Genelleştirilmiş Riemann hipotezi - Generalized Riemann hypothesis

Riemann hipotezi en önemlilerinden biridir conjectures içinde matematik . Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları hakkında bir ifadedir . Çeşitli geometrik ve aritmetik nesneler , resmi olarak Riemann zeta fonksiyonuna benzeyen global L fonksiyonları ile tanımlanabilir . Daha sonra aynı soru, bu L- fonksiyonlarının sıfırları hakkında sorulabilir ve Riemann hipotezinin çeşitli genellemelerini verebilir . Birçok matematikçi , Riemann hipotezinin bu genellemelerinin doğru olduğuna inanır . Bu varsayımların ispatlanmış tek durumları cebirsel fonksiyon alanı durumunda gerçekleşir (sayı alanı durumu değil).

Global L- fonksiyonları eliptik eğriler , sayı alanları (bu durumda bunlara Dedekind zeta-fonksiyonları denir ), Maass formları ve Dirichlet karakterleri (bu durumda bunlara Dirichlet L-fonksiyonları denir ) ile ilişkilendirilebilir. Riemann hipotezi Dedekind zeta-fonksiyonları için formüle edildiğinde, genişletilmiş Riemann hipotezi (ERH) olarak bilinir ve Dirichlet L -fonksiyonları için formüle edildiğinde, genelleştirilmiş Riemann hipotezi (GRH) olarak bilinir . Bu iki ifade aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır. (Birçok matematikçi , Riemann hipotezinin sadece Dirichlet L- fonksiyonlarının özel durumunu değil, tüm global L- fonksiyonlarına genişletilmesini kapsamak için genelleştirilmiş Riemann hipotezi etiketini kullanır .)

Genelleştirilmiş Riemann hipotezi (GRH)

Genelleştirilmiş Riemann hipotezi (Dirichlet L- fonksiyonları için) muhtemelen ilk kez 1884'te Adolf Piltz tarafından formüle edilmiştir. Orijinal Riemann hipotezi gibi, asal sayıların dağılımı hakkında geniş kapsamlı sonuçlara sahiptir .

Hipotezin resmi ifadesi aşağıdaki gibidir. Bir Dirichlet karakteri , gcd( n , k ) > 1 olduğunda tüm n ve χ ( n ) = 0 için χ ( n + k ) = χ ( n ) ile pozitif bir k tamsayısının bulunduğu tamamen çarpımsal bir aritmetik fonksiyon χ . Böyle bir karakter verilirse, karşılık gelen Dirichlet L - fonksiyonunu şu şekilde tanımlarız :

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

her karmaşık sayı ler öyle ki Re s > 1 . Tarafından analitik devamında bu fonksiyon bir uzatılabilir meromorfik fonksiyonu (sadece ilkel) bütün kompleks düzlemde tanımlandığı gibidir. Genelleştirilmiş Riemann hipotezi her Dirichlet karakteri için, ileri sürer kay kare testi ve her karmaşık sayı s ile L ( kay kare testi , s ) = 0 ise, s negatif gerçek sayı değil, o zaman gerçek bölümü s 1/2. ${\görüntüleme stili \chi }$

Durumda χ ( n ) = 1 için tüm n sıradan Riemann hipotezi üretmektedir.

GRH'nin Sonuçları

Dirichlet teoremi eğer devletler bir ve d olan aralarında asal doğal sayılar , daha sonra aritmetik ilerlemesi bir , bir + d , bir + 2 d , bir + 3 d ... içeren sonsuz sayıda asal sayılar. Let (π x , bir , d ) daha az olan ya da eşit, bu ilerlemesinde asal sayıların sayısını göstermek x . Genelleştirilmiş Riemann hipotezi sonra her aralarında asal için, doğru ise a ve d her için £ değerinin > 0 ,

${\displaystyle \pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\ ,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,}$

burada φ ( d ) Euler'in totient işlevidir ve O , Büyük O notasyonudur . Bu, asal sayı teoreminin önemli ölçüde güçlendirilmesidir .

