trigonometrik integral - Trigonometric integral

In matematik , trigonometrik integraller bir olan aile içinde integral içeren trigonometrik fonksiyonlar .

sinüs integrali

Farklı sinüs integral tanımları

${\displaystyle \operatöradı {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle \operatöradı {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}$

Not integrand o sin x / x olan sinc fonksiyonu ve ayrıca sıfırıncı küresel Bessel fonksiyonu . Yana Sinc bir olduğunu da tam bir fonksiyon ( holomorfik tüm karmaşık düzlem üzerinde), Si tek, tüm ve onun tanımı tamamlayıcı birlikte alınabilir herhangi bir yol uç noktaları bağlantı.

Tanım olarak, Si ( X ) olan İlkel bir sin x / x değeri sıfır olan X = 0 , ve Si ( X ) değeri sıfır olan İlkel olduğu X = ∞ . Farkları Dirichlet integrali tarafından verilir ,

${\displaystyle \operatöradı {Si} (x)-\operatöradı {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\ frac {\pi }{2}}\quad {\text{ veya }}\quad \operatöradı {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatöradı {si} (x)~ .}$

Gelen sinyal işleme , sinüs yekpare neden salınımları aşma ve Zil eserler kullanıldığında Sinc filtre ve frekans alanında bir şekilde bir kesik Sinc filtresi kullanıldığında, zil alçak geçirgen filtre .

İlgili olduğu Gibbs fenomeni : Sinüs ayrılmaz bir parçası olarak kabul edilirse kıvrım ile Sinc fonksiyonunun Birim basamak basamak fonksiyonu , kesilmesi için bu tekabül Fourier serisi Gibbs fenomenin nedeni,.

kosinüs integrali

Farklı kosinüs integral tanımları

${\displaystyle \operatöradı {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt~,}$

${\displaystyle \operatöradı {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x-\int _ {0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatöradı {Arg} (x)\right|< \pi ~,}$

burada γ ≈ 0.57721566 ... Euler–Mascheroni sabitidir . Bazı metinler Ci yerine ci kullanır .

Ci( x ) , cos x / x'in ters türevidir (olarak kaybolur ). İki tanım birbiriyle ilişkilidir ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle \operatöradı {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatöradı {Cin} (x)~.}$

Cin bir olduğunu bile , tüm işlev . Bu nedenle, bazı metinler tedavi Cin birincil işlevi olarak ve türetmek Ci açısından Cin .

Hiperbolik sinüs integrali

Hiperbolik sinüs yekpare olarak tanımlanmaktadır

${\displaystyle \operatöradı {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}$

Sıradan sinüs integrali ile ilgilidir.

${\displaystyle \operatöradı {Si} (ix)=i\operatöradı {Shi} (x).}$

hiperbolik kosinüs integrali

Hiperbolik kosinüs ayrılmaz bir parçasıdır

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad ~{\ text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$

burada bir Euler-Mascheroni sabiti . ${\görüntüleme stili \gama }$

Seri genişlemesi var

${\displaystyle \operatöradı {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}} +{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^ {12}).}$

Yardımcı fonksiyonlar

Trigonometrik integraller, "yardımcı fonksiyonlar" olarak adlandırılan terimlerle anlaşılabilir.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt& =&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\quad \operatöradı {Ci} (x)\ sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatöradı {Si} (x)\sağ]\cos(x)~,\qquad {\text{ ve }}\\g (x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty } {\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatöradı {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatöradı {Si} (x)\sağ]\sin(x)~.\end{dizi}}}$

Bu fonksiyonları kullanarak, trigonometrik integraller şu şekilde yeniden ifade edilebilir (cf. Abramowitz & Stegun, s. 232 )

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatöradı {Si} (x)=-\operatöradı {si} (x)&=&f(x)\cos (x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ ve }}\\\operatör adı {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x) \cos(x)~.\\\end{dizi}}}$

Nielsen'in spirali

Spiral ait parametrik arsa oluşturduğu si, ci Nielsen spiral olarak bilinir.

${\displaystyle x(t)=a\times \operatöradı {ci} (t)}$
${\displaystyle y(t)=a\times \operatöradı {si} (t)}$

Spiral, Fresnel integralleri ve Euler spirali ile yakından ilişkilidir . Nielsen'in spiralinin görüntü işleme, yol ve ray inşaatı ve diğer alanlarda uygulamaları vardır.

Genişleme

Argümanın aralığına bağlı olarak, trigonometrik integrallerin değerlendirilmesi için çeşitli açılımlar kullanılabilir.

Asimptotik seri (büyük argüman için)

${\displaystyle \operatöradı {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{} x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \sağ)-{\frac {\ sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5} }}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \sağ)}$

${\displaystyle \operatöradı {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac { 4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \sağ)-{\frac {\cos x}{x}}\sol({\ frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x ^{7}}}\cdots \sağ)~.}$

Bu seriler asimptotik ve ıraksaktır, ancak ℜ( x ) ≫ 1'de tahminler ve hatta kesin değerlendirme için kullanılabilir .

yakınsak seri

${\displaystyle \operatöradı {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1) )(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}- {\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$

${\displaystyle \operatöradı {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{ 2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4 }}\mp \cdots }$

Bu seriler herhangi bir x kompleksinde yakınsaktır , ancak | x | ≫ 1 , seri başlangıçta yavaş yakınsayacak ve yüksek hassasiyet için birçok terim gerektirecektir.

