Finitizm - Finitism
Finitizm , yalnızca sonlu matematiksel nesnelerin varlığını kabul eden bir matematik felsefesidir . En iyi, sonsuz matematiksel nesnelerin (örneğin, sonsuz kümeler ) meşru olarak kabul edildiği ana akım matematik felsefesiyle karşılaştırıldığında anlaşılır .
Ana fikir
Sonlu matematiğin ana fikri, sonsuz kümeler gibi sonsuz nesnelerin varlığını kabul etmemektir. Tüm doğal sayılar var olarak kabul edilirken, tüm doğal sayılar kümesinin matematiksel bir nesne olarak var olduğu kabul edilmez. Bu nedenle , sonsuz alanlar üzerinden nicelleştirme anlamlı kabul edilmez. Genellikle finitizm ilişkili matematiksel teori Thoralf Skolem sitesindeki ilkel özyinelemeli aritmetik .
Tarih
Sonsuz matematiksel nesnelerin tanıtımı, birkaç yüzyıl önce, sonsuz nesnelerin kullanımının matematikçiler arasında zaten tartışmalı bir konu olduğu zaman meydana geldi. Bu konu , 1874'te Georg Cantor'un şimdi naif küme teorisi olarak adlandırılan teoriyi tanıttığı ve bunu, sonlu sayılar üzerine yaptığı çalışmalar için bir temel olarak kullandığı zaman yeni bir aşamaya girdi . Gibi paradokslar zaman Russell'ın paradoksu , Berry paradoksundaki ve Burali-Forti paradoksu Cantor naif küme kuramı keşfedildi, konu matematikçiler arasında ısıtılmış bir konu haline geldi.
Matematikçiler tarafından alınan çeşitli pozisyonlar vardı. Hepsi doğal sayılar gibi sonlu matematiksel nesneler konusunda hemfikirdi. Bununla birlikte, sonsuz matematiksel nesnelerle ilgili anlaşmazlıklar vardı. Bir pozisyon, inşa edilene kadar sonsuz nesnelerin varlığını reddeden LEJ Brouwer tarafından savunulan sezgisel matematikti .
Başka bir pozisyon David Hilbert tarafından onaylandı : Sonlu matematiksel nesneler somut nesnelerdir, sonsuz matematiksel nesneler ideal nesnelerdir ve ideal matematiksel nesneleri kabul etmek, sonlu matematiksel nesnelerle ilgili bir soruna neden olmaz. Daha resmi olarak Hilbert, ideal sonsuz nesneler kullanılarak elde edilebilecek sonlu matematiksel nesneler hakkında herhangi bir teoremin onlarsız da elde edilebileceğini göstermenin mümkün olduğuna inanıyordu. Bu nedenle sonsuz matematiksel nesnelere izin vermek, sonlu nesnelerle ilgili bir soruna neden olmaz. Bu, Hilbert'in sonlu araçlar kullanarak küme teorisinin tutarlılığını kanıtlama programına yol açtı, çünkü bu, ideal matematiksel nesnelerin eklenmesinin sonlu kısımdan ziyade muhafazakar olduğunu ima ederdi. Hilbert'in görüşleri aynı zamanda formalist matematik felsefesiyle de ilişkilidir . Küme kuramı ya finitistic yollarla bile aritmetik tutarlılığını kanıtlamanın Hilbert'in hedefi nedeniyle imkansız bir görev olduğu ortaya çıktı Kurt Gödel 'in eksiklik teoremleri . Ancak, Harvey Friedman 'ın büyük varsayım çoğu matematiksel sonuçlar finitistic yollarla kanıtlanabilir olan ima edecektir.
Hilbert, neyin sonlu olduğunu düşündüğü ve temel olarak adlandırdığı şey hakkında kesin bir açıklama yapmadı. Bununla birlikte, Paul Bernays ile yaptığı çalışmalara dayanarak, William Tait gibi bazı uzmanlar , ilkel özyinelemeli aritmetiğin , Hilbert'in sonlu matematik olarak kabul ettiği şeyin bir üst sınırı olarak düşünülebileceğini savundular.
Gödel'in teoremlerini takip eden yıllarda, matematiğin tutarlılığını kanıtlama umudu olmadığı ve Zermelo-Fraenkel küme teorisi gibi aksiyomatik küme teorilerinin geliştirilmesiyle ve tutarlılığına karşı herhangi bir kanıtın bulunmayışıyla netleştikçe , çoğu matematikçi ilgisini kaybetti. konudaki. Günümüzde çoğu klasik matematikçi Platonist olarak kabul edilir ve sonsuz matematiksel nesneleri ve set-teorik bir evreni kolayca kullanır.
Klasik sonluluk ve katı sonluluk
Mary Tiles The Philosophy of Set Theory adlı kitabında , potansiyel olarak sonsuz nesnelere izin verenleri klasik finitistler olarak ve potansiyel olarak sonsuz nesnelere izin vermeyenleri katı sonlular olarak nitelendirdi : örneğin, klasik bir sonlu, "her doğal sayı" gibi ifadelere izin verir. bir halefi vardır "ve sonlu kısmi toplamların sınırları anlamında sonsuz serinin anlamlılığını kabul ederken, katı bir sonlucu kabul etmez. Tarihsel olarak, matematiğin yazılı tarihi, Cantor 19. yüzyılın sonunda sonsuz kardinaller hiyerarşisini yaratana kadar klasik olarak sonluydu .
Sonsuz matematiksel nesnelerle ilgili görüşler
Leopold Kronecker , Cantor'un set teorisine sert bir rakip olarak kaldı:
Tanrı tam sayıları yarattı; diğer her şey insanın işidir.
Reuben Goodstein , sonluluğun bir başka savunucusuydu. Çalışmalarının bir kısmı, finitist temellerden analize kadar inşa etmeyi içeriyordu.
İnkar etmesine rağmen, Ludwig Wittgenstein'ın matematik üzerine yazdığı yazıların çoğu, sonlulukla güçlü bir yakınlığa sahiptir.
Finitistler ile transfinitistler (örneğin, Georg Cantor'un sonsuzluklar hiyerarşisinin savunucuları ) ile karşılaştırılırsa, o zaman Aristoteles de katı bir finitist olarak nitelendirilebilir. Aristoteles, potansiyel sonsuzluğu , katı sonluluk ile gerçek sonsuzluk arasında bir orta seçenek olarak özellikle teşvik etti (ikincisi, doğada hiç bitmeyen bir şeyin gerçekleşmesidir, bununla bir alakası olmayan, transfinite kardinal ve sıralı sayılardan oluşan Kantorist gerçek sonsuzluğun aksine, doğadaki şeylerle yapın):
Ama öte yandan sonsuzun hiçbir şekilde var olmadığını varsaymak, pek çok imkansız sonuca yol açar: zamanın bir başlangıcı ve sonu olacak, büyüklük büyüklüklere bölünmeyecek, sayı sonsuz olmayacak. O halde, yukarıdaki hususlar ışığında, her iki alternatif de mümkün görünmüyorsa, bir hakem çağrılmalıdır.
- Aristoteles, Fizik, 3. Kitap, 6. Bölüm
Ultrafinitizm ( ultra sezgisellik olarak da bilinir ) matematiksel nesnelere karşı sonluluktan daha muhafazakar bir tutuma sahiptir ve çok büyük olduklarında sonlu matematiksel nesnelerin varlığına itirazları vardır.
20. yüzyılın sonlarına doğru John Penn Mayberry , "Öklid Aritmetiği" adını verdiği bir sonlu matematik sistemi geliştirdi. Sisteminin en çarpıcı ilkesi, normalde yinelemeli süreçlere atfedilen özel temel statünün, özellikle de "+1" iterasyonuyla doğal sayıların oluşturulması dahil, tamamen ve titiz bir şekilde reddedilmesidir. Sonuç olarak Mayberry, sonlu matematiği Peano Aritmetik ile veya ilkel yinelemeli aritmetik gibi herhangi bir parçasını eşitlemeye çalışanlardan keskin bir muhalefet içindedir .
Ayrıca bakınız
Referanslar
daha fazla okuma
- Feng Ye (2011). Katı Finitizm ve Matematiksel Uygulamaların Mantığı . Springer. ISBN 978-94-007-1347-5 .