Gradyan ayrıştırma yöntemi - Gradient discretisation method

Diferansiyel denklemler
Bir engelin etrafındaki hava akışını simüle etmek için kullanılan Navier-Stokes diferansiyel denklemleri
Dürbün Doğa Bilimleri Mühendislik Astronomi Fizik Kimya Biyoloji Jeoloji Uygulamalı matematik Süreklilik mekaniği Kaos teorisi Dinamik sistemler Sosyal Bilimler Ekonomi Nüfus dinamikleri
Sınıflandırma
Türler Sıradan Kısmi Diferansiyel cebirsel Integro-diferansiyel Kesirli Doğrusal Doğrusal olmayan Değişken türüne göre Bağımlı ve bağımsız değişkenler Otonom Karmaşık Birleştirilmiş / Ayrılmış Kesin Homojen  / Homojen Olmayan Özellikleri Sipariş Şebeke Gösterim
Süreçlerle ilişki Fark (ayrık analog) Stokastik Stokastik kısmi Gecikme
Çözüm
Varlık ve benzersizlik Picard-Lindelöf teoremi Peano varoluş teoremi Carathéodory'nin varoluş teoremi Cauchy-Kowalevski teoremi
Genel başlıklar Wronskiyen Faz portresi Faz boşluğu Lyapunov  / Asimptotik  / Üstel kararlılık Yakınsama oranı Seri  / Entegre çözümler Sayısal entegrasyon Dirac delta işlevi
Çözüm yöntemleri Muayene Özellikler yöntemi Euler Üstel yanıt formülü Sonlu fark   ( Krank – Nicolson ) Sonlu elemanlar Sonsuz eleman Sonlu hacim Galerkin Petrov – Galerkin Entegrasyon faktörü İntegral dönüşümler Tedirginlik teorisi Runge-Kutta Değişkenlerin ayrılması Belirlenmemiş katsayılar Parametrelerin değişimi
İnsanlar Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Emile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Sayısal matematikte, gradyan ayrıklaştırma yöntemi ( GDM ), çeşitli türlerdeki difüzyon problemleri için klasik ve son sayısal şemaları içeren bir çerçevedir: doğrusal veya doğrusal olmayan, sabit durum veya zamana bağlı. Şemalar uyumlu olabilir veya olmayabilir ve çok genel çokgen veya çok yüzlü ağlara dayanabilir (veya hatta ağsız olabilir).

Bir GDM'nin yakınsamasını kanıtlamak için bazı temel özellikler gereklidir. Bu temel özellikler, doğrusal veya doğrusal olmayan eliptik ve parabolik problemler için GDM'nin tam yakınsama kanıtlarını mümkün kılar. Doğrusal sabit problemleri ya da geçici, hata tahminleri üç gösterge GDM'ye spesifik göre tespit edilebilir (miktarlar , ve , aşağıya bakınız ). Doğrusal olmayan problemler için, ispatlar kompaktlık tekniklerine dayanır ve çözüm veya model verileri üzerinde herhangi bir fiziksel olmayan güçlü düzenlilik varsayımı gerektirmez. GDM'nin bu tür yakınsama kanıtının yürütüldüğü doğrusal olmayan modeller şunları içerir: eriyen bir malzemeyi modelleyen Stefan problemi , gözenekli ortamda iki fazlı akışlar , yeraltı su akışının Richards denklemi , tamamen doğrusal olmayan Leray - Aslan denklemleri. ${\ displaystyle C_ {D}}$${\ displaystyle S_ {D}}$${\ displaystyle W_ {D}}$

GDM çerçevesine giren herhangi bir planın tüm bu problemlerde birleştiği bilinmektedir. Bu, özellikle uyumlu Sonlu Elemanlar , Karışık Sonlu Elemanlar , uygun olmayan Sonlu Elemanlar ve daha yeni şemalar durumunda Süreksiz Galerkin yöntemi , Hibrit Karışık Mimetik yöntemi, Düğüm Mimetik Sonlu Fark yöntemi , bazı Kesikli Dualite Sonlu Hacim şemaları için geçerlidir. ve bazı Çok Noktalı Akı Yaklaşımı şemaları

Doğrusal difüzyon problemi örneği

Poisson denklemini , homojen Dirichlet sınır koşulu ile sınırlı bir açık alanda düşünün ${\ displaystyle \ Omega \ alt küme \ mathbb {R} ^ {d}}$

