Parametrelerin değişimi - Variation of parameters

Gelen matematik , parametre değişim olarak da bilinen, sabitlerin değişimi , çözmek için genel bir yöntemdir , homojen olmayan lineer adi diferansiyel denklemler .

Birinci dereceden homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemler için, faktörleri veya belirsiz katsayıları önemli ölçüde daha az çabayla entegre ederek çözümler bulmak mümkündür , ancak bu yöntemler , tüm homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemler için çalışmaz ve tahmin içeren buluşsal yöntemlerden yararlanır .

Parametrelerin değişimi, doğrusal kısmi diferansiyel denklemlere , özellikle ısı denklemi , dalga denklemi ve titreşimli plaka denklemi gibi doğrusal evrim denklemleri için homojen olmayan problemlere kadar uzanır . Bu ortamda, yöntem daha çok , homojen olmayan ısı denklemini çözmek için yöntemi ilk kez uygulayan Jean-Marie Duhamel'in (1797-1872) adını taşıyan Duhamel'in ilkesi olarak bilinir . Bazen parametrelerin varyasyonunun kendisine Duhamel'in ilkesi denir ve bunun tersi de geçerlidir.

Tarih

Parametrelerin varyasyon yöntemi ilk olarak İsviçreli matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından çizildi ve daha sonra İtalyan-Fransız matematikçi Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) tarafından tamamlandı.

Euler'in 1748'de Jüpiter ve Satürn'ün karşılıklı karışıklıklarını incelerken gök cisimlerinin yörünge unsurlarının değişim yönteminin öncüsü ortaya çıktı. Euler, dünyanın hareketleri üzerine yaptığı 1749 çalışmasında yörünge elemanları için diferansiyel denklemler elde etti. 1753'te, yöntemi ayın hareketlerini incelemesine uyguladı.

Lagrange, yöntemi ilk olarak 1766'da kullandı. 1778 ile 1783 arasında, yöntemi iki hatırat serisinde geliştirdi: biri gezegenlerin hareketlerindeki değişimler, diğeri ise üç gözlemden bir kuyruklu yıldızın yörüngesini belirleme üzerine. 1808-1810 yılları arasında Lagrange, üçüncü bir makale serisinde parametrelerin değişim yöntemine son halini verdi.

Sezgisel açıklama

Zorlanmış dispersiyonsuz yayın denklemini uygun birimlerde düşünün:

{\ displaystyle x '' (t) + x (t) = F (t).}

Burada $x$ , yayın dengeden yer değiştirmesidir $x = 0$ ve $F (t)$ , zamana bağlı olarak uygulanan harici bir kuvvettir. Dış kuvvet sıfır olduğunda, bu homojen denklemdir (çözümleri, sabit toplam enerji ile salınan yaya karşılık gelen doğrusal sinüs ve kosinüs kombinasyonlarıdır).

Çözümü aşağıdaki gibi fiziksel olarak oluşturabiliriz. Arasında ve arasında , çözüme karşılık gelen momentum net bir değişime sahiptir (bakınız: İtme (fizik) ). Bu süre içinde homojen olmayan bir denkleme çözeltisi, $t$ $> 0$ , doğrusal için, bu şekilde elde edilen çözüm üst üste koyarak elde edilmektedir $s$ , 0 arasında olacak $t$ . ${\ displaystyle t = s}$ ${\ displaystyle t = s + ds}$ ${\ displaystyle F (s) \, ds}$

Küçük bir dürtü temsil homojen başlangıç değer sorun zamanda çözeltiye ilave edilir , olup ${\ displaystyle F (s) \, ds}$ ${\ displaystyle t = s}$

{\ displaystyle x '' (t) + x (t) = 0, \ quad x (s) = 0, \ x '(s) = F (s) \, ds.}

Bu soruna benzersiz bir çözüm olduğu kolayca görülmektedir . Tüm bu çözümlerin doğrusal üst üste binmesi integral tarafından verilmektedir: ${\ displaystyle x (t) = F (s) \ sin (ts) \, ds}$

{\ displaystyle x (t) = \ int _ {0} ^ {t} F (s) \ sin (ts) \, ds.}

Bunun gerekli denklemi sağladığını doğrulamak için:

{\ displaystyle x '(t) = \ int _ {0} ^ {t} F (s) \ cos (ts) \, ds}

{\ Displaystyle x '' (t) = F (t) - \ int _ {0} ^ {t} F (s) \ sin (ts) \, ds = F (t) -x (t),}

gerektiği gibi (bkz: Leibniz integral kuralı ).

