Huai-Dong Cao - Huai-Dong Cao

Huai-Dong Cao
Geleneksel çince 曹懷東
Basitleştirilmiş Çince 曹怀东

Huai-Dong Cao (8 Kasım 1959, Jiangsu'da doğdu ) Çinli-Amerikalı bir matematikçidir. O A. Everett sürahi Profesör Matematik de Lehigh Üniversitesi . Geometrik analiz alanında bir konu olan Ricci akışına yaptığı araştırma katkılarıyla tanınır .

Akademik tarih

Cao lisans derecesini aldı

1981 yılında Tsinghua Üniversitesi'nden

ve doktorası Shing-Tung Yau gözetiminde 1986 yılında Princeton Üniversitesi'nden mezun oldu .

Cao, UCLA'da Temel ve Uygulamalı Matematik Enstitüsü (IPAM) eski bir Müdür Yardımcısıdır. MIT, Harvard Üniversitesi, Isaac Newton Enstitüsü, Max-Planck Enstitüsü, IHES, ETH Zürih ve Pisa Üniversitesi'nde misafir profesörlükler yapmıştır. 2003'ten beri Journal of Differential Geometry'nin yönetici editörüdür . Aldığı ödüller ve dereceleri şunlardır:

Matematiksel katkılar

Kähler-Ricci akışı

1982'de Richard S. Hamilton , üç boyutlu manifoldların geometrisi üzerinde çarpıcı yeni bir teoremi kanıtlayan Ricci akışını tanıttı . Doktora eğitimine yeni başlamış olan Cao. Shing-Tung Yau altındaki çalışmalar , Kähler manifoldları ortamında Ricci akışını incelemeye başladı . Doktora derecesinde 1985'te yayınlanan tezinde, Yau'nun Calabi varsayımının çözümündeki tahminlerinin, Hamilton'un orijinal sonucuna benzer bir yakınsama teoremini kanıtlamak için Kähler-Ricci akış bağlamına değiştirilebileceğini gösterdi. Bu aynı zamanda , ispatlardaki teknik çalışmaların çoğu benzer olmasına rağmen, Calabi varsayımının ispatında Yau'nun süreklilik yöntemine parabolik bir alternatif sağladı .

Perelman'ın Ricci akışı üzerindeki çalışmaları

Yau en Ricci akış kanıtlamak için kullanılabileceği bir öneri ardından William Thurston 'ın Geometrikleştirme varsayımı , Hamilton aşağıdaki iki yılda teorisini geliştirdi. 2002 ve 2003'te Grisha Perelman , arXiv'e , Ricci akışı yoluyla, geometri varsayımının bir kanıtını sunduğunu iddia ettiği iki makale yayınladı . Ek olarak, ikinci makalenin ikinci yarısındaki sonuçların gereksiz olduğu ünlü Poincare varsayımının ispatına bir kısayol verdiği üçüncü bir makale yayınladı . Perelman'ın makalelerinin, Ricci akışı teorisinde dikkate değer yeni sonuçlar verdiği hemen kabul edildi, ancak birçok matematikçi, çalışmalarında alışılmadık derecede karmaşık veya özlü bazı bölümlerin teknik ayrıntılarını tam olarak anlayamadı.

Bruce Kleiner ait Yale Üniversitesi'nden ve John Lott ait Michigan Üniversitesi ekleyerek ve önümüzdeki birkaç yıl içinde bunları değiştirerek 2003 yılında web'e Perelman ilk iki gazetelerin gönderme açıklamaları başladı. Bu çalışmanın sonuçları 2008 yılında bir akademik dergide yayınlandı. Cao , Zhongshan Üniversitesi'nden Xi-Ping Zhu ile işbirliği yaptı ve 2006'da Hamilton'un çalışmasının ve Perelman'ın ilk iki makalesinin bir açıklamasını yayınladı ve bunları matematiksel literatür bağlamında açıkladı. geometrik analiz . John Morgan ait Columbia Üniversitesi ve Gang Tian ait Princeton Üniversitesi Perelman ilk ve üçüncü kağıda 2007 yılında bir kitap ve ikinci yazının ilk yarısını yayınladı; daha sonra Perelman'ın ikinci makalesinin ikinci yarısında ikinci bir kitap yayınladılar.

