Ricci akışı - Ricci flow

Matematiksel alanında farklı geometri , Ricci, akış ( / r Ben bir tʃ i / , İtalyan:  [rittʃi] ) olarak, bazen de ifade Hamilton Ricci akışı , belirli bir bir kısmi diferansiyel denklem bir için Riemann metrik . Denklemin matematiksel yapısındaki biçimsel benzerlikler nedeniyle , genellikle ısının difüzyonuna ve ısı denklemine benzer olduğu söylenir ; bununla birlikte, ısı denklemi çalışmasında bulunmayan birçok fenomeni sergiler. Ricci akışı için birçok sonuç , hiper yüzeylerin ortalama eğrilik akışı için de gösterilmiştir .

Tanımında Ricci tensörünün varlığı için adlandırılan Ricci akışı, onu üç boyutlu bir küre teoremini kanıtlamak için kullanan Richard S. Hamilton tarafından tanıtıldı ( Hamilton 1982 ). Aşağıdaki Shing-Tung Yau 'Ricci akış çözeltilerinin tekillik tarafından tahmin topolojik verileri tanımlamak olabilir s öneri Thurston, s' Geometrikleştirme varsayım , Hamilton çözünürlüğüne karşı yönlendirilmiş 1990'larda sonuçları bir dizi üretti. 2002 ve 2003'te Grigori Perelman , Hamilton yönteminin bazı teknik yönlerinin yeni bir varyantı da dahil olmak üzere, Ricci akışı hakkında bir dizi yeni sonuç sundu ( Perelman 2002 , Perelman 2003a ). O kabul etmeyi reddettiği Ricci akışına katkılarından dolayı 2006 yılında Fields madalyası aldı.

Hamilton ve Perelman'ın çalışmaları, şimdi, özel bir durum olarak, geometrik topoloji alanında 1904'ten beri iyi bilinen bir açık problem olan Poincare varsayımı da dahil olmak üzere, Thurston varsayımının bir kanıtı olarak kabul edilmektedir. Bununla birlikte, Perelman'ın yöntemlerinin çoğu Thurston varsayımının tam kanıtının sadece çok az sayıda matematikçi tarafından anlaşılabilmesi için, diferansiyel geometri içindeki bir dizi farklı alt alandan elde edilen bir dizi yüksek düzeyde teknik sonuca dayanmaktadır. Perelman ve Tobias Colding ve William Minicozzi'ye bağlı kısa yol argümanlarının bulunduğu Poincaré varsayımının kanıtı , çok daha yaygın olarak anlaşılmaktadır ( Perelman 2003b , Colding & Minicozzi 2005 ). Geometrik analizin matematiksel alanının en büyük başarılarından biri olarak kabul edilir .

Simon Brendle ve Richard Schoen sonra özel bir durum olarak kanıtlayan, daha yüksek boyutlara Hamilton'ın küre teoremi genişletilmiş differentiable küre varsayımı gelen Riemann geometrisi elli yılı aşkın (açık olmuştu, BRENDLE & Schoen 2009 ).

matematiksel tanım

Düzgün bir manifoldu üzerinde M , bir düz Riemannsal metrik g otomatik olarak belirler Ricci tensörü Ric ^g . Her bir eleman için, p ve M , g _p bir pozitif tanımlı bir iç çarpım (tanımlamaya uygun olarak) bir tanjant alanı T _p M de p ; Tek parametreli bir Riemann metrik ailesi verilirse g _t , türev düşünülebilir∂/∂tg _t , belirli bir t değerinde değerlendirilir, her p'ye T _p M üzerinde simetrik bir çift doğrusal form atamak için . Bir Riemann metriğinin Ricci tensörü ayrıca her p'ye T _p M üzerinde simetrik bir çift doğrusal form atadığından , aşağıdaki tanım anlamlıdır.

• Düzgün bir manifoldu verilen M ve açık gerçek aralığını ( a , b ), her bir "Ricci akış" atar t ∈ ( a , b ) bir Rieman metrik g _t üzerine M şekildedir

${\displaystyle {\frac {\kısmi }{\kısmi t}}g_{t}=-2\operatör adı {Ric} ^{g_{t}}.}$

Ricci tensörü genellikle ortalama değeri olarak düşünülür kesit kavislerin veya bir cebirsel olarak iz arasında Riemann eğrilik tensörü . Bununla birlikte, Ricci akışının analizi için, Ricci tensörünün yerel koordinatlarda, metrik tensörün birinci ve ikinci türevlerini içeren cebirsel bir formülle tanımlanabilmesi son derece önemlidir. Bu formülün özel karakteri , Ricci akışlarının varlığının temelini sağlar; ilgili sonuç için aşağıdaki bölüme bakın.

Let k sıfırdan farklı bir sayı olması. ( a , b ) aralığında bir Ricci akışı g _t verildiğinde , arasındaki t için G _t = g _kt'yi düşününbir/k ve b/k. Sonra

${\displaystyle {\frac {\kısmi }{\kısmi t}}G_{t}=-2k\operatör adı {Ric} ^{G_{t}}.}$

Dolayısıyla, bu çok önemsiz parametre değişikliği ile, Ricci akışının tanımında görünen -2 sayısı, sıfırdan farklı herhangi bir sayı ile değiştirilebilir. Bu nedenle, esasen Ricci akışına ilişkin her makale ve açıklamanın izlediği bir yöntem olsa da, -2'nin kullanımı keyfi bir gelenek olarak kabul edilebilir. Tek önemli fark, eğer -2 pozitif bir sayı ile değiştirilirse, o zaman aşağıdaki bölümde tartışılan varlık teoremi, ilk verilerden parametre değerlerinde geriye doğru (ileriye değil) hareket eden bir Ricci akışı üreten bir teorem haline gelecektir.

t parametresi genellikle "zaman" olarak adlandırılır, ancak bu kısmi diferansiyel denklemlerin matematiksel alanındaki standart terminolojinin bir parçası olarak fiziksel olarak anlamlı terminolojiden ziyade. Aslında, renormalizasyon grubu açısından Ricci akışının standart kuantum alan teorik yorumunda, t parametresi zamandan ziyade uzunluk veya enerjiye karşılık gelir.