Genel parametre değişimi yöntemi, homojen olmayan doğrusal bir denklemin çözülmesine izin verir

{\ displaystyle Lx (t) = F (t)}

diferansiyel operatör doğrusal ikinci derece dikkate vasıtasıyla L net bir kuvvet zaman arasında bir çözeltiye kazandırılan böylece toplam impulsu olmak s ve s + ds olan F ( ler ) ds . Ifade tarafından homojen başlangıç değeri sorunun çözümü ${\ displaystyle x_ {s}}$

{\ displaystyle Lx (t) = 0, \ quad x (s) = 0, \ x '(s) = F (s) \, ds.}

O halde homojen olmayan denklemin belirli bir çözümü şu şekildedir:

{\ displaystyle x (t) = \ int _ {0} ^ {t} x_ {s} (t) \, ds,}

sonsuz küçük homojen çözümlerin doğrusal olarak üst üste binmesinin sonucu. Daha yüksek mertebeden doğrusal diferansiyel operatörlere yönelik genellemeler vardır.

Uygulamada, parametrelerin değişimi genellikle homojen problemin temel çözümünü içerir, sonsuz küçük çözümler daha sonra doğrusal olarak bağımsız temel çözümlerin açık doğrusal kombinasyonları olarak verilir. Zorlanmış dispersiyonsuz yay durumunda, çekirdek , ilişkili temel çözümlere ayrıştırmadır. ${\ displaystyle x_ {s}}$ ${\ displaystyle \ sin (ts) = \ sin t \ çünkü s- \ sin s \ çünkü t}$

Yöntemin açıklaması

Sıradan bir homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklem n mertebesinde verildiğinde

{\ displaystyle y ^ {(n)} (x) + \ toplamı _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (x) y ^ {(i)} (x) = b (x) .}

( i )

Izin bir olmak temel sistem karşılık gelen homojen denklemin çözümlerinin ${\ displaystyle y_ {1} (x), \ ldots, y_ {n} (x)}$

{\ displaystyle y ^ {(n)} (x) + \ toplamı _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (x) y ^ {(i)} (x) = 0.}

( ii )

Daha sonra homojen olmayan denkleme özel bir çözüm şu şekilde verilir:

{\ displaystyle y_ {p} (x) = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) y_ {i} (x)}

( iii )

nerede koşulları karşılayan varsayılır diferansiyellenebilir fonksiyonları ${\ displaystyle c_ {i} (x)}$

{\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(x) y_ {i} ^ {(j)} (x) = 0, \ quad j = 0, \ ldots, n- 2.}

( iv )

( İii ) ile başlayarak , ( iv ) ' ün tekrarlanan kullanımı ile birlikte tekrarlanan farklılaşma ,

{\ displaystyle y_ {p} ^ {(j)} (x) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) y_ {i} ^ {(j)} (x), \ quad j = 0, \ ldots, n-1 \ ,.}

( v )

Son bir farklılaşma verir

{\ displaystyle y_ {p} ^ {(n)} (x) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(x) y_ {i} ^ {(n-1)} ( x) + \ toplam _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) y_ {i} ^ {(n)} (x) \ ,.}

( vi )

( İii ) 'ü ( i )' ye ikame ederek ve ( v ) ve ( vi ) 'yi uygulayarak ,

{\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(x) y_ {i} ^ {(n-1)} (x) = b (x).}

( vii )

Doğrusal sistemi ( iv ve vii arasında) n denklem daha sonra kullanılarak çözülebilir Cramer kuralı elde

{\ displaystyle c_ {i} '(x) = {\ frac {W_ {i} (x)} {W (x)}}, \, \ quad i = 1, \ ldots, n}

burada bir Wronskian belirleyici temel sistemi ile birlikte temel sistemin Wronskian belirleyici i -inci sütunu ile ikame ${\ displaystyle W (x)}$ ${\ displaystyle W_ {i} (x)}$ ${\ displaystyle (0,0, \ ldots, b (x)).}$

Homojen olmayan denkleme özel çözüm daha sonra şu şekilde yazılabilir:

{\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} (x) \, \ int {\ frac {W_ {i} (x)} {W (x)}} \, \ mathrm { d} x.}

Örnekler

Birinci dereceden denklem

{\ displaystyle y '+ p (x) y = q (x)}

Karşılık gelen homojen denklemin (aşağıda yazılmıştır) genel çözümü, orijinal (homojen olmayan) denklemimizin tamamlayıcı çözümüdür:

{\ displaystyle y '+ p (x) y = 0}

.