Cao ve Zhu'nun makalesinin özeti şöyledir:

Bu yazıda, Poincare ve geometrileştirme varsayımlarının tam bir kanıtını veriyoruz. Bu çalışma, birçok geometrik analistin son otuz yıldaki birikimli çalışmalarına dayanmaktadır. Bu kanıt, Hamilton-Perelman'ın Ricci akışı teorisinin en büyük başarısı olarak düşünülmelidir.

giriş başlangıcı ile

Bu yazıda, Ricci akışının Hamilton-Perelman teorisini sunacağız. Buna dayanarak, Poincare varsayımının ve Thurston'ın geometrileştirme varsayımının tam bir kanıtının ilk yazılı hesabını vereceğiz. Tüm çalışma birçok geometrik analistin birikmiş çabası olsa da, en büyük katkı sağlayanlar kuşkusuz Hamilton ve Perelman'dır.

Bazı gözlemciler, Cao ve Zhu'nun makalelerinin değerini abarttığını hissettiler. Ayrıca, Cao ve Zhu'nun makalesinin birkaç sayfasının Kleiner ve Lott'un makalesindekilere benzer olduğu ve intihal suçlamalarına yol açtığı tespit edildi. Cao ve Zhu, 2003 yılında Perelman'ın çalışmasının bu bölümü hakkında Kleiner ve Lott'un ilk gönderilerinden not aldıklarını ve 2005'te makalelerini yazarken tesadüfi bir hata olarak notların kaynağını anlayamadıklarını söylediler. Aralık 2006'da makalelerinin gözden geçirilmiş bir versiyonunu arXiv'de yayınladı.

Gradyan Ricci solitonları

Bir gradyan Ricci Soliton bir Rieman manifoldu oluşur ( M , g ) ve bir işlev f ile M bu şekilde Ric g + Hess gr f sabit bir katıdır g . M'nin karmaşık bir yapıya sahip olduğu özel durumda , g bir Kähler metriğidir ve f'nin gradyanı bir holomorfik vektör alanıdır, birinin gradyanı Kähler-Ricci soliton'dur . Ricci solitonları bazen Einstein metriklerinin f = 0 durumuna karşılık gelen genellemeleri olarak kabul edilir . Gradyan Ricci solitonlarının Ricci akışı teorisi için önemi ilk olarak Hamilton tarafından 1995 yılındaki etkili bir makalede fark edildi. Perelman'ın analizinde, sabit çarpanın pozitif olduğu gradyan Ricci solitonları özellikle önemlidir; bunlara gradyan küçülen Ricci solitonları denir . Cao'nun Ricci solitonları üzerine yaptığı 2010 tarihli bir anket geniş çapta alıntılanmıştır.

1996'da Cao, Ricci soliton denkleminin ODE analizine indirgenmesi için rotasyonel simetri ansatz altında gradyan Kähler-Ricci solitonlarını inceledi . Her bir pozitif n için , ℂ n üzerinde rotasyonel olarak simetrik, tam ve pozitif eğimli olan sabit bir Kähler-Ricci soliton gradyanı olduğunu gösterdi . n'nin 1'e eşit olması durumunda , bu Hamilton'ın puro solitonunu kurtarır. Cao ayrıca , tam ve dönel simetrik ve negatif olmayan bir şekilde kavisli olan karmaşık projektif uzay üzerinde kanonik demetin toplam uzayı üzerinde gradyan sabit Kähler-Ricci solitonlarının varlığını gösterdi . Karmaşık yansıtmalı uzay üzerinde belirli çizgi demetlerinin projetivizasyonu üzerine gradyan küçülen Kähler-Ricci solitonlarının kapalı örneklerini inşa etti ; bu örnekler Norihito Koiso tarafından bağımsız olarak değerlendirilmiştir. Cao ve Koiso'nun ansatz'ı Mikhail Feldman, Tom Ilmanen ve Dan Knopf'un etkili bir makalesinde daha da ileri götürüldü ve Cao, Koiso ve Feldman-Ilmanen-Knopf örnekleri Andrew Dancer ve McKenzie Wang tarafından 2011'de birleştirildi ve genişletildi.

Perelman en bir bağımsız değişken kullanarak, Cao ve Detang Zhou Ricci solitonlar bir olması daralma bu tam gradyanı göstermiştir Gauss verilen herhangi bir nokta için de, karakter p ait M , fonksiyon f uzaklık fonksiyonu karesi ile orantılı olarak büyümesi için gerekli p . Ek olarak, p etrafındaki jeodezik topların hacmi, yarıçapları ile en fazla polinom olarak büyüyebilir. Bu tahminler, özellikle e - f'nin bir ağırlıklandırma fonksiyonu olarak kullanılmasına izin vererek, tam gradyan küçülen Ricci solitonlarıyla yapılacak çok sayıda integral analizi mümkün kılar .

