Galerkin yöntemi - Galerkin method
Diferansiyel denklemler |
---|
Kapsam |
sınıflandırma |
Çözüm |
İnsanlar |
Gelen matematik , alanda sayısal analizi , Galerkin yöntemleri Rus matematikçi adını, Boris Galerkin , bu tür bir şekilde, sürekli bir operatör sorunu dönüştürmek diferansiyel denklem yaygın olarak, zayıf formülasyon doğrusal kısıtlamaları sonlu ile tespit uygulayarak bir ayrık sorun, temel fonksiyon kümeleri.
Genellikle bir Galerkin yöntemine atıfta bulunulurken, kullanılan tipik varsayımlar ve yaklaşık yöntemler ile birlikte ad da verilir:
- Ritz-Galerkin metodu (sonra Walther Ritz ) tipik kabul simetrik ve pozitif belirli çift doğrusal formu içinde zayıf bir formülasyon , diferansiyel denklem bir için fiziksel sistem ile formüle edilebilir aza a ikinci dereceden bir fonksiyonu sistemi temsil eden enerji ve yaklaşık çözüm a, doğrusal verilen temel fonksiyonların kombinasyonu .
- Bubnov-Galerkin yöntemi ( Ivan Bubnov'dan sonra ), çift doğrusal formun simetrik olmasını gerektirmez ve enerji minimizasyonunu , çözümü yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılan aynı temel fonksiyonlarla belirlenen ortogonallik kısıtlamaları ile değiştirir . Diferansiyel denklemin operatör formülasyonunda , Bubnov-Galerkin yöntemi operatöre ortogonal bir izdüşüm uygulamak olarak görülebilir .
- Petrov–Galerkin yöntemi (Georgii I. Petrov'dan sonra), çözüme yaklaşmak için kullanılan temel işlevlerden farklı olanortogonallik kısıtlamaları ( test temel işlevleri olarak adlandırılır) için temel işlevlerin kullanılmasına izin verir. Petrov–Galerkin yöntemi, Bubnov–Galerkin yönteminin bir uzantısı olarak görülebilir ve diferansiyel denklemin operatör formülasyonunda mutlaka ortogonal olmayan bir izdüşüm uygulanır.
Galerkin yöntemlerinin örnekleri şunlardır:
- ağırlıklı kalıntıların Galerkin metodu , genel hesaplama en yaygın yöntem rijitlik matrisi içinde sonlu eleman yöntemi ,
- integral denklemlerini çözmek için sınır eleman yöntemi ,
- Krylov altuzay yöntemleri .
Örnek: matris lineer sistem
İlk olarak , aşağıdaki simetrik ve pozitif tanımlı matrise sahip bir lineer denklem sistemine uygulanan Galerkin yöntemini tanıtıyor ve gösteriyoruz.
ve çözüm ve sağ taraf vektörleri
Alalım
o zaman Galerkin denkleminin matrisi
Galerkin denkleminin sağ taraftaki vektörü
çözüm vektörünü elde etmek için
Orijinal denklemin yaklaşık çözümünü şu şekilde belirlemek için nihayet yükselttiğimiz Galerkin denklemine
Bu örnekte, orijinal Hilbert uzayımız aslında standart skaler ürünle donatılmış 3 boyutlu Öklid uzayıdır , 3'e 3 matrisimiz çift doğrusal formu tanımlar ve sağ taraftaki vektör sınırlı doğrusal fonksiyoneli tanımlar . Kolonlar
matrisin karesi, Galerkin izdüşümünün 2 boyutlu alt uzayının bir ortonormal tabanını oluşturur. 2'ye 2 Galerkin matrisinin girişleri , Galerkin denkleminin sağ taraftaki vektörünün bileşenleri ise . Son olarak, Galerkin denkleminin çözüm vektörünün bileşenlerinden yaklaşık çözüm elde edilir ve temel olarak .
