Foster'ın reaktans teoremi - Foster's reactance theorem

Foster'ın reaktans teoremi , elektrik şebekesi analizi ve sentezi alanlarında önemli bir teoremdir . Teorem , pasif, kayıpsız iki terminalli ( tek portlu ) bir ağın reaktansının her zaman kesinlikle monoton bir şekilde frekansla arttığını belirtir . İndüktörlerin ve kapasitörlerin reaktanslarının frekansla ayrı ayrı arttığı kolayca görülür ve bu temelde pasif kayıpsız ağlar için bir kanıt oluşturulabilir. Teoremin kanıtı , ilke daha önce Foster'ın American Telephone & Telegraph'taki meslektaşları tarafından yayınlanmış olmasına rağmen, 1924'te Ronald Martin Foster tarafından sunuldu .

Teoremi kadar uzatılabilir , başvurular ve kuşatıcı bir kavram immittances . Foster teoreminin bir sonucu , reaktansın sıfırlarının ve kutuplarının frekansla değişmesi gerektiğidir. Foster, bu ağları gerçekleştirmek için iki kanonik form geliştirmek için bu özelliği kullandı . Foster'ın çalışması, ağ sentezinin geliştirilmesi için önemli bir başlangıç ​​noktasıydı .

Amplifikatörler gibi aktif bileşenleri kullanarak Foster olmayan ağlar oluşturmak mümkündür. Bunlar, negatif endüktansa veya kapasitansa eşdeğer bir empedans üretebilir . Negatif empedans dönüştürücü bir devresinin bir örneğidir.

Açıklama

Reaktans, karmaşık elektrik empedansının hayali kısmıdır . Hem kapasitörler hem de indüktörler reaktansa sahiptir (ancak zıt işaretlidir) ve frekansa bağlıdır. Ağın pasif ve kayıpsız olması gerektiği belirtimi, ağda direnç (kayıpsız) veya yükseltici veya enerji kaynağı (pasif) olmadığı anlamına gelir. Sonuç olarak ağ, tamamen indüktörler ve kapasitörlerden oluşmalıdır ve empedans, sıfır gerçek kısmı olan tamamen hayali bir sayı olacaktır. Foster teoremi için de geçerlidir başvuru bir ağın, suseptansı pasif, kayıpsız bir (başvuru hayali bölümü) bir bağlantı frekansı ile birlikte düzenli şekilde artar. Bu sonuç, kabulün empedansın tersi olduğu, ancak kolayca kanıtlandığı için mantıksız görünebilir. empedans ise

${\displaystyle Z=iX\,}$

burada reaktans ve bir sanal birim , daha sonra giriş ile verilir ${\displaystyle \scriptstyle X}$${\görüntüleme stili \betik stili ben}$

${\displaystyle Y={\frac {1}{iX}}=-i{\frac {1}{X}}=iB}$

suskunluk nerede . ${\displaystyle \scriptstyle B}$

Eğer X, tekdüze olarak frekans ile artmaktadır daha sonra 1 / X monoton olarak azalan özellikte olmalıdır. −1/ X sonuç olarak monoton olarak artıyor olmalı ve dolayısıyla B'nin de arttığı kanıtlanmıştır .

Elektrik şebekeleri için dualite ilkesini yansıtan bir ilke veya prosedürün empedans veya kabul için eşit derecede iyi uygulandığı ağ teorisinde sıklıkla görülen bir durumdur . Bu durumlarda , empedans veya kabul anlamına gelebilecek olan immitans kavramını kullanmak uygundur . Matematik, belirli bir örneğin hesaplanması isteninceye kadar birimler belirtilmeden gerçekleştirilir. Foster teoremi böylece daha genel bir biçimde şu şekilde ifade edilebilir:

Foster teoremi (emitans formu)

Pasif, kayıpsız bir bağlantı noktasının hayali geçirgenliği, frekansla kesinlikle monoton olarak artar.

Foster teoremi oldukça geneldir. Foster bunu ayrık indüktörler ve kapasitörler olarak formüle etmesine rağmen , özellikle dağıtılmış eleman ağları için geçerlidir . Bu nedenle mikrodalga frekanslarında daha düşük frekanslarda olduğu kadar uygulanabilir.

