Sonlu fark yöntemi - Finite difference method

Diferansiyel denklemler
Bir engel etrafındaki hava akışını simüle etmek için kullanılan Navier-Stokes diferansiyel denklemleri
Dürbün Doğa Bilimleri Mühendislik Astronomi Fizik Kimya Biyoloji jeoloji Uygulamalı matematik Süreklilik mekaniği Kaos teorisi dinamik sistemler Sosyal Bilimler ekonomi Nüfus dinamikleri
sınıflandırma
Türler Sıradan Kısmi diferansiyel-cebirsel integral diferansiyel kesirli Doğrusal doğrusal olmayan Değişken türüne göre Bağımlı ve bağımsız değişkenler özerk karmaşık Birleştirilmiş / Ayrılmış Bire bir aynı Homojen  / Homojen olmayan Özellikleri Emir Şebeke gösterim
Süreçlerle ilişkisi Fark (ayrık analog) stokastik Stokastik kısmi Gecikme
Çözüm
Varlık ve benzersizlik Picard-Lindelöf teoremi Peano varlığı teoremi Carathéodory'nin varlık teoremi Cauchy-Kowalevski teoremi
Genel başlıklar Wronskiyen Faz portresi Faz boşluğu Lyapunov  / Asimptotik  / Üstel kararlılık yakınsama oranı Seri  / İntegral çözümler Sayısal entegrasyon Dirac delta işlevi
Çözüm yöntemleri Denetleme özelliklerin yöntemi Euler Üstel yanıt formülü Sonlu fark  ( Crank–Nicolson ) Sonlu elemanlar sonsuz eleman sonlu hacim Galerkin Petrov-Galerkin entegre etme faktörü integral dönüşümler Pertürbasyon teorisi Runge-Kuta Değişkenlerin ayrılması belirsiz katsayılar Parametrelerin varyasyonu
İnsanlar Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Krank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v T e

Olarak sayısal analizi , sonlu fark yöntemleri ( FDM ) çözmek için sayısal teknikler sınıfıdır diferansiyel denklemler yaklaşan göre türevleri ile sonlu farklar . Hem uzaysal alan hem de zaman aralığı (uygulanabilirse) ayrıklaştırılır veya sonlu sayıda adıma bölünür ve bu ayrık noktalardaki çözümün değeri, yakın noktalardan alınan sonlu farkları ve değerleri içeren cebirsel denklemler çözülerek yaklaşık olarak bulunur.

Sonlu fark yöntemleri , doğrusal olmayan adi diferansiyel denklemleri (ODE) veya kısmi diferansiyel denklemleri (PDE), matris cebir teknikleri ile çözülebilen bir doğrusal denklem sistemine dönüştürür . Modern bilgisayarlar, göreceli uygulama kolaylığı ile birlikte, modern sayısal analizde FDM'nin yaygın olarak kullanılmasına yol açan bu lineer cebir hesaplamalarını verimli bir şekilde gerçekleştirebilir . Günümüzde FDM, sonlu elemanlar yöntemleriyle birlikte PDE'nin sayısal çözümüne yönelik en yaygın yaklaşımlardan biridir .

Taylor polinomundan türetme

İlk olarak, türevleri yaklaşık alınacak olan fonksiyonun Taylor teoremi ile düzgün davrandığını varsayarak, bir Taylor serisi açılımı oluşturabiliriz.

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)) }(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n} +R_{n}(x),}$

nerede n ! temsil eder faktöriyel bir n ve R ' _{, n} ( x ) derecesi Taylor polinomu arasındaki farkı gösteren bir kalan terimdir , n ve orijinal fonksiyonu. Önce Taylor polinomunu keserek "f" fonksiyonunun birinci türevi için bir yaklaşıklık elde edeceğiz:

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x),}$

Ayar, x ₀ =a elimizde,

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)h+R_{1}(x),}$

h ile bölmek şunu verir:

${\displaystyle {f(a+h) \h üzerinde}={f(a) \h üzerinde}+f'(a)+{R_{1}(x) \h üzerinde}}$

f'(a) için çözme:

${\displaystyle f'(a)={f(a+h)-f(a) \h üzerinde}-{R_{1}(x) \h üzerinde}}$

Bunun yeterince küçük olduğu varsayılırsa , "f"nin birinci türevinin yaklaşımı şu şekildedir : ${\görüntüleme stili R_{1}(x)}$

${\displaystyle f'(a)\yaklaşık {f(a+h)-f(a) \h üzerinde}.}$

Bu, tesadüfen değil, şu şekilde verilen türev tanımına benzer:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

sıfıra doğru sınır hariç (yöntem bundan sonra adlandırılır).

