Padé yaklaşımı - Padé approximant

In matematik , bir Padé approximant bir tarafından bir fonksiyonun "en iyi" tahmindir rasyonel fonksiyonun verilen siparişin - Bu teknikle altında approximant en güç serisi o yaklaşan işlevin güç serisi ile kabul eder. Teknik, 1890 civarında Henri Padé tarafından geliştirildi , ancak fikri ortaya atan ve kuvvet serilerinin rasyonel yaklaşımlarının özelliklerini araştıran Georg Frobenius'a kadar uzanıyor .

Padé yaklaşımı, fonksiyonun Taylor serisini kesmekten daha iyi bir yaklaşımını verir ve yine de Taylor serisinin yakınsamadığı yerde çalışabilir . Bu nedenlerle Padé yaklaşımları bilgisayar hesaplamalarında yaygın olarak kullanılmaktadır . Ayrıca , Diophantine yaklaşımında ve aşkın sayı teorisinde yardımcı işlevler olarak kullanılmıştır , ancak keskin sonuçlar için geçici yöntemler, bir anlamda Padé teorisinden esinlenerek tipik olarak bunların yerini alır. Padé yaklaşımı rasyonel bir fonksiyon olduğundan, bir yaklaşım olarak yapay bir tekil nokta ortaya çıkabilir, ancak bu Borel-Padé analizi ile önlenebilir .

Padé yaklaşımının, kesik Taylor serisinden daha iyi bir yaklaşım olma eğiliminin nedeni , çok noktalı toplama yönteminin bakış açısından açıktır. Sonsuzdaki asimptotik genişlemenin 0 veya sabit olduğu birçok durum olduğundan, sıradan Padé yaklaşımının bir Taylor serisini kesme yöntemini geliştirdiği "eksik iki noktalı Padé yaklaşımı" olarak yorumlanabilir .

Tanım

Bir f fonksiyonu ve m ≥ 0 ve n ≥ 1 iki tamsayı verildiğinde , [ m / n ] mertebesindeki Padé yaklaşımı rasyonel fonksiyondur

${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_ {k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{ 1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$

hangi kabul f ( x tekabül mümkün olan en yüksek derecede),

${\displaystyle {\begin{hizalı}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0 ),\\&\vdots \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{hizalı}}}$

Eğer eşdeğer, (a Maclaurın seri genişletilir Taylor serisi 0 ° C'de), ilk terimler ilk iptal olur koşullarını ve bu şekilde ${\görüntüleme stili R(x)}$${\görüntüleme stili m+n}$${\görüntüleme stili m+n}$${\görüntüleme stili f(x)}$

${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\ noktalar }$

Padé yaklaşımı, verilen m ve n için benzersizdir , yani katsayılar benzersiz bir şekilde belirlenebilir. Paydadaki sıfır dereceli terimin 1 olarak seçilmesi benzersizlik nedenleriyledir , aksi takdirde pay ve paydası yalnızca bir sabitle çarpmaya kadar benzersiz olurdu . ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}}$${\görüntüleme stili R(x)}$${\görüntüleme stili R(x)}$

Yukarıda tanımlanan Padé yaklaşımı aynı zamanda şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle [m/n]_{f}(x).}$

Hesaplama

Verilen x için , Padé yaklaşımları, Wynn'in epsilon algoritması ve ayrıca kısmi toplamlardan diğer dizi dönüşümleri ile hesaplanabilir.

${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$

ait Taylor serisinin içinde f yani, elimizdeki

${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$

f ayrıca resmi bir kuvvet serisi olabilir ve bu nedenle Padé yaklaşımları ıraksak serilerin toplamına da uygulanabilir .

Bir Padé yaklaşımını hesaplamanın bir yolu , polinomun en büyük ortak böleninin genişletilmiş Öklid algoritmasıdır . İlişki

${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\text{ mod }}x^{m+n+1}}$

öyle bir faktörün varlığına eşdeğerdir ki ${\görüntüleme stili K(x)}$

${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$

polinomların genişletilmiş en büyük ortak böleninin hesaplanmasında bir adımın Bézout kimliği olarak yorumlanabilir ve . ${\displaystyle T_{m+n}(x)}$${\displaystyle x^{m+n+1}}$

Özetlemek gerekirse: p ve q iki polinomunun en büyük ortak bölenini hesaplamak için , uzun bölme yoluyla kalan dizi hesaplanır

${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$

k = 1, 2, 3, ... ile , kadar . Genişletilmiş en büyük ortak bölenin Bézout özdeşlikleri için iki polinom dizisi aynı anda hesaplanır ${\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}$${\displaystyle r_{k+1}=0}$

${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k- 1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$

her adımda Bézout kimliğini elde etmek için

${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$

[ m / n ] yaklaşımı için, bu şekilde genişletilmiş öklid algoritması uygulanır.

