Matematik dili - Language of mathematics

Matematik dil kullandığı sistemdir matematikçiler iletişim matematiksel kendi aralarında fikir ve hassasiyet ve net gösterilmesini ile soyut, mantıksal fikirleri iletişim hedeflediğini de doğal dillerin ayrıdır.

Bu dil, matematiksel söyleme özgü teknik terimleri ve dilbilgisi kurallarını kullanan bazı doğal dillerin (örneğin İngilizce ) bir alt katmanından oluşur (bkz. matematiksel jargon ). Ayrıca matematiksel formüller için oldukça özel bir sembolik gösterimle desteklenir .

Doğal dillere benzer şekilde, matematik dilini kullanan söylem, bir dizi kayıt kullanabilir . Akademik dergilerdeki araştırma makaleleri , matematikle ilgili fikirler ve bunun toplum üzerindeki etkileri hakkında ayrıntılı teorik tartışmalar için kaynaklardır.

Dil nedir?

İşte dilin bazı tanımları :

Sesler veya geleneksel semboller kullanarak sistematik bir iletişim aracı
Belirli bir disiplinde kullanılan bir kelime sistemi
Önceki olayları ve kavramları temsil eden bir soyut kodlar sistemi
Hepimizin kendimizi ifade etmek ve başkalarıyla iletişim kurmak için kullandığımız kod - Konuşma ve Dil Terapisi Terimler Sözlüğü
Her birinin uzunluğu sonlu olan ve sonlu bir öğeler kümesinden oluşturulmuş bir dizi (sonlu veya sonsuz) cümle - Noam Chomsky .

Bu tanımlar, dili aşağıdaki bileşenler açısından tanımlar:

Semboller veya kelimelerden oluşan bir kelime dağarcığı
Bu simgelerin nasıl kullanılabileceğine ilişkin kurallardan oluşan bir dilbilgisi
Sembolleri doğrusal yapılara yerleştiren bir 'sözdizimi' veya önerme yapısı.
Sözdizimsel önerme dizilerinden oluşan bir 'söylem' veya 'anlatı'
Bir topluluk kullanmak ve bu simgeleri anlama insanların
Bu sembollerle iletilebilecek bir dizi anlam

Bu bileşenlerin her biri matematik dilinde de bulunur.

matematik kelime hazinesi

Matematiksel gösterim , birçok farklı alfabeden (örneğin, Yunanca , İbranice , Latince ) ve yazı tiplerinden (örneğin, bitişik el yazısı , kaligrafik, kara tahta kalın ) sembolleri özümsemiştir . Ayrıca matematiğe özgü sembolleri de içerir, örneğin:

{\ Displaystyle \ forall \ \ var \ \ vee \ \ wedge \ \ infty .}

Matematiksel gösterim, modern matematiğin gücünün merkezindedir. Gerçi cebir ve Harizmi olan sembolleri kullanır vermedi, bu sembolik gösterimi ile bugün kullanılan çok daha fazla kuralları kullanarak denklemleri çözüldü ve (sembolik gösterimi aracılığıyla basitçe olarak ifade edilebilir çoklu değişkenler ile çalışan büyük zorluk yaşadı vb) . ${\görüntüleme stili x,y,z}$

Bazen formüller yazılı veya sözlü bir açıklama olmadan anlaşılamaz, ancak çoğu zaman tek başına yeterlidir. Diğer durumlarda, birkaç parantez içi faktör söz konusu olduğunda veya bir matris gibi karmaşık bir yapı manipüle edildiğinde olduğu gibi, yüksek sesle okunması zor olabilir veya kelimelere çeviride bilgi kaybolabilir .

Diğer herhangi bir disiplin gibi, matematiğin de kendi teknik terminolojisi markası vardır . Bazı durumlarda, genel kullanımdaki bir kelime, matematikte farklı ve özel bir anlama sahip olabilir (" grup" , " halka ", " alan ", " kategori ", " terim " ve " faktör " gibi). Daha fazla örnek için bkz. Kategori:Matematiksel terminoloji .

Diğer durumlarda, " tensör ", " fraktal " ve " functor " gibi özel terimler yalnızca matematikte kullanılmak üzere oluşturulmuştur. Matematiksel ifadeler, aksiyomlara , varsayımlara , önermelere , teoremlere , lemmalara ve sonuçlara bölünmüş kendi orta derecede karmaşık taksonomisine sahiptir . Ve matematikte " eğer ve ancak ", " gerekli ve yeterli " ve " genelliği kaybetmeden " gibi belirli anlamlarla kullanılan kalıp sözler vardır . Bu tür ifadeler matematiksel jargon olarak bilinir .