Örnekler

Bir indüktörün frekansa karşı reaktansının grafiği	Bir kapasitörün frekansa karşı reaktansının grafiği
Bir seri LC devresinin frekansa karşı reaktansının grafiği	Paralel bir LC devresinin frekansa karşı reaktansının grafiği

Aşağıdaki örnekler bu teoremi bir dizi basit devrede göstermektedir.

Bobin

Bir indüktörün empedansı ,

${\displaystyle Z=i\omega L\,}$

${\ Displaystyle \scriptstyle L}$olduğu indüktans

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$bir açısal frekans

yani reaktans,

${\displaystyle X=\omega L\,}$

inceleme ile frekansla monoton (ve lineer) olarak arttığı görülebilir.

kondansatör

Bir kapasitörün empedansı şu şekilde verilir:

${\displaystyle Z={\frac {1}{i\omega C}}}$

${\displaystyle \scriptstyle C}$olduğu kapasitans

yani reaktans,

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\omega C}}}$

ki bu yine frekansla monoton olarak artmaktadır. Kondansatörün empedans işlevi, indüktörün giriş işleviyle aynıdır ve bunun tersi de geçerlidir. O genel sonuçtur ikili herhangi immitans fonksiyonunun itaat Foster teoremi ayrıca Foster'ın teoremini izleyeceğini.

Seri rezonans devresi

Seri bir LC devresi , bir indüktör ve kapasitörün empedanslarının toplamı olan bir empedansa sahiptir,

${\displaystyle Z=i\omega L+{\frac {1}{i\omega C}}=i\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\sağ)}$

Düşük frekanslarda reaktansa kapasitör hakimdir ve bu nedenle büyük ve negatiftir. Bu monoton olarak sıfıra doğru artar (kapasitör reaktansının büyüklüğü küçülür). Kondansatör ve indüktör reaktanslarının büyüklüklerinin eşit olduğu noktada ( rezonans frekansı ) reaktans sıfırdan geçer ve daha sonra indüktör reaktansı giderek baskın hale geldikçe monoton olarak artmaya devam eder.

paralel rezonans devresi

Paralel bir LC devresi, seri devrenin ikilisidir ve bu nedenle kabul fonksiyonu, seri devrenin empedans fonksiyonu ile aynı formdadır,

${\displaystyle Y=i\omega C+{\frac {1}{i\omega L}}}$

empedans fonksiyonu,

${\displaystyle Z=i\sol({\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}\sağ)}$

Düşük frekanslarda reaktansa indüktör hakimdir ve küçük ve pozitiftir. Bir karşı bu monoton olarak artar kutup de , anti-rezonans indüktör ve kapasitörün suseptansı eşit ve birbirine karşıdır ve iptal frekans. Kutuptan sonra reaktans büyük ve negatiftir ve kapasitansın hakim olduğu yerde sıfıra doğru artar.

Sıfırlar ve kutuplar

Foster'ın ilk kurallı sürüş noktası empedansı formunun reaktansının grafiği, değişen kutuplar ve sıfırlar modelini gösterir. Bu empedans fonksiyonunu gerçekleştirmek için üç anti-rezonatör gereklidir.

Foster teoreminin bir sonucu, frekans arttıkça herhangi bir pasif geçirgenlik fonksiyonunun sıfırlarının ve kutuplarının değişmesi gerektiğidir. Bir kutuptan geçtikten sonra fonksiyon negatif olacaktır ve monoton artan olacaksa bir sonraki direğe ulaşmadan önce sıfırdan geçmek zorundadır.

Bir immitans fonksiyonunun kutupları ve sıfırları , bir Foster ağının frekans özelliklerini tamamen belirler . Aynı kutuplara ve sıfırlara sahip iki Foster ağı, geçirgenlik fonksiyonlarının aynı olacağı anlamında eşdeğer devreler olacaktır. Aralarında bir ölçekleme faktörü farkı olabilir (aynı ölçeklendirme faktörü ile çarpılan tüm geçirgenlik öğeleri), ancak iki immitans fonksiyonunun şekli aynı olacaktır.

