Asal sayı teoremi - Prime number theorem

Gelen sayılar teorisi , asal sayı teoremi ( PNT ) açıklar asimptotik dağılımı asal sayılar pozitif tamsayılar arasında. Asal sayıların büyüdükçe daha az yaygın hale geldiği sezgisel fikrini, bunun meydana gelme hızını kesin olarak ölçerek resmileştirir. Teorem, 1896'da Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée Poussin tarafından Bernhard Riemann tarafından tanıtılan fikirler (özellikle Riemann zeta fonksiyonu ) kullanılarak bağımsız olarak kanıtlandı .

Bulunan bu tür ilk dağılım π ( N ) ~ n/günlük( N ), Burada π ( K ) olan ana sayma fonksiyonu (asal sayı eşit ya da daha az N ) ve (log N ) olan doğal logaritması arasında N . Bu araçlar, yeterince büyük için bu N , olasılık daha büyük olmayan bir rasgele bir tam sayı olduğu N asal çok yakın olan 1 / log ( K ) . Sonuç olarak, en fazla 2 n basamaklı rastgele bir tamsayı (yeterince büyük n için ), en fazla n basamaklı rastgele bir tam sayının asal olma olasılığının yaklaşık yarısı kadardır . Örneğin, en fazla 1000 basamaklı pozitif tam sayılar arasında yaklaşık 2300'de biri asaldır ( log(10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302.6 ), oysa en fazla 2000 basamaklı pozitif tam sayılarda yaklaşık 4600'de biri asaldır ( log(10 ^{2000 )} ) 4605.2 ). Başka bir deyişle, ilk N tamsayı arasındaki ardışık asal sayılar arasındaki ortalama boşluk kabaca log( N )'dir .

Beyan

Asal sayma fonksiyonunun π ( x ) iki yaklaşımına oranını gösteren grafik , x / log x ve Li( x ) . Olarak X artar (not X ekseni isimli logaritmik), her iki oranın 1. doğru yönelik oranı eğiliminde x / log X , yukarıda çok yavaş yakınsayan süre için oranı Li ( X ) daha hızlı bir şekilde aşağıdaki yakınsak.

x / log x ve Li( x ) ' in mutlak hatasını gösteren log-log grafiği , asal sayma fonksiyonu π ( x ) için iki yaklaşım . Oranı arasındaki fark farklı π ( x ) ve X / günlük x artışlar olmadan bağlanan X artar. Öte yandan, Li( x ) − π ( x ) anahtarları sonsuz sayıda işaret değiştirir.

Let π ( X ) olmak ana sayma fonksiyonu daha az asal sayısını verir ya da eşit , x , herhangi bir gerçek sayı için,  x . Örneğin, π (10) = 4, çünkü 10'dan küçük veya ona eşit dört asal sayı (2, 3, 5 ve 7) vardır. Asal sayı teoremi, x / log x'in π'ye ( x) iyi bir yaklaşım olduğunu belirtir. ) (burada log burada bu anlamda) doğal logaritma anlamına sınırı arasında bölüm iki fonksiyonları arasında π ( x ) ve x / günlük x olarak x , bağlı olmayan artışlar, 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\sol[{\frac {x}{\log(x)}}\sağ] \;}}=1,}$

asal sayıların asimptotik dağılım yasası olarak bilinir . Kullanımı notasyonu ASİMPTOTİK bu sonucu olarak yeniden ifade edilebilir

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

Bu gösterim (ve teoremi ) yok değil sınırı hakkında bir şey söylemek farkı olarak iki fonksiyonların x bağlı olmaksızın artar. Bunun yerine, teorem, x / log x'in π ( x )'e yaklaştığını belirtir, bu yaklaşımda göreceli hata , x sınırsız olarak arttıkça 0'a yaklaşır .

Asal sayı teoremi açıklamaya denk olduğunu n asal sayı inci p _n tatmin

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

asimptotik gösterim, yine, bu yaklaşımın göreli hatasının, n sınırsız olarak arttıkça 0'a yaklaştığı anlamına gelir . Örneğin,2 × 10 ^17. asal sayı8 512 677 386 048 191 063 ve (2 × 10 ¹⁷ )günlük(2 × 10 ¹⁷ ) yuvarlama7 967 418 752 291 744 388 , yaklaşık %6.4'lük bir göreli hata.

Aşağıda özetlendiği gibi , asal sayı teoremi de şuna eşdeğerdir:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x }}=1,}$

burada θ ve ψ olan birinci ve ikinci Chebyshev fonksiyonları sırasıyla.

Asal sayıların asimptotik yasasının kanıtının tarihi

Anton Felkel ve Jurij Vega'nın tablolarına dayanarak , Adrien-Marie Legendre 1797 veya 1798'de π ( a )' nın a / ( A log a + B ) işleviyle yaklaşık olduğu varsayımında bulundu ; burada A ve B belirtilmemiş sabitlerdir. Sayılar teorisi üzerine kitabının (1808) ikinci baskısında, daha sonra A = 1 ve B = -1.08366 ile daha kesin bir tahminde bulundu . Carl Friedrich Gauss , 1849'daki kendi hatırasına göre, 15 ya da 16 yaşında "1792 ya da 1793 yılında" aynı soruyu düşündü. 1838'de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , logaritmik integral li( x ) ile geldi. (Gauss'a ilettiği bir dizinin biraz farklı biçimi altında). Hem Legendre'nin hem de Dirichlet'in formülleri , yukarıda belirtilen π ( x ) ve x / log( x )' in aynı varsayımsal asimptotik eşdeğerliğini ima eder , ancak bölümler yerine farklılıklar göz önüne alındığında Dirichlet'in yaklaşımının önemli ölçüde daha iyi olduğu ortaya çıktı.