Bu homojen diferansiyel denklem, örneğin değişkenlerin ayrılması gibi farklı yöntemlerle çözülebilir :

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} y + p (x) y = 0}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - p (x) y}

{\ displaystyle {dy \ y üzerinden} = - {p (x) \, dx},}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {y}} \, dy = - \ int p (x) \, dx}

{\ displaystyle \ ln | y | = - \ int p (x) \, dx + C}

{\ displaystyle y = \ pm e ^ {- \ int p (x) \, dx + C} = C_ {0} e ^ {- \ int p (x) \, dx}}

Bu nedenle, orijinal denklemimize tamamlayıcı çözüm şudur:

{\ displaystyle y_ {c} = C_ {0} e ^ {- \ int p (x) \, dx}}

Şimdi homojen olmayan denklemi çözmeye dönüyoruz:

{\ displaystyle y '+ p (x) y = q (x)}

Parametrelerin yöntem varyasyonu kullanılarak, tamamlayıcı çözüm bilinmeyen bir C ( x ) fonksiyonu ile çarpılarak özel çözüm oluşturulur :

{\ displaystyle y_ {p} = C (x) e ^ {- \ int p (x) \, dx}}

Belirli bir çözümü homojen olmayan denklemle değiştirerek, C ( x ) 'i bulabiliriz :

{\ displaystyle C '(x) e ^ {- \ int p (x) \, dx} -C (x) p (x) e ^ {- \ int p (x) \, dx} + p (x) C (x) e ^ {- \ int p (x) \, dx} = q (x)}

{\ displaystyle C '(x) e ^ {- \ int p (x) \, dx} = q (x)}

{\ displaystyle C '(x) = q (x) e ^ {\ int p (x) \, dx}}

{\ displaystyle C (x) = \ int q (x) e ^ {\ int p (x) \, dx} \, dx + C_ {1}}

Sadece tek bir çözüme ihtiyacımız var, bu yüzden keyfi olarak basitliği seçiyoruz . Bu nedenle özel çözüm şudur: ${\ displaystyle C_ {1} = 0}$

{\ displaystyle y_ {p} = e ^ {- \ int p (x) \, dx} \ int q (x) e ^ {\ int p (x) \, dx} \, dx}

Diferansiyel denklemin nihai çözümü:

{\ displaystyle {\ begin {align} y & = y_ {c} + y_ {p} \\ & = C_ {0} e ^ {- \ int p (x) \, dx} + e ^ {- \ int p (x) \, dx} \ int q (x) e ^ {\ int p (x) \, dx} \, dx \ end {hizalı}}}

Bu, faktörleri entegre etme yöntemini yeniden yaratır .

Belirli ikinci dereceden denklem

Çözelim

{\ displaystyle y '' + 4y '+ 4y = \ cosh x}

Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulmak istiyoruz, yani homojen diferansiyel denklem için çözümler bulmak istiyoruz.

{\ displaystyle y '' + 4y '+ 4y = 0.}

Karakteristik denklem olduğu:

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} +4 \ lambda +4 = (\ lambda +2) ^ {2} = 0}

Bu yana , tekrarlanan bir kök olduğu için, bir faktör tanistirmalisiniz x : doğrusal bağımsızlığının sağlanması için bir çözüm için u ₁ = E ^-2^X ve U ₂ = Xe ^-2^x . Wronskian bu iki işlevi olduğu ${\ displaystyle \ lambda = -2}$

{\ displaystyle W = {\ begin {vmatrix} e ^ {- 2x} & xe ^ {- 2x} \\ - 2e ^ {- 2x} & - e ^ {- 2x} (2x-1) \\\ end { vmatrix}} = - e ^ {- 2x} e ^ {- 2x} (2x-1) + 2xe ^ {- 2x} e ^ {- 2x} = e ^ {- 4x}.}

Wronskian sıfır olmadığı için, iki fonksiyon doğrusal olarak bağımsızdır, dolayısıyla bu aslında homojen diferansiyel denklem için genel çözümdür (ve onun sadece bir alt kümesi değildir).

