile çözülmesi kolaydır .
Aksi takdirde, bir diferansiyel denklem, bilinmeyen fonksiyonun ve türevlerinin homojen bir fonksiyonuysa homojendir. Durumunda lineer diferansiyel denklem , bu hayır demektir sabit terimler vardır. Herhangi bir mertebeden herhangi bir doğrusal adi diferansiyel denklemin çözümleri, sabit terimin çıkarılmasıyla elde edilen homojen denklemin çözümünden entegrasyonla çıkarılabilir.
Tarih
Homojen terimi ilk olarak Johann Bernoulli tarafından 1726 tarihli De integraionibus aequationum Differium (Diferansiyel denklemlerin entegrasyonu üzerine) makalesinin 9. bölümünde uygulanmıştır .
Homojen birinci dereceden diferansiyel denklemler
Diferansiyel denklemler |
---|
Sınıflandırma |
Çözüm |
Formdaki birinci dereceden adi diferansiyel denklem :
her iki fonksiyonun da eğer homojen tip E ( x , y ) ve N- ( x , y ) olan homojen fonksiyonlar aynı derecede n . Yani, her değişkeni bir λ parametresiyle çarparak buluyoruz
Böylece,
Çözüm yöntemi
Bölüm ise , biz sağlayabilirsiniz t = 1 / x bu bölümü tek değişkenli f fonksiyonuna basitleştirmek için y / x :
Yani
Y = ux değişkenlerinin değişimini tanıtın ; ürün kuralını kullanarak ayırt edin :
Bu, orijinal diferansiyel denklemi ayrılabilir forma dönüştürür
veya
bu artık doğrudan entegre edilebilir: ln x , sağ tarafın ters türevine eşittir (bkz. adi diferansiyel denklem ).
Özel durum
Formun birinci dereceden diferansiyel denklemi ( a , b , c , e , f , g hepsi sabittir)
burada af ≠ be her iki değişken (lineer transformasyon ile homojen bir türü içine transforme edilebilir α ve β sabitlerdir):
Homojen doğrusal diferansiyel denklemler
Doğrusal bir diferansiyel denklem olan homojen eğer bu bir homojen doğrusal denklem fonksiyonu bilinmeyen ve türevleri ile ilgilidir. Bunu izler, eğer φ ( x ) bir çözümse , herhangi bir (sıfır olmayan) sabit c için cφ ( x ) de öyledir . Bu koşulun geçerli olması için, doğrusal diferansiyel denklemin sıfır olmayan her bir terimi, bilinmeyen işleve veya onun herhangi bir türevine bağlı olmalıdır. Bu koşulu karşılamayan doğrusal diferansiyel denklem homojen olmayan olarak adlandırılır .
Bir lineer diferansiyel denklem bir şekilde temsil edilebilir lineer operatörün üzerine etki eden y ( x ) burada X , genellikle bağımsız değişken ve Y bağımlı değişkendir. Bu nedenle, genel bir şekilde, bir doğrusal homojen diferansiyel denklem isimli
burada L bir diferansiyel operatördür , türevlerin toplamı ("0'ıncı türevi" orijinal, türevlenmemiş fonksiyon olarak tanımlar), her biri x'in f i fonksiyonu ile çarpılır :
burada f i sabit olabilir, ancak tüm f i sıfır olmayabilir.
Örneğin, aşağıdaki doğrusal diferansiyel denklem homojendir:
oysa aşağıdaki ikisi homojen değildir:
Sabit bir terimin varlığı, yukarıdaki örnekte olduğu gibi bir denklemin homojen olmaması için yeterli bir koşuldur.
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
- Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2012), Temel diferansiyel denklemler ve sınır değer problemleri (10. baskı), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (Bu, diferansiyel denklemler için iyi bir giriş referansıdır.)
- İnce, EL (1956), Sıradan diferansiyel denklemler , New York: Dover Yayınları, ISBN 0486603490 . (Bu, ilk kez 1926'da yayınlanan ODE'ler hakkında klasik bir referanstır.)
- Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 Kasım 2017). Sıradan Diferansiyel Denklemler El Kitabı: Kesin Çözümler, Yöntemler ve Problemler . CRC Basın. ISBN 978-1-4665-6940-9 .
- Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 Kasım 2009). Doğrusal Cebir ile Diferansiyel Denklemler . Oxford University Press. s. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9 .