1848 ve 1850 tarihli iki makalede, Rus matematikçi Pafnuty Chebyshev , asal sayıların asimptotik dağılımını kanıtlamaya çalıştı. Çalışmaları , daha 1737 gibi erken bir tarihte Leonhard Euler'in çalışmalarında olduğu gibi, " s " argümanının gerçek değerleri için zeta fonksiyonunun ζ ( s ) kullanımı açısından dikkate değerdir. Chebyshev'in makaleleri, Riemann'ın ünlü 1859 anılarından önceye dayanmaktadır ve o başarılı olmuştur. asimptotik yasanın biraz daha zayıf bir biçimini ispatlarken, yani x olarak limit π ( x ) / ( x / log( x ) ' nin sonsuza gittiğinde var ise, o zaman zorunlu olarak bire eşittir. Yeterince büyük olan tüm x için, bu oranın 1'e yakın açıkça verilen iki sabitle yukarıda ve aşağıda sınırlı olduğunu koşulsuz olarak kanıtlayabildi . Chebyshev'in makalesi Asal Sayı Teoremini kanıtlamasa da, onun π ( x ) için tahminleri, Bertrand'ın herhangi bir n ≥ 2 tamsayı için n ile 2 n arasında bir asal sayı olduğu varsayımını kanıtlayacak kadar güçlüydü .

Asal sayıların dağılımıyla ilgili önemli bir makale, Riemann'ın 1859 tarihli “Belirli Bir Büyüklükten Daha Az Asal Sayısı Üzerine ” adlı hatırasıydı ve bu konuda yazdığı tek makaleydi . Riemann, asal sayıların dağılımının, karmaşık bir değişkenin analitik olarak genişletilmiş Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ile yakından bağlantılı olduğu konusunda, konuya yeni fikirler getirdi. Özellikle, π ( x ) gerçek fonksiyonunun incelenmesine karmaşık analiz yöntemlerini uygulama fikri bu makalede ortaya çıkmıştır. Riemann'ın fikirlerini genişleterek, asal sayıların dağılımının asimptotik yasasının iki kanıtı Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée Poussin tarafından bağımsız olarak bulundu ve aynı yıl (1896) yayınlandı. Her iki deliller kanıtı bir ana adım olarak kurulması, kompleks analiz yöntemleri kullanılır Riemann zeta fonksiyonu ζ ( ler ) değişken bir kompleks değerler için sıfır olmayan s şekilde var s = 1 + o ile t > 0 .

20. yüzyılda, Hadamard ve de la Vallée Poussin teoremi, Asal Sayı Teoremi olarak da bilinir hale geldi. Atle Selberg ve Paul Erdős'in (1949) "temel" kanıtları da dahil olmak üzere, bunun birkaç farklı kanıtı bulundu . Hadamard'ın ve de la Vallée Poussin'in orijinal kanıtları uzun ve ayrıntılıdır; sonraki ispatlar, Tauber teoremlerinin kullanımı yoluyla çeşitli basitleştirmeler getirdi, ancak sindirilmesi zor kaldı. Kısa bir ispat 1980 yılında Amerikalı matematikçi Donald J. Newman tarafından keşfedildi . Newman'ın ispatı, teoremin bilinen en basit ispatıdır, ancak Cauchy'nin integral teoremini karmaşık analizden kullanması anlamında basit değildir .

Kanıt kroki

İşte Terence Tao'nun derslerinden birinde atıfta bulunulan kanıtın bir taslağı . PNT'nin çoğu kanıtı gibi, sorunu daha az sezgisel, ancak daha iyi davranan bir asal sayma işlevi açısından yeniden formüle ederek başlar. Buradaki fikir, daha yumuşak asimptotik davranışa sahip bir fonksiyona ulaşmak için asal sayıları (veya asal güçler kümesi gibi ilgili bir kümeyi) ağırlıklarla saymaktır . Bu tür en yaygın genelleştirilmiş sayma işlevi, Chebyshev işlevi ψ ( x ) ile tanımlanır ve şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ asaldır}}}}\!\! \!\!\günlük s.}$

Bu bazen şöyle yazılır

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),}$

burada Λ ( n ) olan Von Mangoldt fonksiyonu , yani

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ bazı asal }}p{\text{ ve tamsayı }} k\geq 1,\\0&{\text{aksi halde.}}\end{durumlar}}}$

PNT'nin şu iddiaya eşdeğer olduğunu kontrol etmek artık nispeten kolaydır.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1.}$

Gerçekten de, bu kolay tahminlerden kaynaklanmaktadır.

