Teğet uzay - Tangent space

Gelen matematik , teğet alan a manifoldu yüksek boyutlara genelleştirildiğinde iki boyutlu eğri üç boyutlu yüzeylere teğet çizgi teğet düzlem kavramı. Fizik bağlamında, bir noktadaki manifolda teğet uzay, manifold üzerinde hareket eden bir parçacık için olası hızların uzayı olarak görülebilir.

Resmi olmayan açıklama

Bir küre üzerindeki tek bir noktanın teğet uzayının resimli temsili . Bu teğet uzaydaki bir vektör olası bir hızı temsil eder . Bu yönde yakındaki bir noktaya hareket ettikten sonra, hız o noktanın teğet uzayındaki bir vektör tarafından verilecektir - gösterilmeyen farklı bir teğet uzay.

Olarak diferansiyel geometri , tek her noktasına bağlamak için bir bölgesinin türevlenebilir manifold bir tanjant uzay gerçek -a vektör alan sezgisel bir teğet geçebildiği olası yönergeleri içerir . Teğet alan elemanlar en denir teğet vektörleri de . Bu, bir Öklid uzayında verilen bir başlangıç ​​noktasına dayanan bir vektör kavramının bir genellemesidir . Boyutu , bir her noktasında teğet alanı bağlı manifoldun aynıdır manifold kendisi.

Örneğin, verilen manifold bir - küre ise , o zaman bir noktadaki teğet uzayı, o noktada küreye dokunan ve nokta boyunca kürenin yarıçapına dik olan düzlem olarak hayal edilebilir . Verilen manifoldu bir olarak düşünülür ise Daha genel olarak gömülü alt manifold arasında Öklid uzayında , sonra kimse bu edebi tarzda bir tanjant uzay çizebilirim. Bu, paralel taşımayı tanımlamaya yönelik geleneksel yaklaşımdı . Diferansiyel geometri ve genel görelilik alanındaki birçok yazar bunu kullanır. Daha kesin olarak, bu, modern terminoloji tarafından tanımlanan teğet vektörlerin uzayından farklı olan bir afin teğet uzayı tanımlar.

Gelen cebirsel geometri , bunun aksine, daha az bir öz tanımı vardır bir noktada teğet alan bir bölgesinin cebirsel çeşitli boyut ile en az bir vektör yer verir kendisi. Noktaları teğet alanı boyutunun tam kadar olduğu bir de denir tekil olmayan noktalar; diğerlerine tekil noktalar denir . Örneğin, kendisini kesen bir eğrinin o noktada benzersiz bir teğet doğrusu yoktur. Tekil noktaları , "bir manifold olma testinin" başarısız olduğu noktalardır. Zariski teğet uzayına bakın .

Bir manifoldun teğet uzayları tanıtıldığında, uzayda hareket eden parçacıkların hız alanının soyutlamaları olan vektör alanları tanımlanabilir . Bir vektör alanı, manifoldun her noktasına, o noktadaki teğet uzaydan düzgün bir şekilde bir vektör ekler. Böyle bir vektör alanı , bir manifold üzerinde genelleştirilmiş bir adi diferansiyel denklem tanımlamaya hizmet eder : Böyle bir diferansiyel denklemin çözümü, manifold üzerindeki türevi herhangi bir noktada vektör alanı tarafından o noktaya eklenen teğet vektöre eşit olan türevlenebilir bir eğridir .

Bir manifoldun tüm teğet uzayları, manifoldun teğet demeti olarak adlandırılan, orijinal manifoldun iki katı boyutunda yeni bir türevlenebilir manifold oluşturmak için "birbirine yapıştırılabilir" .

Resmi tanımlar

Yukarıdaki resmi olmayan açıklama, bir manifoldun bir ortam vektör uzayına gömülme yeteneğine dayanır, böylece teğet vektörler, manifolddan ortam uzayına "çıkabilir". Bununla birlikte, yalnızca manifoldun kendisine dayalı bir teğet uzay kavramını tanımlamak daha uygundur.

Bir manifoldun teğet uzaylarını tanımlamanın çeşitli eşdeğer yolları vardır. Eğrilerin hızı yoluyla tanımlama sezgisel olarak en basiti olsa da, aynı zamanda üzerinde çalışılması en zahmetli olanıdır. Daha zarif ve soyut yaklaşımlar aşağıda açıklanmıştır.