${\ displaystyle - \ Delta {\ overline {u}} = f,}$

( 1 )

nerede . Bu model için olağan zayıf çözüm anlayışı şudur: ${\ displaystyle f \ in L ^ {2} (\ Omega)}$

${\ displaystyle {\ mbox {Find}} {\ overline {u}} \ in H_ {0} ^ {1} (\ Omega) {\ mbox {öyle ki, herkes için}} {\ overline {v}} \ H_ {0} ^ {1} (\ Omega), \ quad \ int _ {\ Omega} \ nabla {\ overline {u}} (x) \ cdot \ nabla {\ overline {v}} (x) dx içinde = \ int _ {\ Omega} f (x) {\ overline {v}} (x) dx.}$

( 2 )

Özetle, böyle bir model için GDM, sonlu boyutlu bir uzay ve iki yeniden yapılandırma operatörü (biri fonksiyonlar için, biri gradyanlar için) seçmekten ve (2) 'deki sürekli elemanlar yerine bu ayrık elemanları ikame etmekten oluşur. Daha doğrusu, GDM bir üçlü olan Gradient Discretization (GD) tanımlayarak başlar , burada: ${\ displaystyle D = (X_ {D, 0}, \ Pi _ {D}, \ nabla _ {D})}$

• ayrık bilinmeyenler kümesi, sonlu boyutlu bir gerçek vektör uzayıdır, ${\ displaystyle X_ {D, 0}}$
• işlevin yeniden yapılandırılması , bir işlevin bir öğesinden, üzerinden yeniden yapılandıran doğrusal bir eşlemedir , ${\ displaystyle \ Pi _ {D} ~: ~ X_ {D, 0} \ ile L ^ {2} (\ Omega)}$${\ displaystyle X_ {D, 0}}$${\ displaystyle \ Omega}$
• gradyan rekonstrüksiyonu , bir "gradyan" (vektör değerli fonksiyon) öğesinin bir öğesinden yeniden yapılandıran doğrusal bir haritalamadır . Bu gradyan rekonstrüksiyonu bir norm olacak şekilde seçilmelidir . ${\ displaystyle \ nabla _ {D} ~: ~ X_ {D, 0} \ ile L ^ {2} (\ Omega) ^ {d}}$${\ displaystyle X_ {D, 0}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Vert \ nabla _ {D} \ cdot \ Vert _ {L ^ {2} (\ Omega) ^ {d}}}$${\ displaystyle X_ {D, 0}}$

Bulmak: (2) yakınlaştırılması için ilgili Gradyan Programı ile verilir şekilde ${\ displaystyle u \ X_ {D, 0}}$

${\ displaystyle \ forall v \ içinde X_ {D, 0}, \ qquad \ int _ {\ Omega} \ nabla _ {D} u (x) \ cdot \ nabla _ {D} v (x) dx = \ int _ {\ Omega} f (x) \ Pi _ {D} v (x) dx.}$

( 3 )

Bu durumda GDM, uygun olmayan sonlu elemanlar yöntemini içeren (2) 'nin yaklaştırılması için uygun olmayan bir yöntemdir. GDM çerçevesinin işlevin işlevden hesaplanamayacağı türden yöntemler içermesi anlamında karşılıklılığın doğru olmadığını unutmayın . ${\ displaystyle \ nabla _ {D} u}$${\ displaystyle \ Pi _ {D} u}$

G. Strang'ın ikinci lemmasından esinlenilen aşağıdaki hata tahmini,

${\ displaystyle W_ {D} (\ nabla {\ overline {u}}) \ leq \ Vert \ nabla {\ overline {u}} - \ nabla _ {D} u_ {D} \ Vert _ {L ^ {2 } (\ Omega) ^ {d}} \ leq W_ {D} (\ nabla {\ overline {u}}) + 2S_ {D} ({\ overline {u}}),}$

( 4 )

ve

${\ displaystyle \ Vert {\ overline {u}} - \ Pi _ {D} u_ {D} \ Vert _ {L ^ {2} (\ Omega)} \ leq C_ {D} W_ {D} (\ nabla {\ overline {u}}) + (C_ {D} +1) S_ {D} ({\ overline {u}}),}$

( 5 )

tanımlama:

${\ displaystyle C_ {D} = \ max _ {v \ içinde X_ {D, 0} \ setminus \ {0 \}} {\ frac {\ Vert \ Pi _ {D} v \ Vert _ {L ^ {2 } (\ Omega)}} {\ Vert \ nabla _ {D} v \ Vert _ {L ^ {2} (\ Omega) ^ {d}}}},}$