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{p \leq x}\log x=\pi (x)\log x}$

ve herhangi bir ε > 0 için ( büyük O gösterimi kullanılarak ) ,

${\displaystyle \psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\sol(\pi (x)+O\sol(x^{1-\varepsilon }\sağ)\sağ)\log x.}$

Sonraki adım ψ ( x ) için kullanışlı bir temsil bulmaktır . Let ζ ( ler ) Riemann zeta fonksiyonu. Bu gösterilebilir ki ζ ( ler ) ile ilgilidir von Mangoldt fonksiyonu N- ( n ) ve dolayısıyla, ψ ( x ) göre cihaz aracılığıyla,

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta(s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}.}$

Bu denklemin ve zeta fonksiyonunun ilgili özelliklerinin Mellin dönüşümü ve Perron formülü kullanılarak hassas bir analizi, tamsayı olmayan x için denklemin

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )}$

tutar, toplamın zeta fonksiyonunun tüm sıfırlarının (önemsiz ve önemsiz) üzerinde olduğu yerde. Bu çarpıcı formül, sayı kuramının açık formüllerinden biridir ve x terimi ( ψ ( x )' in doğru asimptotik mertebesi olduğu iddia edilen ) sağda göründüğünden , zaten kanıtlamak istediğimiz sonucu düşündürür. -el tarafı, ardından (muhtemelen) düşük dereceli asimptotik terimler.

İspattaki bir sonraki adım, zeta fonksiyonunun sıfırlarının incelenmesini içerir. Önemsiz sıfırlar -2, -4, -6, -8, ... ayrı ayrı ele alınabilir:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left( 1-{\frac {1}{x^{2}}}\sağ),}$

hangi büyük bir x için kaybolur . Önemsiz sıfırlar, yani 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 kritik şeridindekiler , eğer Re( ρ ) = 1 ise , potansiyel olarak x ana terimiyle karşılaştırılabilir bir asimptotik düzende olabilir , bu yüzden tüm sıfırların reel olduğunu göstermemiz gerekir. bölüm kesinlikle 1'den az.

Re( s ) = 1'de kaybolmayan

Bunu yapmak için, ζ ( s )' nin Re( s ) > 0 yarım düzleminde meromorfik olduğunu ve orada s = 1'deki basit bir kutup dışında analitik olduğunu ve bir çarpım formülü olduğunu kabul ediyoruz.

${\displaystyle \zeta(lar)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

için Re ( s )> 1 . Bu çarpım formülü, tamsayıların benzersiz asal çarpanlarına ayırmanın varlığından çıkar ve ζ ( s )' nin bu bölgede asla sıfır olmadığını, böylece logaritmasının orada tanımlandığını ve

${\displaystyle \log \zeta(s)=-\sum _{p}\log \sol(1-p^{-s}\sağ)=\sum _{p,n}{\frac {p^{ -ns}}{n}}.}$

Yaz s = x + iy ; sonra

${\displaystyle {\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx) }}}\sağ).}$

Şimdi kimliği gözlemleyin

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0,}$

Böylece

${\displaystyle \left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\sağ|=\exp \left(\sum _{n,p} {\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\sağ)\geq 1}$

tüm x > 1 için . Şimdi ζ (1 + iy ) = 0 olduğunu varsayalım . Kesinlikle y sıfır değildir, çünkü ζ ( s ) s = 1'de basit bir kutba sahiptir . Diyelim ki x > 1 ve x'in yukarıdan 1'e yönelmesine izin verin . Yana basit bir kutbu vardır s = 1 ve ζ ( x + 2 Iy ) analitik kalır önceki eşitsizlik sol taraftaki 0, bir çelişki eğilimindedir. ${\görüntüleme stili \zeta(lar)}$

Son olarak, PNT'nin buluşsal olarak doğru olduğu sonucuna varabiliriz. Titizlikle aşmak için ciddi teknik bir nedeni için açık formülde zeta sıfırların üzerinden toplam gerçeğine, hala vardır kanıtı tamamlamak için ψ ( x ) kesinlikle ama sadece şartlı ve "asıl değer" anlamında yakınsama etmez. Bu sorunu aşmanın birkaç yolu vardır, ancak bunların çoğu oldukça hassas karmaşık analitik tahminler gerektirir. Edwards'ın kitabı ayrıntıları sağlar. Başka bir yöntem, Ikehara'nın Tauberian teoremini kullanmaktır , ancak bu teoremin kanıtlanması oldukça zordur. DJ Newman, asal sayı teoremi için Ikehara teoreminin tüm gücünün gerekli olmadığını ve kanıtlanması çok daha kolay olan özel bir durumla kurtulabileceğini gözlemledi.