Tanjant eğrileri aracılığıyla tanımlama

Gömülü manifold resminde, bir noktadaki teğet vektör, noktadan geçen bir eğrinin hızı olarak düşünülür . Bu nedenle, geçen eğrilerinin bir eşdeğerlik sınıf olarak teğet vektörünü tanımlamak için birbirine teğet ise .

Varsayalım ki a, türevlenebilir manifoldu ile ( pürüzsüzlüğü ) ve . Bir çekme koordinat grafik , bir olduğunu açık bir kümesi arasında ihtiva eden . Ayrıca, iki eğrinin , her ikisi de sıradan anlamda türevlenebilir olacak şekilde verildiğini varsayalım (bu türevlenebilir eğrileri 'de başlatılmış olarak adlandırıyoruz ). Daha sonra ve olduğu söylenen de ancak ve ancak türevleri ve de denk. Bu tanımlar eşdeğerlik ilişkisi başlatıldı tüm türevlenebilir eğrileri setinde ve denklik sınıfları bu eğrilerin şekilde bilinmektedir teğet vektörleri arasında en . Bu tür herhangi bir eğrinin denklik sınıfı ile gösterilir . Tanjant alanı arasında en belirtilen, daha sonra tüm teğet vektörleri kümesi olarak tanımlanır ; koordinat tablosunun seçimine bağlı değildir .

İçinden geçen bir eğri boyunca teğet uzay ve bir teğet vektör .

üzerinde vektör-uzay işlemlerini tanımlamak için bir çizelge kullanırız ve nereye göre bir harita tanımlarız . Yine, bu yapının belirli bir çizelgeye ve kullanılan eğriye bağlı olmadığının ve aslında öyle olmadığının kontrol edilmesi gerekir.

Haritası olarak çıkıyor bijective ve vektör uzayı işlemlerini aktarmak için kullanılabilir üstü ile böylece bir içine ikincisi dizi dönüm, boyutlu gerçek vektör alanı.

Türevler yoluyla tanımlama

Şimdi bunun bir manifold olduğunu varsayalım . Gerçek değerli bir fonksiyonun , ancak ve ancak her koordinat çizelgesi için haritanın sonsuz türevlenebilir olması durumunda ait olduğu söylenir . Not gerçek olduğunu birleşmeli cebir göre noktasal ürün fonksiyonları ve skaler çarpım ve toplamı.

Bir nokta seçin . Bir türev de bir olarak tanımlanan doğrusal harita ye uyan Leibniz kimlik

bu, hesabın çarpım kuralına göre modellenmiştir .

(Her özdeş sabit fonksiyon için bunu takip eder ).

Türevler kümesinde toplama ve skaler çarpma tanımlarsak ,

  • ve
  • ,

Daha sonra biz teğet alanı olarak tanımlayan gerçek vektör uzayı elde arasında en .

genellemeler

Bu tanımın genelleştirilmesi, örneğin, karmaşık manifoldlar ve cebirsel çeşitler için mümkündür . Ancak, fonksiyonların tam cebirinden türevleri incelemek yerine , fonksiyonların çekirdekleri düzeyinde çalışılmalıdır . Bunun nedeni, yapı demetinin bu tür yapılar için iyi olmayabilmesidir . Örneğin, yapı demeti olan bir cebirsel çeşitlilik olsun . Sonra Zariski teğet uzayı bir noktada tüm koleksiyon -derivations , olan zemin alanı ve bir sap arasında en .

Tanımların denkliği

İçin bir türevlenebilir eğrisi ve bu şekilde tanımlayan (nedeniyle türevi sıradan anlamıyla alınır burada bir işlev ila için ). Bu noktada bir türetme olduğu ve eşdeğer eğrilerin aynı türevi verdiği belirlenebilir. Böylece, bir denklik sınıfı için eğrinin keyfi olarak nerede seçildiğini tanımlayabiliriz . Harita , denklik sınıflarının uzayı ile noktadaki türevlerin uzayı arasındaki bir vektör uzayı izomorfizmidir.

Kotanjant uzayları aracılığıyla tanımlama

Yine, bir manifold ve bir nokta ile başlıyoruz . Düşünün ideali ait tüm pürüzsüz fonksiyonlar oluşmaktadır de kaybolan yani, . Sonra ve hem gerçek vektör alanlardır ve bölüm uzayı olduğu gösterilebilir izomorf için kotanjant uzayı kullanımı yoluyla Taylor teoremi . Tanjant uzay sonra olarak tanımlanabilir ikili alanı içinde .

