Birim kesir - Unit fraction

Bir birim kesir a, rasyonel sayı bir şekilde yazılmış fraksiyonu burada pay olan bir ve payda pozitif olan tamsayıdır . Bir birim kısmı bu nedenle karşılıklı , 1 / a pozitif tam sayı , n . Örnekler 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 vb.

Temel aritmetik

Herhangi iki birim kesirin çarpılması , başka bir birim kesir olan bir ürünle sonuçlanır:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ times {\ frac {1} {y}} = {\ frac {1} {xy}}.}$

Ancak, iki birim kesiri eklemek , çıkarmak veya bölmek genellikle birim kesir olmayan bir sonuç üretir:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} = {\ frac {x + y} {xy}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} = {\ frac {yx} {xy}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ div {\ frac {1} {y}} = {\ frac {y} {x}}.}$

Modüler aritmetik

Birim kesirler modüler aritmetikte önemli bir rol oynarlar çünkü modüler bölmeyi en büyük ortak bölenlerin hesaplanmasına indirgemek için kullanılabilirler. Spesifik olarak, bir x , modulo y değerine göre bölme yapmak istediğimizi varsayalım . Bölme için için x de modülo tanımlanacak y , x ve y olmalıdır göreli asal . Daha sonra, en büyük ortak bölenler için genişletilmiş Öklid algoritmasını kullanarak a ve b'yi bulabiliriz , öyle ki

${\ displaystyle \ displaystyle ax + by = 1,}$

bunu takip eder

${\ displaystyle \ displaystyle balta \ eşdeğeri 1 {\ pmod {y}},}$

Veya eşdeğer olarak

${\ displaystyle a \ eşdeğeri {\ frac {1} {x}} {\ pmod {y}}.}$

Bu durumda, bölme için x (modül y ), biz sadece yerine çarpma ile gerekmez bir .

Birim kesirlerin sonlu toplamları

Herhangi bir pozitif rasyonel sayı, birden çok yolla birim kesirlerin toplamı olarak yazılabilir. Örneğin,

${\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {10}}.}$

Eski Mısır medeniyetleri, daha genel rasyonel sayılar için gösterimlerinde farklı birim kesirlerin toplamlarını kullandılar ve bu nedenle bu tür toplamlara genellikle Mısır kesirleri denir . Eskilerin, kesirli bir sayının olası temsilleri arasından seçim yapmak ve bu tür temsillerle hesaplamak için kullandıkları yöntemleri analiz etmeye bugün hala ilgi var. Mısır kesirleri konusu da modern sayı teorisine ilgi gördü ; örneğin, Erdős – Graham varsayımı ve Erdős – Straus varsayımı , cevherin harmonik sayılarının tanımında olduğu gibi birim kesirlerin toplamlarıyla ilgilidir .

Olarak geometrik grup teorinin , üçgen grupları birim fraksiyonlarının ilişkili bir toplamı birine eşit olup olmadığını birden, uygun olan küre şeklindeki Öklid, ve hiperbolik durumlarda içine daha fazla sınıflandırılması veya sırasıyla en az bir edilir.

Birim kesirler serisi

Pek çok iyi bilinen sonsuz serinin birim kesirler olan terimleri vardır. Bunlar şunları içerir:

• Harmonik serisi , tüm pozitif birim kesirler toplamı. Bu toplam farklıdır ve kısmi toplamları

${\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}}}$

yakından yaklaşık ln   n  +  γ olarak N artar.

• Basel sorun için yakınsak kareleme birimi fraksiyonlarının toplamı ile ilgilidir tt ² /6
• Apéry sabiti , küp birim kesirlerin toplamıdır.
• 2'ye eklenen ikili geometrik seriler ve karşılıklı Fibonacci sabiti , birim kesirlerden oluşan bir serinin ek örnekleridir.

Birim kesir matrisleri

Hilbert matris elemanları ile matrisidir

${\ displaystyle B_ {i, j} = {\ frac {1} {i + j-1}}.}$

Ters matrisindeki tüm elemanların tamsayı olması olağandışı özelliğine sahiptir . Benzer şekilde, Richardson (2001) öğeler içeren bir matris

${\ displaystyle C_ {i, j} = {\ frac {1} {F_ {i + j-1}}},}$

burada K _i belirtmektedir i inci Fibonacci sayısı . Bu matrise Filbert matrisi diyor ve bir tamsayı tersine sahip olma özelliğine sahip.

Bitişik kesirler

Farkları birim kesir ise iki fraksiyon bitişik olarak adlandırılır .

Olasılık ve istatistikte birim kesirler

Bir olarak ayrı bir alan üzerinde düzgün dağılımı , tüm olasılıklar eşit bir birim fraksiyonlarıdır. Kayıtsızlık ilkesinden dolayı , bu formun olasılıkları istatistiksel hesaplamalarda sıklıkla ortaya çıkar. Ayrıca, Zipf yasası sıralı bir öğelerin seçimini kapsayan birçok gözlemlenen dünya için, belirtiyor, bu olasılık n inci öğe seçildiğinde birim kesir 1 / orantılıdır n .

Fizikte birim kesirler

Bir hidrojen atomu tarafından emilebilen veya yayılabilen fotonların enerji seviyeleri , Rydberg formülüne göre , iki birim fraksiyonun farklarıyla orantılıdır. Bu fenomenin açıklaması , bir hidrojen atomundaki elektron orbitallerinin enerji seviyelerinin birim kare kesirler ile ters orantılı olduğu ve bir fotonun enerjisinin iki seviye arasındaki farkla nicelleştirildiği Bohr modeli tarafından sağlanır .

Arthur Eddington , ince yapı sabitinin bir birim kesir olduğunu savundu , önce 1/136 sonra 1/137. İnce yapı sabitinin mevcut tahminlerinin (6 anlamlı basamağa kadar) 1 / 137.036 olduğu göz önüne alındığında, bu çekişme yanlışlanmıştır.

Ayrıca bakınız

• Alt-çoklu

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Birim Kesir" . MathWorld .