Newman'ın asal sayı teoreminin kanıtı

DJ Newman, asal sayı teoreminin (PNT) hızlı bir kanıtını veriyor. Kanıt, karmaşık analize dayanması nedeniyle "temel değildir", ancak kritik tahmin yalnızca konuyla ilgili ilk dersten alınan temel teknikleri kullanır: Cauchy'nin integral formülü , Cauchy'nin integral teoremi ve karmaşık integrallerin tahminleri. İşte bu kanıtın kısa bir taslağı:

Birinci ve ikinci Chebyshev işlevi sırasıyla

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\quad {\text{ ve }}\quad \vartheta (x) =\toplam _{p\leq x}\log s.}$

İkinci seri, birinci serideki terimler çıkarılarak elde edilir . PNT, veya ile eşdeğerdir . ${\görüntüleme stili k\geq 2}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\psi (x)/x=1}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty}\vartheta (x)/x=1}$

Toplamları ve Dirichlet serisinin katsayılarının kısmi toplamlarıdır${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili\vartheta }$

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta(s)}}=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\ ,\,p^{-ks}\quad {\text{ ve }}\quad \quad \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s} ,}$

burada bir Riemann zeta fonksiyonu . Kısmi toplamlarda olduğu gibi, birinci serideki terimler çıkarılarak ikinci seri elde edilir . ile terimlerle oluşturulan Dirichlet serisine, herhangi bir pozitif için Dirichlet serisi hakimdir , bu nedenle logaritmik türevi ve holomorfik bir fonksiyon tarafından farklılık gösterir ve bu nedenle doğru üzerinde aynı tekilliklere sahiptir . ${\görüntüleme stili\zeta }$${\görüntüleme stili k\geq 2}$${\görüntüleme stili k\geq 2}$${\displaystyle \zeta (2s+\varepsilon )}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$${\görüntüleme stili\zeta }$${\görüntüleme stili \Phi(ler)}$${\displaystyle \Re s>{\frac {1}{2}}}$${\görüntüleme stili \Re s=1}$

Parçalara göre entegrasyon sağlar , ${\displaystyle \Re s>1}$

${\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x) x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.}$

Asal Sayı Teoreminin tüm analitik kanıtları , satırda sıfır olmaması gerçeğini kullanır . Newman'ın kanıtında ihtiyaç duyulan bir diğer bilgi parçası da sınırlı olmasıdır. Bu, temel yöntemler kullanılarak kolayca kanıtlanabilir. ${\görüntüleme stili\zeta }$${\görüntüleme stili \Re s=1}$${\görüntüleme stili \vartheta (x)/x}$

Newman'ın yöntemi, integrali göstererek PNT'yi kanıtlıyor

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\vartheta (e^{t}))}{e^{t}}}-1\sağ)\,dt. }$

yakınsar ve bu nedenle integrant olarak sıfıra gider . Genel olarak, uygunsuz integralin yakınsaması, salınım yapabileceği için integralin sıfıra gittiği anlamına gelmez, ancak arttığı için bu durumda göstermek kolaydır. ${\displaystyle t\to \infty }$${\görüntüleme stili\vartheta }$

için let ${\displaystyle \Re z>0}$

${\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}\left({\frac {\vartheta (e^{t}))}{e^{t}}}-1\sağ )e^{-zt}\,dt\quad \dört }$

sonra

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s- 1}}\quad \quad {\text{nerede}}\quad z=s-1}$

hangi hat üzerinde holomorfiktir . İntegralin yakınsaklığı şu şekilde gösterilerek ispatlanır . Bu, yazılabileceği için limitlerin sırasının değiştirilmesini içerir. ${\görüntüleme stili \Re z=0}$${\görüntüleme stili I}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty}g_{T}(0)=g(0)}$

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }\lim _{s\to 0}g_{T}(z)=\lim _{s\to 0}\lim _{T\to \infty }g_ {T}(z)}$

ve bu nedenle Tauber teoremi olarak sınıflandırılır .

Fark , Cauchy'nin integral formülü kullanılarak ifade edilir ve daha sonra integrale tahminler uygulanır. Sabit ve böyle olduğu bölgede holomorfiktir ve sınırının olmasına izin verin . 0 iç kısımda olduğundan, Cauchy'nin integral formülü şunu verir: ${\ Displaystyle g(0)-g_{T}(0)}$${\görüntüleme stili R>0}$${\görüntüleme stili \delta >0}$${\görüntüleme stili g(z)}$${\displaystyle |z|\leq R{\text{ ve }}\Re z\geq -\delta }$${\görüntüleme stili C}$

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z) \sağ){\frac {dz}{z}}.}$

İntegrant hakkında kaba bir tahmin elde etmek için, için bir üst sınır olsun , sonra için${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle \vartheta (e^{t})/{e^{t}}-1}$${\displaystyle \Re z>0}$

${\displaystyle |g(z)-g_{T}(z)|\leq B\int _{T}^{\infty }e^{-\Re (z)t}\,dt={\frac { Ol^{-\Re (z)T}}{\Re z}}.}$

Bu sınır, sonucu kanıtlamak için yeterince iyi değil, ancak Newman faktörü tanıtıyor.