Normalleştirilmiş Ricci akışı

M'nin bir kompakt düz manifold olduğunu ve g _t'nin t ∈( a , b ) için bir Ricci akışı olduğunu varsayalım . Ψ:( a , b )→(0,∞)' yi tanımlayın , böylece Riemann metriklerinin her biri Ψ(t) g _t hacim 1'e sahip olur; M kompakt olduğundan bu mümkündür . (Daha genel olarak, her Riemann metriği g _t'nin sonlu hacmi olsaydı mümkün olurdu .) Ardından F :( a , b )→(0,∞)' yi şu şekilde tanımlayın :

${\displaystyle F(t)=\int _{a}^{t}\Psi (\sigma )\,d\sigma .}$

Ψ pozitif değerli olduğu için, F onun görüntüsüne bir benzetmedir (0, S ). Şimdi, s ∈(0, S ) parametreleri için tanımlanan Riemann metrikleri G _s =Ψ( F ⁻¹ ( s )) g _{F ⁻¹ ( s )}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}G_{s}=-2\operatöradı {Ric} ^{G_{s}}+{\frac {2}{n}}{\frac { \int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s} .}$

Buna "normalleştirilmiş Ricci akışı" denklemi denir. Böylece, açıkça tanımlanmış bir ölçek Ψ değişikliği ve parametre değerlerinin yeniden parametrelendirilmesiyle, bir Ricci akışı normalleştirilmiş bir Ricci akışına dönüştürülebilir. Bunu yapmanın nedeni, Ricci akışı için ana yakınsama teoremlerinin normalleştirilmiş Ricci akışı cinsinden rahatlıkla ifade edilebilmesidir. Bununla birlikte, bunu yapmak zorunlu değildir ve hemen hemen tüm amaçlar için Ricci akışını standart biçiminde düşünmek yeterlidir.

Varlık ve benzersizlik

Izin pürüzsüz kapalı manifoldu ve izin g ₀ her metrik Riemannsal pürüzsüz olabilir . Yararlanılarak Nash Moser kapalı fonksiyon teoremi , (1982) Hamilton aşağıdaki teoremini göstermiştir: ${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili M}$

• Pozitif bir T sayısı ve t ∈(0, T ) tarafından parametrelendirilen bir Ricci akışı g _{t vardır} , öyle ki , t 0'a düşerken g _t , C ^∞ topolojisinde g _0'a yakınsar .

Aşağıdaki teklik teoremini gösterdi:

• Eğer ve iki bulunmaktadır Ricci sonra, yukarıdaki varlığı teoremi olarak akar herkes için${\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}}$${\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}}$${\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}}$${\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).}$

Varlık teoremi, tek parametreli düzgün Riemann metrikleri ailesi sağlar. Aslında, bu tür herhangi bir tek parametreli aile de sorunsuz bir şekilde parametreye bağlıdır. Tam olarak bu , M üzerindeki herhangi bir düzgün koordinat grafiğine ( U ,φ) göre , fonksiyonun herhangi bir i , j =1,..., n için düzgün olduğunu söylüyor . ${\displaystyle g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R} }$

Dennis DeTurck daha sonra, bunun yerine Banach örtük fonksiyon teoremini kullanan yukarıdaki sonuçların bir kanıtını verdi. Çalışması esasen Yvonne Choquet-Bruhat'ın Lorentzian geometrisindeki Einstein denklemleri için iyi pozlanmışlığın iyi bilinen kanıtı ve yorumunun daha basit bir Riemann versiyonudur .

Hamilton'un varlık ve teklik teoreminin bir sonucu olarak, veriler ( M , g ₀ ) verildiğinde, başlangıç ​​verileri g ₀ olan M üzerindeki Ricci akışından açık bir şekilde bahsedilebilir ve olası maksimum değerini almak için T seçilebilir , hangi sonsuz olabilir. Ricci akışının neredeyse tüm büyük uygulamalarının, özellikle de Poincare varsayımının ve geometrileştirme varsayımının ispatının ardındaki ilke, t bu maksimum değere yaklaştıkça, g _t metriklerinin davranışının M hakkında derin bilgileri ortaya çıkarabilmesi ve yansıtabilmesidir .

yakınsama teoremleri

Aşağıdaki yakınsama teoremlerinin tam açıklamaları Andrews & Hopper (2011) ve Brendle'da (2010) verilmiştir .

Let ( M , g ₀ ) pürüzsüz olması , kapalı Riemann manifoldu. Aşağıdaki üç koşuldan herhangi biri altında:

• M iki boyutludur
• M üç boyutludur ve g ₀ pozitif Ricci eğriliğine sahiptir
• M'nin boyutu üçten büyük ve ( M , g ₀ ) × ℝ üzerindeki ürün metriği pozitif izotropik eğriliğe sahip

g ₀ başlangıç ​​verisine sahip normalleştirilmiş Ricci akışı, tüm pozitif zamanlar için mevcuttur ve t sonsuza giderken bir sabit eğrilik metriğine düzgün bir şekilde yakınsar .

Üç boyutlu sonuç Hamilton'a (1982) bağlıdır . James Eells ve Joseph Sampson'ın harmonik harita ısı akışının yakınsaması üzerine çığır açan 1964 tarihli makalesinden esinlenen ve gevşek bir şekilde modellenen Hamilton'un kanıtı, simetrik 2-tensörlerin ayarına maksimum ilkesinin bir uzantısı gibi birçok yeni özellik içeriyordu . Onun makalesi (Eells-Sampson'ınkiyle birlikte) diferansiyel geometri alanında en çok alıntı yapılanlar arasındadır. Chow, Lu & Ni'de (2006 , Bölüm 3) sonucunun bir açıklaması var .

İspat açısından, iki boyutlu bir durumda uygun bir şekilde üç farklı sonuçlar, burada her bir durum için bir koleksiyonu olarak görülmektedir Euler karakteristiği arasında M , sıfır ya da negatif pozitiftir. Hamilton (1988) tarafından gösterildiği gibi , negatif durum maksimum prensibi ile ele alınırken, sıfır durumu integral tahminleri ile ele alınır; pozitif durum daha belirsizdir ve Hamilton, g _0'ın pozitif eğriliğe sahip olduğu alt durumla , Peter Li ve Shing-Tung Yau'nun gradyan tahmininin Ricci akışına basit bir uyarlamasını yenilikçi bir "entropi tahmini" ile birleştirerek ele aldı. Tam pozitif durum, Hamilton tekniklerinin bir uzantısı olarak Bennett Chow (1991) tarafından gösterildi . İki boyutlu bir manifold üzerindeki herhangi bir Ricci akışı tek bir uyumlu sınıfla sınırlandırıldığından , sabit Riemann manifoldu ( M , g ₀ ) üzerindeki bir skaler fonksiyon için kısmi diferansiyel denklem olarak yeniden biçimlendirilebilir . Bu nedenle, bu ortamda Ricci akışı tamamen analitik yöntemlerle de incelenebilir; buna uygun olarak, iki boyutlu yakınsama teoreminin alternatif geometrik olmayan kanıtları vardır.