Foster teoreminin bir başka sonucu da , bir geçirgenliğin fazının frekansla monoton olarak artması gerektiğidir. Sonuç olarak, bir Smith grafiğindeki bir Foster immitans fonksiyonunun grafiği , daima artan frekansla çizelge etrafında saat yönünde hareket etmelidir.

gerçekleştirme

Foster'ın ilk kurallı sürüş noktası empedansı gerçekleştirme biçimi. Polinom fonksiyonunun ω = 0'da bir kutbu varsa, LC bölümlerinden biri tek bir kapasitöre indirgenecektir. Polinom fonksiyonunun ω =∞ noktasında bir kutbu varsa, LC bölümlerinden biri tek bir indüktöre indirgenecektir. Her iki kutup da mevcutsa, iki bölüm bir seri LC devresine indirgenir .

Foster'ın ikinci kurallı sürüş noktası empedansı gerçekleştirme biçimi. Polinom fonksiyonu ω =0'da sıfıra sahipse , LC bölümlerinden biri tek bir indüktöre indirgenecektir. Eğer polinom fonksiyonu ω =∞ noktasında sıfıra sahipse , LC bölümlerinden biri tek bir kapasitöre indirgenecektir. Her iki sıfır da mevcutsa, iki bölüm paralel bir LC devresine indirgenir .

Ayrık elemanlardan (yani, dağıtılmamış elemanlardan ) oluşan bir tek kapılı pasif geçirgenlik , s'nin rasyonel bir fonksiyonu olarak temsil edilebilir ,

${\displaystyle Z(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}}$

nerede,

${\displaystyle \scriptstyle Z(ler)}$ immitans

${\görüntüleme stili \komut stili P(ler),\ Q(s)}$gerçek, pozitif katsayıları olan polinomlardır

${\displaystyle \scriptstyle s}$bir Laplace dönüşümü ile ikame edilmiş olabilir değişken ile uğraşırken kararlı hal AC sinyalleri.${\displaystyle \scriptstyle i\omega }$

Bu, L ve C elemanlarının empedansının kendilerinin basit rasyonel fonksiyonlar olduğu ve rasyonel fonksiyonların herhangi bir cebirsel kombinasyonunun başka bir rasyonel fonksiyonla sonuçlanması gerçeğinden kaynaklanmaktadır .

Bu, ağda harici devrenin bağlı olduğu ve onu bir sinyalle "sürdüğü" yerdeki empedans olduğu için bazen sürücü nokta empedansı olarak adlandırılır . Foster, makalesinde böyle kayıpsız bir rasyonel işlevin (eğer gerçekleştirilebilirse) iki şekilde nasıl gerçekleştirilebileceğini anlatıyor. Foster'ın ilk biçimi, bir dizi seri bağlı paralel LC devresinden oluşur. Foster'ın ikinci sürüş noktası empedansı biçimi, bir dizi paralel bağlı seri LC devresinden oluşur. Sürüş noktası empedansının gerçekleştirilmesi hiçbir şekilde benzersiz değildir. Foster'ın gerçekleştirmesi, kutupların ve/veya sıfırların doğrudan belirli bir rezonans devresi ile ilişkili olması avantajına sahiptir, ancak birçok başka gerçekleştirme vardır. Belki de en iyi bilinen Wilhelm Cauer 'ın merdiven gerçekleşme filtre tasarımından.

Koruyucu olmayan ağlar

Bir Foster ağı pasif olmalıdır, bu nedenle bir güç kaynağı içeren aktif bir ağ Foster'ın teoremine uymayabilir. Bunlara Foster olmayan ağlar denir. Özellikle, ihtiva eden devreleri yükseltici ile pozitif geri besleme frekansı ile azalır reaktansa sahip olabilir. Örneğin, negatif empedans dönüştürücü devreler ile negatif kapasitans ve endüktans oluşturmak mümkündür . Bu devreler, pozitif bir reaktans gibi ±π/2 fazlı bir immitans fonksiyonuna, ancak frekansa karşı negatif eğimli bir reaktans genliğine sahip olacaktır.