${\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\sağ)}$

için integrand içine . Newman faktör yana olan tüm ve sol taraf değişmeden kalır. Şimdi birleştirmek için yukarıdaki tahmin ve tahminler vermek için ${\ Displaystyle g(0)-g_{T}(0)}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili F(0)=1}$${\displaystyle |g(z)-g_{T}(z)|}$${\görüntüleme stili F}$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{+}}\left(g(z)-g_{T}(z)\sağ)F(z) {\frac {dz}{z}}\sağ|\leq {\frac {B}{R}}.}$

yarım daire nerede . ${\ Displaystyle C_{+}}$${\displaystyle C\cap \sol\{z\,\vert \,\Re z>0\sağ\}}$

Izin kontur olmak . Fonksiyonu olan tüm uygulanarak, Cauchy integral teoremi , kontur yarıçapının bir yarım daire için değiştirilebilir entegrali değiştirmeden sol yarı düzlem içinde ve aynı argüman olarak bu entegralin mutlak değerini verir . Son olarak, kontur üzerinde sıfıra gittiği için , kontur üstü integrali sıfıra gider. Üç tahmini birleştirerek, ${\ Displaystyle C_{-}}$${\displaystyle C\cap \sol\{\Re z\leq 0\sağ\}}$${\displaystyle g_{T}}$${\ Displaystyle C_{-}}$${\görüntüleme stili R}$${\displaystyle g_{T}(z)F(z)/2\pi iz}$${\displaystyle \leq B/R}$${\ Displaystyle T\to \infty }$${\görüntüleme stili g(z)F(z)/z}$${\displaystyle C_{\delta }}$${\görüntüleme stili F}$

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}.}$

Bu herhangi bir so için geçerlidir ve PNT takip eder. ${\görüntüleme stili R}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty}g_{T}(0)=g(0)}$

Logaritmik integral açısından asal sayma işlevi

Dirichlet, Gauss'a gönderdiği 1838 tarihli " Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres " adlı makalesinin yeniden basımı üzerine el yazısıyla yazılmış bir notta, (entegralden ziyade bir diziye hitap eden biraz farklı bir biçimde) şu varsayımda bulundu: π ( x )' e daha da iyi bir yaklaşım , ofset logaritmik integral fonksiyonu Li( x ) tarafından verilir, şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \operatöradı {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatöradı {li} (x)-\operatöradı {li} ( 2).}$

Aslında, bu integral, t etrafındaki asal sayıların "yoğunluğunun" 1 / log t olması gerektiği fikrini kuvvetle ima eder . Bu fonksiyon, asimptotik açılım ile logaritma ile ilgilidir.

${\displaystyle \operatöradı {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x )^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

Dolayısıyla asal sayı teoremi π ( x ) ~ Li( x ) şeklinde de yazılabilir . Aslında, 1899 de la Vallée Poussin'deki başka bir makalede,

${\displaystyle \pi (x)=\operatöradı {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\sağ)\quad {\text{as }}x \to \infty }$

bazı olumlu sabiti için a , nerede Ç (...) olan büyük Ç notasyonu . Bu iyileştirildi

${\displaystyle \pi (x)=\operatöradı {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}) }{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\sağ)\sağ)}$nerede .${\ Displaystyle A=0.2098}$

2016'da Trudgian, ve arasındaki fark için açık bir üst sınır olduğunu kanıtladı : ${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\displaystyle \operatöradı {li} (x)}$

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatöradı {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}} \exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\sağ)}$

için . ${\displaystyle x\geq 229}$

Riemann zeta fonksiyonu ile π ( x ) arasındaki bağlantı , Riemann hipotezinin sayı teorisinde önemli bir öneme sahip olmasının bir nedenidir : eğer kurulursa, asal sayı teoreminde yer alan hatanın bugün mevcut olandan çok daha iyi bir tahminini verecektir. Daha spesifik olarak, Helge von Koch 1901'de Riemann hipotezi doğruysa, yukarıdaki ilişkideki hata teriminin geliştirilebileceğini gösterdi.

${\displaystyle \pi (x)=\operatöradı {Li} (x)+O\sol({\sqrt {x}}\log x\sağ)}$

(bu son tahmin aslında Riemann hipotezine eşdeğerdir). Büyük O gösteriminde yer alan sabit , 1976'da Lowell Schoenfeld tarafından tahmin edildi : Riemann hipotezini varsayarsak,

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatöradı {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

tümü için x ≥ 2657 . Chebyshev'in asal sayma fonksiyonu ψ için de benzer bir sınır elde etti :

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

tümü için x ≥ 73.2 . Bu ikinci sınırın, ortalama kuvvet yasasına bir varyansı ifade ettiği gösterilmiştir (tamsayılar üzerinde rastgele bir fonksiyon olarak kabul edildiğinde) ve1/F- gürültü ve ayrıca Tweedie bileşik Poisson dağılımına karşılık gelir . (Tweedie dağılımları , merkezi limit teoreminin genelleştirilmesi için yakınsama odakları olarak hizmet eden bir ölçek değişmez dağılımları ailesini temsil eder .)

Logaritmik yekpare li ( X ) daha büyük olan tt ( X ) "küçük" değerleri için x . Bunun nedeni, (bir anlamda) asal sayıları değil, asal güçleri saymasıdır, burada bir asal p'nin p ⁿ kuvveti şu şekilde sayılır.1/nbir asal. Bu, li( x )'in genellikle π ( x )' den kabaca li( √ x ) / 2 daha büyük olması gerektiğini ve özellikle her zaman π ( x )' den daha büyük olması gerektiğini gösterir . Bununla birlikte, 1914'te JE Littlewood , değişikliklerin sonsuz sıklıkta işaret ettiğini kanıtladı . Birinci değeri X burada π ( x ) aşan li ( x ) muhtemelen civarındadır x = 10 ³¹⁶ ; daha fazla ayrıntı için Skewes' numarası ile ilgili makaleye bakın. (Öte yandan, ofset logaritmik integrali Li( x ) , x = 2 için zaten π ( x )' den daha küçüktür ; aslında, Li(2) = 0 , π (2) = 1 iken .) ${\displaystyle \pi (x)-\operatöradı {li} (x)}$

