Rasyonel fonksiyon - Rational function

Gelen matematik bir rasyonel işlevi herhangi bir fonksiyon , bir ile tanımlanabilir rasyonel fraksiyonu bir olduğu, cebirsel fraksiyon hem bu tür pay ve payda olan polinomlar . Katsayıları polinomların olması gerekmez rasyonel sayılar ; herhangi bir alanda alınabilirler K . Bu durumda, bir rasyonel fonksiyondan ve K üzerinde rasyonel bir kesirden söz edilir . Değişkenlerin değerleri, K içeren herhangi bir L alanında alınabilir . O zaman fonksiyonun etki alanı , paydası sıfır olmayan ve kod alanı L olan değişkenlerin değerlerinin kümesidir .

Bir alan üzerinde rasyonel fonksiyonların kümesi K bir tarladır fraksiyonların alan bir halkanın içinde polinom fonksiyonları üzerinde K .

Tanımlar

Bir fonksiyon , ancak ve ancak formda yazılabilirse rasyonel fonksiyon olarak adlandırılır.

Nerede ve Hangi polinom fonksiyonlar arasında ve değildir sıfır işlevi . Alanı içinde bütün değerlerin kümesidir paydası olan sıfır değildir.

Bununla birlikte, sabit olmayan bir polinom en büyük ortak bölen varsa ve varsa , o zaman rasyonel bir fonksiyon kurar ve üretir

bu daha büyük bir alana sahip olabilir ve eşittir etki alanına ortak bir tespit etmek kullanılmasıdır ve etki "süreklilik" genişletmek için, bu kadar Gerçekten de, bir bir şekilde rasyonel kısmını tanımlamak eşdeğerlik sınıf iki fraksiyon polinom, fraksiyonlarının ve eğer eşdeğer kabul edilmektedir . Bu durumda eşdeğerdir .

Bir uygun rasyonel fonksiyonu olan bir rasyonel fonksiyonudur derece arasında derecesi daha azdır ve her ikisi de gerçek polinomları bir kıyasen adlandırılan, kesirlere içinde .

Derece

Rasyonel bir fonksiyonun derecesinin eşdeğer olmayan birkaç tanımı vardır.

En yaygın olarak, bir rasyonel fonksiyonun derecesi , kesir en düşük terimlere indirgendiğinde, onu oluşturan P ve Q polinomlarının derecelerinin maksimumudur . Derecesi ise f olan d , aşağıdaki denklemi

etti d belirgin çözümler z belirli değerler dışında ağırlık olarak adlandırılan kritik değerlere iki ya da daha fazla solüsyonlar denk ya da bazı çözelti reddedildiği takdirde sonsuzda (olduğunu zaman sonra denklem azalma derecesi payda temizlendi ).

Karmaşık katsayılar söz konusu olduğunda, birinci dereceden rasyonel bir fonksiyon bir Möbius dönüşümüdür .

Derecesi , yukarıda tanımlandığı gibi bir rasyonel fonksiyonun grafiği derecesi değildir: pay ve bir artı payda derecesi derecesinin maksimum.

Bu gibi bazı bağlamlarda, içinde asimptotik analiz , derece rasyonel bir fonksiyonun pay ve payda derece arasındaki farktır.

İçinde ağ sentezi ve ağ analizi , derece iki (yani, en fazla iki derece iki polinomların oranı) rasyonel bir fonksiyonu genellikle adlandırılır bikuadratik fonksiyon .

Örnekler

Rasyonel fonksiyonlara örnekler
Derece 3'ün rasyonel işlevi
Bir grafik ile derecesi 3 olan Rasyonel fonksiyon, derece 3:
Derece 2'nin rasyonel işlevi
Derece 3'ün grafiği ile derece 2'nin rasyonel fonksiyonu :

rasyonel fonksiyon

tanımlı değil

asimptotik olarak

rasyonel fonksiyon

tüm gerçek sayılar için tanımlanır , ancak tüm karmaşık sayılar için değil , çünkü x'in karekökü (yani hayali birim veya negatifi) olsaydı, resmi değerlendirme sıfıra bölmeye yol açardı:

hangi tanımsız.

f ( x ) = π gibi bir sabit fonksiyon , sabitler polinom olduğundan rasyonel bir fonksiyondur. Kendisi işlevi halde, rasyonel değeri arasında f ( x ), herkese mantıksız x .

Her polinom fonksiyonu , rasyonel bir fonksiyon olmadığı gibi bu formda yazılamayan A fonksiyonuna sahip bir rasyonel fonksiyondur. Ancak, "irrasyonel" sıfat olduğu değil , genel olarak işlevleri için kullanılır.

Rasyonel fonksiyon , çıkarılabilir bir tekilliğin olduğu 0 hariç tüm x için 1'e eşittir . İki rasyonel fonksiyonun toplamı, çarpımı veya bölümü (sıfır polinomuyla bölme hariç) kendisi rasyonel bir fonksiyondur. Bununla birlikte, standart forma indirgeme süreci, özen gösterilmediği takdirde, yanlışlıkla bu tür tekilliklerin ortadan kaldırılmasıyla sonuçlanabilir. Rasyonel fonksiyonların tanımını denklik sınıfları olarak kullanmak, x / x 1 / 1'e eşdeğer olduğundan, bunun üstesinden gelir.