Hilbert uzayında lineer denklem
Doğrusal bir denklemin zayıf formülasyonu
Bir Hilbert uzayı üzerinde zayıf bir formülasyon olarak ortaya konan soyut bir problemle Galerkin'in yöntemini tanıtalım , yani,
- herkes için öyle bul .
Burada, bir olan iki çizgili formu (kesin şartlar sonradan belirtilecektir) ve fonksiyonel tarihinde adlı doğrusal sınırlı olduğunu .
Galerkin boyut küçültme
n boyutunda bir alt uzay seçin ve öngörülen problemi çözün:
- Herkes için böyle bulun .
Buna Galerkin denklemi diyoruz . Denklemin değişmeden kaldığına ve sadece boşlukların değiştiğine dikkat edin. Problemi sonlu boyutlu bir vektör alt uzayına indirgemek, temel vektörlerin sonlu lineer kombinasyonu olarak sayısal olarak hesaplamamızı sağlar .
Galerkin dikliği
Galerkin yaklaşımının temel özelliği, hatanın seçilen alt uzaylara dik olmasıdır. olduğundan , orijinal denklemde bir test vektörü olarak kullanabiliriz . İkisini çıkararak , orijinal problemin çözümü ile Galerkin denkleminin çözümü arasındaki hata olan hata için Galerkin diklik ilişkisini elde ederiz ,
Galerkin denkleminin matris formu
Galerkin'in yönteminin amacı doğrusal bir denklem sistemi üretmek olduğundan, çözümü algoritmik olarak hesaplamak için kullanılabilecek matris formunu oluşturuyoruz.
Let bir olmak temeli için . Daha sonra, Galerkin denklemi test etmek için sırayla bu kullanmak yeterlidir, yani: bulmak öyle
Bu temele göre genişletiyoruz ve elde etmek için yukarıdaki denkleme yerleştiriyoruz.
Bu önceki denklem aslında lineer bir denklem sistemidir , burada
matrisin simetrisi
Matris girdileri tanımına bağlı Galerkin denkleminin matristir simetrik iki-doğrusal bir şekilde ancak ve ancak simetriktir.
Galerkin yöntemlerinin analizi
Burada kendimizi simetrik çift doğrusal formlarla sınırlayacağız , yani
Bu gerçekten Galerkin yöntemlerinin bir kısıtlaması olmasa da, standart teorinin uygulanması çok daha basit hale gelir. Ayrıca, simetrik olmayan durumda Petrov-Galerkin yöntemi gerekebilir.
Bu yöntemlerin analizi iki adımda ilerler. İlk olarak, Galerkin denkleminin Hadamard anlamında iyi kurgulanmış bir problem olduğunu ve bu nedenle benzersiz bir çözümü kabul ettiğini göstereceğiz . İkinci adımda, Galerkin çözümünün yaklaşıklık kalitesini inceliyoruz .
Analiz çoğunlukla iki doğrusal formun iki özelliğine dayanacaktır :
- Sınırlılık: tüm muhafazalar için
- bazı sabitler için
- Eliptiklik: tüm tutuşlar için
- bazı sabitler için
Lax-Milgram teoremi ile (bkz. zayıf formülasyon ), bu iki koşul, zayıf formülasyonda orijinal problemin iyi ortaya konduğunu ima eder. Aşağıdaki bölümlerdeki tüm normlar, yukarıdaki eşitsizliklerin geçerli olduğu normlar olacaktır (bu normlara genellikle enerji normu denir).
Galerkin denkleminin iyi pozlanmışlığı
Çünkü bilineer formun sınırlılığı ve eliptikliği için geçerlidir . Bu nedenle, Galerkin probleminin iyi ortaya konmuş olması, aslında orijinal problemin iyi ortaya konulmuş olmasından miras alınır.
Yarı-en iyi yaklaşım (Céa's lemma)
Orijinal ve Galerkin çözümü arasındaki hata , tahmini kabul ediyor
Bu, sabite kadar Galerkin çözümünün , içindeki diğer vektörler kadar orijinal çözüme yakın olduğu anlamına gelir . Özellikle, çözülmekte olan denklemi tamamen unutarak, boşluklarla yaklaşıklığı incelemek yeterli olacaktır .