Daha yüksek boyutlu durum daha uzun bir geçmişe sahiptir. Hamilton'un çığır açan sonucundan kısa bir süre sonra, Gerhard Huisken yöntemlerini daha yüksek boyutlara genişleterek, g _0'ın neredeyse sabit pozitif eğriliği varsa ( Ricci ayrışmasının belirli bileşenlerinin küçüklüğü anlamında ), o zaman normalleştirilmiş Ricci akışının düzgün bir şekilde sabit eğriliğe yakınsadığını gösterir. . Hamilton (1986) , pozitif eğri metriklerin Ricci akışının yakınsamasını belirli bir çok boyutlu sıradan diferansiyel için "kıstırma kümelerinin" varlığına bağlayan genel bir kritere yol açan dışbükey kümeler tarafından yakalama açısından maksimum ilkesinin yeni bir formülasyonunu buldu. denklemi . Sonuç olarak, M'nin dört boyutlu olduğu ve g _0'ın pozitif eğrilik operatörüne sahip olduğu durumu çözebildi. Yirmi yıl sonra, Christoph Böhm ve Burkhard Wilking, "kıstırma kümeleri" oluşturmak için yeni bir cebirsel yöntem buldular ve böylece Hamilton'un sonucundan dört boyutluluk varsayımını ortadan kaldırdılar ( Böhm & Wilking 2008 ). Simon Brendle ve Richard Schoen , izotropik eğriliğin pozitifliğinin kapalı bir manifold üzerindeki Ricci akışı tarafından korunduğunu gösterdi; Böhm ve Wilking'in yöntemini uygulayarak, yeni bir Ricci akış yakınsama teoremi türetebildiler ( Bendle & Schoen 2009 ). Yakınsama teoremi, özel bir durum olarak , o zamanlar uzun süredir devam eden bir varsayım olan türevlenebilir küre teoreminin çözümünü içeriyordu . Yukarıda verilen yakınsama teoremi , Huisken, Hamilton, Böhm & Wilking ve Brendle & Schoen'in daha önceki yüksek boyutlu yakınsama sonuçlarını kapsayan Brendle'a (2008) dayanmaktadır.

doğal sonuçlar

Üç ve daha yüksek boyutlardaki sonuçlar , verilen tipte bir metrik g ₀ kabul eden herhangi bir düzgün kapalı manifold M'nin bir pozitif eğrilik uzay formu olması gerektiğini göstermektedir . Bu uzay biçimleri büyük ölçüde Élie Cartan ve diğerlerinin çalışmalarıyla anlaşıldığından, şöyle sonuçlar çıkarılabilir:

• M'nin , pozitif Ricci eğriliğinin düzgün bir Riemann metriğini kabul eden düzgün kapalı 3 boyutlu bir manifold olduğunu varsayalım . Eğer M sonra sade bağlanır o 3-küresine diffeomorphic olmalıdır.

Dolayısıyla, herhangi bir düzgün kapalı, basit bağlantılı 3-boyutlu manifoldun, düzgün bir Riemann pozitif Ricci eğriliği metriğini kabul ettiğini doğrudan gösterebilirsek , Poincaré varsayımı hemen ardından gelir . Bununla birlikte, şu anda meselelerin anlaşıldığı gibi, bu sonuç, tersi değil, yalnızca Poincaré varsayımının (önemsiz) bir sonucu olarak bilinir.

Olası uzantılar

Herhangi bir n'nin ikiden büyük olduğu göz önüne alındığında , herhangi bir düzgün Riemann sabit eğrilik metriğine sahip olmayan birçok kapalı n -boyutlu düzgün manifold vardır. Dolayısıyla, yukarıdaki yakınsama teoremlerinden eğrilik koşullarını basitçe çıkarabilmeyi umamazsınız. Eğrilik koşullarını bazı alternatiflerle değiştirmek mümkün olabilir, ancak negatif olmayan eğrilik operatörünün bir metriğine ( Fubini-Study metriği ) sahip olan, ancak sabit eğrilik metriğine sahip olmayan karmaşık projektif uzay gibi kompakt manifoldların varlığı bunu belirsiz kılar. bu koşullar ne kadar zorlanabilir. Benzer şekilde, negatif eğimli Riemann metrikleri için benzer yakınsama sonuçlarını formüle etme olasılığı, eğriliği keyfi olarak sabite yakın olan ve yine de sabit eğrilik metriklerini kabul etmeyen kapalı Riemann manifoldlarının varlığı ile karmaşıklaşır.

Li-Yau eşitsizlikleri

Riemann manifoldları üzerinde parabolik diferansiyel denklemler için Peter Li ve Shing-Tung Yau tarafından öncülük edilen bir tekniği kullanan Hamilton (1993a) , aşağıdaki "Li-Yau eşitsizliği"ni kanıtladı.

• Let M pürüzsüz manifoldu ve izin g _t ile Ricci akışının bir çözüm t ∈ (0, T ) her biri bu tür g _t sınırlı bir kavis ile tamamlanmıştır. Ayrıca, her g _t'nin negatif olmayan eğrilik operatörüne sahip olduğunu varsayalım . O halde, [ t ₁ , t ₂ ]⊂(0, T ) ile herhangi bir γ:[ t ₁ , t ₂ ]→ M eğrisi için

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t) }(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatöradı {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t) )\geq 0.}$

Perelman (2002) , aşağıdaki alternatif Li-Yau eşitsizliğini gösterdi.

• Let M pürüzsüz kapalı olması , n -manifold ve izin g _t Ricci akışının bir çözüm. n- formları için geriye doğru ısı denklemini düşünün , yani∂/∂ tω + Δ ^{g ( t )} ω = 0; verilen p ∈ M ve t ₀ ∈ (0, T ), entegrasyon üzerine Dirac delta zayıf bir şekilde yakınsak, özellikle çözelti dikkate t artar t ₀ . O halde, [ t ₁ , t ₂ ]⊂(0, T ) ile herhangi bir γ:[ t ₁ , t ₂ ]→ M eğrisi için

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t), t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_ {g(t)}^{2}}{2}}.}$

burada ω=(4π( t ₀ -t)) ^{- n /2} e ^{− f} dμ _{g ( t )} .