Seri Genişletmenin Türetilmesi

${\displaystyle \sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{ 7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\,...}$(Maclaurin Serisi Genişletme)

${\displaystyle {\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!} }-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+ \,...}$

${\displaystyle \bu nedenle \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^ {5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}} -{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\,...}$

Hayali argümanın üstel integrali ile ilişkisi

İşlev

$${\displaystyle \operatöradı {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\ metin{ için }}~\Re (z)\geq 0}$$

üstel integral denir . Si ve Ci ile yakından ilişkilidir ,

$${\displaystyle \operatöradı {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatöradı {Si} (x)\sağ)-\operatöradı {Ci} (x)=i\operatöradı {si} (x)-\operatöradı {ci} (x)\qquad ~{\text{ için }}~x>0~.}$$

Argümanın negatif değerlerindeki kesme dışında her bir ilgili fonksiyon analitik olduğundan, ilişkinin geçerlilik alanı şuna genişletilmelidir (Bu aralığın dışında , ifadede π tamsayı faktörleri olan ek terimler görünür.)

Genelleştirilmiş tam-üslü fonksiyonun hayali argüman örnekleri şunlardır:

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24} }+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln bir\sağ)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,}$$

hangisinin gerçek kısmı

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty}e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24} }+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln bir\sağ)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi } {2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~ .}$$

benzer şekilde

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac { \pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a} {2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n \geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}$$

Verimli değerlendirme

Yakınsak Taylor serisinin Padé yaklaşımları , küçük argümanlar için fonksiyonları değerlendirmek için etkili bir yol sağlar. Rowe ve diğerleri tarafından verilen aşağıdaki formüller. (2015), 0 ≤ x ≤ 4 için 10 ^−16'dan daha iyi doğruluktadır ,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatöradı {Si} (x)&\yaklaşık &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-) 2}\cdot x^{2}+1.5457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025 \cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\ \~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x ^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{ -10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{dizi}} }\right)\\&~&\\\operatöradı {Ci} (x)&\yaklaşık &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin {array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{- 6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889 508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12} \\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{ 4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12 }\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\ bitiş{dizi}}}\sağ)\son{dizi}}}$

İntegraller, ile tanımlanan yardımcı fonksiyonlar ve ile dolaylı olarak değerlendirilebilir . ${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili g(x)}$

$${\displaystyle \operatöradı {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)}$$		$${\displaystyle \operatöradı {Ci} (x)=f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)}$$
Veya eşdeğer olarak
$${\displaystyle f(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatöradı {Si} (x)\sağ]\cos(x)+\operatöradı {Ci} (x)\ günah(x)}$$		$${\displaystyle g(x)\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatöradı {Si} (x)\sağ]\sin(x)-\operatöradı {Ci} (x)\ çünkü(x)}$$

İçin Padé rasyonel fonksiyonların yaklaşık aşağıda verilmiştir ve hata 10'dan az olan ^-16 : ${\displaystyle x\geq 4}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili g(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\yaklaşık &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618) \cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\ \~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x ^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^ {12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{dizi}}{\begin{dizi}{l}1+ 7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6} \\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{dizi}}}\sağ)\\&&\\g(x)& \yaklaşık &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{- 2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9} \cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\ cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\ ~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{ -2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9 }\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.7164723371736605 \cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307 656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{dizi}}}\sağ)\\\end{dizi} }}$

Ayrıca bakınız

• logaritmik integral
• Tanç işlevi
• Tanhc işlevi
• Sinhc işlevi
• Coshc işlevi

Referanslar

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , der. (1983) [Haziran 1964]. "Bölüm 5" . Formüller, Grafikler ve Matematik Tabloları ile Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı . Uygulamalı Matematik Serisi. 55 (Düzeltmelerle birlikte onuncu orijinal baskının ek düzeltmeleriyle birlikte dokuzuncu baskı (Aralık 1972); ilk baskı). Washington DC; New York: Amerika Birleşik Devletleri Ticaret Bakanlığı, Ulusal Standartlar Bürosu; Dover Yayınları. s. 231. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .

daha fazla okuma

• Mathar, RJ (2009). "Exp( i π x )· x ^{1/ x} arasında 1 ve between arasında salınımlı integralin sayısal değerlendirmesi ". Ek B. arXiv : 0912.3844 [ math.CA ].
• Basın, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Bölüm 6.8.2 – Kosinüs ve Sinüs İntegralleri" . Sayısal Tarifler: Bilimsel Hesaplama Sanatı (3. baskı). New York: Cambridge University Press. ISBN'si 978-0-521-88068-8.
• Yavaş, Dan. "Sinüs İntegral Taylor serisi kanıtı" (PDF) . Diferansiyel Denklemlere Fark Denklemleri .
• Temme, NM (2010), "Üslü, Logaritmik, Sinüs ve Kosinüs İntegralleri" , Olver, Frank WJ'de ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248

Dış bağlantılar

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• "İntegral sinüs" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• "İntegral kosinüs" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]