Paralel projeksiyon - Parallel projection

Bir paralel projeksiyon (veya aksonometrik uzantı ) sabit üzerine üç boyutlu uzayda bir nesnenin bir çıkıntıdır düzlemi olarak da bilinen, izdüşüm düzlemine ya da görüntü düzleminin , ışınları olarak bilinen görüş çizgileri veya uzantı çizgileri vardır paralel her diğer. Tanımlayıcı geometride temel bir araçtır . Projeksiyon, ışınlar görüntü düzlemine dik (dik) ise ortografik olarak adlandırılır ve eğer değilse eğik veya eğri olarak adlandırılır.

Genel Bakış

Paralel projeksiyon terminolojisi ve gösterimler. Sağdaki iki mavi paralel çizgi parçası, soldaki görüntü düzlemine yansıtıldığında paralel kalır.

Paralel çıkıntı özel bir durumu olan çıkıntının içinde matematik ve grafik çıkıntı olarak teknik resim . Paralel projeksiyonlar, bu nokta sonsuzluğa doğru hareket ederken, ışınların merkez veya bakış açısı denen sabit bir noktadan geçtiği merkezi veya perspektif bir projeksiyonun sınırı olarak görülebilir . Başka bir deyişle, paralel bir projeksiyon, sonsuz odak uzaklığına ( fotoğrafçılıkta lens ile odak noktası arasındaki mesafe ) veya " yakınlaştırmaya " sahip bir perspektif projeksiyona karşılık gelir . Ayrıca paralel projeksiyonlarda, üç boyutlu uzayda paralel olan çizgiler iki boyutlu olarak yansıtılan görüntüde paralel kalır.

Bir nesnenin perspektif projeksiyonu, insan vizyonu ve fotoğrafçılığa daha çok benzediği için genellikle paralel bir projeksiyondan daha gerçekçi kabul edilir . Bununla birlikte, paralel projeksiyonlar, bir nesnenin çizgilerinin ve yüzlerinin paralelliği korunduğundan ve görüntüden doğrudan ölçümler alınabildiğinden, teknik uygulamalarda popülerdir. Paralel projeksiyonlar arasında, ortografik projeksiyonlar en gerçekçi olarak görülür ve mühendisler tarafından yaygın olarak kullanılır. Öte yandan, belirli eğik projeksiyon türlerinin (örneğin, süvari projeksiyonu , askeri projeksiyon ) uygulanması çok basittir ve nesnelerin hızlı ve gayri resmi resimlerini oluşturmak için kullanılır.

Paralel projeksiyon terimi literatürde hem prosedürün kendisini (matematiksel bir haritalama işlevi) hem de prosedür tarafından üretilen sonuçtaki görüntüyü tanımlamak için kullanılmaktadır .

Özellikleri

Bir küpün iki paralel çıkıntısı. Ortografik bir projeksiyonda (solda), projeksiyon çizgileri görüntü düzlemine (pembe) diktir. Eğik bir projeksiyonda (sağda), projeksiyon çizgileri görüntü düzlemine eğimli bir açıdadır.

Her paralel projeksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Projeksiyon düzlemi Π ve (paralel) projeksiyon çizgilerinin yönü ile benzersiz bir şekilde tanımlanır . Yön, projeksiyon düzlemine paralel olmamalıdır. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Alan herhangi bir nokta projeksiyon düzlemi içinde özel bir görüntüsü vardır TT ve noktaları tt sabitlenir.
Yöne paralel olmayan herhangi bir çizgi bir doğru üzerine eşlenir; paralel herhangi bir çizgi bir noktaya eşlenir. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Paralel çizgiler, paralel çizgiler üzerinde veya bir çift nokta üzerinde (eğer paralel iseler ) eşlenir . ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Oranı bir çizgi üzerinde, iki çizgi parçalarının uzunluğunun değişmeden kalır. Özel bir durum olarak, orta noktalar orta noktalarda eşleştirilir.
Uzunluk projeksiyon düzlemine bir çizgi parçasının paralel değişmeden kalır . Projeksiyon ortografik ise herhangi bir çizgi parçasının uzunluğu kısaltılır.
Herhangi bir daire projeksiyon düzlemine paralel bir düzlemde yatmaktadır aynı yarıçaplı bir daire üzerine eşlenir. Diğer herhangi bir daire bir elips veya bir doğru parçasıyla eşlenir (yön , dairenin düzlemine paralelse). ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Genel olarak açılar korunmaz. Ancak projeksiyon düzlemine paralel olan dik açılar değişmeden kalır.
Herhangi bir dikdörtgen bir paralelkenar veya bir çizgi parçasıyla eşlenir (eğer dikdörtgenin düzlemine paralelse). ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Görüntü düzlemine paralel olan bir düzlemdeki herhangi bir şekil, görüntüsüyle uyumludur.