( 6 )

zorlayıcılığı ölçen (ayrık Poincaré sabiti),

${\ displaystyle \ forall \ varphi \ H_ {0} ^ {1} (\ Omega), \, S_ {D} (\ varphi) = \ min _ {v \ içinde X_ {D, 0}} \ sol ( \ Vert \ Pi _ {D} v- \ varphi \ Vert _ {L ^ {2} (\ Omega)} + \ Vert \ nabla _ {D} v- \ nabla \ varphi \ Vert _ {L ^ {2} (\ Omega) ^ {d}} \ sağ),}$

( 7 )

enterpolasyon hatasını ölçen,

${\ displaystyle \ forall \ varphi \ in H _ {\ operatorname {div}} (\ Omega), \, W_ {D} (\ varphi) = \ max _ {v \ X_ {D, 0} \ setminus \ { 0 \}} {\ frac {\ left | \ int _ {\ Omega} \ left (\ nabla _ {D} v (x) \ cdot \ varphi (x) + \ Pi _ {D} v (x) \ operatöradı {div} \ varphi (x) \ right) \, dx \ right |} {\ Vert \ nabla _ {D} v \ Vert _ {L ^ {2} (\ Omega) ^ {d}}}}, }$

( 8 )

uygunluk kusurunu ölçer.

Yaklaşım hatasının aşağıdaki üst ve alt sınırlarının türetilebileceğini unutmayın:

${\ displaystyle {\ begin {align} && {\ frac {1} {2}} [S_ {D} ({\ overline {u}}) + W_ {D} (\ nabla {\ overline {u}}) ] \\ & \ leq & \ Vert {\ overline {u}} - \ Pi _ {D} u_ {D} \ Vert _ {L ^ {2} (\ Omega)} + \ Vert \ nabla {\ overline { u}} - \ nabla _ {D} u_ {D} \ Vert _ {L ^ {2} (\ Omega) ^ {d}} \\ & \ leq & (C_ {D} +2) [S_ {D } ({\ overline {u}}) + W_ {D} (\ nabla {\ overline {u}})]. \ end {hizalı}}}$

( 9 )

Daha sonra, yöntemin yakınsaması için gerekli ve yeterli olan temel özellikler, bir GD ailesi için, bir sonraki bölümde tanımlandığı gibi, zorlayıcılık, GD tutarlılığı ve sınır uygunluk özellikleridir. Daha genel olarak, bu üç çekirdek özellik, GDM'nin doğrusal problemler ve -Laplace problemi gibi bazı doğrusal olmayan problemler için yakınsamasını kanıtlamak için yeterlidir . Doğrusal olmayan difüzyon, dejenere parabolik problemler gibi doğrusal olmayan problemler için, bir sonraki bölümde gerekli olabilecek diğer iki temel özelliği ekliyoruz. ${\ displaystyle p}$

Bir GDM'nin yakınsamasına izin veren temel özellikler

Yukarıdaki gibi tanımlanan bir GD ailesi olalım (genellikle boyutu 0'a eğilimli bir dizi normal ağ ile ilişkilendirilir). ${\ displaystyle (D_ {m}) _ {m \ in \ mathbb {N}}}$

Zorlama

Dizi (( 6 ) ile tanımlanan ) sınırlı kalır. ${\ displaystyle (C_ {D_ {m}}) _ {m \ in \ mathbb {N}}}$

GD tutarlılığı

Tüm için , ((ile tanımlanan , 7 )). ${\ displaystyle \ varphi \ H_ {0} ^ {1} (\ Omega)} içinde$${\ displaystyle \ lim _ {m \ ila \ infty} S_ {D_ {m}} (\ varphi) = 0}$

Limit uygunluğu

Tüm için , ((tanımlanan 8 )). Bu özellik, zorlayıcılık özelliğini ifade eder. ${\ displaystyle \ varphi \ in H _ {\ operatorname {div}} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ lim _ {m \ ila \ infty} W_ {D_ {m}} (\ varphi) = 0}$

Kompaktlık (doğrusal olmayan bazı problemler için gereklidir)