Kanıt
Kanıt çok basit ve tüm Galerkin yöntemlerinin arkasındaki temel ilke olduğundan, onu buraya dahil ediyoruz: çift doğrusal formun (eşitsizlikler) ve Galerkin dikliğinin (ortadaki eşittir işareti) eliptikliği ve sınırlılığı ile, keyfi için :
Bölmek ve olası tüm infimumu üzerinden almak lemmayı verir.
Galerkin'in enerji normunda en iyi yaklaşım özelliği
Yukarıdaki bölümde sunumun basitliği için, çift doğrusal formun simetrik ve pozitif tanımlı olduğunu varsaydık , bu da onun skaler bir ürün olduğunu ve ifadenin aslında enerji normu olarak adlandırılan geçerli bir vektör normu olduğunu ima eder . Bu varsayımlar altında, Galerkin'in enerji normundaki en iyi yaklaşım özelliği de kolaylıkla kanıtlanabilir.
Enerji normu için Galerkin ortogonalliği ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılarak,
Bölmek ve mümkün olan her şeyin üzerine infimumu almak, Galerkin yaklaşımının altuzay içindeki enerji normunda en iyi yaklaşım olduğunu , yani çözümün skaler ürüne göre ortogonalden, çözümün altuzaya izdüşümünden başka bir şey olmadığını kanıtlar .
Kademeli Yapılar için Galerkin yöntemi
I. Elishakof , M. Amato, A. Marzani, PA Arvan ve JN Reddy, Galerkin yönteminin basamaklı yapılara uygulanmasını inceledi. Doğru sonuçlar elde etmek için genelleştirilmiş fonksiyonun, yani birim-adım fonksiyonunun, Dirac'ın delta fonksiyonunun ve ikili fonksiyonun gerekli olduğunu gösterdiler.
Tarih
Yaklaşım genellikle Boris Galerkin'e atfedilir . Yöntem, diğerlerinin yanı sıra Hencky ve Duncan tarafından Batılı okuyucuya açıklanmıştır. Yakınsaması Mikhlin ve Leipholz tarafından incelenmiştir. Fourier yöntemiyle çakışması Elishakoff ve diğerleri tarafından gösterilmiştir . Muhafazakar problemler için Ritz'in yöntemine eşdeğerliği Singer tarafından gösterilmiştir. Gander ve Wanner, Ritz ve Galerkin yöntemlerinin modern sonlu elemanlar yöntemine nasıl yol açtığını gösterdi. Yüz yıllık yöntemin gelişimi Repin tarafından tartışıldı. Elishakoff, Kaplunov ve Kaplunov, Galerkin'in yönteminin Timoshenko'nun açıklamalarının aksine Ritz tarafından geliştirilmediğini göstermektedir.
Ayrıca bakınız
Referanslar
- ^ A. Ern, JL Guermond, Sonlu elemanlar teorisi ve uygulaması , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
- ^ "Georgii Ivanovich Petrov (100. doğum gününde)", Fluid Dynamics, Mayıs 2012, Cilt 47, Sayı 3, sayfa 289-291, DOI 10.1134/S0015462812030015
- ^ S. Brenner, RL Scott, Sonlu Eleman Yöntemlerinin Matematiksel Teorisi , 2. baskı, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1
- ^ PG Ciarlet, Eliptik Problemler için Sonlu Elemanlar Metodu , North-Holland, 1978, ISBN 0-444-85028-7
- ^ Y. Saad , Seyrek Doğrusal Sistemler için Yinelemeli Yöntemler , 2. baskı, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2
- ^ Elishakoff I., Marco Amato, Prakash Ankitha Arvan ve Alessandro Marzani, 2021 “Kademeli yapılar için Galerkin yönteminin titiz bir şekilde uygulanması genelleştirilmiş işlevlere ihtiyaç duyar,” Journal of Sound and Vibration, Cilt. 490, makale 115708
- ^ Elishakoff I., Marco Amato ve Alessandro Marzani, 2021, “Galerkin'in yöntemi yeniden ziyaret edildi ve Jaworski ve Dowell probleminde düzeltildi”, Mechanical Systems and Signal Processing, Cilt. 156, madde 107604
- ^ Elishakoff I. ve Marco Amato, 2021, “Flutter of a beam in supersonic flow: truncated version of Timoshenko–Ehrenfest denklemi yeterlidir”, International Journal of Mechanics and Materials in Design, baskıda.