Doğruluk ve sipariş

Bir yöntemin çözümündeki hata, yaklaşıklık ile kesin analitik çözüm arasındaki fark olarak tanımlanır. Sonlu fark yöntemlerinde hata iki kaynaklarıdır yuvarlama hatası nedeniyle bilgisayar ondalık miktarlarda yuvarlamadan hassasiyet kaybı ve kesme hatası veya ayrıklaştırma hatası , ilk diferansiyel denklem tesisinin çözeltisi ve tam miktar arasındaki fark varsayarak mükemmel aritmetik (yani yuvarlama olmadığı varsayılarak).

Bir problemin çözümünü yaklaşık olarak tahmin etmek için sonlu farklar yöntemini kullanmak için, önce problemin alanı ayrıklaştırılmalıdır. Bu genellikle etki alanını tek tip bir ızgaraya bölerek yapılır (sağdaki resme bakın). Bu, sonlu fark yöntemlerinin, genellikle "zaman adımlı" bir şekilde türev için ayrık sayısal yaklaşım kümeleri ürettiği anlamına gelir.

Genel ilgi ifadesi, bir yöntemin yerel kesme hatasıdır . Tipik olarak Big-O notasyonu kullanılarak ifade edilen yerel kesme hatası, bir yöntemin tek bir uygulamasından kaynaklanan hatayı ifade eder. Yani miktar olduğu takdirde tam bir değere ve bunlara atıfta bulunan sayısal yaklaşım için. Bir Taylor polinomunun kalan terimi, yerel kesme hatasını analiz etmek için uygundur. Taylor polinomundan kalanın Lagrange formunu kullanarak , ki bu ${\displaystyle f'(x_{i})-f'_{i}}$${\displaystyle f'(x_{i})}$${\displaystyle f'_{i}}$${\displaystyle f(x_{0}+h)}$

${\displaystyle R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+ 1}}$, nerede , ${\displaystyle x_{0}<\xi <x_{0}+h}$

yerel kesme hatasının baskın terimi keşfedilebilir. Örneğin, yine birinci türev için ileri fark formülünü kullanarak, bunu bilerek , ${\displaystyle f(x_{i})=f(x_{0}+ih)}$

${\displaystyle f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih) ^{2},}$

ve bazı cebirsel işlemlerle, bu

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi ) }{2!}}hı,}$

ve ayrıca soldaki miktarın sonlu farklar yönteminden yaklaşıklık olduğuna ve sağdaki miktarın tam ilgili miktar artı bir kalan olduğuna dikkat ederek, açıkça kalanın yerel kesme hatası olduğunu. Bu örneğin ve sırasının son bir ifadesi:

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+O(h).}$

Bu, bu durumda yerel kesme hatasının adım boyutlarıyla orantılı olduğu anlamına gelir. Simüle edilmiş FDM çözümünün kalitesi ve süresi, ayrıklaştırma denklemi seçimine ve adım boyutlarına (zaman ve uzay adımları) bağlıdır. Daha küçük adım boyutu ile veri kalitesi ve simülasyon süresi önemli ölçüde artar. Bu nedenle, pratik kullanım için veri kalitesi ve simülasyon süresi arasında makul bir denge gereklidir. Pratikte simülasyon hızını artırmak için büyük zaman adımları yararlıdır. Ancak çok büyük zaman adımları kararsızlıklar yaratarak veri kalitesini etkileyebilir.

Von Neumann ve Courant-Friedrichs-Lewy kriterleri genellikle sayısal model stabilitesini belirlemek için değerlendirilir.

Örnek: adi diferansiyel denklem

Örneğin, adi diferansiyel denklemi ele alalım.

