Aritmetik ilerleme - Arithmetic progression

Bir aritmetik ilerlemesi veya aritmetik dizi a, dizi bir sayı ardışık açısından arasındaki fark sabit olacak şekilde yerleştirilmiştir. Örneğin, 5, 7, 9, 11, 13, 15, dizisi. . . ortak farkı 2 olan aritmetik bir ilerlemedir.

Bir aritmetik ilerlemesinin ilk dönem ise ve ardışık elemanlarının ortak fark, d , o zaman n dizisinin inci dönem ( ) ile verilmektedir:

,

ve genel olarak

.

Bir aritmetik bir sonlu kısmı olarak adlandırılan sonlu aritmetik ilerlemesi ve bazen sadece bir aritmetik ilerlemesi olarak adlandırılır. Toplamı sonlu aritmetik bir adlandırılır aritmetik serisi .

toplam

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40

16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

2 + 5 + 8 + 11 + 14 toplamının hesaplanması. Dizi ters çevrildiğinde ve terim terim kendisine eklendiğinde, elde edilen dizi, ilk ve son sayıların toplamına eşit olan tek bir tekrarlanan değere sahiptir (2 + 14 = 16). Böylece 16 × 5 = 80 toplamın iki katıdır.

Toplamı sonlu aritmetik ilerleme üyelerinin bir denir aritmetik dizi . Örneğin, toplamı düşünün:

Bu miktar, sayı alarak hızlı bir şekilde bulunabilir n terimleri (burada 2 + 14 = 16) ilerlemesi ilk ve son sayının toplamı ile çarpılması ve 2 ile bölünmesi, (burada 5) ilave edilir:

Yukarıdaki durumda, bu denklemi verir:

Bu formül herhangi bir gerçek sayı için çalışır ve . Örneğin:

türetme

1+2+...+n ilk tamsayılarının toplamını veren formülün animasyonlu kanıtı.

Yukarıdaki formülü elde etmek için, aritmetik seriyi iki farklı şekilde ifade ederek başlayın:

İki denklemin her iki tarafını toplayarak, d'yi içeren tüm terimler iptal edilir:

Her iki tarafı 2'ye bölmek, denklemin ortak bir formunu üretir:

Alternatif bir form, ikamenin yeniden eklenmesinden kaynaklanır: :

Ayrıca, serinin ortalama değeri şu şekilde hesaplanabilir: :

Formül, ayrık bir düzgün dağılımın ortalamasına çok benzer .

Ürün

Ürün , bir başlangıç elemanı ile, sonlu bir aritmetik üyelerinin bir 1 , ortak farklılıklar d ve n toplam olarak elemanlar kapalı bir ifadede belirlenir

nerede Gamma işlevini belirtir . Negatif veya sıfır olduğunda formül geçerli değildir .

Bu, ilerlemenin ürününün faktöriyel tarafından verildiği gerçeğinden bir genellemedir ve çarpım

için pozitif tamsayılar ve verilir

türetme

burada belirtmektedir yükselen faktöriyel .

Karmaşık bir sayı için geçerli olan yineleme formülüyle ,

,
,

Böylece

için bir pozitif tamsayı ve pozitif bir karmaşık sayı.

Böylece, eğer ,

,

ve sonunda,

Örnekler

örnek 1

Örnek olarak, 50. terime kadar verilen aritmetik ilerleme terimlerinin çarpımıdır.

Örnek 2

İlk 10 tek sayının çarpımı şu şekilde verilir:

= 654.729.075

Standart sapma

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin standart sapması şu şekilde hesaplanabilir:

ilerlemedeki terim sayısı nerede ve terimler arasındaki ortak farktır. Formül, ayrık bir düzgün dağılımın standart sapmasına çok benzer .

kavşaklar

Kesişme herhangi iki çift sonsuz aritmetik ilerlemeler ya boş veya kullanılarak bulunabilir bir aritmetik ilerlemesi, bir Çin kalan teoremi . Çift sonsuz aritmetik dizilerden oluşan bir ailedeki her dizi dizisinin boş olmayan bir kesişimi varsa, hepsinde ortak bir sayı vardır; yani sonsuz aritmetik diziler bir Helly ailesi oluşturur . Bununla birlikte, sonsuz sayıda sonsuz aritmetik ilerlemenin kesişimi, kendisi sonsuz bir ilerleme olmaktan ziyade tek bir sayı olabilir.

Tarih

Güvenilirliği belirsiz bir anekdota göre , ilkokuldaki genç Carl Friedrich Gauss , 1'den 100'e kadar olan tam sayıların toplamını çarparak hesaplamak için bu yöntemi yeniden icat etti. n/2her çiftin değerlerine göre toplamdaki sayı çiftleri n + 1 . Bununla birlikte, bu hikayenin gerçeği ne olursa olsun, Gauss bu formülü keşfeden ilk kişi değildi ve bazıları kökeninin MÖ 5. yüzyılda Pisagorculara kadar uzandığını düşünüyor . Antik çağda Arşimet , Hypsicles ve Diophantus için benzer kurallar biliniyordu ; Çin'de Zhang Qiujian'a ; Hindistan'da Aryabhata , Brahmagupta ve Bhaskara II'ye ; ve ortaçağ Avrupa'sında Alcuin , Dicuil , Fibonacci , Sacrobosco ve Tosafistler olarak bilinen Talmud'un anonim yorumcularına kadar .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar