eliptik operatör - Elliptic operator

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u}$

${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$

${\displaystyle x_{i}}$

Daha sonra adı

${\görüntüleme stili L}$

${\görüntüleme stili\Omega }$

${\görüntüleme stili \xi }$

$${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,}$$

${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$

Birçok uygulamada, bu koşul yeterince güçlü değildir ve bunun yerine

$${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}$$

Doğrusal olmayan bir operatör

$${\displaystyle L(u)=F(x,u,(\kısmi ^{\alpha }u)_{|\alpha |\leq m})}$$

örnek 1

Negatif Laplace içinde R ^d ile verilen

$${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u}$$

düzgün eliptik bir operatördür. Laplace operatörü, elektrostatikte sıklıkla meydana gelir. ρ bazı Ω bölgesindeki yük yoğunluğuysa, Φ potansiyeli denklemi sağlamalıdır.

$${\displaystyle -\Delta \Phi =4\pi \rho .}$$

Örnek 2

Her

$${\displaystyle Lu=-\partial _{i}\sol(a^{ij}(x)\partial _{j}u\sağ)+b^{j}(x)\partial _{j}u+ ku}$$

İçin p , negatif olmayan bir sayı, p-Laplace ile tanımlanan bir doğrusal olmayan eliptik operatörü

$${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right ).}$$

Benzer bir doğrusal olmayan operatör buzul mekaniğinde ortaya çıkar . Cauchy gerilme tensör buz, Glen'in akış yasaya göre, verilir

$${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\sağ)^{2}\sağ )^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j }\sağ)}$$

bazı sabitler için B . Kararlı durumdaki bir buz tabakasının hızı, doğrusal olmayan eliptik sistemi çözecektir.

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,}$$

burada ρ buz yoğunluğu, g yer çekimi ivmesi vektördür p basıncı ve Q, bir zorlama terimdir.

Eliptik düzenlilik teoremi

Let L düzeni 2 arasında bir eliptik operatör k 2 olan katsayılı k sürekli türevleri. L için Dirichlet problemi , bir

Zayıf çözüm u , Lu ifadesinin mantıklı olması için yeterli türevlere sahip olmayabileceğinden , bu durum nihayetinde yetersizdir .

Eliptik düzen teoremi sağlanan garantiler f kare integrallenebilirdir, u aslında sahip olacak 2k karesi integrallenebilir zayıf türevleri. Özellikle, f sonsuz sıklıkta türevlenebilirse, o zaman u da öyledir .

Bu özelliği sergileyen herhangi bir diferansiyel operatöre hipoeliptik operatör denir ; bu nedenle, her eliptik operatör hipoeliptiktir. Bu özellik ayrıca , bir eliptik operatörün her temel çözümünün , 0 içermeyen herhangi bir komşulukta sonsuz derecede türevlenebilir olduğu anlamına gelir .

Bir uygulama olarak, bir fonksiyonun

${\görüntüleme stili f}$

${\görüntüleme stili f}$

Genel tanım

Izin bir değerde vektör demetleri arasında bir (muhtemelen doğrusal olmayan) farklı operatör. Tek forma göre

${\görüntüleme stili D}$

${\görüntüleme stili \sigma _{\xi }(D)}$

${\görüntüleme stili \xi }$

${\görüntüleme stili\nabla }$

${\görüntüleme stili \xi }$

Biz demek olduğunu

${\görüntüleme stili D}$

${\görüntüleme stili \sigma _{\xi }(D)}$

${\görüntüleme stili \xi }$

Bazı sabitler için (düzgün olarak)

${\görüntüleme stili D}$

${\görüntüleme stili c>0}$

${\displaystyle \left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\sağ)\geq c\|v\|^{2}}$

hepsi ve hepsi için . Makalenin önceki bölümündeki eliptikliğin tanımının

${\displaystyle \|\xi \|=1}$

${\görüntüleme stili v}$

${\görüntüleme stili (\cdot ,\cdot )}$

${\görüntüleme stili \xi }$

${\görüntüleme stili v}$

${\görüntüleme stili D}$

(Kuvvetle) bir eliptik operatörün en iyi örneği Laplacian'dır (veya konvansiyona bağlı olarak negatifidir). Güçlü eliptikliğin bir seçenek olması için bile düzenli olması gerektiğini görmek zor değil . Aksi takdirde, her ikisini de negatif olarak takmayı düşünün . Öte yandan,

${\görüntüleme stili D}$

${\görüntüleme stili \xi }$

Zayıf eliptiklik yine de Fredholm alternatifi , Schauder tahminleri ve Atiyah-Singer indeks teoremi için yeterince güçlüdür . Öte yandan, maksimum ilkesi için güçlü eliptikliğe ihtiyacımız var ve özdeğerlerin ayrık olduğunu ve tek sınır noktasının sonsuz olduğunu garanti ediyoruz.

Ayrıca bakınız

• Eliptik kısmi diferansiyel denklem
• Hiperbolik kısmi diferansiyel denklem
• Parabolik kısmi diferansiyel denklem
• Hopf maksimum prensibi
• eliptik kompleks
• Ultrahiperbolik dalga denklemi
• Yarı eliptik operatör
• Weyl'in lemması

Notlar

Referanslar

• Evans, LC (2010) [1998], Kısmi diferansiyel denklemler , Matematikte Lisansüstü Çalışmalar , 19 (2. baskı), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943
  İnceleme:
  Rauch, J. (2000). "LC Evans'tan kısmi diferansiyel denklemler" (pdf) . Amerikan Matematik Derneği Dergisi . 37 (3): 363-367. doi : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 .
• Gilbarg, D.; Trudinger, NS (1983) [1977], ikinci dereceden eliptik kısmi diferansiyel denklemler , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224 (2. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, MR  0737190
• Shubin, MA (2001) [1994], "Eliptik operatör" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press

Dış bağlantılar

• EqWorld'de