${\görüntüleme stili u'(x)=3u(x)+2.\,}$

Euler metodu Bu denklemi çözmek için sonlu fark bölüm kullanır

${\displaystyle {\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\yaklaşık u'(x)}$

önce onu u'(x) yerine koyarak, sonra biraz cebir uygulayarak (her iki tarafı h ile çarparak ve sonra her iki tarafa da u(x) ekleyerek) diferansiyel denklemi yaklaşık olarak elde etmek için

${\görüntüleme stili u(x+h)=u(x)+h(3u(x)+2).\,}$

Son denklem bir sonlu farklar denklemidir ve bu denklemi çözmek, diferansiyel denkleme yaklaşık bir çözüm verir.

Örnek: Isı denklemi

Homojen Dirichlet sınır koşulları ile bir boyutta normalleştirilmiş ısı denklemini düşünün

${\displaystyle U_{t}=U_{xx}\,}$

${\displaystyle U(0,t)=U(1,t)=0\,}$ (sınır şartları)

${\displaystyle U(x,0)=U_{0}(x)\,}$ (başlangıç ​​koşulu)

Bu denklemi sayısal olarak çözmenin bir yolu, tüm türevleri sonlu farklarla yaklaştırmaktır. Alanı bir ağ kullanarak uzayda ve bir ağ kullanarak zamanda bölümlere ayırıyoruz . Hem uzayda hem de zamanda tek tip bir bölüm olduğunu varsayıyoruz, bu nedenle ardışık iki uzay noktası arasındaki fark h olacak ve iki ardışık zaman noktası arasındaki fark k olacak . Puanlar ${\displaystyle x_{0},...,x_{J}}$${\displaystyle t_{0},....,t_{N}}$

${\displaystyle u(x_{j},t_{n})=u_{j}^{n}}$

sayısal yaklaşımını temsil edecek ${\displaystyle u(x_{j},t_{n}).}$

açık yöntem

Bir kullanma ileri farklar anda${\görüntüleme stili t_{n}}$ ve bir ikinci dereceden merkezi türevi pozisyonunda yer türevi için ( FTCS ) biz tekrar denklemi elde: ${\görüntüleme stili x_{j}}$

${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j }^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}.\,}$

Bu, tek boyutlu ısı denklemini çözmek için açık bir yöntemdir .

Diğer değerlerden şu şekilde elde edebiliriz : ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

${\displaystyle u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}$

nerede ${\görüntüleme stili r=k/s^{2}.}$

Böylece, bu yineleme bağıntısı ile ve n zamanındaki değerleri bilerek, n +1 zamanında karşılık gelen değerler elde edilebilir . ve sınır koşulları ile değiştirilmelidir, bu örnekte her ikisi de 0'dır. ${\ Displaystyle u_{0}^{n}}$${\displaystyle u_{J}^{n}}$

Bu açık bir yöntem olduğu bilinmektedir Sayısal olarak kararlı ve yakınsak zaman . Sayısal hatalar, zaman adımı ve uzay adımının karesi ile orantılıdır: ${\displaystyle r\leq 1/2}$

${\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2})\,}$

örtük yöntem

Kullandığımız Eğer geri fark zamanda${\displaystyle t_{n+1}}$ ve pozisyon alan türevi için bir ikinci dereceden merkezi türevi (Geri zaman, mekân yöntem "BTCS" Merkezli) biz tekrar denklemi elde: ${\görüntüleme stili x_{j}}$

${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_ {j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}.\,}$

Bu, tek boyutlu ısı denklemini çözmek için örtük bir yöntemdir .

Bir lineer denklem sistemini çözerek şunları elde edebiliriz : ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

${\displaystyle (1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^ {n}}$

Şema her zaman sayısal olarak kararlı ve yakınsaktır, ancak her zaman adımında bir sayısal denklem sisteminin çözülmesini gerektirdiğinden, açık yöntemden genellikle sayısal olarak daha yoğundur. Hatalar, zaman adımı boyunca doğrusal ve uzay adımı boyunca ikinci derecedendir:

${\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2}).\,}$

Krank-Nicolson yöntemi

Son olarak, zamandaki merkezi farkı ve konumdaki uzay türevi ("CTCS") için ikinci dereceden bir merkezi farkı kullanırsak , tekrarlama denklemini elde ederiz: ${\displaystyle t_{n+1/2}}$${\görüntüleme stili x_{j}}$

${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {u_ {j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_ {j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\sağ).\,}$

Bu formül, Crank-Nicolson yöntemi olarak bilinir .