Bu tanım en soyut olsa da, diğer ayarlara, örneğin cebirsel geometride ele alınan çeşitlere en kolay aktarılabilen tanımdır .

if bir türetme ise , o zaman her için , bu doğrusal bir haritaya yol açar . Tersine, eğer doğrusal bir harita ise, o zaman noktasında bir türetmeyi tanımlar . Bu, türevler aracılığıyla tanımlanan teğet uzaylar ile kotanjant uzaylar aracılığıyla tanımlanan teğet uzaylar arasında bir denklik verir.

Özellikler

' nin açık bir alt kümesi ise , o zaman doğal bir şekilde bir manifolddur ( açık alt kümelerinde kimlik haritaları olarak koordinat çizelgelerini alın ) ve teğet uzayların tümü doğal olarak .

Yönlü türevler olarak teğet vektörler

Teğet vektörleri düşünmenin başka bir yolu da yönlü türevlerdir . içinde bir vektör verildiğinde , bir noktada karşılık gelen yönlü türev şu şekilde tanımlanır :

Bu harita doğal olarak . Ayrıca, bir noktada her türetme bu biçimdedir. Dolayısıyla, vektörler (bir noktada teğet vektörler olarak düşünülür) ile bir noktadaki türevler arasında bire bir denklik vardır.

Bir noktadaki genel manifolda teğet vektörler o noktada türevler olarak tanımlanabileceğinden, bunları yönlü türevler olarak düşünmek doğaldır. Özellikle, bir teğet vektörüdür bir noktada (bir türetme olarak düşünülebilir), sonra yön türevini tanımlar doğrultusunda tarafından

'de başlatılan türevlenebilir bir eğrinin başlangıç ​​hızı olarak düşünürsek , yani, bunun yerine, şununla tanımlayın :

Bir noktadaki teğet uzayın temeli

Bir için manifold bir grafik halinde, birlikte verilir , daha sonra bir düzenli bir temel tanımlayabilir arasında göre

O zaman her teğet vektör için bir

Bu formül, bu nedenle , koordinat tablosu tarafından tanımlanan temel teğet vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilir .

Bir haritanın türevi

Düzgün (veya türevlenebilir) manifoldlar arasındaki her düzgün (veya türevlenebilir) harita , karşılık gelen teğet uzayları arasında doğal doğrusal haritalar oluşturur :

Teğet uzay diferansiyellenebilir eğrilerle tanımlanırsa, bu harita şu şekilde tanımlanır:

Bunun yerine, teğet uzay türevlerle tanımlanırsa, bu harita şu şekilde tanımlanır:

Doğrusal harita çeşitli adlandırılır türevi , toplam türev , ayırıcı ya da pushforward arasında en . Sıklıkla diğer çeşitli gösterimler kullanılarak ifade edilir:

Bir anlamda, türevi en iyi lineer bir yaklaşımdır yakınındaki . Ne zaman , o zaman haritanın , fonksiyonun diferansiyeline ilişkin olağan nosyonla örtüştüğüne dikkat edin . Olarak yerel koordinat türevi ile verilir Jacobi .

Türev harita ile ilgili önemli bir sonuç şudur:

teorem . Eğer bir olan yerel Diffeomorfizm de in ardından bir doğrusal izomorfizm . Tersine, sürekli türevlenebilir ve bir izomorfizması, daha sonra bir orada açık mahalle arasında böyle haritalar imajına üzerine diffeomorphically.

Bu, manifoldlar arasındaki haritalara ters fonksiyon teoreminin bir genellemesidir .

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ do Carmo, Manfredo P. (1976). Eğrilerin ve Yüzeylerin Diferansiyel Geometrisi . Prentice-Hall.:
  2. ^ Dirac, Paul AM (1996) [1975]. Genel Görelilik Teorisi . Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-691-01146-X.
  3. ^ Chris J. Isham (1 Ocak 2002). Fizikçiler için Modern Diferansiyel Geometri . Müttefik Yayıncılar. s. 70–72. ISBN'si 978-81-7764-316-9.
  4. ^ Lerman, Eugene. "Diferansiyel Geometriye Giriş" (PDF) . P. 12.

Referanslar

Dış bağlantılar