Temel kanıtlar

Yirminci yüzyılın ilk yarısında, bazı matematikçiler (özellikle GH Hardy ), bir ispatın ne tür sayılar ( tamsayılar , gerçekler , kompleksler ) gerektirdiğine bağlı olarak matematikte bir ispat yöntemleri hiyerarşisi olduğuna ve asal sayı teoreminin olduğuna inanıyorlardı. (PNT), karmaşık analiz gerektirmesi nedeniyle "derin" bir teoremdir . Bu inanç, Wiener'in tauber teoremine dayanan PNT kanıtıyla biraz sarsıldı , ancak Wiener teoreminin karmaşık değişken yöntemlerininkine eşdeğer bir "derinliğe" sahip olduğu kabul edilirse bu bir kenara bırakılabilirdi.

Mart 1948'de Atle Selberg , "temel" yollarla asimptotik formülü kurdu.

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \sol({\frac {x}{p}}\sağ) )=2x\log(x)+O(x)}$

nerede

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

asal sayılar için p . O yılın Temmuz ayına kadar, Selberg ve Paul Erdős , her ikisi de başlangıç ​​noktası olarak Selberg'in asimptotik formülünü kullanarak, PNT'nin temel kanıtlarını elde etmişti. Bu kanıtlar, PNT'nin bu anlamda "derin" olduğu fikrini etkili bir şekilde destekledi ve teknik olarak "temel" yöntemlerin, durumun sanıldığından daha güçlü olduğunu gösterdi. Erdős-Selberg öncelik anlaşmazlığı da dahil olmak üzere PNT'nin temel kanıtlarının tarihi hakkında Dorian Goldfeld'in bir makalesine bakın .

Erdős ve Selberg'in sonucunun önemi hakkında bazı tartışmalar var. Sayı teorisinde temel kanıt kavramının kesin ve yaygın olarak kabul edilen bir tanımı yoktur , bu nedenle kanıtlarının ne anlamda "temel" olduğu tam olarak açık değildir. Karmaşık analiz kullanmasa da, aslında PNT'nin standart kanıtından çok daha tekniktir. Bir "temel" kanıtın olası bir tanımı, "birinci dereceden Peano aritmetiğinde gerçekleştirilebilen bir kanıttır" . İkinci mertebeden yöntemlerle ispatlanabilen ancak birinci mertebeden yöntemlerle kanıtlanamayan sayı teorik ifadeleri (örneğin, Paris-Harrington teoremi ) vardır , ancak bu tür teoremler bugüne kadar nadirdir. Erdős ve Selberg'in kanıtı kesinlikle Peano aritmetiğinde resmileştirilebilir ve 1994'te Charalambos Cornaros ve Costas Dimitracopoulos, kanıtlarının PA'nın çok zayıf bir parçasında, yani I Δ ₀ + exp'de resmileştirilebileceğini kanıtladılar . Ancak bu, PNT'nin standart kanıtının PA'da resmileştirilip biçimlendirilemeyeceği sorusunu ele almıyor.

Bilgisayar doğrulamaları

2005 yılında Avigad ve ark. PNT'nin Erdős-Selberg kanıtının bilgisayar tarafından doğrulanmış bir varyantını tasarlamak için Isabelle teoremi ispatını kullandı. Bu, PNT'nin makine tarafından doğrulanmış ilk kanıtıydı. Avigad, analitik bir kanıttan ziyade Erdős-Selberg kanıtını resmileştirmeyi seçti, çünkü o sırada Isabelle'in kütüphanesi limit, türev ve aşkın fonksiyon kavramlarını uygulayabilirken, konuşacak neredeyse hiçbir entegrasyon teorisine sahip değildi.

2009 yılında, John Harrison istihdam HOL Işık kullanan bir kanıt resmileştirmek karmaşık analiz . Harrison, Cauchy integral formülü de dahil olmak üzere gerekli analitik makineyi geliştirerek, "daha ilgili 'temel' Erdős-Selberg argümanı yerine doğrudan, modern ve zarif bir kanıtı" resmileştirebildi.

Aritmetik ilerlemeler için asal sayı teoremi

Let π _{d , bir} ( X ) içinde asal sayısını göstermek aritmetik ilerlemesi a , bir + d , bir + 2 d , bir + 3 d , ... az olan x . Dirichlet ve Legendre varsayımda bulundular ve de la Vallée Poussin kanıtladı, eğer a ve d aralarında asal ise , o zaman

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (d)}}\operatöradı {Li} (x),}$

burada φ , Euler'in totient işlevidir . Başka bir deyişle, asal değerler , gcd( a , d ) = 1 ile [ a ] modulo d kalıntı sınıfları arasında eşit olarak dağıtılır . Bu, aritmetik ilerlemeler üzerine Dirichlet teoreminden daha güçlüdür (yalnızca her birinde sonsuz sayıda asal sayı olduğunu belirtir). sınıfı) ve Newman tarafından asal sayı teoreminin kanıtı için kullanılan benzer yöntemler kullanılarak kanıtlanabilir.

