Butterworth filtresi - Butterworth filter
Doğrusal analog elektronik filtreler |
---|
Butterworth filtre türüdür sinyal işleme filtre bir şekilde tasarlanmış bir frekans yanıtı mümkün düz olarak geçiş-bandı . Aynı zamanda maksimum düz büyüklük filtresi olarak da adlandırılır . İlk olarak 1930'da İngiliz mühendis ve fizikçi Stephen Butterworth tarafından "On the Theory of Filter Amplifiers" başlıklı makalesinde tanımlanmıştır.
Orjinal kağıt
Doğrusal analog elektronik filtreler |
---|
Butterworth, "imkansız" matematiksel problemleri çözme konusunda bir üne sahipti. O zamanlar, filtre tasarımı , teorinin o sırada kullanımda olan sınırlamaları nedeniyle önemli miktarda tasarımcı deneyimi gerektiriyordu . Filtre, yayınlandıktan sonra 30 yılı aşkın bir süredir yaygın olarak kullanılmadı. Butterworth, şunları kaydetti:
"İdeal bir elektrik filtresi sadece istenmeyen frekansları tamamen reddetmekle kalmamalı, aynı zamanda istenen frekanslar için tek tip hassasiyete sahip olmalıdır".
Böyle ideal bir filtre elde edilemez, ancak Butterworth, doğru değerlere sahip artan sayıda filtre elemanı ile art arda daha yakın yaklaşımların elde edildiğini gösterdi. O zamanlar, filtreler geçiş bandında önemli bir dalgalanma yarattı ve bileşen değerlerinin seçimi oldukça etkileşimliydi. Butterworth , kesme frekansı saniyede 1 radyana normalize edilmiş ve frekans yanıtı ( kazancı ) olan bir alçak geçiren filtrenin tasarlanabileceğini gösterdi.
burada ω saniyedeki radyan cinsinden açısal frekanstır ve n , filtredeki kutup sayısıdır - pasif bir filtredeki reaktif elemanların sayısına eşittir. ω = 1 ise, bu tip filtrenin geçiş bandındaki genlik yanıtı 1/ √ 2 ≈ 0.707, yani yarım güç veya -3 dB'dir . Butterworth, makalesinde yalnızca çift kutuplu filtrelerle ilgilendi. Bu tür filtrelerin tek sayıda kutupla tasarlanabileceğinin farkında olmayabilirdi. Yüksek dereceli filtrelerini vakum tüplü amplifikatörlerle ayrılmış 2 kutuplu filtrelerden yaptı. 2, 4, 6, 8 ve 10 kutuplu filtrelerin frekans yanıtı grafiği orijinal grafiğinde A, B, C, D ve E olarak gösterilmiştir.
Butterworth, iki ve dört kutuplu filtreler için denklemleri çözerek, ikincisinin vakum tüplü amplifikatörlerle ayrıldığında nasıl basamaklandırılabileceğini gösterdi ve böylece indüktör kayıplarına rağmen daha yüksek dereceli filtrelerin yapımını sağladı . 1930'da, molypermalloy gibi düşük kayıplı çekirdek malzemeler keşfedilmemişti ve hava çekirdekli ses indüktörleri oldukça kayıplıydı. Butterworth, indüktörlerin sargı direncini telafi etmek için filtrenin bileşen değerlerini ayarlamanın mümkün olduğunu keşfetti.
Geçmeli terminaller ile 1.25" çapında ve 3" uzunluğunda bobin formları kullandı. Sarılmış bobin formunun içinde ilgili kapasitörler ve dirençler bulunuyordu. Bobin, plaka yük direncinin bir parçasını oluşturdu. Vakum tüpü başına iki kutup kullanıldı ve takip eden tüpün ızgarasına RC bağlantısı kullanıldı.
Butterworth ayrıca, temel alçak geçiren filtrenin, alçak geçiren , yüksek geçiren , bant geçiren ve bant durduran işlevsellik verecek şekilde değiştirilebileceğini gösterdi .
genel bakış
Butterworth filtresinin frekans tepkisi , geçiş bandında maksimum düzeyde düzdür (yani dalgalanma yoktur ) ve durdurma bandında sıfıra doğru yuvarlanır. Logaritmik bir Bode grafiği üzerinde bakıldığında , yanıt doğrusal olarak negatif sonsuza doğru eğimlidir. Birinci dereceden bir filtrenin yanıtı, oktav başına −6 dB'de ( on yılda −20 dB ) yuvarlanır (birinci dereceden alçak geçiren filtrelerin tümü aynı normalleştirilmiş frekans yanıtına sahiptir). İkinci dereceden bir filtre, oktav başına −12 dB'de azalır, üçüncü dereceden bir −18 dB'de vb. azalır. Butterworth filtreleri, geçiş bandında ve/veya durdurma bandında monoton olmayan dalgalanmaya sahip diğer filtre türlerinin aksine, ω ile monoton olarak değişen bir büyüklük fonksiyonuna sahiptir.
Bir karşılaştırıldığında Chebyshev Tip I /, Tip II filtresi ya da bir eliptik filtre , Butterworth filtre daha yavaş olan roll-off ve böylece, belirli bir uygulamaya daha yüksek bir siparişi gerektirecektir stopband özellikleri, ancak Butterworth filtreler olarak daha doğrusal bir faz tepkisini sahip Chebyshev Tip I/Tip II ve eliptik filtrelerin elde edebileceğinden daha geçiş bandı.
Misal
Sağdaki şekilde gösterilen üçüncü dereceden alçak geçiren Butterworth filtre tasarımının bir transfer fonksiyonu şuna benzer:
Butterworth filtresinin basit bir örneği, sağdaki şekilde C 2 = 4/3 F, R 4 = 1 Ω, L 1 = 3/2 H ve L 3 ile gösterilen üçüncü dereceden alçak geçiren tasarımdır. = 1/2 H. C kondansatörlerinin empedansını 1/ (Cs) ve indüktörlerin L empedansını Ls olarak alarak , burada s = σ + j ω karmaşık frekanstır, devre denklemleri transfer fonksiyonunu verir. bu cihaz için:
Frekans yanıtının (kazanç) G (ω) büyüklüğü şu şekilde verilir:
şuradan alındı
ve faz tarafından verilir
Grup gecikmesi açısal frekans ile ilgili fazın türevi olarak tanımlanır ve farklı frekanslar için faz farklarının getirdiği sinyalde bir bozulma ölçüsüdür. Bu filtre için kazanç ve gecikme, soldaki grafikte çizilir. Geçiş bandında veya durdurma bandında kazanç eğrisinde dalgalanma olmadığı görülebilir.
H(s) transfer fonksiyonunun mutlak değerinin logu , sağdaki ikinci grafikte karmaşık frekans uzayında çizilmiştir. Fonksiyon, karmaşık frekans düzleminin sol yarısındaki üç kutup tarafından tanımlanır.
Bunlar , gerçek s ekseni etrafında simetrik olan bir yarıçap birimi çemberi üzerinde düzenlenmiştir . Kazanç fonksiyonunun, daireyi tamamlamak için sağ yarım düzlemde üç kutup daha olacaktır.
Her indüktörün bir kondansatörle ve her kondansatörün bir indüktörle değiştirilmesiyle, yüksek geçiren bir Butterworth filtresi elde edilir.
Bir bant geçiren Butterworth filtresi, rezonans devreleri oluşturmak için her bir indüktöre seri bir kondansatör ve her kondansatöre paralel bir indüktör yerleştirilerek elde edilir. Her yeni bileşenin değeri, ilgilenilen frekansta eski bileşenle rezonansa girecek şekilde seçilmelidir.
Bir bant durdurucu Butterworth filtresi, rezonans devreleri oluşturmak için her bir indüktöre paralel bir kapasitör ve her kapasitöre seri bir indüktör yerleştirilerek elde edilir. Her yeni bileşenin değeri, reddedilecek frekansta eski bileşenle rezonansa girecek şekilde seçilmelidir.
Aktarım işlevi
Tüm filtreler gibi, tipik prototip , yüksek geçiren bir filtreye dönüştürülebilen veya bant geçiren ve bant durduran filtreler ve bunların daha yüksek dereceli versiyonlarını oluşturmak için diğerleriyle seri olarak yerleştirilebilen alçak geçiren filtredir .
Kazancı bir bölgesinin n Butterworth düşük geçişli filtre mertebeden transfer fonksiyonu açısından verilmiştir H (ler) olarak
nerede
- n = filtre sırası
- ω c = kesme frekansı (yaklaşık -3dB frekansı)
- DC kazancıdır (sıfır frekansta kazanç)
Şekilde olduğu görülebilir , n sonsuza yaklaşan, kazanç bir dikdörtgen fonksiyonu olur ve ω aşağıdaki frekansları c kazanç ile geçilecek ω yukarıda frekanslar ise, c bastırılır. Daha küçük n değerleri için kesme daha az keskin olacaktır.
Burada ( Laplace dönüşümünden ) H(s) transfer fonksiyonunu belirlemek istiyoruz . Çünkü ve en Laplace dönüşümlerinin genel bir özelliği olarak , biz H seçmek durumunda (ler), örneğin:
sonra, ile Butterworth filtresinin frekans yanıtına sahibiz.
N, bu ifadenin kutupları bir çap ω daire meydana C negatif gerçek eksen etrafında eşit aralıklı noktalarda, ve simetrik. Kararlılık için, transfer fonksiyonu, H(s), bu nedenle, sadece s'nin negatif gerçek yarı düzlemindeki kutupları içerecek şekilde seçilir . K -inci kutup tarafından belirtilen
ve dolayısıyla;
Transfer (veya sistem) fonksiyonu bu kutuplar cinsinden şu şekilde yazılabilir:
- .
Burada olan bir sekans ürün operatörü. Payda s cinsinden bir Butterworth polinomudur .
Normalleştirilmiş Butterworth polinomları
Butterworth polinomları yukarıdaki gibi karmaşık biçimde yazılabilir, ancak genellikle ve gibi karmaşık eşlenikler olan kutup çiftlerinin çarpılmasıyla gerçek katsayılarla yazılır . Polinomlar ayarlanarak normalleştirilir . Normalleştirilmiş Butterworth polinomları daha sonra genel ürün formuna sahiptir.
Altı ondalık basamağa kadar, bunlar
|
Butterworth inci polinom zamanda bir toplamı olarak yazılabilir
özyineleme formülü ile verilen katsayıları ile
ve ürün formülü ile
nerede
Ayrıca, . İlk 10 Butterworth polinomunun yuvarlatılmış katsayıları :
1 | 1 | 1 | |||||||||
2 | 1 | 1.4142 | 1 | ||||||||
3 | 1 | 2 | 2 | 1 | |||||||
4 | 1 | 2.6131 | 3.4142 | 2.6131 | 1 | ||||||
5 | 1 | 3.2361 | 5.2361 | 5.2361 | 3.2361 | 1 | |||||
6 | 1 | 3.8637 | 7.4641 | 9.1416 | 7.4641 | 3.8637 | 1 | ||||
7 | 1 | 4.4940 | 10.0978 | 14.5918 | 14.5918 | 10.0978 | 4.4940 | 1 | |||
8 | 1 | 5.1258 | 13.1371 | 21.8462 | 25.6884 | 21.8462 | 13.1371 | 5.1258 | 1 | ||
9 | 1 | 5.7588 | 16.5817 | 31.1634 | 41.9864 | 41.9864 | 31.1634 | 16.5817 | 5.7588 | 1 | |
10 | 1 | 6.3925 | 20.4317 | 42.8021 | 64.8824 | 74.2334 | 64.8824 | 42.8021 | 20.4317 | 6.3925 | 1 |
Normalize Butterworth polinomları frekans kesme herhangi bir düşük-geçiş filtresi için aktarım fonksiyonunu belirlemek için kullanılabilir , aşağıdaki gibi,
- , nerede
Diğer bant biçimlerine dönüşüm de mümkündür, bkz. prototip filtresi .
maksimum düzlük
ve varsayıldığında , kazancın frekansa göre türevi şu şekilde gösterilebilir:
Bu, G kazancı her zaman pozitif olduğundan herkes için monoton olarak azalıyor . Butterworth filtresinin kazanç fonksiyonu bu nedenle dalgalanmaya sahip değildir. Kazancın seri açılımı şu şekilde verilir:
Diğer bir deyişle, ancak 2 dahil değil kadar kazanç türevleridir n -inci türevi sıfırlar "maksimal düzlük" ile sonuçlanır. Monoton olma gereksinimi yalnızca geçiş bandıyla sınırlıysa ve durdurma bandında dalgalanmalara izin veriliyorsa , geçiş bandında "maksimum olarak" dan daha düz olan ters Chebyshev filtresi gibi aynı düzende bir filtre tasarlamak mümkündür. düz" Butterworth.
Yüksek frekanslı roll-off
Yine varsayarsak , büyük ω için kazancın logunun eğimi
Gelen desibel yüksek frekans azalması dolayısıyla 20 N dB / on, ya da 6 , n (20 faktör güç voltaj artışının karesi ile orantılı olduğu için kullanılır; bkz dB / oktavlık 20 günlük kuralı ).
Filtre uygulaması ve tasarımı
Doğrusal bir analog filtre uygulamak için birkaç farklı filtre topolojisi mevcuttur. Pasif gerçekleştirme için en sık kullanılan topoloji Cauer topolojisidir ve aktif gerçekleştirme için en sık kullanılan topoloji Sallen-Key topolojisidir.
Cauer topolojisi
Cauer topolojisi doğrusal analog filtre uygulamak için pasif bileşenler (şönt kapasitörü ve seri indüktörleri) kullanır. Belirli bir transfer fonksiyonuna sahip Butterworth filtresi, bir Cauer 1-formu kullanılarak gerçekleştirilebilir. K -inci elemanı tarafından verilir
Filtre bu durumda eğer istenirse bir dizi bobin, başlayabilir L K olan k tek ve Cı- k edilir k bile. Bu formüller yararlı iki yaparak birleştirilebilir L k ve Cı- k için eşit gr k . Kendisine, g k olan immitans bölünür s .
Bu formüller, ω c = 1 ile çift sonlandırılmış bir filtreye (yani, kaynak ve yük empedansının her ikisi de birliğe eşittir) uygulanır . Bu prototip filtre , diğer empedans ve frekans değerleri için ölçeklenebilir. Tek sonlandırılmış bir filtre (yani, ideal bir voltaj veya akım kaynağı tarafından sürülen) için eleman değerleri şu şekilde verilir:
nerede
ve
Gerilim tahrikli filtreler bir seri eleman ile başlamalı ve akım tahrikli filtreler bir şönt eleman ile başlamalıdır. Bu formlar tasarımında yararlıdır düpleksör ve çoklayıcılar .
Sallen-Key topolojisi
Sallen- anahtar topolojisi (tamponlar, genellikle çevirici olmayan aktif ve pasif bileşenlerin kullanan op amplifikatörler , doğrusal analog filtre uygulamak için, dirençler, kapasitörler ve). Her Sallen-Key aşaması, eşlenik bir çift kutup uygular; genel filtre, tüm aşamaları seri olarak basamaklandırarak uygulanır. Gerçek bir kutup varsa ( tek olduğu durumda ), bu ayrı olarak, genellikle bir RC devresi olarak uygulanmalı ve aktif aşamalarla basamaklandırılmalıdır.
Sağda gösterilen ikinci mertebeden Sallen-Key devresi için transfer fonksiyonu şu şekilde verilir:
Paydanın bir Butterworth polinomundaki ikinci dereceden terimlerden biri olmasını diliyoruz. Bunu varsayarsak , bu şu anlama gelir
ve
Bu, istendiğinde seçilebilecek iki tanımsız bileşen değeri bırakır.