Tüm dizi için, bu tür tüm ve sınırlanan, dizi nispeten kompakt (bu özellik koersivite özelliği ifade eder). ${\ displaystyle (u_ {m}) _ {m \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle u_ {m} \ X_ {D_ {m}, 0}}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (\ Vert u_ {m} \ Vert _ {D_ {m}}) _ {m \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle (\ Pi _ {D_ {m}} u_ {m}) _ {m \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$

Parçalı sabit yeniden yapılandırma (bazı doğrusal olmayan problemler için gereklidir)

Izin vermek yukarıda tanımlandığı gibi bir gradyan ayrıklığı. Operatör bir temel mevcutsa bir parçalı sabit yeniden olduğu bir ve ayrık alt-ailesi ve bu tür tüm , burada karakteristik fonksiyonudur . ${\ displaystyle D = (X_ {D, 0}, \ Pi _ {D}, \ nabla _ {D})}$${\ displaystyle \ Pi _ {D}}$${\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ B’de}}$${\ displaystyle X_ {D, 0}}$${\ displaystyle (\ Omega _ {i}) _ {i \ B’de}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ textstyle \ Pi _ {D} u = \ sum _ {i \ in B} u_ {i} \ chi _ {\ Omega _ {i}}}$${\ textstyle u = \ sum _ {i \ içinde B} u_ {i} e_ {i} \ X_ {D, 0}} içinde$${\ displaystyle \ chi _ {\ Omega _ {i}}}$${\ displaystyle \ Omega _ {i}}$

GDM'nin tam yakınsama ispatlarına sahip bazı doğrusal olmayan problemler

Yukarıdaki temel özellikler karşılandığında GDM'nin yakınsadığı kanıtlanabilen bazı sorunları gözden geçiriyoruz.

Doğrusal olmayan sabit difüzyon problemleri

${\ displaystyle - \ operatorname {div} (\ Lambda ({\ overline {u}}) \ nabla {\ overline {u}}) = f}$

Bu durumda, GDM, zorlayıcılık, GD tutarlılığı, sınır uygunluk ve kompaktlık özellikleri altında birleşir.

p için -Laplace sorun p > 1

${\ displaystyle - \ operatöradı {div} \ sol (| \ nabla {\ üst çizgi {u}} | ^ {p-2} \ nabla {\ üst çizgi {u}} \ sağ) = f}$

Bu durumda, çekirdek özellikleri değiştirilerek, yazılmalıdır göre , göre ve göre olan ve GDM yakınsak sadece koersivite altında, GD-tutarlılık ve limit-uygunluk özellikleri. ${\ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$${\ displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle H _ {\ operatöradı {div}} (\ Omega)}$${\ displaystyle W _ {\ operatöradı {div}} ^ {p '} (\ Omega)}$${\ textstyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {p '}} = 1}$

Doğrusal ve doğrusal olmayan ısı denklemi

${\ displaystyle \ kısmi _ {t} {\ overline {u}} - \ operatorname {div} (\ Lambda ({\ overline {u}}) \ nabla {\ overline {u}}) = f}$

Bu durumda, GDM, zorlayıcılık, GD tutarlılığı (uzay-zaman problemlerine uyarlanmış), limit uygunluğu ve kompaktlık (doğrusal olmayan durum için) özellikleri altında birleşir.

Parabolik sorunları bozun

Olduğunu varsayalım ve Lipschitz sürekli fonksiyonları azalmayan gibidir: ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ zeta}$

${\ displaystyle \ kısmi _ {t} \ beta ({\ overline {u}}) - \ Delta \ zeta ({\ overline {u}}) = f}$

Bu problem için, zorlayıcılık, GD-tutarlılığı (uzay-zaman problemlerine uyarlanmış), limit uygunluğu ve kompaktlık özelliklerine ek olarak parçalı sabit yeniden yapılandırma özelliğine de ihtiyaç duyulduğuna dikkat edin.

GDM olan bazı sayısal yöntemlerin gözden geçirilmesi

Aşağıdaki tüm yöntemler, GDM'nin ilk dört temel özelliğini (zorlayıcılık, GD tutarlılığı, sınır uygunluğu, kompaktlık) ve bazı durumlarda beşinci olanı (parçalı sabit yeniden yapılandırma) karşılar.