Bu dikkate değer eşitsizliklerin her ikisi de Poincare varsayımı ve geometrileştirme varsayımının ispatı için büyük önem taşımaktadır. Perelman'ın Li-Yau eşitsizliğinin sağ tarafında yer alan terimler, onun "indirgenmiş uzunluk" fonksiyonelinin tanımını motive eder ve bunun analizi onun "çökmeyen teoremine" yol açar. Çökmeyen teorem, Hamilton'un kompaktlık teoreminin (Hamilton 1995) yeni üç boyutlu manifoldlar üzerinde Ricci akışları olan "tekillik modelleri" oluşturmak için uygulanmasına izin verir. Hamilton-Ivey tahmini sayesinde, bu yeni Ricci akışları negatif olmayan eğriliğe sahiptir. Hamilton'ın Li-Yau eşitsizliği daha sonra, skaler eğriliğin her noktada azalmayan (negatif olmayan) bir zaman fonksiyonu olduğunu görmek için uygulanabilir. Bu, daha birçok argümanın geçmesine izin veren güçlü bir sonuçtur. Sonunda Perelman, tekillik modellerinden herhangi birinin asimptotik olarak tamamen sınıflandırılmış olan tam bir gradyan küçülen Ricci soliton gibi olduğunu gösterir; önceki bölüme bakın.

Hamilton'ın Li-Yau eşitsizliği hakkında ayrıntılar için bkz. Chow, Lu & Ni (2006 , Bölüm 10 ve 11); kitap ve ark Chow. (2008) ve Müller (2006) yukarıdaki her iki eşitsizliğin açıklamalarını içermektedir.

Örnekler

Sabit eğrilik ve Einstein metrikleri

( M , g ) Einstein olan bir Riemann manifoldu olsun , yani Ric ^g =λ g olacak şekilde bir λ sayısı vardır . O halde g _t =(1-2λ t ) g , g ₀ = g olan bir Ricci akışıdır , o zamandan beri

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\lambda g=-2\operatöradı {Ric} ^{g}=-2\operatöradı {Ric} ^{g_{ t}}.}$

Eğer E kapatıldığında, daha sonra yukarıda Hamilton benzersizliği teoremine göre, bu ilk veri sadece Ricci akışı g . Özellikle şunu görüyoruz:

• λ pozitif, daha sonra Ricci akış "sözleşmeleri" ise gr ölçek faktörü 1-2λ yana t pozitif için en az 1 olduğu , t ; ayrıca, g _t'nin bir Riemann metriği olması için t'nin yalnızca 1/2λ'dan küçük olabileceği görülür . Bu, "sonlu-zaman tekilliğinin" en basit örnekleridir.
• Eğer λ sıfır ise, ki bu, g'nin Ricci-düz olması ile eşanlamlıdır , o zaman g _t zamandan bağımsızdır ve dolayısıyla maksimum varoluş aralığı tüm gerçek çizgidir.
• λ negatif ise, o zaman Ricci akışı g "genişler" çünkü ölçek faktörü 1-2λ t tüm pozitif t için 1'den büyüktür ; ayrıca t'nin keyfi olarak büyük alınabileceğini görüyoruz. Biri, bu ilk ölçü için Ricci akışının "ölümsüz" olduğunu söylüyor.

Her durumda, farklı t değerlerine atanan Riemann metrikleri yalnızca sabit bir ölçek faktörü ile farklılık gösterdiğinden, normalleştirilmiş Ricci akışının G _s'nin tüm zamanlar için var olduğu ve s'de sabit olduğu görülebilir ; özellikle, s →∞ olarak düzgün bir şekilde (sabit değerine) yakınsar .

Einstein koşulunun özel bir durumu sabit eğriliktir; bu nedenle, kürenin (standart metriği ile) ve hiperbolik uzayın belirli örnekleri, yukarıdakilerin özel durumları olarak görünür.

Ricci solitonları

Ricci solitonları , boyutlarını değiştirebilen ancak şekillerini difeomorfizmlere kadar değiştiremeyen Ricci akışlarıdır.

• Silindirler S ^k × R ^l ( k ≥ 2 için ) benzer şekilde Ricci akışı altında difeomorfizmlere kadar kendini küçültür
• 2 boyutlu önemli bir örnek, Öklid düzleminde ( dx ²  +  dy ² )/( e ^{4 t}  +  x ²  +  y ² ) metriği ile verilen puro solitonudur . Bu metrik Ricci akışı altında küçülmesine rağmen geometrisi aynı kalır. Bu tür çözümlere sabit Ricci solitonları denir.
• 3 boyutlu sabit bir Ricci solitonunun bir örneği , rotasyonel olarak simetrik olan, pozitif eğriliğe sahip olan ve bir adi diferansiyel denklemler sisteminin çözülmesiyle elde edilen Bryant solitonudur . Benzer bir inşaat keyfi boyutta çalışır.
• Kähler manifoldları, değişmez bir altına çok sayıda aile var biri U (n) için eylem ve birational C ⁿ Ricci solitonlar vardır. Bu örnekler Cao ve Feldman-Ilmanen-Knopf tarafından yapılmıştır. (Chow-Knopf 2004)

Bir Ricci soliton daralan gradyan pürüzsüz Rieman manifoldunun (oluşur M , g ) ve f ∈ C ^∞ ( M ) sahip olması,

${\displaystyle \operatöradı {Ric} ^{g}+\operatöradı {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.}$

Perelman'ın (2002) en büyük başarılarından biri , eğer M kapalı bir üç boyutlu düzgün manifold ise, o zaman M üzerindeki Ricci akışının sonlu zaman tekilliklerinin tam gradyan küçülen Ricci solitonları (muhtemelen altta yatan manifoldlar üzerinde) üzerinde modellendiğini göstermekti. M )' den farklıdır . 2008 yılında, Huai-Dong Cao , Bing-Long Chen ve Xi-Ping Zhu , bu solitonların sınıflandırmasını tamamladı ve şunları gösterdi:

• Diyelim ki ( M , g , f ) dim( M )=3 ile tam bir gradyan küçülen Ricci soliton olsun . Eğer M , sonra Riemannsal manifoldu (basit bağlanmış olan M , g ) izometrik , ya da , standart Riemannsal metrik her biri.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\görüntüleme stili S^{3}}$${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$

Bu ilk olarak Perelman (2003a) tarafından bazı ekstra koşullu varsayımlarla gösterilmiştir. Eğer M basit bağlantılı değilse, evrensel örtü düşünülebilir ve o zaman yukarıdaki teorem aşağıdakiler için geçerlidir:${\displaystyle \pi :M'\to M,}$${\displaystyle (M',\pi ^{\ast }g,f\circ \pi ).}$

Herhangi bir yüksek boyutta gradyan küçülen Ricci solitonları hakkında henüz iyi bir anlayış yoktur.