Bir lineer denklem sistemini çözerek şunları elde edebiliriz : ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

${\displaystyle (2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r) u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}$

Şema her zaman sayısal olarak kararlı ve yakınsaktır, ancak her zaman adımında bir sayısal denklem sisteminin çözülmesini gerektirdiğinden genellikle sayısal olarak daha yoğundur. Hatalar, hem zaman adımı hem de uzay adımı üzerinden ikinci derecedendir:

${\displaystyle \Delta u=O(k^{2})+O(h^{2}).\,}$

Karşılaştırmak

Özetlemek gerekirse, genellikle Crank-Nicolson şeması, küçük zaman adımları için en doğru şemadır. Daha büyük zaman adımları için, örtük şema daha az hesaplama gerektirdiğinden daha iyi çalışır. Açık şema en az doğru olandır ve kararsız olabilir, ancak aynı zamanda uygulanması en kolay ve sayısal olarak en az yoğun olanıdır.

İşte bir örnek. Aşağıdaki şekiller, ısı denklemine yaklaşmak için yukarıdaki yöntemlerle verilen çözümleri göstermektedir.

${\displaystyle U_{t}=\alpha U_{xx},\quad \alpha ={\frac {1}{\pi ^{2}}},}$

sınır koşulu ile

${\displaystyle U(0,t)=U(1,t)=0.}$

Kesin çözüm

${\displaystyle U(x,t)={\frac {1}{\pi ^{2}}}e^{-t}\sin(\pi x).}$

Örnek: Laplace operatörü

(Sürekli) Laplace operatörü olarak Boyutları ile verilir . Ayrık Laplace operatörü boyuta bağlıdır . ${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle \Delta u(x)=\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}u(x)}$${\displaystyle \Delta _{h}u}$${\görüntüleme stili n}$

1D'de Laplace operatörü yaklaşık olarak şu şekildedir:

${\displaystyle \Delta u(x)=u''(x)\yaklaşık {\frac {u(xh)-2u(x)+u(x+h)}{h^{2}}}=:\ Delta _{h}u(x)\,.}$

Bu yaklaşım genellikle aşağıdaki şablonla ifade edilir.

${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}$

ve simetrik, üç köşeli bir matrisi temsil eden. Eşit uzaklıkta bir ızgara için bir Toeplitz matrisi elde edilir .

2D durum, daha genel nD durumunun tüm özelliklerini gösterir. Her bir ikinci kısmi türevin 1D durumuna benzer şekilde yaklaştırılması gerekir.

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\Delta u(x,y)&=u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)\\&\yaklaşık {\frac {u(xh) ,y)-2u(x,y)+u(x+h,y)}{h^{2}}}+{\frac {u(x,yh)-2u(x,y)+u(x) ,y+h)}{h^{2}}}\\&={\frac {u(xh,y)+u(x+h,y)-4u(x,y)+u(x,yh )+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&=:\Delta _{h}u(x,y)\,,\end{hizalı}}}$

genellikle aşağıdaki şablon tarafından verilir

${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}&1\\1&-4&1\\&1\end{bmatrix}}\,.}$

Tutarlılık

Yukarıda belirtilen yaklaşımın tutarlılığı, gibi oldukça düzenli fonksiyonlar için gösterilebilir . Açıklama ${\ Displaystyle u\ C^{4}(\Omega )}$

${\displaystyle \Delta u-\Delta _{h}u={\mathcal {O}}(h^{2})\,.}$

Bunu kanıtlamak için, Taylor Serisi açılımlarını ayrık Laplace operatörüne 3. sıraya kadar ikame etmek gerekir.