Başlıca yayınlar

  • Cao, Huai Dong. Kompakt Kähler manifoldlarında Kähler metriklerinin Kähler-Einstein metriklerine deformasyonu. İcat etmek. Matematik. 81 (1985), no. 2, 359-372.
  • Cao, Huai-Dong. Gradyan Kähler-Ricci solitonlarının varlığı. Geometride eliptik ve parabolik yöntemler (Minneapolis, MN, 1994), 1-16, AK Peters, Wellesley, MA, 1996.
  • Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Poincare ve geometrileştirme varsayımlarının tam bir kanıtı - Hamilton-Perelman Ricci akışı teorisinin uygulanması. Asya J. Matematik. 10 (2006), hayır. 2, 165-492.
  • Cao, Huai-Dong. Ricci solitonlarında son gelişmeler. Geometrik analizde son gelişmeler, 1-38, Adv. Öğr. Matematik. (ALM), 11, Int. Press, Somerville, MA, 2010.
  • Cao, Huai-Dong; Zhou, Detang. Tam gradyan küçülen Ricci solitonlarında. J. Diferansiyel Geom. 85 (2010), hayır. 2, 175–185.

Referanslar

  1. ^ Hamilton, Richard S. Pozitif Ricci eğriliğine sahip üç manifold. Diferansiyel Geometri Dergisi 17 (1982), no. 2, 255–306.
  2. ^ Yau, Shing Tung. Kompakt bir Kähler manifoldunun Ricci eğriliği ve karmaşık Monge-Ampère denklemi üzerine. I. İletişim Saf Uygulama Matematik. 31 (1978), hayır. 3, 339-411.
  3. ^ Perelman, Grisha. Ricci akışı için entropi formülü ve geometrik uygulamaları. arXiv : matematik/0211159
  4. ^ Perelman, Grisha. Üç manifoldda ameliyatla Ricci akışı. arXiv : matematik/0303109
  5. ^ Perelman, Grisha. Belirli üç manifold üzerinde Ricci akışına yönelik çözümler için sonlu sönme süresi. arXiv : matematik/0307245
  6. ^ Kleiner, Bruce; Lot, John. Perelman'ın kağıtları üzerine notlar. Geom. Topol. 12 (2008), hayır. 5, 2587–2855.
  7. ^ Morgan, John; Tian, ​​çete. Ricci akışı ve Poincare varsayımı. Clay Mathematics Monographs, 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. xlii+521 s. ISBN  978-0-8218-4328-4
  8. ^ Morgan, John; Tian, ​​çete. Geometrik varsayım. Clay Mathematics Monographs, 5. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2014. x+291 s. ISBN  978-0-8218-5201-9
  9. ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Erratum to: "Poincaré ve geometrileştirme varsayımlarının tam bir kanıtı—Ricci akışının Hamilton-Perelman teorisinin uygulanması [Asian J. Math. 10 (2006), no. 2, 165–492]. Asian J. Math. 10 (2006), sayı 4, 663.
  10. ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Hamilton-Perelman'ın Poincare Sanısının Kanıtı ve Geometrikleştirme Sanısı. arXiv : matematik/0612069
  11. ^ Hamilton, Richard S. Ricci akışında tekilliklerin oluşumu. Diferansiyel geometride araştırmalar, Cilt. II (Cambridge, MA, 1993), 7–136, Int. Basın, Cambridge, MA, 1995.
  12. ^ Koiso, Norihito. Kähler-Einstein metrikleri için dönel simetrik Hamilton denklemi üzerine. Diferansiyel ve analitik geometride son konular, 327-337, Adv. Damızlık. Pure Math., 18-I, Academic Press, Boston, MA, 1990.
  13. ^ Feldman, Mihail; İlmanen, Tom; Knopf, Dan. Dönel simetrik daralan ve genişleyen gradyan Kähler-Ricci solitonları. J. Diferansiyel Geom. 65 (2003), no. 2, 169-209.
  14. ^ Dansçı, Andrew S.; Wang, McKenzie Y. Bir kohomojenitenin Ricci solitonları üzerine. Anne. Küresel Anal. Geom. 39 (2011), hayır. 3, 259-292.