Matematiğin kelime hazinesi de görsel unsurlara sahiptir. Diyagramlar, karatahtalarda gayri resmi olarak ve daha resmi olarak yayınlanmış çalışmalarda kullanılır. Uygun şekilde kullanıldığında diyagramlar şematik bilgileri daha kolay görüntüler. Diyagramlar ayrıca görsel olarak yardımcı olabilir ve sezgisel hesaplamalara yardımcı olabilir. Bazen, görsel bir kanıtta olduğu gibi , bir diyagram bir önerme için tam bir gerekçe olarak bile hizmet edebilir. Bir diyagram kuralları sistemi, tensör ürünleri için Penrose grafik notasyonu örneğinde olduğu gibi, matematiksel bir gösterime dönüşebilir .

matematiğin grameri

Formüller için kullanılan matematiksel gösterimin kendi dilbilgisi vardır , belirli bir doğal dile bağlı değildir, ancak ana dillerinden bağımsız olarak matematikçiler tarafından uluslararası olarak paylaşılır. Bu, alt tabaka dilinin yazı sistemi sağdan sola olsa bile formüllerin ağırlıklı olarak soldan sağa yazıldığı ve basit değişkenler ve parametreler için Latin alfabesinin yaygın olarak kullanıldığı kuralları içerir . gibi bir formül

\sin x+a\cos 2x\geq 0

Çinli ve Suriyeli matematikçiler tarafından aynı şekilde anlaşılmaktadır.

Bu tür matematiksel formüller, doğal dilde bir cümlede konuşmanın bir parçası olabilir veya hatta tam teşekküllü bir cümlenin rolünü üstlenebilir. Örneğin, yukarıdaki formül, bir eşitsizlik , bir cümle veya sembole eşit veya daha büyük olanın sembolik bir fiil rolüne sahip olduğu bağımsız bir cümle olarak kabul edilebilir . Dikkatli konuşmada bu, "≥" ifadesinin "büyüktür veya eşittir" şeklinde telaffuz edilmesiyle açıklığa kavuşturulabilir, ancak gayri resmi bir bağlamda matematikçiler bunu "daha büyük veya eşit" olarak kısaltabilir ve yine de bunu dilbilgisi açısından bir fiil gibi ele alabilirler. İyi bir örnek kitap başlığıdır Neden E = mc ² ? ; burada eşittir işareti bir mastar rolüne sahiptir .

Matematiksel formüller seslendirilebilir (yani yüksek sesle konuşulabilir). Formüller için seslendirme sistemi öğrenilmelidir ve temeldeki doğal dile bağlıdır. Örneğin, İngilizce kullanıldığında, " ƒ ( x )" ifadesi geleneksel olarak "eff of eks" olarak telaffuz edilir, burada "of" edatının eklenmesi, gösterimin kendi başına önerilmemektedir. Öte yandan " " ifadesi , genellikle "dee-why-dee-eks" gibi seslendirilir , diğer bağlamlarda genellikle "bitti" olarak telaffuz edilen kesir çubuğunun tamamen çıkarılmasıyla . Kitabın başlığı Neden E = mc ² ? Neden ee eşittir em kareyi görüyor? gibi yüksek sesle söylenir. . ${\tfrac {dy}{dx}}$

Hem resmi hem de gayri resmi matematiksel söylemin özelliği, kapsayıcı birinci çoğul şahıs "biz"in "konuşmacı (veya yazar) ile birlikte dinleyici (veya okuyucu)" anlamında kullanılmasıdır.

Tipografik kurallar

Sözlü matematik dilinde olduğu gibi, yazılı veya basılı matematiksel söylemde, gibi sembolik bir fiil içeren matematiksel ifadeler genellikle cümlelerde veya tam cümleler olarak tümceler (bağımlı veya bağımsız) olarak kabul edilir ve matematikçiler tarafından bu şekilde noktalanır ve teorik fizikçiler. Özellikle, bu hem satır içi hem de görüntülenen ifadeler için geçerlidir . Buna karşılık, doğa bilimlerinin diğer disiplinlerindeki yazarlar, cümleler içinde denklem kullanmaktan kaçınmaya çalışabilir ve gösterilen ifadeleri şekiller veya şemalarla aynı şekilde ele alabilirler. $=,\ \in ,\ \var$

Örnek olarak, bir matematikçi şunları yazabilir:

Eğer ve reel sayılar yakınsak diziler, ve , daha sonra , tüm pozitif tamsayılar için tanımlanan tarafından , yakınsak olduğunu ve

{\görüntüleme stili (a_{n})}

{\görüntüleme stili (b_{n})}

{\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}

{\textstyle \lim _{n\to \infty}b_{n}=B}

{\görüntüleme stili (c_{n})}

{\görüntüleme stili n}

c_{n}=a_{n}+b_{n}

\lim _{n\to \infty}c_{n}=A+B

.