Siegel Walfisz teoremi Tortu sınıflarında asal dağıtımı için iyi bir tahminini verir.

Bennett ve ark. açık sabitleri, aşağıdaki tahmin kanıtlamış bir ve B Let: (teoremi 1.3) d bir tam sayı ve izin bir için göreceli asal olan bir tam sayı olması , d . O zaman pozitif A ve B sabitleri vardır, öyle ki ${\görüntüleme stili \geq 3}$

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\operatör adı {Li} (x)}{\varphi (d)}}\sağ|<A{\frac {x} {(\log x)^{2}}}}$hepsi için ,${\görüntüleme stili x\geq B}$

nerede

${\displaystyle A={\frac {1}{840}}}$eğer ve eğer ,${\displaystyle 3\leq d\leq 10^{4}}$${\displaystyle A={\frac {1}{160}}}$${\görüntüleme stili d>10^{4}}$

ve

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}}$eğer ve eğer .${\displaystyle 3\leq d\leq 10^{5}}$${\displaystyle B=\exp(0.03{\sqrt {d}}(\log {d})^{3})}$${\görüntüleme stili d>10^{5}}$

asal sayı yarışı

bilhassa sahip olmamıza rağmen

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x),}$

ampirik olarak 3 ile uyumlu asal sayıların sayısı daha fazladır ve bu "asal sayı yarışında" neredeyse her zaman öndedir; ilk ters çevirme x = 26861'de gerçekleşir . Ancak Littlewood 1914'te fonksiyon için sonsuz sayıda işaret değişikliği olduğunu gösterdi.

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x),}$

bu yüzden yarıştaki liderlik sonsuz kez ileri geri değişiyor. π _4,3 ( x )' in çoğu zaman önde olduğu fenomeni Chebyshev'in yanlılığı olarak adlandırılır . Asal sayı yarışı, diğer modüllere genellenir ve çok araştırma konusudur; Pál Turán , π ( x ; a , c ) ve π ( x ; b , c )' nin a ve b'nin c ile aralarında asal olduğu durumlarda her zaman yer değiştirip değiştirmediğini sordu . Granville ve Martin kapsamlı bir açıklama ve anket sunuyor.

Asal sayma işlevinde asimptotik olmayan sınırlar

Asal sayı teoremi asimptotik bir sonuçtur. Bir veren etkisiz üzerine bağlanmış π ( x ) sınır tanımının doğrudan bir sonucu olarak: tüm £ değerinin > 0 , bir olduğu S olduğu için bu tür tüm x > S ,

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}.}$

Bununla birlikte, daha iyi sınırlar tt ( X ) , örneğin, bilinmekte Pierre Dusart 's

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\sağ)<\pi (x)<{\frac {x}{\ log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\sağ).}$

İlk eşitsizlik tüm x ≥ 599 ve ikincisi x ≥ 355991 için geçerlidir .

Daha zayıf, ancak bazen yararlı giden x ≥ 55 IS

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-4}}.}$

Pierre Dusart'ın tezinde bu tür eşitsizliğin daha büyük x için geçerli olan daha güçlü versiyonları vardır . Daha sonra 2010'da Dusart şunu kanıtladı:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}&<\pi (x)&&{\text{için }}x\geq 5393,{\text{ ve}} \\\pi (x)&<{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{için }}x\geq 60184.\end{hizalı}}}$

De la Vallée Poussin'in kanıtı aşağıdakileri ima eder. Her ε > 0 için , öyle bir S vardır ki, tüm x > S için ,

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}.}$

İçin Yaklaşımlar n asal sayı inci

Asal sayı teoremi bir sonucu olarak, bir için bir asimptotik ifade alır n ile temsil edilen asal sayı inci, p _{, n} :

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$

Daha iyi bir yaklaşım

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\sağ).}$

Yine göz önüne alındığında 2 × 10 ^17. asal sayı8 512 677 386 048 191 063 , bu bir tahmin verir .8 512 681 315 554 715 386 ; ilk 5 basamak eşleşiyor ve göreli hata yaklaşık %0,0005'tir.

Rosser teoremi şunu belirtir:

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Bu, aşağıdaki sınır çifti ile geliştirilebilir:

${\displaystyle \log n+\log \log n-1<{\frac {p_{n}}{n}}<\log n+\log \log n\quad {\text{for }}n\geq 6 için. }$

π ( x ) , x / log x ve li( x ) tablosu

Tablo, π ( x )' in kesin değerlerini x / log x ve li( x ) iki yaklaşıklığıyla karşılaştırır . Son sütun, x / π ( x ) , x'in altındaki  ortalama asal boşluktur .