GRH doğruysa, çarpımsal grubun her uygun alt grubu, 2(ln n ) ^{2'den küçük} bir sayıyı ve ayrıca n'nin 3(ln n ) ^2'den küçük bir asal sayıyı ihmal eder . Başka bir deyişle, 2(ln n ) ^2'den küçük bir sayı kümesi tarafından üretilir . Bu genellikle ispatlarda kullanılır ve birçok sonucu vardır, örneğin (GRH varsayıldığında): ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

• Miller-Rabin asallık testi polinom zamanda çalışacak şekilde garanti edilir. ( 2002'de AKS asallık testi olan GRH gerektirmeyen bir polinom zamanlı asallık testi yayınlandı.)
• Shanks-Tonelli algoritması polinom zamanda çalışacak şekilde garanti edilir.
• Asal sabit-düz dereceli sonlu alanlar üzerinde polinomları çarpanlara ayırmaya yönelik Ivanyos-Karpinski-Saxena deterministik algoritmasının polinom zamanında çalışması garanti edilir.

Eğer GRH doğruysa, o zaman her p asalağı için bir ilkel kök mod p (modulo p çarpımsal tamsayılar grubunun üreteci ) vardır, bu da şundan küçüktür:${\görüntüleme stili O((\ln p)^{6}).}$

Goldbach'ın zayıf varsayımı , genelleştirilmiş Riemann hipotezinden de kaynaklanmaktadır. Harald Helfgott'un bu varsayımın henüz doğrulanmamış kanıtı, 10 ^29'un üzerindeki tüm tamsayılar için varsayımı kanıtlayan yeterli sınırları elde etmek için belirli bir hayali kısma kadar birkaç bin küçük karakter için GRH'yi doğrular, aşağıdaki tam sayılar zaten hesaplama ile doğrulanmıştır. .

GRH'nin doğruluğunu varsayarak, Pólya-Vinogradov eşitsizliğindeki karakter toplamının tahmini , q karakterin modülü olmak üzere 'ye yükseltilebilir . ${\displaystyle O\sol({\sqrt {q}}\log \log q\sağ)}$

Genişletilmiş Riemann hipotezi (ERH)

Varsayalım K a, sayı alanı (sonlu boyutlu alan uzantı arasında kesirli Q ) ile tamsayılar halkası O _K (bu halka entegre kapak arasında tam sayılar , Z olarak K ). Eğer bir bir olan İdeal Ç ait _K sıfır ideali dışında, biz onun göstermek normunu tarafından Na . Dedekind zeta fonksiyonlu arasında K sonra tanımlanmaktadır

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}$

Her karmaşık sayısı s gerçek parça ile> 1. toplamı sıfır olmayan ideallerini boyunca uzanan bir -O _K .

Dedekind zeta-fonksiyonu, bir fonksiyonel denklemi karşılar ve analitik devamlılıkla tüm karmaşık düzleme genişletilebilir . Ortaya çıkan işlev, sayı alanı K hakkında önemli bilgileri kodlar . Uzatılmış Riemann hipotezi her numarası için iddia K ve her karmaşık sayı s ζ ile _K ( s ) = 0: gerçek bir parçası halinde s , 0 ile 1 arasında, daha sonra aslında 1/2 bulunmaktadır.

Sıradan Riemann hipotezi, sayı alanı Z tamsayıları halkasıyla Q olarak alınırsa, genişletilmiş olandan çıkar .

ERH etkili bir versiyonunu ifade eder Chebotarev yoğunluk teoremi : eğer L / K Galois grubu olan bir sonlu Galois'in uzantısıdır G ve C eşlenik sınıflarının bir birlik G , sayısı unramified asal bir K aşağıdaki norm x Frobemino eşleşme ile sınıf C olan

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatöradı {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}})(n\log x+\ log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}$

büyük-O gösteriminde ima edilen sabitin mutlak olduğu yerde, n , L bölü Q derecesi ve Δ onun ayırt edicisidir.

Ayrıca bakınız

• Artin'in varsayımı
• Dirichlet L-fonksiyonu
• Selberg sınıfı
• Grand Riemann hipotezi

Referanslar

daha fazla okuma

• "Riemann hipotezi, genelleştirilmiş" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]