A ( x ) ve B ( x ) fonksiyonlarını ararız, dolayısıyla A ( x ) u ₁ + B ( x ) u ₂ homojen olmayan denklemin özel bir çözümüdür. Sadece integralleri hesaplamamız gerekiyor

{\ displaystyle A (x) = - \ int {1 \ W} u_ {2} (x) b (x) \, \ mathrm {d} x, \; B (x) = \ int {1 \ üzeri W} u_ {1} (x) b (x) \, \ mathrm {d} x}

Bu örnek için hatırlayın

{\ displaystyle b (x) = \ cosh x}

Yani,

{\ displaystyle A (x) = - \ int {1 \ e üzerinden ^ {- 4x}} xe ^ {- 2x} \ cosh x \, \ mathrm {d} x = - \ int xe ^ {2x} \ cosh x \, \ mathrm {d} x = - {1 \ over 18} e ^ {x} \ left (9 (x-1) + e ^ {2x} (3x-1) \ right) + C_ {1} }

{\ displaystyle B (x) = \ int {1 \ e üzeri ^ {- 4x}} e ^ {- 2x} \ cosh x \, \ mathrm {d} x = \ int e ^ {2x} \ cosh x \ , \ mathrm {d} x = {1 \ over 6} e ^ {x} \ left (3 + e ^ {2x} \ right) + C_ {2}}

nerede ve nerede entegrasyon sabitleri. ${\ displaystyle C_ {1}}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$

Genel ikinci dereceden denklem

Formun diferansiyel denklemine sahibiz

{\ Displaystyle u '' + p (x) u '+ q (x) u = f (x)}

ve doğrusal operatörü tanımlıyoruz

{\ displaystyle L = D ^ {2} + p (x) D + q (x)}

burada D temsil diferansiyel operatör . Bu nedenle denklemi çözmek zorunda için nerede, ve bilinmektedir. ${\ displaystyle Lu (x) = f (x)}$ ${\ displaystyle u (x)}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle f (x)}$

Önce karşılık gelen homojen denklemi çözmeliyiz:

{\ displaystyle u '' + p (x) u '+ q (x) u = 0}

bizim seçtiğimiz teknikle. Bu homojen diferansiyel denklem için doğrusal olarak bağımsız iki çözüm elde ettikten sonra (çünkü bu ODE ikinci mertebedir) - onlara u ₁ ve u ₂ deyin - parametrelerin değişimiyle devam edebiliriz.

Şimdi, şeklinde olduğunu varsaydığımız diferansiyel denklemin genel çözümünü arıyoruz. ${\ displaystyle u_ {G} (x)}$

{\ displaystyle u_ {G} (x) = A (x) u_ {1} (x) + B (x) u_ {2} (x).}

Burada, ve bilinmeyen ve ve homojen denkleminin çözümü ise. (Eğer sabitlerse ve sabitlerse, o zaman gözlemleyin .) Yukarıdakiler sadece bir denklem olduğundan ve iki bilinmeyen fonksiyonumuz olduğundan, ikinci bir koşul empoze etmek mantıklıdır. Aşağıdakileri seçiyoruz: ${\ displaystyle A (x)}$ ${\ displaystyle B (x)}$ ${\ displaystyle u_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle u_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle A (x)}$ ${\ displaystyle B (x)}$ ${\ displaystyle Lu_ {G} (x) = 0}$

{\ displaystyle A '(x) u_ {1} (x) + B' (x) u_ {2} (x) = 0.}

Şimdi,

{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} u_ {G} '(x) & = \ sol (A (x) u_ {1} (x) + B (x) u_ {2} (x) \ sağ)' \ \ & = \ left (A (x) u_ {1} (x) \ sağ) '+ \ left (B (x) u_ {2} (x) \ sağ)' \\ & = A '(x) u_ {1} (x) + A (x) u_ {1} '(x) + B' (x) u_ {2} (x) + B (x) u_ {2} '(x) \\ & = A '(x) u_ {1} (x) + B' (x) u_ {2} (x) + A (x) u_ {1} '(x) + B (x) u_ {2}' (x) \\ & = A (x) u_ {1} '(x) + B (x) u_ {2}' (x) \ end {hizalı}}}