Özellikleri

alt harmonik

Sürekli alt harmonik fonksiyonlara benzer şekilde , sonlu farklar yaklaşımları için alt harmonik fonksiyonlar tanımlanabilir.${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle -\Delta _{h}u_{h}\leq 0\,.}$

Ortalama değer

Bir genel tanımlayabilir şablon arasında pozitif türü ile

${\displaystyle {\begin{bmatrix}&\alpha _{N}\\\alpha _{W}&-\alpha _{C}&\alpha _{E}\\&\alpha _{S}\end {bmatrix}}\,,\quad \alpha _{i}>0\,,\quad \alpha _{C}=\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{ben}\,.}$

Eğer (ayrık) alt harmonik ise, aşağıdaki ortalama değer özelliği geçerlidir: ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle u_{h}(x_{C})\leq {\frac {\toplam _ {i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}u_{h}(x_ {i})}{\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}}}\,,}$

burada yaklaşıklık ızgaranın noktalarında değerlendirilir ve şablonun pozitif tipte olduğu varsayılır.

Benzer bir ortalama değer özelliği , sürekli durum için de geçerlidir.

Maksimum prensibi

(Ayrık) bir alt harmonik fonksiyon için aşağıdakiler geçerlidir: ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle \max _{\Omega _{h}}u_{h}\leq \max _{\partial \Omega _{h}}u_{h}\,}$

nerede sürekli alanın ayrıklaştırmaları , sırasıyla sınır . ${\displaystyle \Omega _{h},\kısmi \Omega _{h}}$${\görüntüleme stili\Omega }$${\görüntüleme stili \kısmi \Omega }$

Benzer bir maksimum ilkesi , sürekli durum için de geçerlidir.

SBP-SAT yöntemi

SBP-SAT yöntemi, yüksek mertebeden sonlu farklar kullanarak iyi konumlanmış bir kısmi diferansiyel denklemin sınır koşullarını ayrıklaştırmak ve uygulamak için kararlı ve doğru bir tekniktir. Yöntem, türev operatörlerinin parçalara göre toplama özellikleri sergilediği sonlu farklara dayanmaktadır. Tipik olarak, bu operatörler, ayrık ortamda parçaların entegrasyonunu taklit etmek için tasarlanmış, özenle seçilmiş tek taraflı sınır şablonları ile iç kısımda merkezi fark şablonlarına sahip farklılaşma matrislerinden oluşur. SAT tekniğini kullanarak, PDE'nin sınır koşulları, sınır değerlerinin tam olarak yerine getirilmek yerine istenen koşullara "çekildiği" zayıf bir şekilde uygulanır. Ayar parametreleri (SAT tekniğinin doğası gereği) doğru seçilirse, sonuçtaki ODE'lerin sistemi, sürekli PDE ile benzer enerji davranışı sergileyecektir, yani sistemde fiziksel olmayan enerji büyümesi yoktur. Dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemi gibi hayali eksenin parçalarını içeren bir kararlılık bölgesine sahip bir entegrasyon şeması kullanılıyorsa bu, kararlılığı garanti eder. Bu, SAT tekniğini, örneğin yüksek mertebeden farklılaşma operatörleri kullanılırsa tipik olarak kararlı olmayacak olan enjeksiyon yönteminin aksine, yüksek mertebeden sonlu fark yöntemleri için sınır koşulları dayatmak için çekici bir yöntem yapar.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

• KW Morton ve DF Mayers, Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü, Giriş . Cambridge Üniversitesi Yayınları, 2005.
• Autar Kaw ve E. Eric Kalu, Uygulamalı Sayısal Yöntemler , (2008) [1] . Bölüm 08.07'de FDM'ye (ODE'ler için) mühendislik odaklı kısa bir giriş içerir .
• John Strikwerda (2004). Sonlu Fark Şemaları ve Kısmi Diferansiyel Denklemler (2. baskı). SIAM. ISBN'si 978-0-89871-639-9.
• Smith, GD (1985), Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü: Sonlu Fark Yöntemleri, 3. baskı. , Oxford University Press
• Peter Olver (2013). Kısmi Diferansiyel Denklemlere Giriş . Springer. Bölüm 5: Sonlu farklar. ISBN'si 978-3-319-02099-0..
• Randall J. LeVeque , Adi ve Kısmi Diferansiyel Denklemler için Sonlu Fark Yöntemleri , SIAM, 2007.
• Sergey Lemeshevsky, Piotr Matus, Dmitriy Poliakov(Eds): "Tam Sonlu Fark Şemaları", De Gruyter (2016). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110491326 .