x	π ( x )	π ( x ) -x/x'i günlüğe kaydet	π ( x )/x / günlük x	li( x ) − π ( x )	x/π ( x )
10	4	-0,3	0.921	2.2	2.500
10 2	25	3.3	1.151	5.1	4.000
10 3	168	23.0	1.161	10.0	5.952
10 4	1 229	143.0	1.132	17.0	8.137
10 5	9 592	906.0	1.104	38.0	10.425
10 6	78 498	6 116.0	1.084	130.0	12.740
10 7	664 579	44 158.0	1.071	339.0	15.047
10 8	5 761 455	332 774.0	1.061	754.0	17.357
10 9	50 847 534	2 592 592.0	1.054	1 701.0	19.667
10 10	455 052 511	20 758 029.0	1.048	3 104.0	21.975
10 11	4 118 054 813	169 923 159.0	1.043	11 588.0	24.283
10 12	37 607 912 018	1 416 705 193.0	1.039	38 263.0	26.590
10 13	346 065 536 839	11 992 858 452.0	1.034	108 971.0	28.896
10 14	3 204 941 750 802	102 838 308 636.0	1.033	314 890.0	31.202
10 15	29 844 570 422 669	891 604 962 452.0	1.031	1 052 619.0	33.507
10 16	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393.0	1.029	3 214 632.0	35.812
10 17	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281.0	1.027	7 956 589.0	38.116
10 18	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536.0	1.025	21 949 555.0	40.420
10 19	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960.0	1.024	99 877 775.0	42.725
10 20	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701.0	1.023	222 744 644.0	45.028
10 21	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707.0	1.022	597 394 254.0	47.332
10 22	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994.0	1.021	1 932 355 208.0	49.636
10 23	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309.0	1.020	7 250 186 216.0	51.939
10 24	18 435 599 767 349 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069.0	1.019	17 146 907 278.0	54.243
10 25	176 846 309 399 143 769 411 680	3 128 516 637 843 038 351 228.0	1.018	55 160 980 939.0	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

Değeri tt (10 ²⁴ ) ilk olarak farz edildi Riemann hipotezi ; o zamandan beri koşulsuz olarak doğrulandı.

Sonlu bir alan üzerinde indirgenemez polinomlar için analog

Sonlu bir alan üzerinde indirgenemez polinomların "dağılımını" tanımlayan asal sayı teoreminin bir benzeri vardır ; aldığı biçim, klasik asal sayı teoremi örneğine çarpıcı biçimde benzer.

Kesin olarak ifade etmek gerekirse, bazı sabit q için q elemanlı sonlu alan F = GF( q ) olsun ve N _n , derecesi n'ye eşit olan F üzerindeki monik indirgenemez polinomların sayısı olsun . Yani, daha küçük dereceli polinomların çarpımı olarak yazılamayan, F'den seçilen katsayılı polinomlara bakıyoruz . Bu ortamda, bu polinomlar asal sayıların rolünü oynar, çünkü diğer tüm monik polinomlar onların ürünlerinden oluşur. O zaman bunu kanıtlayabilir

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

x = q ⁿ ikamesini yaparsak , sağ taraf sadece

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

bu da analojiyi daha net hale getiriyor. Tam olduğu için q ^{, n} derecesi mghorta polinomlar n (indirgenebilir da dahil olmak üzere), aşağıdaki gibi, bu rephrased edilebilir: derecesinin mghorta polinom eğer n rasgele seçildiğinde, indirgenemez olma olasılığı ile ilgilidir 1/n.

Hatta Riemann hipotezinin bir benzerini ispatlayabiliriz, yani

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\sağ ).}$

Bu ifadelerin ispatları klasik durumda olduğundan çok daha basittir. Aşağıdaki gibi özetlenen kısa, kombinatoryal bir argüman içerir : F'nin n derece uzantısının her elemanı, d derecesi n'yi bölen bir indirgenemez polinomun köküdür ; bu kökleri iki farklı şekilde sayarak,

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

toplamı üzerinden burada tüm bölenler d arasında n . Möbius inversiyonu sonra verir

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \sol({\frac {n}{d}}\sağ)q^{d} ,}$

nerede μ ( k ) olan Möbius fonksiyonu . (Bu formül Gauss tarafından biliniyordu.) Ana terim d = n için geçerlidir ve kalan terimleri bağlamak zor değildir. "Riemann hipotezi" ifadesi büyük olmasına bağlıdır düzgün bölen bir n daha büyük olamazn/2.

Ayrıca bakınız

• Teoremin genellemeleri hakkında bilgi için soyut analitik sayı teorisi .
• Cebirsel sayı alanlarında asal ideallere genelleme için Landau asal ideal teoremi .
• Riemann hipotezi

Notlar

Referanslar

• Hardy, GH; Littlewood, JE (1916). "Riemann Zeta Fonksiyonu Teorisine ve Asalların Dağılımı Teorisine Katkılar" . Acta Mathematica . 41 : 119–196. doi : 10.1007/BF02422942 . S2CID  53405990 .
• Granville, Andrew (1995). "Harald Cramer ve asal sayıların dağılımı" (PDF) . İskandinav Aktüerya Dergisi . 1 : 12–28. CiteSeerX  10.1.1.129.6847 . doi : 10.1080/03461238.1995.10413946 .

Dış bağlantılar

• "Asal sayıların dağılımı" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Anton Felkel'in Asal Sayılar Tablosu .
• Asal Sayı Teoremini görselleştiren kısa video .
• Başbakan formüller ve Asal sayı teoremi de MathWorld .
• Kaç Asal Var? ve The Gaps arasındaki Primes by Chris Caldwell, Tennessee Üniversitesi, Martin .
• Tomás Oliveira e Silva'nın hazırladığı asal sayma fonksiyonlarının tabloları