Türler

Paralel projeksiyonun sınıflandırılması ve bazı 3B projeksiyonlar

Paralel bir izdüşüm, varsayımsal bir bakış açısına sahip bir perspektif projeksiyona karşılık gelir; yani, kameranın nesneden sonsuz bir mesafede uzandığı ve sonsuz odak uzaklığına veya "yakınlaştırmaya" sahip olduğu yer.

Çeşitli projeksiyonlar ve nasıl üretildikleri

Ortografik projeksiyon

Ortografik izdüşüm, tanımlayıcı geometri ilkelerinden türetilir ve projeksiyon ışınlarının izdüşüm düzlemine dik olduğu bir tür paralel projeksiyondur. Çalışma çizimleri için tercih edilen projeksiyon türüdür . Terimi ortografik bazen cismin ana eksenleri veya uçaklar projeksiyon düzlemine (imla veya paralel projeksiyon çizildiği kağıdı) ile paralel olan nesnelerin tasvir için özel olarak ayrılmıştır. Bununla birlikte, birincil görüş terimi de kullanılmaktadır. Gelen bakıslı çıkıntılar , bir nesnenin en fazla altı resimler koordinat eksenlerinden biri, her projeksiyon düzlemi dikmesine ile, üretilir. Bununla birlikte, bir nesnenin ana düzlemleri veya eksenleri projeksiyon düzlemine paralel olmadığında , bunun yerine nesnenin birden çok tarafını ortaya çıkarmak için bir dereceye kadar eğildiğinde, bunlara yardımcı görünümler veya resimler denir . Bazen, aksonometrik izdüşüm terimi yalnızca bu görüşler için ayrılmıştır ve ortografik izdüşüm terimi ile yan yana getirilmiştir . Ancak aksonometrik izdüşüm , paralel izdüşümle eşanlamlı olarak daha doğru tanımlanabilir ve ortografik izdüşüm bir tür aksonometrik izdüşüm olarak tanımlanabilir .

Birincil görünümleri dahil planları , yükselti ve bölümleri ; ve izometrik , dimetrik ve trimetrik projeksiyonlar yardımcı görünümler olarak kabul edilebilir . Çoklu görüntülü ortografik projeksiyonların tipik (ancak zorunlu olmayan) bir özelliği, bir uzay ekseninin genellikle dikey olarak görüntülenmesidir.

Bakış yönü tasvir edilen nesnenin yüzeyine dik olduğunda, nesnenin yönüne bakılmaksızın, normal bir izdüşüm olarak adlandırılır . Bu nedenle, bir alanın koordinat sistemi ile yönlendirilmiş bir küp durumunda, küpün birincil görünümleri normal projeksiyonlar olarak kabul edilecektir .

Eğik projeksiyon

Çeşitli grafik projeksiyon türlerinin karşılaştırılması . Bir veya daha fazla 90 ° temel açının varlığı, genellikle perspektifin eğik olduğunun iyi bir göstergesidir .