Tekdüzeleştirme ve geometrileştirme ile ilişkisi

Ricci akışı, Richard S. Hamilton (1981) tarafından , William Thurston'ın üç boyutlu düz manifoldların topolojik sınıflandırmasıyla ilgili geometrileştirme varsayımı hakkında fikir edinmek için kullanıldı . Hamilton'un fikri, metrikteki düzensizlikleri düzeltme eğiliminde olan bir tür doğrusal olmayan difüzyon denklemi tanımlamaktı . Daha sonra, belirli bir düzgün manifold M üzerine rastgele bir g metriği yerleştirerek ve metriği Ricci akışıyla geliştirerek, metrik M için kanonik bir form oluşturabilecek özellikle güzel bir metriğe yaklaşmalıdır . Uygun kanonik formlar Thurston tarafından zaten tanımlanmıştı; adı olasılık, Thurston modelgeometrilerin , üç küre bulunmaktadır S ³ , üç boyutlu Öklid alan e ³ , üç boyutlu hiperbolik alan H ³ olan, homojen ve izotropik homojen olan, ancak ve beş biraz daha egzotik Rieman manifoldları izotropik değil. (Bu liste, üç boyutlu gerçek Lie cebirlerinin dokuz sınıfa ayrıldığı Bianchi sınıflandırmasıyla yakından ilişkilidir, ancak bununla özdeş değildir .) Hamilton'un fikri, bu özel metriklerin Ricci akışının sabit noktaları gibi davranması gerektiğiydi ve eğer, belirli bir manifold için, küresel olarak yalnızca bir Thurston geometrisi kabul edilebilirdi, bu akış altında bir çekici gibi bile davranabilir .

Hamilton, pozitif bir Ricci eğriliği metriğini kabul eden herhangi bir düzgün kapalı üç manifoldun aynı zamanda benzersiz bir Thurston geometrisini, yani gerçekten de Ricci akışı altında çeken sabit bir nokta gibi davranan, hacmi korumak için yeniden normalleştirilen küresel bir metriği kabul ettiğini kanıtlamayı başardı . (Renormalize edilmemiş Ricci akışı altında, manifold sonlu zamanda bir noktaya çöker.) Bu, tam geometrileştirme varsayımını kanıtlamaz, çünkü en zor durum negatif Ricci eğriliğine sahip manifoldlar ve daha spesifik olarak negatif kesit eğriliği olan manifoldlarla ilgilidir. .

Gerçekten de, on dokuzuncu yüzyıl geometrisinin bir zaferi, düzgün iki manifoldun benzer topolojik sınıflandırması olan tekdüzeleştirme teoreminin kanıtıydı; burada Hamilton, Ricci akışının gerçekten de negatif kavisli iki manifoldu iki boyutlu bir çok-boyutlu hale dönüştürdüğünü gösterdi. hiperbolik düzleme lokal olarak izometrik olan delikli torus. Bu konu, analiz, sayı teorisi, dinamik sistemler, matematiksel fizik ve hatta kozmolojideki önemli konularla yakından ilgilidir.

"Tekdüzeleştirme" teriminin geometrideki düzensizliklerin bir tür yumuşatılmasını önerdiğini, "geometrikleştirme" teriminin ise düz bir manifold üzerine bir geometri yerleştirmeyi önerdiğini unutmayın. Geometri kesin bir şekilde akin burada kullanılan Klein 'in geometrisi kavramına (bakınız Geometrikleştirme varsayım daha detaylı bilgi için). Özellikle, geometrileştirmenin sonucu izotropik olmayan bir geometri olabilir . Sabit eğrilik durumları da dahil olmak üzere çoğu durumda, geometri benzersizdir. Bu alandaki önemli bir tema, gerçek ve karmaşık formülasyonlar arasındaki etkileşimdir. Özellikle, tekbiçimlendirme üzerine yapılan birçok tartışma, gerçek iki-manifolddan ziyade karmaşık eğrilerden bahseder.

Ricci akışı hacmi korumaz, bu nedenle daha dikkatli olmak için, Ricci akışını tekdüzeleştirme ve geometrileştirmeye uygularken, hacmi koruyan bir akış elde etmek için Ricci akışını normalleştirmeniz gerekir . Eğer biri bunu yapmazsa, sorun şu ki (örneğin) belirli bir üç boyutlu manifoldu Thurston'ın kanonik formlarından birine evrimleştirmek yerine, sadece boyutunu küçültebiliriz.

n-boyutlu Riemann manifoldlarının bir tür modül uzayı oluşturmak mümkündür ve daha sonra Ricci akışı bu modül uzayında gerçekten geometrik bir akış ( akış çizgileri boyunca akan parçacıkların sezgisel anlamında) verir.

tekillikler

Hamilton , kompakt bir Riemann manifoldunun her zaman kısa süreli bir Ricci akış çözümünü kabul ettiğini gösterdi. Daha sonra Shi, sınırlı eğriliğin manifoldlarını tamamlamak için kısa süreli varoluş sonucunu genelleştirdi. Ancak genel olarak, Ricci akış denkleminin oldukça doğrusal olmayan doğası nedeniyle, sonlu zamanda tekillikler oluşur. Bu tekillikler eğrilik tekillikleridir, yani kişi tekil zamana yaklaştıkça eğrilik tensörünün normu tekillik bölgesinde sonsuza kadar patlar. Ricci akışındaki temel bir problem, tekilliklerin tüm olası geometrilerini anlamaktır. Başarılı olduğunda, bu, manifoldların topolojisine ilişkin içgörülere yol açabilir. Örneğin, 3d Ricci akışında gelişebilecek tekil bölgelerin geometrisini analiz etmek, Perelman'ın Poincare ve Geometrization Varsayımlarını kanıtlamasının en önemli bileşenidir. ${\displaystyle |\operatöradı {Rm} |}$

Tekilliklerin patlama sınırları

Tekilliklerin oluşumunu incelemek için, diğer doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin çalışmasında olduğu gibi, patlama limitlerini dikkate almak yararlıdır. Sezgisel olarak konuşursak, kişi zaman ve mekanı yeniden ölçeklendirerek Ricci akışının tekil bölgesine yakınlaşır. Belirli varsayımlar altında, yakınlaştırılmış akış , tekillik modeli adı verilen sınırlayıcı bir Ricci akışına eğilim gösterir . Tekillik modelleri eski Ricci akışlarıdır, yani sonsuz olarak geçmişe doğru genişletilebilirler. Ricci akışındaki olası tekillik modellerini anlamak, aktif bir araştırma çabasıdır. ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t))),t\in (-\infty ,0]}$

Aşağıda, şişirme prosedürünü daha ayrıntılı olarak çiziyoruz : şeklinde bir tekillik geliştiren bir Ricci akışı olsun . Uzay-zamanda öyle bir noktalar dizisi olsun ki ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T),}$${\görüntüleme stili t\sağ ok T}$${\displaystyle (p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)}$