- ^ Marco Amato, Elishakoff I. ve JN Reddy, 2021, "Süpersonik akışta çok bileşenli bir kirişin çarpıntısı", AIAA Journal, baskıda.
- ^ Galerkin, BG,1915, Rods and Plates, Çubukların ve Plakaların Elastik Dengesine İlişkin Çeşitli Sorularda Meydana Gelen Seriler, Vestnik Inzhenerov i Tekhnikov, (Mühendisler ve Teknologlar Bülteni), Cilt. 19, 897-908 (Rusça),(İngilizce Çeviri: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info.1963).
- ^ "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Jean-Claude Pont, editör), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0
- ^ Hencky H.,1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 7, 80-81 (Almanca).
- ^ Duncan, WJ, 1937, Galerkin's Method in Mechanics and Diferansiyel Denklemler, Havacılık Araştırma Komitesi Raporları ve Memoranda, No. 1798.
- ^ Duncan, WJ,1938, The Principles of the Galerkin Method, Aeronautical Research Report and Memoranda, No. 1894.
- ^ SG Mikhlin, "Matematiksel Fizikte Varyasyon Yöntemleri", Pergamon Press, 1964
- ^ Leipholz HHE, 1976, Galerkin'in Titreşim Problemleri için Yönteminin Kullanımı, Şok ve Titreşim Özeti, Cilt. 8, 3-18
- ^ Leipholz HHE,1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchfuchrung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., Vol. 3, 295-317 (Almanca).
- ^ Leipholz HHE, 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, Ing. Arch., Cilt. 36, 251-261 (Almanca).
- ^ Leipholz, HHE, 1976, Galerkin'in Titreşim Problemleri İçin Yönteminin Kullanımı, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.
- ^ Elishakoff, I., Lee,LHN,1986, On Equivalence of the Galerkin and Fourier Series Methods for One Class of Problems, Journal of Sound and Vibration, Vol. 109, 174-177.
- ^ Elishakoff, I., Zingales, M.,2003, Bubnov-Galerkin Tesadüf ve Uygulamalı Mekanik Probleminde Kesin Çözüm, Journal of Applied Mechanics, Cilt. 70, 777-779.
- ^ Elishakoff, I., Zingales M.,2004, Örneklenen Bubnov-Galerkin Yönteminin Yakınsaması, AIAA Journal, Vol. 42(9), 1931-1933.
- ^ Singer J., 1962, Galerkin ve Rayleigh-Ritz Metodlarının Eşdeğerliği Üzerine, Journal of the Royal Aeronautical Society, Cilt. 66, No. 621, s.592.
- ^ Gander, MJ, Wanner, G.,2012, From Euler, Ritz ve Galerkin to Modern Computing, SIAM Review, Cilt. 54(4), 627-666.
- ^ ] Repin, S.,2017, Galerkin Yönteminin Yüz Yılı, Hesaplamalı Yöntemler ve Uygulamalı Matematik, Cilt.17(3), 351-357.
- ^ .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, “Galerkin'in yöntemi Timoshenko'nun ifadesinin aksine Ritz tarafından geliştirilmemiştir”, Nonlinear Dynamics of Discrete and Continuous Systems (A. Abramyan, I. Andrianov ve V. Gaiko, ed.), s. 63-82, Springer, Berlin.
Dış bağlantılar
- "Galerkin yöntemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
- MathWorld'den Galerkin Yöntemi