Bu ifadede " " ( "ay en" veya belki daha resmi olarak "ay en dizisi " olarak okunur ) ve " " isimler olarak kabul edilirken, " " (okuma: n'nin eğilimi olarak sınırı sonsuzluğa eşittir 'büyük A'), " " ve " " bağımsız tümceler olarak okunur ve " " " denklem eşittir artı " olarak okunur . ${\görüntüleme stili (a_{n})}$ ${\görüntüleme stili (a_{n})}$ ${\görüntüleme stili (b_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$ ${\ Displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty}b_{n}=B}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty}c_{n}=A+B}$ $c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ${\ Displaystyle c_{n}}$ ${\ Displaystyle a_{n}}$ ${\ Displaystyle b_{n}}$

Ayrıca, cümle, " " sonrasındaki nokta ile gösterildiği gibi, görüntülenen denklemden sonra sona erer . Dizgi sözleşmeler açısından, geniş gibi standart matematiksel fonksiyonlar, konuşma $günah$ ve gibi operasyonlar $+$ yanı sıra çeşitli dahil noktalama sembolleri parantez içinde belirtilmiştir roman türü Latin alfabesi değişkenleri ayarlanır ise, italik . Öte yandan, bileşenlerden oluşan matrisler, vektörler ve diğer nesneler bazen $koyu latin$ (çoğunlukla temel metinlerde) ve bazen italik (çoğunlukla ileri düzey metinlerde) ayarlanır . ${\textstyle \lim _{n\to \infty}c_{n}=A+B}$

( $e$ , π ve i = (–1) ^1/2 gibi standart sabitlerin veya $dy / dx'deki$ "d"nin italik olarak yazılması gerekip gerekmediği konusunda bazı anlaşmazlıklar vardır . Büyük harfli Yunanca harfler neredeyse her zaman roman, küçük harfler ise genellikle italik yazılır.)

Alfabenin değişken adlarının seçildiği kısmı için de bir dizi gelenek veya daha doğrusu gelenek vardır. Örneğin, $i$ , $j$ , $k$ , $l$ , $m$ , $n$ genellikle tam sayılar için kullanılır, $w$ ve $z$ genellikle karmaşık sayılar için kullanılırken $a$ , $b$ , $c$ , α, β, γ gerçek sayılar için kullanılır. $x$ , $y$ , $z$ harfleri sıklıkla bilinmeyenlerin bulunması veya bir fonksiyonun argümanları için kullanılırken , $a$ , $b$ , $c$ katsayılar için ve $f$ , $g$ , $h$ daha çok fonksiyon ismi olarak kullanılır. Bu kurallar katı kurallar değildir, bunun yerine okunabilirliği artırmak ve belirli bir nesnenin doğası için bir sezgi sağlamak için karşılanması gereken önerilerdir, böylece matematiksel nesnenin girişini hatırlamak veya kontrol etmek zorunda kalmazsınız.

Tanımlar, "çağırırız", "deriz" veya "demek istediğimiz" gibi kelimelerle veya "Bir [ nesne ] is [ koşul ] ise [ tanımlanacak kelime ]" (örneğin, "Bir küme kapalıdır" gibi ifadelerle belirtilir. tüm sınır noktalarını içeriyorsa."). Özel bir kural olarak, böyle bir tanımdaki "eğer" kelimesi " eğer ve ancak " şeklinde yorumlanmalıdır .

Teoremlerin genellikle kalın yazı tipinde bir başlığı veya etiketi vardır ve hatta kaynağı belirtilebilir (örneğin, " $Teorem 1.4 (Weyl).$ "). Bunu hemen ardından, genellikle italik olarak ayarlanan teoremin ifadesi gelir. Bir teoremin ispatı genellikle İspat kelimesiyle başlayarak açıkça sınırlandırılırken, ispatın sonu bir mezar taşı ("∎ veya □") veya başka bir sembol veya QED harfleri ile gösterilir .

Matematik dil topluluğu

Matematik, birçok dili konuşanlardan oluşan küresel bir topluluk oluşturan matematikçiler tarafından kullanılır . Matematik öğrencileri tarafından da kullanılır. Matematik hemen hemen tüm ülkelerde ilköğretimin bir parçası olduğu için, neredeyse tüm eğitimli insanlar saf matematiğe biraz maruz kalmaktadır. Modern matematikte çok az kültürel bağımlılık veya engel vardır. Uluslararası Matematik Olimpiyatları gibi uluslararası matematik yarışmaları vardır ve profesyonel matematikçiler arasında uluslararası işbirliği olağandır.

özlü ifade

Matematiğin gücü, genellikle bilime hizmet eden fikirlerin ifade ekonomisinde yatar. Horatio Burt Williams , bu kompakt formun fizikteki etkisini not etti:

Yetmiş beş yıl öncesinin fizik ders kitapları şimdikinden çok daha büyüktü. Bu, konuyla ilgili bilgimize o zamandan beri yapılan muazzam eklemelere rağmen. Ancak bu eski kitaplar, geniş genel ilkeler altında kavranan, bir matematikçinin özel durumlar olarak adlandıracağı şey olarak şimdi tanıdığımız fenomenlerin küçük açıklamaları nedeniyle hacimliydi.

Kendi başına matematikte , kısalık derindir:

Yazarlar, muhtemelen yalnızca profesyonel matematikçiler tarafından okunacak olan makaleleri yazarken, makalelerini yoğunlaştırmak için nadiren o kadar çok ara adımı atlarlar ki, kağıt ve kalemin çalışkan kullanımıyla bile boşlukların doldurulması, özellikle konuya ilk kez yaklaşan biri.

Williams, Ampère'i bulgularını matematikle özetleyen bir bilim insanı olarak anıyor :

Pürüzsüz ve özlü gösterim, bu bitmiş formda mutlaka tasarlanmaz... Ampère'in, tarif ettiği deney aracılığıyla eylem yasasını keşfettiğine pek inanamayız . Aslında, kendisinin bize söylediği gibi, bize göstermediği bir süreçle yasayı keşfettiğinden ve daha sonra mükemmel bir kanıt oluşturduğunda, onu oluşturan iskelenin tüm izlerini ortadan kaldırdığından şüpheleniyoruz. onu yükseltti.

Matematiğin önemi, matematik tarafından kodlanmış zihnin mantıksal süreçlerinde yatmaktadır:

Şimdi matematik, hem gerçeğin bir bütünü hem de özel bir dildir, sıradan düşünce ve ifade aracımızdan daha dikkatli tanımlanmış ve daha fazla soyutlanmış bir dildir. Ayrıca bu önemli hususta sıradan dillerden farklıdır: manipülasyon kurallarına tabidir. Bir ifade matematiksel forma dönüştürüldüğünde, bu kurallara göre manipüle edilebilir ve sembollerin her konfigürasyonu, orijinal ifadede yer alanlarla uyumlu ve bunlara bağlı gerçekleri temsil edecektir. Şimdi bu, sıradan dilin sembolleriyle entelektüel eylemler gerçekleştirirken beyin yapılarının eylemi olarak algıladığımız şeye çok yakındır. Bu nedenle, matematikçi, bir anlamda, mantıksal düşüncenin emeğinin bir kısmının merkezi sinir sisteminin dışında yürütüldüğü bir aygıtı , yalnızca sembolleri kurallara uygun olarak manipüle etmek için gerekli olan denetimle mükemmelleştirebilmiştir.

Williams'ın denemesi, genel olarak bilim adamları için hazırlanmış bir Gibbs Anlatımıydı ve özellikle biyolojik bilim adamlarının geride bırakılmamasından endişe duyuyordu:

Sadece kimyager ve fizikçi değil, biyolog da kendi bilim alanındaki önemli iletişimleri anlama olasılığından kopmamak için matematiksel makaleleri okuyabilmelidir. Ve buradaki durum, yabancı dil okuyamamaktan daha kötü. Yabancı bir dilde bir makale tercüme edilebilir, ancak çoğu durumda matematiksel bir makalenin içeriğini, sonuçlara ulaşıldığı mantıksal süreç hakkında bir bilgi aktaracak şekilde sıradan dil sembolleriyle ifade etmek imkansızdır. .