${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$

ve derece n veya daha küçük olan son anda durdurur . ${\displaystyle v_{k}}$

Daha sonra polinomlar [ m / n ] Padé yaklaşımını verir. Genişletilmiş en büyük ortak bölen hesaplamasının tüm adımları hesaplanacak olsaydı, Pade tablosunun bir anti-köşegeni elde edilirdi . ${\görüntüleme stili P=r_{k},\;Q=v_{k}}$

Riemann-Padé zeta işlevi

Iraksak bir serinin devamını incelemek için , diyelim ki

${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}$

Padé veya basitçe rasyonel zeta fonksiyonunu şu şekilde tanıtmak faydalı olabilir.

${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$

nerede

${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)\,}$

f ( x ) fonksiyonunun ( m , n ) mertebesinin Padé yaklaşımıdır . Zeta düzenlileştirme değerdir s = 0 farklı serisinin toplamı olarak kabul edilir.

Bu Padé zeta fonksiyonu için fonksiyonel denklem,

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(sj)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0 }(sj),}$

burada a _j ve b _j , Padé yaklaşımındaki katsayılardır. '0' alt simgesi, Padé'nin [0/0] düzeyinde olduğu ve dolayısıyla Riemann zeta fonksiyonuna sahip olduğumuz anlamına gelir.

DLog Padé yöntemi

Padé yaklaşımları, fonksiyonların kritik noktalarını ve üslerini çıkarmak için kullanılabilir. Termodinamik, bir fonksiyon ise f ( x bir noktaya yakın bir analitik olmayan bir şekilde) davranır X = r gibi bir arama, X = r kritik bir noktaya ve p ilişkili kritik üs f . Seri genişleme yeterli şartlar ise f bilinmektedir, tek yaklaşık Padé yaklaşımı sırasıyla kutup ve artık maddelerden kritik noktalar ve kritik üs özü burada . ${\displaystyle f(x)\sim |xr|^{p}}$${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$${\displaystyle g={\frac {f'}{f}}}$

genellemeler

Bir Padé yaklaşımı, bir değişkendeki bir fonksiyona yaklaşır. İki değişkenli bir yaklaşıma Chisholm yaklaşıklığı ( JSR Chisholm'den sonra ), birden fazla değişkende Canterbury yaklaşıklığı (Kent Üniversitesi'ndeki Graves-Morris'ten sonra) denir .

İki nokta Pade yaklaşımı

Geleneksel Padé yaklaşımı, Maclaurin genişlemesini belirli bir sıraya kadar yeniden üretmek için belirlenir. Bu nedenle, genişleme noktası dışındaki değerdeki yaklaşım zayıf olabilir. Bu, çok noktalı toplama yönteminin bir türü olan 2 noktalı Padé yaklaşımıyla önlenir. At , bir dava düşünün bir işlev asimptotik davranışı ile ifade edilir , ${\görüntüleme stili x=0}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili f_{0}(x)}$

${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o(f_{0}(x))(x\rightarrow 0)}$

Bunun yanında, at , ek asimptotik davranış${\displaystyle x\sağ ok \infty }$${\displaystyle f_{\infty }(x)}$

${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o(f_{\infty }(x))(x\rightarrow \infty )}$

Ana davranışını seçerek, Padé yaklaşımını geliştirerek aynı anda asimptotik davranışı yeniden üreten yaklaşık fonksiyonlar çeşitli durumlarda bulunabilir. Sonuç olarak, yaklaşıklığın doğruluğunun sıradan Pade yaklaşımında en kötü olabileceği noktada, 2 noktalı Pade yaklaşımının iyi doğruluğu garanti edilir. Bu nedenle, 2 noktalı Pade yaklaşımı, için global olarak iyi bir yaklaşım veren bir yöntem olabilir . ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$${\görüntüleme stili F(x)}$${\displaystyle x\sağ ok \infty }$${\displaystyle x=0\sim\infty }$

Polinomlar veya bir dizi negatif kuvvet, üstel fonksiyon, logaritmik fonksiyon veya ile ifade edilen durumlarda, 'ye 2 noktalı Padé yaklaşımı uygulayabiliriz . Yüksek doğrulukta bir diferansiyel denklemin yaklaşık bir çözümünü vermek için bunu kullanmanın bir yöntemi vardır. Ayrıca, Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırları için, ilk önemsiz olmayan sıfır, gerçek eksendeki asimptotik davranıştan bir miktar doğrulukla tahmin edilebilir. ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$${\görüntüleme stili x\ln x}$${\görüntüleme stili f(x)}$

