Ardışık sayılar arasında sabit farkları olan sayılar dizisi
Bir aritmetik ilerlemesi veya aritmetik dizi a, dizi bir sayı ardışık açısından arasındaki fark sabit olacak şekilde yerleştirilmiştir. Örneğin, 5, 7, 9, 11, 13, 15, dizisi. . . ortak farkı 2 olan aritmetik bir ilerlemedir.
Bir aritmetik ilerlemesinin ilk dönem ise ve ardışık elemanlarının ortak fark, d , o zaman n dizisinin inci dönem ( ) ile verilmektedir:
-
,
ve genel olarak
-
.
Bir aritmetik bir sonlu kısmı olarak adlandırılan sonlu aritmetik ilerlemesi ve bazen sadece bir aritmetik ilerlemesi olarak adlandırılır. Toplamı sonlu aritmetik bir adlandırılır aritmetik serisi .
toplam
2 |
+ |
5 |
+ |
8 |
+ |
11 |
+ |
14 |
= |
40
|
14 |
+ |
11 |
+ |
8 |
+ |
5 |
+ |
2 |
= |
40
|
|
16 |
+ |
16 |
+ |
16 |
+ |
16 |
+ |
16 |
= |
80
|
2 + 5 + 8 + 11 + 14 toplamının hesaplanması. Dizi ters çevrildiğinde ve terim terim kendisine eklendiğinde, elde edilen dizi, ilk ve son sayıların toplamına eşit olan tek bir tekrarlanan değere sahiptir (2 + 14 = 16). Böylece 16 × 5 = 80 toplamın iki katıdır.
Toplamı sonlu aritmetik ilerleme üyelerinin bir denir aritmetik dizi . Örneğin, toplamı düşünün:
Bu miktar, sayı alarak hızlı bir şekilde bulunabilir n terimleri (burada 2 + 14 = 16) ilerlemesi ilk ve son sayının toplamı ile çarpılması ve 2 ile bölünmesi, (burada 5) ilave edilir:
Yukarıdaki durumda, bu denklemi verir:
Bu formül herhangi bir gerçek sayı için çalışır ve . Örneğin:
türetme
1+2+...+n ilk tamsayılarının toplamını veren formülün animasyonlu kanıtı.
Yukarıdaki formülü elde etmek için, aritmetik seriyi iki farklı şekilde ifade ederek başlayın:
İki denklemin her iki tarafını toplayarak, d'yi içeren tüm terimler iptal edilir:
Her iki tarafı 2'ye bölmek, denklemin ortak bir formunu üretir:
Alternatif bir form, ikamenin yeniden eklenmesinden kaynaklanır: :
Ayrıca, serinin ortalama değeri şu şekilde hesaplanabilir: :
Formül, ayrık bir düzgün dağılımın ortalamasına çok benzer .
Ürün
Ürün , bir başlangıç elemanı ile, sonlu bir aritmetik üyelerinin bir 1 , ortak farklılıklar d ve n toplam olarak elemanlar kapalı bir ifadede belirlenir
nerede Gamma işlevini belirtir . Negatif veya sıfır olduğunda formül geçerli değildir .
Bu, ilerlemenin ürününün faktöriyel tarafından verildiği gerçeğinden bir genellemedir ve çarpım
için pozitif tamsayılar ve verilir
türetme
burada belirtmektedir yükselen faktöriyel .
Karmaşık bir sayı için geçerli olan yineleme formülüyle ,
-
,
-
,
Böylece
için bir pozitif tamsayı ve pozitif bir karmaşık sayı.
Böylece, eğer ,
-
,
ve sonunda,
Örnekler
- örnek 1
Örnek olarak, 50. terime kadar verilen aritmetik ilerleme terimlerinin çarpımıdır.
- Örnek 2
İlk 10 tek sayının çarpımı şu şekilde verilir:
-
= 654.729.075
Standart sapma
Herhangi bir aritmetik ilerlemenin standart sapması şu şekilde hesaplanabilir:
ilerlemedeki terim sayısı nerede ve terimler arasındaki
ortak farktır. Formül, ayrık bir düzgün dağılımın standart sapmasına çok benzer .
kavşaklar
Kesişme herhangi iki çift sonsuz aritmetik ilerlemeler ya boş veya kullanılarak bulunabilir bir aritmetik ilerlemesi, bir Çin kalan teoremi . Çift sonsuz aritmetik dizilerden oluşan bir ailedeki her dizi dizisinin boş olmayan bir kesişimi varsa, hepsinde ortak bir sayı vardır; yani sonsuz aritmetik diziler bir Helly ailesi oluşturur . Bununla birlikte, sonsuz sayıda sonsuz aritmetik ilerlemenin kesişimi, kendisi sonsuz bir ilerleme olmaktan ziyade tek bir sayı olabilir.
Tarih
Güvenilirliği belirsiz bir anekdota göre , ilkokuldaki genç Carl Friedrich Gauss , 1'den 100'e kadar olan tam sayıların toplamını çarparak hesaplamak için bu yöntemi yeniden icat etti.
n/2her çiftin değerlerine göre toplamdaki sayı çiftleri n + 1 . Bununla birlikte, bu hikayenin gerçeği ne olursa olsun, Gauss bu formülü keşfeden ilk kişi değildi ve bazıları kökeninin MÖ 5. yüzyılda Pisagorculara kadar uzandığını düşünüyor . Antik çağda Arşimet , Hypsicles ve Diophantus için benzer kurallar biliniyordu ; Çin'de Zhang Qiujian'a ; Hindistan'da Aryabhata , Brahmagupta ve Bhaskara II'ye ; ve ortaçağ Avrupa'sında Alcuin , Dicuil , Fibonacci , Sacrobosco
ve Tosafistler olarak bilinen Talmud'un anonim yorumcularına kadar .
Ayrıca bakınız
Referanslar
Dış bağlantılar