Weierstrass dönüşümü - Weierstrass transform

Gelen matematik , Weierstrass'ın dönüşümü a fonksiyonu $f : R \to R$ adını, Karl Weierstrass , bir "düzleştirilmiş" versiyonu olan $f (x)$ değerlerinin ortalamalarının alınması ile elde edilen $f$ Gauss merkezlenmiş ile ağırlıklı, x .

Bir f ( x ) (siyah) fonksiyonunun grafiği ve genelleştirilmiş Weierstrass, beş genişlik ( t ) parametresi için dönüşür . Standart Weierstrass'ın dönüşümü

F (x)

halinde verilir t = 1 (yeşil)

Spesifik olarak, tarafından tanımlanan $F$ fonksiyonudur

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) \; e ^ {- {\ frac {(xy) ^ {2}} {4}}} \; dy = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy ) \; e ^ {- {\ frac {y ^ {2}} {4}}} \; dy ~,}

Evrişim ve $f$ ile Gauss fonksiyonu

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} ~.}

1 / √ (4 π ) faktörü , Gaussian'ın toplam integrali 1 olacak şekilde seçilir, bunun sonucunda sabit fonksiyonlar Weierstrass dönüşümü tarafından değiştirilmez.

$F (x)$ yerine $W [f] (x)$ de yazar . O Not $F (x)$ ihtiyaç değil her gerçek sayı için var $x$ tanımlayan ayrılmaz yakınsama başarısız olduğunda,.

Weierstrass dönüşümü, ısı denklemiyle (veya eşdeğer olarak sabit difüzyon katsayılı difüzyon denklemiyle ) yakından ilişkilidir . $F$ fonksiyonu , 1'e eşit sabit termal iletkenliğe sahip sonsuz uzunlukta bir çubuğun her noktasındaki başlangıç sıcaklığını tanımlıyorsa , o zaman çubuğun t = 1 zaman birimlerinin sıcaklık dağılımı daha sonra F fonksiyonu tarafından verilecektir . 1'den farklı t değerlerini kullanarak , $f'nin$ genelleştirilmiş Weierstrass dönüşümünü tanımlayabiliriz .

Genelleştirilmiş Weierstrass'ın dönüşümü belirli bir integre fonksiyonu yaklaştığı bir araç sağlar $f$ keyfi iyi olan analitik fonksiyonlar .

İsimler

Weierstrass, bu dönüşümü Weierstrass yaklaşım teoreminin orijinal ispatında kullandı . Carl Friedrich Gauss'tan sonra Gauss dönüşümü veya Gauss – Weierstrass dönüşümü olarak ve kapsamlı bir şekilde inceleyen Einar Carl Hille'den sonra Hille dönüşümü olarak da bilinir . Genelleme W _t aşağıda belirtilen bilinen sinyal analizi bir şekilde Gauss filtre ve görüntü işleme (uygulanan zaman R ² , bir gibi) Gauss bulanıklık .

Bazı önemli fonksiyonların dönüşümleri

Yukarıda belirtildiği gibi, her sabit fonksiyon kendi Weierstrass dönüşümüdür. Herhangi bir polinomun Weierstrass dönüşümü aynı derecedeki bir polinomdur ve aslında aynı öncü katsayıdır ( asimptotik büyüme değişmez). Gerçekte, $H n$ , (fizikçinin) n dereceli Hermite polinomunu gösteriyorsa , $H n$ ( $x$ / 2) 'nin Weierstrass dönüşümü basitçe $x n'dir$ . Bu , Hermite polinomları için üretme fonksiyonunun Weierstrass dönüşümünün tanımında kullanılan Gauss çekirdeği ile yakından ilişkili olduğu gerçeğinden yararlanılarak gösterilebilir .

E ^ax fonksiyonunun Weierstrass dönüşümü (burada a keyfi sabittir) e ^{a ²} e ^eksenidir . E ^ax fonksiyonu bu nedenle Weierstrass dönüşümünün bir özfonksiyonudur . (Aslında bu, tüm evrişim dönüşümleri için daha genel olarak doğrudur .)

Ayarlama bir = iki burada i olan sanal birim ve uygulanması Euler kimliğini , bir Weierstrass'ın fonksiyonu cos (transform görür bx ) 'dir , e ^{- b ²} cos ( bx ) ve Weierstrass fonksiyonu sin (transform bx ) olduğu e ^{- b ²} günah ( bx ).

E ^{ax ²} fonksiyonunun Weierstrass dönüşümü şöyledir:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-4a}}} e ^ {\ frac {ax ^ {2}} {1-4a}}}

eğer bir <1/4 ve eğer tanımsız bir ≥ 1/4.

Özellikle, bir negatif seçerek , bir Gauss fonksiyonunun Weierstrass dönüşümünün yine bir Gauss fonksiyonu olduğu, ancak daha geniş bir fonksiyon olduğu açıktır.

Genel Özellikler

Weierstrass dönüşümü her f fonksiyonuna yeni bir F fonksiyonu atar ; bu atama doğrusaldır . Bu fonksiyon, dönüşümü, yani, aynı zamanda h'ın olan f ( x + a ) bir F ( x + a ). Bu gerçeklerin her ikisi de daha genel olarak evrişim yoluyla tanımlanan herhangi bir integral dönüşüm için doğrudur.

Eğer F ( x ) dönüşümü x = a ve x = b gerçek sayıları için mevcutsa , o zaman aradaki tüm gerçek değerler için de var olur ve orada bir analitik fonksiyon oluşturur ; dahası, F ( x ), bir ≤ Re ( x ) ≤ b ile x'in tüm karmaşık değerleri için var olacaktır ve karmaşık düzlemin bu şeridi üzerinde bir holomorfik fonksiyon oluşturur . Bu, yukarıda bahsedilen F'nin "pürüzsüzlüğünün" resmi ifadesidir .

Eğer f bütün gerçek eksen üzerinde entegre edilebilir (diğer bir deyişle ön ∈ L ¹ ( R ) ), o zaman da Weierstrass'ın dönüşümü olmaktadır , K , ve eğer ayrıca f ( x ) ≥ 0 tüm x , daha sonra da F ( x ) ≥ 0 tüm x ve f ve F'nin integralleri eşittir. Bu, toplam termal enerjinin veya ısının ısı denklemi tarafından korunduğu fiziksel olguyu veya difüzör materyalinin toplam miktarının difüzyon denklemi tarafından korunduğunu ifade eder.

Yukarıdakileri kullanarak, 0 < p ≤ ∞ ve f ∈ L ^p ( R ) için F ∈ L ^p ( R ) ve || F || _p ≤ || f || _s . Weierstrass dönüşümü sonuç olarak sınırlı bir operatör W: L ^p ( R ) → L ^p ( R ) verir.

Eğer f yeterince yumuşak, daha sonra Weierstrass'ın transform k inci türevi arasında f eşittir k dönüşümü Weierstrass türevi inci f .

Weierstrass dönüşümü W ve iki taraflı Laplace dönüşümü L ile ilgili bir formül vardır . Eğer tanımlarsak

{\ displaystyle g (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4}}} f (x)}

sonra

{\ displaystyle W [f] (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} L [g] \ sol (- {\ frac {x} {2}} \ sağ).}

Alçak geçiş filtresi

Yukarıda cos ( bx ) 'nin Weierstrass dönüşümünün e ^{- b ²} cos ( bx ) olduğunu ve benzer şekilde günah ( bx ) için olduğunu gördük . Sinyal analizi açısından bu, eğer f sinyali , b frekansını içeriyorsa (yani, günah ( bx ) ve cos ( bx ) ' nin bir kombinasyonu olan bir toplamı içeriyorsa ), o zaman dönüştürülmüş sinyal F'nin aynı frekansı içereceğini gösterir, ancak bir ile genlik faktörü ile çarpılır e ^{- b ²} . Bu, daha yüksek frekansların düşük frekanslardan daha fazla azaltılması sonucunu doğurur ve Weierstrass dönüşümü bu nedenle düşük geçişli bir filtre görevi görür . Bu, aşağıdaki gibi sürekli Fourier dönüşümü ile de gösterilebilir . Fourier dönüşümü bir sinyali frekansları açısından analiz eder, evrişimleri ürünlere dönüştürür ve Gaussianları Gaussianlara dönüştürür. Weierstrass dönüşümü bir Gauss'lu evrişimdir ve bu nedenle Fourier dönüştürülmüş sinyalin bir Gaussian ile çarpımı ve ardından ters Fourier dönüşümünün uygulanmasıdır. Frekans uzayında Gauss'lu bu çarpma, yüksek frekansları harmanlamaktadır, bu da Weierstrass dönüşümünün "yumuşatma" özelliğini tanımlamanın başka bir yoludur.

Ters dönüşüm

Bir Gauss fonksiyonunun Laplace dönüşümü ile yakından ilgili olan ve Hubbard-Stratonovich dönüşümünün gerçek bir benzeri olan aşağıdaki formülün oluşturulması nispeten kolaydır:

{\ displaystyle e ^ {u ^ {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- uy} e ^ {-y ^ {2} / 4} \; dy.}

Şimdi yerine u resmi farklılaşma operatörü ile D = d / dx ve Lagrange yararlanmak vardiya operatörü

{\ displaystyle e ^ {- yD} f (x) = f (xy)}

,

( Taylor serisi formülünün ve üstel fonksiyonun tanımının bir sonucu ), elde etmek için

{\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {D ^ {2}} f (x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- yD} f (x) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy = W [f] (x) \ end {hizalı}}}

Weierstrass dönüşümü W için aşağıdaki resmi ifadeyi elde etmek için ,

${\ displaystyle W = e ^ {D ^ {2}} ~,}$

sağdaki operatörün f ( x ) fonksiyonuna göre hareket ettiği anlaşılmalıdır .

{\ displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x) = \ toplamı _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {D ^ {2k} f (x)} {k!}} ~ .}

Resmi yakınsama ayrıntıları üzerinde türetme parlatıcıları ve yukarıdaki formül W = E ^{D ²} Böylece evrensel olarak geçerli değildir; iyi tanımlanmış bir Weierstrass dönüşümüne sahip olan, ancak e ^D^² f ( x ) 'in anlamlı bir şekilde tanımlanamadığı birkaç fonksiyon f vardır .

Yine de, kural hala oldukça kullanışlıdır ve örneğin, yukarıda bahsedilen polinomların, üstel ve trigonometrik fonksiyonların Weierstrass dönüşümlerini türetmek için kullanılabilir.

Weierstrass dönüşümünün biçimsel tersi böylelikle verilir

{\ displaystyle W ^ {- 1} = e ^ {- D ^ {2}} ~.}

Yine, bu formül evrensel olarak geçerli değildir, ancak bir yol gösterici olabilir. Sağ taraf operatörü uygun şekilde tanımlanmışsa, belirli işlev sınıfları için doğru olduğu gösterilebilir.

Alternatif olarak, Weierstrass dönüşümünü biraz farklı bir şekilde tersine çevirmeye çalışabiliriz: analitik fonksiyon göz önüne alındığında

{\ displaystyle F (x) = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} ~,}

elde etmek için W ⁻¹ uygulayın

{\ displaystyle f (x) = W ^ {- 1} [F (x)] = \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} W ^ {- 1} [x ^ {n} ] = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} H_ {n} (x / 2)}

(fizikçilerin) Hermite polinomlarının temel bir özelliğini bir kez daha kullanarak $H n$ .

Yine, f ( x ) için bu formül en iyi ihtimalle biçimseldir, çünkü son serinin yakınsayıp yakınlaşmadığı kontrol edilmemiştir. Ancak, eğer, örneğin, için f ∈ L ² ( R ) 'in türevleri, tüm sonra bilgisi F de x katsayıları elde etmek = 0 kısıtlamasını bir _n ; ve böylece $f'yi$ bir dizi Hermite polinomu olarak yeniden yapılandırmak .

Weierstrass dönüşümünü tersine çevirmenin üçüncü bir yöntemi, yukarıda bahsedilen Laplace dönüşümü ile olan bağlantısını ve Laplace dönüşümü için iyi bilinen ters çevirme formülünü kullanır. Sonuç, dağılımlar için aşağıda belirtilmiştir.