${\displaystyle K_{i}:=|\operatör adı {Rm} (g_{t_{i}})|(p_{i})\rightarrow \infty }$

olarak . Sonra parabolik olarak yeniden ölçeklenen metrikler dikkate alınır. ${\displaystyle i\sağ ok \infty }$

${\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\sağ),\quad t\in [-K_{ i}t_{i},0]}$

Ricci akış denkleminin parabolik genişlemeler altındaki simetrisi nedeniyle, metrikler aynı zamanda Ricci akış denkleminin çözümleridir. bu durumda ${\displaystyle g_{i}(t)}$

${\displaystyle |Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}]}$,

yani, zamana kadar maksimum eğrilik değerine ulaşılır , daha sonra Ricci akışlarının sivri dizisi daha sonra sorunsuz bir şekilde sınırlayıcı bir antik Ricci akışına yakınsar . Genel olarak için difeomorfik olmadığına dikkat edin . ${\görüntüleme stili t_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\görüntüleme stili (M,g_{i}(t),p_{i})}$${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t),p_{\infty })}$${\displaystyle M_{\infty }}$${\görüntüleme stili M}$

Tip I ve Tip II tekillikler

Hamilton , Ricci akışında Tip I ve Tip II tekillikleri arasında ayrım yapar . Özellikle, bir tekillikle karşılaşan bir Ricci akışı deniyorsa , bir zaman Tip I'dir. ${\görüntüleme stili (M,g_{t}),\,t\in [0,T)}$${\görüntüleme stili T}$

${\displaystyle \sup _{t<T}(Tt)|Rm|<\infty }$.

Aksi halde tekillik Tip II'dir. Tip I tekilliklerin patlama limitlerinin gradyan küçülen Ricci solitonları olduğu bilinmektedir . Tip II durumunda, tekillik modelinin sabit bir Ricci soliton olması gerekip gerekmediği açık bir sorudur - şimdiye kadar bilinen tüm örnekler böyledir.

3d Ricci akışındaki tekillikler

3B'de Ricci akış tekilliklerinin olası patlama limitleri iyi anlaşılmıştır. Hamilton, Perelman ve Brendle'ın son çalışması tarafından, maksimum eğrilik noktalarında patlama, aşağıdaki üç tekillik modelinden birine yol açar:

• Küçülen yuvarlak küresel uzay formu ${\ Displaystyle S^{3}/\Gama }$
• küçülen yuvarlak silindir ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
• Bryant soliton

İlk iki tekillik modeli Tip I tekilliklerden, sonuncusu ise Tip II tekillikten kaynaklanmaktadır.

4d Ricci akışındaki tekillikler

Dört boyutta olası tekillikler hakkında çok az şey biliniyor, bunun dışında olasılıklar üç boyuttan çok daha fazla. Bugüne kadar aşağıdaki tekillik modelleri bilinmektedir

• ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$
• 4d Bryant soliton
• Pozitif skaler eğriliğin kompakt Einstein manifoldu
• Kompakt gradyan Kahler-Ricci küçülen soliton
• FIK küçültücü
• Eguchi-Hanson uzay

İlk üç örneğin 3B tekillik modellerinin genellemeleri olduğuna dikkat edin. FIK küçültücü, kendi kendine kesişme sayısı -1 olan gömülü bir kürenin çöküşünü modeller .

Difüzyonla ilişkisi

Ricci akışını tanımlayan evrim denkleminin neden gerçekten bir tür doğrusal olmayan difüzyon denklemi olduğunu görmek için, (gerçek) iki manifoldun özel durumunu daha ayrıntılı olarak ele alabiliriz. İki manifold üzerindeki herhangi bir metrik tensör , formdaki üstel izotermal koordinat grafiğine göre yazılabilir.

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\sağ).}$

( Mesafeler değil açılar doğru bir şekilde temsil edildiğinden, bu koordinatlar uyumlu bir koordinat grafiği örneği sağlar .)

Riemann iki manifoldumuz için Ricci tensörünü ve Laplace-Beltrami operatörünü hesaplamanın en kolay yolu , Élie Cartan'ın diferansiyel formlar yöntemini kullanmaktır . Al coframe alanını

${\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy}$

böylece metrik tensör olur

${\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\ bazen dy\doğru).}$

Ardından, keyfi bir düzgün fonksiyon verildiğinde , dış türevi hesaplayın${\görüntüleme stili h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.}$

Hodge ikilisini alın

${\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y }\,dx+h_{x}\,dy.}$

Başka bir dış türev alın

${\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\sağ)\,dx\ kama dy}$

( dış ürünün anti-değişmeli özelliğini kullandığımız yer ). Yani,

${\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\sağ)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

Başka bir Hodge ikilisi almak verir

${\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\sağ)}$

Laplace/Beltrami operatörü için istenen ifadeyi veren

${\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\sağ).}$

Eğrilik tensörünü hesaplamak için, koframe'imizi oluşturan kovektör alanlarının dış türevini alırız:

${\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\kama \sigma ^{2}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\kama \sigma ^{1}.}$

Bu ifadelerden, tek biçimli bağımsız Spin bağlantısını okuyabiliriz.

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}$

burada bağlantının ( ) anti-simetrik özelliğinden yararlandık . Başka bir dış türev alın ${\ Displaystyle {\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}}$

${\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\sağ) )\,dx\kama dy.}$

Bu eğriliğe iki form verir

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}$

kullanarak Riemann tensörünün tek lineer bağımsız bileşenini okuyabiliyoruz.

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

Yani

${\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p}$

Ricci tensörünün sadece sıfır olmayan bileşenlerinin olduğu

${\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta s.}$

Bundan, koordinat kotasına göre bileşenleri buluyoruz , yani

${\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\sağ).}$

Ancak metrik tensör de köşegendir.

${\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)}$

ve bazı temel manipülasyonlardan sonra, Ricci akışı için zarif bir ifade elde ederiz:

${\displaystyle {\frac {\kısmi p}{\kısmi t}}=\Delta p.}$

Bu, tüm difüzyon denklemlerinin en iyi bilineni olan ısı denklemine açıkça benzemektedir.

${\displaystyle {\frac {\kısmi u}{\kısmi t}}=\Delta u}$

şimdi Öklid düzleminde her zamanki Laplacian nerede . Okuyucu, ısı denkleminin elbette doğrusal bir kısmi diferansiyel denklem olduğuna itiraz edebilir - Ricci akışını tanımlayan pde'de vaat edilen doğrusal olmama durumu nerede? ${\displaystyle \Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}}$

Cevap, Laplace-Beltrami operatörü, metriği tanımlamak için kullandığımız aynı p işlevine bağlı olduğu için doğrusal olmayanlığın devreye girmesidir. Ancak düz Öklid düzleminin alınarak verildiğine dikkat edin . Yani büyüklük olarak küçükse, düz bir düzlemin geometrisinden küçük sapmalar tanımladığını düşünebiliriz ve üstel hesaplamada yalnızca birinci dereceden terimleri korursak, iki boyutlu neredeyse düz Riemann manifoldumuzdaki Ricci akışı, olağan iki boyutlu ısı denklemi. Bu hesaplama, tıpkı (ısı denklemine göre) bir sıcak plakadaki düzensiz bir sıcaklık dağılımının zamanla daha homojen hale gelme eğiliminde olması gibi, aynı şekilde (Ricci akışına göre) neredeyse düz bir Riemann manifoldunun da düzleşme eğiliminde olacağını göstermektedir. Aynı şekilde, ısı sonsuz düz bir plakada "sonsuza kadar" taşınabilir. Ancak, sıcak plakamızın boyutu sonluysa ve ısının taşınabileceği bir sınırı yoksa , sıcaklığı homojenleştirmeyi bekleyebiliriz , ancak açıkçası onu sıfıra indirmeyi bekleyemeyiz. Aynı şekilde, çarpık bir yuvarlak küreye uygulanan Ricci akışının zaman içinde geometriyi yuvarlama eğiliminde olmasını, ancak onu düz bir Öklid geometrisine dönüştürmemesini bekliyoruz. ${\görüntüleme stili p(x,y)=0}$${\görüntüleme stili p}$

Son gelişmeler

Ricci akışı 1981'den beri yoğun bir şekilde incelenmiştir. Son zamanlarda yapılan bazı çalışmalar, Ricci akışı altında yüksek boyutlu Riemann manifoldlarının tam olarak nasıl geliştiği ve özellikle ne tür parametrik tekilliklerin oluşabileceği sorusuna odaklanmıştır . Örneğin, Ricci akışına yönelik belirli bir çözüm sınıfı , akış bazı karakteristik zamana yaklaştıkça, belirli bir topolojik özelliğe (pozitif Euler karakteristiği ) sahip gelişen bir n -boyutlu metrik Riemann manifoldu üzerinde boyun tutam tekilliklerinin oluşacağını gösterir . Bazı durumlarda, bu tür boyun sıkıştırmaları, Ricci solitons adı verilen manifoldlar üretecektir . ${\görüntüleme stili t_{0}}$

3 boyutlu bir manifold için Perelman , manifold üzerinde cerrahi kullanarak tekilliklerin nasıl aşılacağını gösterdi .

Kähler metrikleri, Ricci akışı altında Kähler olarak kalır ve dolayısıyla Ricci akışı, "Kähler-Ricci akışı" olarak adlandırılan bu ortamda da incelenmiştir.

Ayrıca bakınız

Uygulamalar

• düzgünleştirme teoremi
• Geometrik varsayım
• Poincare varsayımının çözümü
• türevlenebilir küre teoremi

Genel bağlam

• Ricci eğriliği
• varyasyon hesabı
• geometrik akış

Notlar

Referanslar

Popüler bir matematik kitlesi için makaleler.

• Anderson, Michael T. (2004). "Ricci akışı yoluyla 3-manifoldların geometrileştirilmesi" (PDF) . Bildirimler Amer. Matematik. Soc . 51 (2): 184–193. MR  2026939 .
• Milnor, John (2003). "Poincaré Varsayımına ve 3-manifoldların sınıflandırılmasına doğru" (PDF) . Bildirimler Amer. Matematik. Soc . 50 (10): 1226–1233. MR  2009455 .
• Morgan, John W. (2005). "Poincare varsayımı ve 3-manifoldların sınıflandırılması üzerine son gelişmeler" . Boğa. Amer. Matematik. Soc. (NS) . 42 (1): 57-78. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01045-6 . MR  2115067 .
• Tao, T. (2008). "Ricci akışı" (PDF) . Gelen Gowers, Timothy ; Höyük-Yeşil, Haziran; Lider, Imre (ed.). Matematiğe Princeton Arkadaşı . Princeton Üniversitesi Yayınları. s. 279-281. ISBN'si 978-0-691-11880-2.

Araştırma makaleleri.