matematiğin anlamları

Matematik, çok çeşitli farklı konular hakkında bilgi iletmek için kullanılır. İşte üç geniş kategori:

Matematik gerçek dünyayı tanımlar : matematiğin birçok alanı gerçek dünya olaylarını tanımlama ve çözme girişimleriyle ortaya çıkmıştır - çiftlikleri ölçmekten ( geometri ) düşen elmalara ( hesap ) ve kumara ( olasılık ) kadar. Matematik, modern fizik ve mühendislikte yaygın olarak uygulanmaktadır ve çevremizdeki evreni en büyük ölçeklerinden ( fiziksel kozmoloji ) en küçüğüne ( kuantum mekaniği ) kadar daha fazla anlamamıza yardım etmede son derece başarılı olmuştur . Gerçekten de, matematiğin bu konudaki başarısı bazı filozoflar için bir şaşkınlık kaynağı olmuştur (bkz . Eugene Wigner tarafından yazılan Doğa Bilimlerinde Matematiğin Mantıksız Etkinliği ).
Matematik soyut yapıları tanımlar : Öte yandan, bilinen hiçbir fiziksel karşılığı olmayan soyut yapılarla ilgilenen saf matematik alanları vardır . Bununla birlikte, en soyut yapılar bile fiziğin bazı dallarında model olarak seçilebildiği için burada herhangi bir kategorik örnek vermek zordur (bkz. Calabi-Yau uzayları ve sicim teorisi ).
Matematik matematiği tanımlar : matematik kendini tanımlamak için refleks olarak kullanılabilir - bu, matematiğin metamatematik adı verilen bir alanıdır .

Matematik, doğal bir dilinki kadar (fakat farklı olsa da) geniş bir anlamlar dizisi iletebilir. As İngiliz matematikçi RLE Schwarzenberger diyor ki:

Pek çok meslektaşımla paylaştığım kendi tavrım, basitçe matematiğin bir dil olduğu yönündedir. İngilizce, Latince veya Çince gibi, matematiğin özellikle uygun olduğu belirli kavramlar vardır: Matematik dilinde bir aşk şiiri yazmaya çalışmak , Cebirin Temel Teoremini İngiliz dilini kullanarak kanıtlamak kadar aptalca olurdu. .

alternatif görünümler

Charles Hockett'in "tasarım özellikleri" tanımının ilk versiyonları gibi bazı dil tanımları, dilin konuşulan doğasını vurgular. Matematik, öncelikle yazılı bir iletişim biçimi olduğu için bu tanımlar altında bir dil olarak nitelendirilmez (nedenini görmek için Maxwell denklemlerini yüksek sesle okumayı deneyin ). Bununla birlikte, bu tanımlar , konuşma dilinden bağımsız olarak, artık kendi başlarına dil olarak kabul edilen işaret dillerini de diskalifiye edecektir .

Diğer dilbilimciler, matematik ve dil arasında geçerli bir karşılaştırma yapılamayacağına inanıyor, çünkü bunlar çok farklı:

Matematik, bir dilden hem daha fazla hem de daha az gibi görünebilir, çünkü dilsel yetenekleri sınırlı olmakla birlikte, sanat ve müzikle ortak bir yanı olan bir düşünme biçimini de içeriyor gibi görünmektedir. - Ford ve Turba (1988)

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya

Şövalye, Isabel F. (1968). Geometrik Ruh: Abbe de Condillac ve Fransız Aydınlanması . New Haven: Yale University Press.
RLE Schwarzenberger (2000), The Language of Geometry , A Mathematical Spectrum Miscellany , Applied Probability Trust'ta yayınlandı.
Alan Ford & F. David Peat (1988), Bilimde Dilin Rolü , Fiziğin Temelleri Cilt 18.
Kay O'Halloran (2004) Matematiksel Söylem: Dil, Sembolizm ve Görsel İmgeler , Süreklilik ISBN 0826468578
Charles Wells (2017) Abstractmath.org'dan Matematik Dilleri

Dış bağlantılar

Dil nedir
Matematik ve Doğanın Dili - F. David Peat'in denemesi.
Matematiksel Kelimeler: Origins and Sources (John Aldrich, University of Southampton)
Matematik Dilinde İletişim Kurmak, Dr. David Moursund
Charles Wells'in Matematiksel Söylem El Kitabı .
Bir Matematik Kedi, Lütfen! Matematik Dilini Keşfetmek, Dr. Carol JVF Burns

Languages

In other projects