Bunlar ilgi çekicidir çünkü bir Foster ağının yapamayacağı görevleri yerine getirebilirler. Örneğin, olağan pasif Foster empedans eşleştirme ağları, yalnızca antenin bant genişliğini sınırlayan ayrı frekanslarda bir iletim hattına sahip bir antenin empedansını eşleştirebilir . Foster olmayan bir ağ, sürekli bir frekans bandı üzerinden bir antenle eşleşebilir. Bu, Chu-Harrington sınırını ihlal eden geniş bant genişliğine sahip kompakt antenlerin oluşturulmasına izin verecektir . Pratik Foster dışı ağlar aktif bir araştırma alanıdır.

Tarih

Teorem, telefon çoğullama uygulamaları için geliştirilmiş filtrelere yönelik devam eden araştırmaların bir parçası olarak American Telephone & Telegraph'ta geliştirilmiştir . Bu iş ticari açıdan önemliydi; bir hatta taşınabilecek telefon görüşmelerinin sayısı artırılarak büyük miktarlarda para tasarrufu sağlanabilir. Teorem ilk olarak Campbell tarafından 1922'de yayınlandı, ancak bir kanıtı yoktu. Teoremden filtre tasarımında hemen büyük bir kullanım yapıldı, Zobel'in o zamanki filtre tasarımı sanatını özetleyen 1923 tarihli dönüm noktası makalesinde bir kanıtla birlikte belirgin bir şekilde görünüyor . Foster, ertesi yıl, kanonik gerçekleştirme formlarını içeren makalesini yayınladı.

Almanya'daki Cauer , Foster'ın çalışmasının önemini kavradı ve onu ağ sentezinin temeli olarak kullandı . Cauer'in birçok yeniliği arasında, Foster'ın çalışmasının, aralarında bir eşbiçimlilik keşfettikten sonra tüm 2 elemanlı tür ağlara genişletilmesi vardı. Cauer, şu anda pozitif-gerçek fonksiyon olarak bilinen bir koşul olan polinom fonksiyonundan rasyonel bir tek kapılı ağın gerçekleştirilebilirliği için gerekli ve yeterli koşulu bulmakla ilgilendi ve ağların eşdeğer olduğu ters problem, yani, daha önce vardı. aynı polinom fonksiyonu. Bunların her ikisi de ağ teorisi ve filtre tasarımında önemli problemlerdi. Koruyucu ağlar, gerçekleştirilebilir ağların yalnızca bir alt kümesidir.

Referanslar

bibliyografya

• Foster, RM, " A reaktans teoremi ", Bell System Teknik Dergisi , cilt 3 , no. 2, s. 259-267, Kasım 1924.
• Campbell, GA, " Elektrik dalgası filtresinin fiziksel teorisi ", Bell System Technical Journal , cilt 1 , no. 2, s. 1-32, Kasım 1922.
• Zobel, OJ, " Tekdüzen ve Kompozit Elektrik Dalgası Filtrelerinin Teorisi ve Tasarımı ", Bell System Technical Journal , vol.2 , no. 1, s. 1-46, Ocak 1923.
• Matthew M. Radmanesh, RF ve Mikrodalga Tasarım Temelleri , AuthorHouse , 2007 ISBN  1-4259-7242-X .
• James T. Aberle, Robert Loepsinger-Romak, Foster olmayan eşleştirme ağlarına sahip Antenler , Morgan & Claypool Publishers, 2007 ISBN  1-59829-102-5 .
• Colin Cherry, İletişim Devrelerinde Darbeler ve Geçici Olaylar , Taylor & Francis, 1950.
• KCA Smith, RE Alley, Elektrik devreleri: bir giriş , Cambridge University Press, 1992 ISBN  0-521-37769-2 .
• Carol Gray Montgomery, Robert Henry Dicke, Edward M. Purcell, mikrodalga devrelerinin ilkeleri , IET, 1987 ISBN  0-86341-100-2 .
• E. Cauer, W. Mathis ve R. Pauli, " Wilhelm Cauer'in Yaşamı ve Çalışması (1900–1945) ", Ondördüncü Uluslararası Matematiksel Ağlar ve Sistemler Teorisi Sempozyumu Bildirileri (MTNS2000) , Perpignan, Haziran, 2000. Erişim tarihi: 19 Eylül 2008.
• Bray, J, Yenilik ve İletişim Devrimi , Elektrik Mühendisleri Enstitüsü, 2002 ISBN  0-85296-218-5 .