Tekrar farklılaştırma (ara adımları atlamak)

{\ displaystyle u_ {G} '' (x) = A (x) u_ {1} '' (x) + B (x) u_ {2} '' (x) + A '(x) u_ {1} '(x) + B' (x) u_ {2} '(x).}

Şimdi eylemini yazabiliriz L üzerine u _G olarak

{\ displaystyle Lu_ {G} = A (x) Lu_ {1} (x) + B (x) Lu_ {2} (x) + A '(x) u_ {1}' (x) + B '(x ) u_ {2} '(x).}

Yana u ₁ ve u ₂ , daha sonra çözeltilerdir

{\ displaystyle Lu_ {G} = A '(x) u_ {1}' (x) + B '(x) u_ {2}' (x).}

Denklem sistemimiz var

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u_ {1} (x) & u_ {2} (x) \\ u_ {1} '(x) & u_ {2}' (x) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} A '(x) \\ B' (x) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ f \ end {bmatrix}}.}

Genişleyen,

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A '(x) u_ {1} (x) + B' (x) u_ {2} (x) \\ A '(x) u_ {1}' (x) + B '(x) u_ {2}' (x) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ f \ end {bmatrix}}.}

Yani yukarıdaki sistem, koşulları tam olarak belirler

{\ displaystyle A '(x) u_ {1} (x) + B' (x) u_ {2} (x) = 0.}

{\ displaystyle A '(x) u_ {1}' (x) + B '(x) u_ {2}' (x) = Lu_ {G} = f.}

Bu koşullardan A ( x ) ve B ( x ) 'i ararız.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u_ {1} (x) & u_ {2} (x) \\ u_ {1} '(x) & u_ {2}' (x) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} A '(x) \\ B' (x) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ f \ end {bmatrix}}}

( A ′ ( x ), B ′ ( x )) ^{T'yi bulabiliriz} , yani

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A '(x) \\ B' (x) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} (x) & u_ {2} (x) \\ u_ {1} '(x) ve u_ {2}' (x) \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} 0 \\ f \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {W}} {\ begin {bmatrix} u_ {2} '(x) & - u_ {2} (x) \\ - u_ {1}' (x) & u_ {1} (x) \ end {bmatrix} } {\ başlangıç ​​{bmatrix} 0 \\ f \ end {bmatrix}},}

burada W belirtmektedir Wronskian arasında u ₁ ve u ₂ . ( U ₁ ve u _2'nin doğrusal olarak bağımsız olduğu varsayımından W'nin sıfır olmadığını biliyoruz .) Yani,

{\ displaystyle {\ begin {align} A '(x) & = - {1 \ over W} u_ {2} (x) f (x), & B' (x) & = {1 \ over W} u_ { 1} (x) f (x) \\ A (x) & = - \ int {1 \ over W} u_ {2} (x) f (x) \, \ mathrm {d} x ve B (x) & = \ int {1 \ over W} u_ {1} (x) f (x) \, \ mathrm {d} x \ end {hizalı}}}

Homojen denklemleri çözmek için nispeten kolay olmakla birlikte, bu yöntem, genel çözeltisi katsayılarının hesaplanmasına izin verir içinde homojen denklem ve böylece homojen olmayan bir denkleminin tam bir genel çözüm belirlenebilir.

Unutmayın ki ve her biri yalnızca gelişigüzel bir toplamsal sabite ( entegrasyon sabiti ) kadar belirlenir. Bir sabit ekleme ya da değerini değiştirmez ilave terimi sadece bir doğrusal kombinasyonu olduğu için u ₁ ve u ₂ bir çözüm, tanımı aracılığıyla tanımlanabilir. ${\ displaystyle A (x)}$ ${\ displaystyle B (x)}$ ${\ displaystyle A (x)}$ ${\ displaystyle B (x)}$ ${\ displaystyle Lu_ {G} (x)}$ ${\ displaystyle L}$

Notlar

Referanslar

Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Sıradan Diferansiyel Denklemler Teorisi . McGraw-Hill .
Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2005). Temel Diferansiyel Denklemler ve Sınır Değer Problemleri (8. baskı). Wiley. s. 186–192, 237–241.
Teschl Gerald (2012). Sıradan Diferansiyel Denklemler ve Dinamik Sistemler . Amerikan Matematik Derneği .

Languages

In other projects