cebirsel sayı - Algebraic number
Bir cebirsel sayı herhangi bir karmaşık sayı (dahil gerçek sayılar a,) , kök olmayan bir sıfır polinom ile bir değişkende (olduğunu, polinom neden olan bir değeri 0 eşit) rasyonel katsayıları (ya da eşdeğer şekilde, ile temizleme payda , ile tamsayıdır ) katsayıları.
Tüm tamsayılar ve rasyonel sayılar , tamsayıların tüm kökleri gibi cebirseldir . π ve e gibi cebirsel olmayan gerçek ve karmaşık sayılara aşkın sayılar denir .
Grubu karmaşık sayılar olduğu sayılamaz , ancak cebirsel sayı dizisidir sayılabilir sahiptir ve ölçü sıfır olarak Lebesgue ölçümü bir şekilde alt- kompleks sayı. Bu anlamda, neredeyse tüm karmaşık sayılar aşkındır .
Örnekler
- Tüm rasyonel sayılar cebirseldir. Bir bölümü olarak ifade edilen herhangi bir rasyonel sayı, tam sayı a ve (sıfır olmayan) bir doğal sayı , b , tatmin Yukarıdaki tanım için X = a/Bsıfır olmayan bir polinomun köküdür, yani bx − a .
- a , b ve c ) tamsayı katsayılarına sahip ikinci dereceden bir polinom ax 2 + bx + c'nin ikinci dereceden irrasyonel sayıları cebirsel sayılardır. İkinci dereceden polinom monik ise ( a = 1 ), kökler ayrıca ikinci dereceden tam sayılar olarak nitelenir .
- Bir cetvel ve pergel kullanılarak belirli bir birim uzunluktan yapılandırılabilir bir sayı oluşturulabilir. Tüm ikinci dereceden irrasyonel kökleri, tüm rasyonel sayıları ve bunlardan temel aritmetik işlemler ve karekök çıkarma işlemleri kullanılarak oluşturulabilen tüm sayıları içerir . (1, −1, i ve − i için ana yönler belirlenerek , gibi karmaşık sayılar oluşturulabilir olarak kabul edilir.)
- Dört işlem ve ekstraksiyon herhangi bir kombinasyonunu kullanarak cebirsel numaralardan oluşan herhangi bir ifade , n inci kökleri bir cebirsel sayısını verir.
- Dört işlem açısından ve ekstraksiyonu ifade edilemez Polinom kökleri , n (örneğin kökleri gibi inci kökleri x 5 - x + 1 ). Bu , 5 veya daha yüksek dereceli polinomların tamamında olmasa da çoğunda olur .
- Gauss tamsayılar , karmaşık sayılar bir + bi her ikisi için bir ve b tam sayılardır, ayrıca kuadratik tamsayı.
- Değerleri trigonometrik fonksiyonlar arasında rasyonel katları tt (zaman tanımsız hariç): olduğuna, trigonometrik sayılar gibi cosπ/7, çünkü3 π/7, çünkü5 π/78 x 3 − 4 x 2 − 4 x + 1 = 0'ı karşılar . Polinom rasyoneller üzerinde indirgenemez ve bu nedenle üç kosinüs eşlenik cebirsel sayılardır. Aynı şekilde bronz3 π/16, bronzluk7 π/16, bronzluk11 π/16, bronzluk15 π/16indirgenemez polinom x 4 − 4 x 3 − 6 x 2 + 4 x + 1 = 0'ı sağlar ve eşlenik cebirsel tamsayılar da öyledir .
- İrrasyonel sayıların tümü olmasa da bazıları cebirseldir:
- ve sayıları , sırasıyla x 2 − 2 ve 8 x 3 − 3 polinomlarının kökleri oldukları için cebirseldir .
- Altın oran φ bu polinom bir kök olduğu cebirseldir x 2 - X - 1 .
- Sayılar tt ve e cebirsel sayılar (bkz olmayan Lindemann-Weierstrass teoremi ).
Özellikler
- Bir cebirsel sayı verildiğinde , sayının kökü olan en küçük dereceli (rasyonel katsayıları olan) benzersiz bir monik polinom vardır. Bu polinom, minimal polinomu olarak adlandırılır . Minimum polinomunun derecesi n ise , cebirsel sayının n derecesinde olduğu söylenir . Örneğin, tüm rasyonel sayıların derecesi 1'dir ve derece 2'nin cebirsel sayısı ikinci dereceden bir irrasyoneldir .
- Gerçek cebirsel sayılar reellerde yoğundur , doğrusal olarak sıralanır ve ilk veya son eleman içermez (ve dolayısıyla rasyonel sayılar kümesine sıralı izomorfiktir ).
- Cebirsel sayılar kümesi sayılabilir (sayılanabilir) ve bu nedenle karmaşık sayıların bir alt kümesi olarak Lebesgue ölçüsü 0'dır (esas olarak, cebirsel sayılar karmaşık sayılarda yer kaplamaz). Yani, "neredeyse tüm" gerçek ve karmaşık sayılar aşkındır.