• Böhm, Christoph; Wilking, Burkhard (2008). "Pozitif eğrilik operatörlerine sahip manifoldlar uzay formlarıdır". Anne. Matematik. (2) . 167 (3): 1079-1097. arXiv : matematik/0606187 . doi : 10.4007/annals.2008.167.1079 . JSTOR  40345372 . MR  2.415.394 . S2CID  15521923 .
• Brendle, Simon (2008). "Yüksek boyutlardaki Ricci akışı için genel bir yakınsama sonucu" . Dük Matematik. J . 145 (3): 585-601. arXiv : 0706.1218 . doi : 10.1215/00127094-2008-059 . MR  2.462.114 . S2CID  438716 . Zbl  1161.53052 .
• Brendle, Simon ; Schoen, Richard (2009). "1/4-kıstırılmış eğriliğe sahip manifoldlar uzay formlarıdır". J.Amer. Matematik. Soc . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS...2..287B . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00613-9 . JSTOR  40587231 . MR  2449060 . S2CID  2901565 .
• Cao, Huai-Dong ; Xi-Ping Zhu (Haziran 2006). "Poincare ve Geometrikleştirme Varsayımlarının Tam Bir Kanıtı - Hamilton-Perelman Ricci akışı teorisinin uygulanması" (PDF) . Asya Matematik Dergisi . 10 (2). MR  2488948 . Hata .
  • Gözden geçirilmiş versiyon: Huai-Dong Cao; Xi-Ping Zhu (2006). "Hamilton-Perelman'ın Poincare Sanısı ve Geometrikleştirme Sanısının Kanıtı". arXiv : matematik.DG/0612069 .
• Chow, Bennett (1991). "2 küredeki Ricci akışı" . J. Diferansiyel Geom . 33 (2): 325–334. doi : 10.4310/jdg/1214446319 . MR  1094458 . Zbl  0734.53033 .
• Colding, Tobias H. ; Minicozzi, William P., II (2005). "Belirli 3-manifoldlarda Ricci akışı için yok olma süresi için tahminler ve bir Perelman sorusu" (PDF) . J.Amer. Matematik. Soc . 18 (3): 561–569. arXiv : matematik/0308090 . doi : 10.1090/S0894-0347-05-00486-8 . JSTOR  20161247 . MR  2138137 . S2CID  2810043 .
• Hamilton, Richard S. (1982). "Pozitif Ricci eğriliğine sahip üç manifold" . Diferansiyel Geometri Dergisi . 17 (2): 255–306. doi : 10.4310/jdg/1214436922 . MR  0664497 . Zbl  0504.53034 .
• Hamilton, Richard S. (1986). "Pozitif eğrilik operatörlü dört manifold" . J. Diferansiyel Geom . 24 (2): 153–179. doi : 10.4310/jdg/1214440433 . MR  0862046 . Zbl  0628.53042 .
• Hamilton, Richard S. (1988). "Yüzeylerde Ricci akışı". Matematik ve genel görelilik (Santa Cruz, CA, 1986) . Contemp. Matematik. 71 . Amer. Matematik. Soc., Providence, RI. s. 237-262. doi : 10.1090/conm/071/954419 . MR  0954419 .
• Hamilton, Richard S. (1993a). "Ricci akışı için Harnack tahmini" . J. Diferansiyel Geom . 37 (1): 225–243. doi : 10.4310/jdg/1214453430 . MR  1198607 . Zbl  0804.53023 .
• Hamilton, Richard S. (1993b). "Ricci akışına sonsuz çözümler" . J. Diferansiyel Geom . 38 (1): 1–11. doi : 10.4310/jdg/1214454093 . MR  1231700 . Zbl  0792.53041 .
• Hamilton, Richard S. (1995a). "Ricci akışının çözümleri için bir kompaktlık özelliği". Amer. J. Matematik . 117 (3): 545–572. doi : 10.2307/2375080 . JSTOR  2375080 . MR  1333936 .
• Hamilton, Richard S. (1995b). "Ricci akışında tekilliklerin oluşumu". Diferansiyel geometride araştırmalar, Cilt. II (Cambridge, MA, 1993) . Int. Basın, Cambridge, MA. s. 7–136. doi : 10.4310/SDG.1993.v2.n1.a2 . MR  1375255 .
• Hamilton, Richard S. (1997). "Pozitif izotropik eğriliğe sahip dört manifold" . İletişim Anal. Geom . 5 (1): 1-92. doi : 10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1 . MR  1456308 . Zbl  0892.53018 .
• Hamilton, Richard S. (1999). "Üç manifold üzerinde Ricci akışının tekil olmayan çözümleri" . İletişim Anal. Geom . 7 (4): 695–729. doi : 10.4310/CAG.1999.v7.n4.a2 . MR  1.714.939 .
• Bruce Kleiner ; John Lott (2008). "Perelman'ın kağıtları üzerine notlar". Geometri ve Topoloji . 12 (5): 2587–2855. arXiv : matematik.DG/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . MR  2460872 . S2CID  119133773 .
• Perelman, Grisha (2002). "Ricci akışı ve geometrik uygulamaları için entropi formülü". arXiv : matematik/0211159 .
• Perelman, Grisha (2003a). "Üç manifold üzerinde ameliyatla Ricci akışı". arXiv : matematik/0303109 .
• Perelman, Grisha (2003b). "Belirli üç manifold üzerinde Ricci akışına çözümler için sonlu yok olma süresi". arXiv : matematik/0307245 .

ders kitapları

• Andrews, Ben; Hopper, Christopher (2011). Riemann Geometrisinde Ricci Akışı: Diferansiyellenebilir 1/4-Sıkıştırma Küre Teoreminin Tam Kanıtı . Matematik Ders Notları. 2011 . Heidelberg: Springer. doi : 10.1007/978-3-642-16286-2 . ISBN'si 978-3-642-16285-5.
• Brendle, Simon (2010). Ricci Akışı ve Küre Teoremi . Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları. 111 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. doi : 10.1090/gsm/111 . ISBN'si 978-0-8218-4938-5.
• Cao, HD; Chow, B.; Chu, SC; Yau, ST, ed. (2003). Ricci Flow ile ilgili Toplanan Bildiriler . Geometri ve Topolojide Seriler. 37 . Somerville, MA: Uluslararası Basın. ISBN'si 1-57146-110-8.
• Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Günther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2007). Ricci Akışı: Teknikler ve Uygulamalar. Bölüm I. Geometrik Yönler . Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar. 135 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-8218-3946-1.
• Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Günther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2008). Ricci Akışı: Teknikler ve Uygulamalar. Bölüm II. Analitik Yönler . Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar. 144 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-8218-4429-8.
• Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Günther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2010). Ricci Akışı: Teknikler ve Uygulamalar. Bölüm III. Geometrik-Analitik Yönler . Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar. 163 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. doi : 10.1090/surv/163 . ISBN'si 978-0-8218-4661-2.
• Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Günther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2015). Ricci Akışı: Teknikler ve Uygulamalar. Bölüm IV. Uzun Süreli Çözümler ve İlgili Konular . Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar. 206 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. doi : 10.1090/surv/206 . ISBN'si 978-0-8218-4991-0.
• Chow, Bennett; Knopf, Dan (2004). Ricci Akışı: Bir Giriş . Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar. 110 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. doi : 10.1090/surv/110 . ISBN'si 0-8218-3515-7.
• Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006). Hamilton'ın Ricci Akışı . Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları. 77 . Beijing, New York: American Mathematical Society, Providence, RI; Bilim Basın. doi : 10.1090/gsm/077 . ISBN'si 978-0-8218-4231-7.
• Morgan, John W.; Fong, Frederick Tsz-Ho (2010). 3-Manifoldların Ricci Akışı ve Geometrileştirilmesi . Üniversite Anlatım Serisi. 53 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. doi : 10.1090/ulect/053 . ISBN'si 978-0-8218-4963-7.
• Morgan, John; Tian, ​​Çete (2007). Ricci Akışı ve Poincare Sanısı . Kil Matematik Monografları. 3 . Providence, RI ve Cambridge, MA: American Mathematical Society ve Clay Mathematics Institute. ISBN'si 978-0-8218-4328-4.
• Müller, Reto (2006). Diferansiyel Harnack eşitsizlikleri ve Ricci akışı . EMS Matematik Dersleri Dizisi. Zürih: Avrupa Matematik Derneği (EMS). doi : 10.4171/030 . hdl : 2318/1701023 . ISBN'si 978-3-03719-030-2.
• Tepesi, Peter (2006). Ricci Akışı Üzerine Dersler . Londra Matematik Derneği Ders Notu Serisi. 325 . Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511721465 . ISBN'si 0-521-68947-3.
• Zhang, Qi S. (2011). Sobolev Eşitsizlikleri, Ricci Akışı Altında Isı Çekirdekleri ve Poincare Sanısı . Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1-4398-3459-6.

Dış bağlantılar

• Isenberg, James A . "Ricci Akışı" (video) . Brady Haran'ın fotoğrafı . Erişim tarihi: 23 Nisan 2014 .