3. ve 4. dereceden Sallen-Key topolojisine sahip, sadece bir op amp kullanan Butterworth alçak geçiren filtreler, Huelsman tarafından açıklanmaktadır ve ayrıca daha yüksek dereceli tek amplifikatörlü Butterworth filtreleri Jurišić ve diğerleri tarafından verilmektedir. .
Dijital uygulama
Butterworth ve diğer filtrelerin dijital uygulamaları, genellikle bir analog filtre tasarımını ayrıklaştırmak için iki farklı yöntem olan çift doğrusal dönüşüm yöntemine veya eşleşen Z-dönüşüm yöntemine dayanır . Butterworth gibi tüm kutuplu filtreler durumunda, eşleşen Z-dönüşüm yöntemi, darbe değişmezliği yöntemine eşdeğerdir . Daha yüksek dereceler için, dijital filtreler nicemleme hatalarına karşı hassastır, bu nedenle genellikle basamaklı ikili bölümler ve tek sıralı siparişler için bir birinci veya üçüncü dereceden bölüm olarak hesaplanırlar .
Diğer lineer filtrelerle karşılaştırma
Butterworth filtresinin özellikleri şunlardır:
- hem geçiş bandında hem de durdurma bandında monotonik genlik tepkisi
- Artan siparişle iyileşen kesme frekansı etrafında hızlı yuvarlanma
- Hatırı sayılır aşım ve zil içinde adım tepkisi artan sipariş ile kötüleşir,
- Biraz doğrusal olmayan faz yanıtı
- Grup gecikmesi büyük ölçüde frekansa bağlıdır
Burada, diğer yaygın filtre türlerinin yanında ayrık zamanlı bir Butterworth filtresinin kazancını gösteren bir resim bulunmaktadır. Bu filtrelerin tümü beşinci derecedendir.
Butterworth filtresi, kesme frekansı çevresinde Chebyshev filtresi veya Eliptik filtreden daha yavaş yuvarlanır , ancak dalgalanma olmadan.
Referanslar
- ^ Bir B olarak kablosuz Engineer (aynı zamanda deneysel Telsiz ve Telsiz Mühendisi ), Vol. 7, 1930, s. 536–541 – "Filtre Yükselteçleri Teorisi Üzerine", S. Butterworth ( PDF )
- ^ Giovanni Bianchi ve Roberto Sorrentino (2007). Elektronik filtre simülasyonu ve tasarımı . McGraw-Hill Profesyonel. s. 17–20. ISBN'si 978-0-07-149467-0.
- ^ Matthaei et al. , s. 107
- ^ Bosse, G. (Ekim 1951). "Siebketten ohne Dämpfungsschwankungen im Durchlaßbereich (Potenzketten)". Frekans . 5 (10): 279–284.
- ^ Louis Weinberg (1962). Ağ analizi ve sentezi . Malabar, Florida: Robert E. Krieger Publishing Company, Inc. (1975'te yayınlandı). s. 494–496. ISBN'si 0-88275-321-5.
- ^ US 1849656 , William R. Bennett, "İletim Ağı", 15 Mart 1932'de yayınlandı
- ^ Matthaei, s. 104-107
- ^ Matthaei, s. 105,974
- ^ Huelsman, LP (Mayıs 1971). "Eşit değerli kapasitör aktif - 3. dereceden alçak geçiren Butterworth karakteristiğinin ağ gerçekleştirmesi". Elektronik Mektuplar . 7 (10): 271–272.
- ^ Huelsman, LP (Aralık 1974). " Dördüncü dereceden düşük geçişli Butterworth karakteristiğinin eşit değerli kapasitör aktif ağ gerçekleştirmesi". IEEE Bildirileri . 62 (12): 1709-1709.
- ^ Jurišić, Drazen; Moschytz, George S.; Mijat, Neven (2008). "Düşük duyarlıklı, tek amplifikatörlü, tabloları kullanan aktif tüm kutuplu filtreler". Otomatik . 49 (3–4): 159–173.