Galerkin yöntemleri ve uygun sonlu eleman yöntemleri

Izin sonlu bazında aşılması . Galerkin metodu olarak GDM özdeş olduğu bir tanımlar ${\ displaystyle V_ {h} \ alt küme H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$${\ displaystyle (\ psi _ {i}) _ {i \ I’de}}$${\ displaystyle V_ {h}}$

• ${\ displaystyle X_ {D, 0} = \ {u = (u_ {i}) _ {i \ I} \} = \ mathbb {R} ^ {I},}$
• ${\ displaystyle \ Pi _ {D} u = \ toplam _ {i \ içinde I} u_ {i} \ psi _ {i}}$
• ${\ displaystyle \ nabla _ {D} u = \ sum _ {i \ in I} u_ {i} \ nabla \ psi _ {i}.}$

Bu durumda, tüm sürekli Poincare eşitsizlik yer sabittir ve , (tanımlanan bir ( 8 )). Daha sonra ( 4 ) ve ( 5 ), Céa'nın lemması tarafından ima edilir . ${\ displaystyle C_ {D}}$${\ displaystyle \ varphi \ in H _ {\ operatorname {div}} (\ Omega)}$${\ displaystyle W_ {D} (\ varphi) = 0}$

"Kitle-toplu" Sonlu eleman durumda değiştirilmesi, GDM sisteme girer göre burada, endeksli tepe üzerinde merkezlenmiş bir çift hücredir . Kütle topaklamanın kullanılması, parçalı sabit yeniden yapılandırma özelliğini elde etmeye izin verir. ${\ displaystyle P ^ {1}}$${\ displaystyle \ Pi _ {D} u}$${\ textstyle {\ widetilde {\ Pi}} _ {D} u = \ sum _ {i \ in I} u_ {i} \ chi _ {\ Omega _ {i}}}$${\ displaystyle \ Omega _ {i}}$${\ displaystyle i \ I’de}$

Uygun olmayan sonlu eleman

Uygun bir basitlik kümesi olan bir ağ üzerinde, uygun olmayan sonlu elemanlar , herhangi bir ağda afin olan ve ağın belirli bir yüzünün ağırlık merkezindeki değeri 1 ve 0 olan fonksiyonların temelinde tanımlanır . tüm diğerleri (bu sonlu elemanlar Stokes ve Navier-Stokes denklemlerinin yaklaştırılması için [Crouzeix ve diğerleri ] ' de kullanılmıştır ). Daha sonra yöntem GDM çerçevesine Galerkin yöntemindekiyle aynı tanımla girer, bunun "kırık gradyan" olarak anlaşılması gerektiği gerçeği dışında , her bir simplekste eşit parçalı sabit fonksiyon olması anlamında. simplekste afin fonksiyonun gradyanı. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle P ^ {1}}$${\ displaystyle (\ psi _ {i}) _ {i \ I’de}}$${\ displaystyle K \ T}$${\ displaystyle \ nabla \ psi _ {i}}$${\ displaystyle \ psi _ {i}}$

Karışık sonlu eleman

Karışık sonlu eleman yöntemi iki farklı boşluk yakınlaştırılması için bir tanımlama oluşur ve başka bir . Bir GDM'yi tanımlamak için bu yaklaşımlar arasındaki ayrık ilişkileri kullanmak yeterlidir. Düşük dereceli Raviart – Thomas temel fonksiyonlarının kullanılması , parçalı sabit yeniden yapılandırma özelliğini elde etmeyi sağlar. ${\ displaystyle \ nabla {\ overline {u}}}$${\ displaystyle {\ overline {u}}}$

Süreksiz Galerkin yöntemi

Süreksiz Galerkin yöntemi, bir elemandan diğerine sıçramalara gerek kalmadan, parçalı bir polinom fonksiyonu ile problemleri yaklaşıklaştırmayı içerir. GDM çerçevesine, ayrık gradyan içine bir atlama terimi dahil edilerek, dağılım anlamında gradyanın düzenlenmesi olarak işlev görür.

Mimetik sonlu fark yöntemi ve düğümsel mimetik sonlu fark yöntemi

Yöntem bu aile [Brezzi ile sokulur ve arkadaşları ] ve [Lipnikov tamamlanmıştır ve arkadaşları ]. Büyük bir çok yüzlü ağ sınıfı kullanarak eliptik problemlerin yaklaştırılmasına izin verir. GDM çerçevesine girdiğinin kanıtı [Droniou et al ] 'da yapılmıştır.

Ayrıca bakınız

• Sonlu eleman yöntemi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Gradyan Ayrıklaştırma Yöntemi , Jérôme Droniou, Robert Eymard, Thierry Gallouët, Cindy Guichard ve Raphaèle Herbin