Bir In eğik projeksiyon , paralel izdüşüm ışınları görüntüleme düzlemine dikey olmayan, fakat doksan dereceden farklı bir açıyla projeksiyon düzlemini grev. Hem ortografik hem de eğik projeksiyonda, uzayda paralel çizgiler yansıtılan görüntü üzerinde paralel görünür. Basitliği nedeniyle, eğik izdüşüm, resmi, çalışma çizimleri yerine yalnızca resimsel amaçlar için kullanılır. Eğik bir resimli çizimde, koordinat eksenlerini ayıran görüntülenen açılar ve kısaltma faktörleri (ölçeklendirme) isteğe bağlıdır. Bu şekilde yaratılan bozulma genellikle görüntülenen nesnenin bir düzlemi projeksiyon düzlemine paralel olacak şekilde hizalanarak, seçilen düzlemin gerçekten oluşturulmuş, tam boyutlu bir görüntüsünü oluşturarak zayıflatılır. Özel eğik projeksiyon türleri askeri , süvari ve kabin projeksiyonunu içerir .

Analitik temsil

Görüntü düzlemi denklemle ve izdüşüm yönü ile verilmişse, noktadan geçen izdüşüm çizgisi şu şekilde parametrelendirilir: ${\ displaystyle \ Pi: ~ {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {x}} - d = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle P: ~ {\ vec {p}}}$

{\ displaystyle g: ~ {\ vec {x}} = {\ vec {p}} + t {\ vec {v}}}

ile .

{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}

Görüntü ve hattının kesişme olan düzlem ile ; denklem tarafından verilir ${\ displaystyle P '}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ Pi}$

{\ displaystyle P ': ~ {\ vec {p}}' = {\ vec {p}} + {\ frac {d - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}} {{\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}}}} \; {\ vec {v}} \.}

Birkaç durumda bu formüller basitleştirilebilir.

(S1) Vektörler seçilebilirse ve öyle ki , görüntünün formülü, ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} = 1}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} '= {\ vec {p}} + (d - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}) \; {\ vec {v}} \ .}

(S2) Bir ortografik projeksiyonda, vektörler ve paraleldir. Bu durumda, kişi seçebilir ve alır ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {n}}, \; | {\ vec {n}} | = 1}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} '= {\ vec {p}} + (d - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}) \; {\ vec {n}} \ .}

(S3) Eğer biri vektörleri seçebilirse ve öyle ki ve görüntü düzlemi orijini içeriyorsa, biri vardır ve paralel izdüşüm doğrusal bir eşlemedir : ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} = 1}$ ${\ displaystyle d = 0}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} '= {\ vec {p}} - ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}) \; {\ vec {v}} = {\ vec {p}} - ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {n}}) ~ {\ vec {p}} = (I_ {3} - {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {n}}) \; {\ vec {p}} \.}

(Burada bir birim matris ve dış ürün ). ${\ displaystyle I_ {3}}$ ${\ displaystyle \ otimes}$

Paralel bir projeksiyonun bu analitik temsilinden, önceki bölümlerde belirtilen özelliklerin çoğu çıkarılabilir.

Tarih

Aksonometri, Çin'de ortaya çıkmıştır . Çin sanatındaki işlevi , perspektifi objektif olmadığı veya dışarıdan bakmadığı için Avrupa sanatındaki doğrusal perspektiften farklıydı . Bunun yerine, desenleri, izleyicinin hem mekanı hem de zamanın devam eden ilerlemesini tek bir parşömenle değerlendirmesine izin veren resim içinde paralel projeksiyonlar kullandı. Bilim yazarı ve Medium gazeteci Jan Krikke'ye göre, aksonometri ve onunla birlikte gelen resimsel gramer, görsel hesaplama ve mühendislik çiziminin tanıtılmasıyla yeni bir önem kazanmıştı .

Kavramı izometrinin iyi Profesör önce yüzyıllar boyunca kaba ampirik biçimde var olmuş William Farish ait (1759-1837) Cambridge Üniversitesi izometrik çizim için ayrıntılı kurallar sağlamak için ilk oldu.

Farish fikirlerini 1822 tarihli "İzometrik Perspektif Üzerine" makalesinde yayınladı ve "optik bozulma olmadan doğru teknik çalışma çizimlerine ihtiyaç olduğunu. Bu, izometriyi formüle etmesine yol açar. İzometri" eşit ölçüler "anlamına gelir çünkü aynı ölçek yükseklik, genişlik ve derinlik için kullanılır ".

Jan Krikke göre 19. yüzyılın ortalarında itibaren (2006) izometrisi mühendisleri için bir" paha biçilmez bir araç haline geldi ve kısa bir süre sonra axonometri ve izometrisi mimari eğitim kursları müfredatına dahil edildi Avrupa ve ABD'de axonometri itibar gören geldi 1920'lerde, ne zaman modernist mimarlar gelen Bauhaus ve de Stijl "kabullendi. Theo van Doesburg gibi De Stijl mimarları , mimari tasarımları için 1923'te Paris'te sergilendiğinde bir sansasyon yaratan aksonometri kullandılar . "

1920'lerden beri aksonometri veya paralel perspektif sanatçılar, mimarlar ve mühendisler için önemli bir grafik tekniği sağlamıştır. Doğrusal perspektif gibi, aksonometri de iki boyutlu bir resim düzleminde üç boyutlu uzayı tasvir etmeye yardımcı olur. Genellikle CAD sistemlerinin ve diğer görsel hesaplama araçlarının standart bir özelliği olarak gelir .

30 ° izometrik perspektifle çizilmiş optik taşlama motoru modeli (1822)
Bir ABD Patentinden (1874) bir dimetrik perspektif çizim örneği
Şeklini gösteren bir izdüşüm örneği Çin Kulesi Bankası içinde Hong Kong .
Üç Krallığın Romantizmi'nin resimli baskısında Çin sanatında dimetrik izdüşüm örneği , Çin, c. 15. yüzyıl CE .
Qingming Festivali Sırasında Nehir Boyunca filminin orijinal versiyonunun detayı Zhang Zeduan'a (1085–1145) atfedilir. Resmin farklı bölümlerinde aksonometrik ve perspektif projeksiyon arasında gidip geldiğine ve bu nedenle tutarsız olduğuna dikkat edin.

Sınırlamalar

Bu çizimde mavi küre, kırmızı olandan iki birim daha yüksektir. Ancak, bu yükseklik farkı, biri resmin sağ yarısını kapladığında belirgin değildir.

Penrose merdiven yükselmek (saat yönünün tersine) ya da alçalma (saat yönünde) görünmektedir ama sürekli bir döngü oluşturan bir merdiven tasvir etmektedir.

Paralel projeksiyonla çizilen nesneler, izleyiciye daha yakın veya uzaklaştıkça daha büyük veya daha küçük görünmez. Ölçümlerin doğrudan görüntüden alınması gereken mimari çizimler için avantajlı olsa da , sonuç algılanan bir bozulmadır, çünkü perspektif projeksiyondan farklı olarak , insan görüşü veya fotoğraf normalde böyle çalışmaz. Ayrıca, sağdaki resimde gösterildiği gibi derinlik ve rakımın ölçülmesinin zor olduğu durumlara da kolayca neden olabilir.

Bu görsel belirsizlik, op sanatta olduğu kadar "imkansız nesne" çizimlerinde de kullanılmıştır. Gerçi kesinlikle paralel değil MC Escher 'in Şelale (1961) bir su kanalı onun kaynağına döner olarak daha sonra paradoksal bir kez daha düşmek sadece bir düşüş yol boyunca yardımsız seyahat etmek göründüğü bir tanınmış görüntü vardır. Böylece su , enerjinin korunumu yasasına aykırı görünmektedir .

Ayrıca bakınız

Projeksiyon (doğrusal cebir)

Referanslar

Schaum's Outline: Descriptive Geometry , McGraw-Hill, (1 Haziran 1962), ISBN 978-0070272903
Joseph Malkevitch (Nisan 2003), "Matematik ve Sanat" , Sütun Arşivi , American Mathematical Society
Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (Aralık 1978), "Düzlemsel Geometrik Projeksiyonlar ve Görüntüleme Dönüşümleri", ACM Hesaplama Araştırmaları , 10 (4): 465–502, doi : 10.1145 / 356744.356750 , S2CID 708008

Languages

In other projects