Genellemeler

Evrişimi Gauss çekirdeği ile (biraz t > 0 ile) kullanabiliriz , böylece genelleştirilmiş Weierstrass dönüşümü olan bir $W$ $t$ operatörü tanımlayabiliriz . ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4}}}}$

Küçük değerleri için $T, W, T [f]$ çok yakın olan $f$ ama düzgün. Daha büyük $t$ , bu operatörün ortalamasını o kadar fazla çıkarır ve $f'yi değiştirir$ . Fiziksel olarak, $W t$ , $t$ zaman birimleri için ısı (veya difüzyon) denklemini takip etmeye karşılık gelir ve bu, katkı maddesidir,

{\ displaystyle W_ {s} \ circ W_ {t} = W_ {s + t},}

" $t$ zaman birimleri için yayılma , sonra $s$ zaman birimleri için yayılma, $s + t$ zaman birimleri için yayılmaya eşdeğerdir ". $W$ $0'ı$ kimlik operatörü (yani Dirac delta fonksiyonu ile evrişim) olarak ayarlayarak bunu t = 0'a genişletebilir ve bunlar daha sonra tek parametreli bir operatörler yarı grubu oluşturur.

Genelleştirilmiş Weierstrass dönüşümü için kullanılan çekirdek bazen Gauss-Weierstrass çekirdeği olarak adlandırılır ve Green'in R üzerindeki difüzyon denklemi işlevidir . ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ ${\ displaystyle (\ kısmi _ {t} -D ^ {2}) (e ^ {tD ^ {2}} f (x)) = 0}$

$W, T$ hesaplanabilir $W$ : bir işlev verilen $f (x)$ , yeni bir işlev tanımlar $f t (x) = f (x \sqrt t)$ ; sonra $W t [f] (x) = W [f t] (x / \sqrt t)$ , ikame kuralının bir sonucudur.

Weierstrass dönüşümü, belirli dağıtım sınıfları veya "genelleştirilmiş işlevler" için de tanımlanabilir . Örneğin, Dirac deltasının Weierstrass dönüşümü Gaussian'dır . ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4}}$

Bu bağlamda, titiz ters çevirme formülleri kanıtlanabilir, örneğin,

{\ displaystyle f (x) = \ lim _ {r \ ila \ infty} {\ frac {1} {i {\ sqrt {4 \ pi}}}} \ int _ {x_ {0} -ir} ^ { x_ {0} + ir} F (z) e ^ {\ frac {(xz) ^ {2}} {4}} \; dz}

burada x ₀ , $F (x 0) 'ın$ mevcut olduğu herhangi bir sabit gerçek sayıdır , integral, karmaşık düzlemdeki dikey çizgi üzerinde gerçek x ₀ parçası ile uzanır ve sınır dağılımlar anlamında alınmalıdır.

Ayrıca, Weierstrass'ın dönüşümü üzerinde tanımlı gerçek degerli (veya karmaşık-) işlevleri (ya da dağılımları) için tanımlanabilir R ⁿ . Yukarıda aynı kıvrım formülü kullanan ancak tümü üzerinde uzanan şekilde ayrılmaz yorumlama R ^{, n} ve ifade $(x - y) 2$ karesi Öklid uzunluğu vektörü x - y ; integralin önündeki çarpan, Gauss'un toplam integrali 1 olacak şekilde ayarlanmalıdır.

Daha genel olarak, Weierstrass dönüşümü herhangi bir Riemannian manifoldunda tanımlanabilir : ısı denklemi orada formüle edilebilir (manifoldun Laplace – Beltrami operatörü kullanılarak ) ve Weierstrass dönüşümü $W [f]$ daha sonra ısı denkleminin çözümü izlenerek verilir. ilk "sıcaklık dağılımı" ile başlayarak bir zaman birimi için f .

İlgili dönüşümler

Bir Gauss yerine çekirdek $1 / (π (1 + x 2))$ ile evrişim düşünülürse , belirli bir işlevi Weierstrass dönüşümüne benzer bir şekilde yumuşatan ve ortalamasını alan Poisson dönüşümü elde edilir .

Languages

In other projects