Çok noktalı Pade yaklaşımı

2 noktalı Pade yaklaşımının bir başka uzantısı, çok noktalı Pade yaklaşımıdır. Bu yöntem , bir fonksiyonun tekillik noktalarını yaklaşık olarak ele alır. Bir fonksiyonun tekillik endeksi ile ifade edildiğinde durumları düşünün tarafından ${\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3\cdots ,N)}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili n_{j}}$

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}}(x\rightarrow x_{j})}$

adresindeki bilgileri içeren 2 noktalı Pade yaklaşımının yanı sıra , bu yöntem de sapma özelliğini azaltmak için yaklaşıktır . Sonuç olarak, fonksiyonun özelliğinin bilgisi yakalandığından, bir fonksiyonun yaklaşımı daha yüksek doğrulukla gerçekleştirilebilir. ${\displaystyle x=0,x\sağ ok \infty }$${\displaystyle x\sim x_{j}}$${\görüntüleme stili f(x)}$

Örnekler

günah( x )

${\displaystyle \sin(x)\yaklaşık {\frac {(12671/4363920)x^{5}-(2363/11883)x^{3}+x}{1+(445/12122)x^{2 }+(601/872784)x^{4}+(121/16662240)x^{6}}}}$

exp( x )

${\displaystyle \exp(x)\yaklaşık {\frac {1+(1/2)x+(1/9)x^{2}+(1/72)x^{3}+(1/1008)x ^{4}+(1/30240)x^{5}}{1-(1/2)x+(1/9)x^{2}-(1/72)x^{3}+(1/ 1008)x^{4}-(1/30240)x^{5}}}}$

Jacobi ${\displaystyle \mathrm {SN} (z,3)}$

${\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\yaklaşık {\frac {-(9851629/283609260)z^{5}-(572744/4726821)z^{3}+z}{1+(859490/ 1575607)z^{2}-(5922035/56721852)z^{4}+(62531591/2977897230)z^{6}}}}$

Bessel J (5, x )

${\displaystyle J_{5}(x)\yaklaşık {\frac {-(107/28416000)x^{7}+(1/3840)x^{5}}{1+(151/5550)x^{ 2}+(1453/3729600)x^{4}+(1339/358041600)x^{6}+(2767/120301977600)x^{8}}}}$

erf( x )

${\displaystyle \operatöradı {erf} (x)\yaklaşık {\frac {(2/15)\cdot (49140x+3570x^{3}+739x^{5})}{{\sqrt {\pi }}\ cdot (165x^{4}+1330x^{2}+3276)}}}$

fresnel ${\görüntüleme stili C(x)}$

${\displaystyle C(x)\yaklaşık {\frac {(1/135)\cdot (990791x^{9}\pi ^{4}-147189744x^{5}\pi ^{2}+8714684160x)}{( 1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216)}}}$

Ayrıca bakınız

• Padé masası

Referanslar

Edebiyat

• Baker, GA, Jr.; ve Graves-Morris, P. Padé Approximants . Cambridge YUKARI, 1996
• Baker, GA, Jr. Padé yaklaşımı , Scholarpedia , 7(6):9756.
• Brezinski, C.; ve Redivo Zaglia, M. Ekstrapolasyon Yöntemleri. Teori ve Uygulama . Kuzey Hollanda, 1991
• Basın, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Bölüm 5.12 Padé Yaklaşımları" , Sayısal Tarifler: Bilimsel Hesaplama Sanatı (3. baskı), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Cilt 1881, Sayı 90, Sayfa 1–17
• Gragg, WB; Pade Tablosu ve Sayısal Analizin Belirli Algoritmalarıyla İlişkisi [SIAM Review], Cilt. 14, No. 1, 1972, sayfa 1-62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rasyonelleri , Tez, [Ann. \'Ekol Ne. (3), 9, 1892, sayfa 1-93 eki.
• Wynn, P. (1966), "Padé tablosunun bölümleri arasında elde edilen özyineleme sistemleri üzerine", Numerische Mathematik , 8 (3): 264–269, doi : 10.1007/BF02162562 , S2CID  123789548

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Yaklaşık Padé" . Matematik Dünyası .
• Padé Yaklaşımları , Oleksandr Pavlyk, Wolfram Gösterileri Projesi .
• Veri Analizi BriefKitabı: Pade Yaklaşımı , Rudolf K. Bock Parçacık Fiziği için Avrupa Laboratuvarı , CERN .
• Sinüs , Scott Dattalo, son 2010-11-11 erişti.
• Zaman gecikmeli modellerin Pade yaklaşımı için MATLAB işlevi .