- Tüm cebirsel sayılar hesaplanabilir ve bu nedenle tanımlanabilir ve aritmetiktir .
- Gerçek numaraları için bir ve b , karmaşık sayının bir + bi cebirsel ise hem yalnızca bir ve b cebirsel bulunmaktadır.
Alan
İki cebirsel sayının toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü (payda sıfır değilse) yine cebirseldir, sonuç kullanılarak gösterilebilir ve cebirsel sayılar bu nedenle bir alan oluşturur (bazen ile gösterilir , ancak genellikle adele'yi gösterir). yüzük ). Katsayıları cebirsel sayılar olan bir polinom denkleminin her kökü yine cebirseldir. Bu, cebirsel sayılar alanının cebirsel olarak kapalı olduğunu söyleyerek yeniden ifade edilebilir . Aslında, rasyonelleri içeren en küçük cebirsel olarak kapalı alandır ve bu nedenle rasyonellerin cebirsel kapanışı olarak adlandırılır .
Gerçek cebirsel sayılar kümesinin kendisi bir alan oluşturur.
İlgili alanlar
Radikallerle tanımlanan sayılar
Bir tam sayılarla elde edilebilir tüm sayılar sonlu karmaşık sayısı eklemeler , çok çıkarma , çarpma , bölümler ve alma N inci kökleri , n pozitif bir tamsayıdır (olup köklü ifadeler ), cebirsel bulunmaktadır. Ancak bunun tersi doğru değildir: bu şekilde elde edilemeyen cebirsel sayılar vardır. Bu sayılar, Galois teorisinin bir sonucu olarak, derece 5 veya daha yüksek polinomların kökleridir (bkz. Quintic denklemleri ve Abel-Ruffini teoremi ). Örneğin, denklem:
tarafından verilen benzersiz bir gerçek kökü vardır:
nerede
olduğu genel hipergeometrik fonksiyonu .
Kapalı form numarası
Cebirsel sayılar, rasyonel sayılardan başlayarak, polinomlar cinsinden açık veya örtük olarak tanımlanabilen tüm sayılardır. Bunu, çeşitli şekillerde tanımlanabilecek " kapalı biçimli sayılar " olarak genelleyebiliriz . En genel olarak, polinomlar, üsteller ve logaritmalar açısından açık veya örtük olarak tanımlanabilen tüm sayılara " temel sayılar " denir ve bunlara cebirsel sayılar ve bazı aşkın sayılar dahildir. En dar anlamıyla, polinomlar, üsteller ve logaritmalar açısından açıkça tanımlanmış sayılar düşünülebilir - bu, tüm cebirsel sayıları içermez, ancak e veya ln 2 gibi bazı basit aşkın sayıları içerir .
cebirsel tam sayılar
Bir cebirsel tamsayı katsayısı 1 (lider tamsayı katsayılı bir polinom bir kökü olan bir cebirsel sayıdır mghorta polinom ). Cebirsel tamsayı örnekleri, ve Bu yüzden, cebirsel tamsayılar uygun bir teşkil üst kümesini bir tamsayı ikinci mghorta polinomların kökleri gibi, x - k tüm k ∈ . Bu anlamda, rasyonel sayılar için tam sayılar ne ise cebirsel sayılar için cebirsel tam sayılar odur .
Cebirsel tam sayıların toplamı, farkı ve çarpımı yine cebirsel tam sayılardır, bu da cebirsel tam sayıların bir halka oluşturduğu anlamına gelir . Cebirsel tamsayı adı, cebirsel tamsayılar olan tek rasyonel sayıların tamsayılar olması gerçeğinden ve herhangi bir sayı alanındaki cebirsel tamsayıların birçok yönden tamsayılara benzemesinden gelir. Eğer K bir sayı alanı ise, kendi tamsayılar halka cebirsel tamsayılar alt halka olan K , ve sık sık olarak gösterilir O K . Bunlar Dedekind etki alanlarının prototipik örnekleridir .
Özel sınıflar
- cebirsel çözüm
- Gauss tamsayı
- Eisenstein tamsayı
- ikinci dereceden irrasyonel sayı
- temel birim
- birliğin kökü
- Gauss dönemi
- Pisot-Vijayaraghavan numarası
- Salem numarası
Notlar
Referanslar
- Artin, Michael (1991), Cebir , Prentice Hall , ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886
- Hardy, GH ve Wright, EM 1978, 2000 (genel indeksli) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition , Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
- İrlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Modern Sayı Teorisine Klasik Giriş , Matematikte Lisansüstü Metinler, 84 (İkinci baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN'si 0-387-97329-X, MR 1070716
- Lang, Serge (2002), Cebir , Matematikte Lisansüstü Metinler , 211 (Gözden geçirilmiş üçüncü baskı), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Niven, Ivan 1956. İrrasyonel Sayılar , Carus Matematiksel Monograf no. 11, Amerika Matematik Derneği .
- Cevher, Øystein 1948, 1988, Sayı Teorisi ve Tarihi , Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)