Taylor serisi

Bir katsayıları Taylor serisi mantıklı bir fonksiyon yerine doğrusal tekrarlama ilişki belirsiz katsayılı bir Taylor serisi rasyonel fonksiyonu denk ve toplama bulunabilir, terimler gibi payda temizledikten sonra.

Örneğin,

Payda ile çarpma ve dağıtma,

x'in aynı güçlerini elde etmek için toplamların indekslerini ayarladıktan sonra , şunu elde ederiz:

Benzer terimleri birleştirmek verir

Bu , orijinal Taylor serisinin yakınsaklık yarıçapındaki tüm x için geçerli olduğundan , aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz. Yana sabit terim solda sağda sabit terim eşit olmalıdır o izler

O halde, solda x'in hiçbir kuvveti olmadığı için, sağdaki tüm katsayılar sıfır olmalıdır, buradan şu sonuç çıkar:

Tersine, bir Taylor serisinin katsayıları olarak kullanıldığında, lineer bir yinelemeyi sağlayan herhangi bir dizi rasyonel bir fonksiyon belirler. Kısmi kesirli ayrıştırmayı kullanarak herhangi bir uygun rasyonel fonksiyonu 1 / ( ax + b ) biçimindeki faktörlerin toplamı olarak yazabiliriz ve bunları geometrik seriler olarak genişletebilir ve Taylor için açık bir formül verebiliriz. katsayılar; bu, işlevleri üretme yöntemidir .

Soyut cebir ve geometrik kavram

Gelen soyut cebir bir polinomun kavramı polinomun katsayıları herhangi birinden alınabilir hangi biçimsel ifadeleri kapsayacak şekilde genişletilmiştir alanında . Bir alan göz önüne alındığında bu ortamda F ve bazı belirsiz X , bir rasyonel ifadesi herhangi bir elemandır fraksiyonların alan bir polinom halka F : [ X ]. Herhangi bir rasyonel ifadesi İki polinomun oranı olarak yazılabilir P / Q ile Q'nun bu gösterimi benzersiz olmasa da, ≠ 0. PS = QR olduğunda , P , Q , R ve S polinomları için P / Q , R / S'ye eşdeğerdir . Bununla birlikte, F [ X ] a, tek çarpanlama , bir orada gösterimin mantıklı bir ifade için , P / Q ile P ve Q, düşük derecede ve polinom Q seçilmiş olması mghorta . Bu nasıl benzer kesir tamsayılar her zaman ortak faktörleri göz iptal ederek düşük açısından benzersiz yazılabilir.

Rasyonel ifadelerin alanı F ( X ) ile gösterilir . Bu alanın (bir alan olarak) F üzerinden ( aşkın bir öğe ) X tarafından oluşturulduğu söylenir , çünkü F ( X ) hem F hem de X öğesini içeren herhangi bir uygun alt alan içermez .

Karmaşık rasyonel fonksiyonlar

Olarak karmaşık analiz , rasyonel bir fonksiyon

Q'nun sıfır polinom olmadığı ve P ve Q'nun ortak çarpanı olmadığı karmaşık katsayılı iki polinomun oranıdır (bu, f'nin 0/0 belirsiz değerini almasını önler ).

Etki alanı f , bu tür karmaşık sayı dizisidir ve aralığı karmaşık sayılar dizi bu şekilde

Her rasyonel fonksiyon doğal olarak etki alanı ve aralığı tüm Riemann küresi ( karmaşık yansıtmalı çizgi ) olan bir fonksiyona genişletilebilir .

Rasyonel fonksiyonlar, meromorfik fonksiyonların temsili örnekleridir .

Riemann küresi üzerinde rasyonel fonksiyonların (haritalar) yinelenmesi , ayrık dinamik sistemler yaratır .

Cebirsel çeşitlilikte rasyonel bir fonksiyon kavramı

Gibi polinomlar , rasyonel ifadeler ayrıca genelleştirilebilir n BELİRSİZLİKLER X 1 , ..., x , n , fraksiyonlarının alanı alarak F [ X 1 , ..., x , n ile gösterilir], F ( x 1 ,..., X n ).

Soyut rasyonel fonksiyon fikrinin genişletilmiş bir versiyonu cebirsel geometride kullanılır. Orada bir cebirsel çeşitli işlev alanı V fraksiyonlarının alanı olarak oluşturulmuş olan koordinat halka arasında V (daha doğru olarak bir Zariski yoğun afin açık set, sözü geçen V ). Elemanları f , boş olmayan açık kümeler U üzerinde cebirsel geometri anlamında düzenli fonksiyonlar olarak kabul edilir ve ayrıca projektif çizgiye morfizmler olarak görülebilir .

Uygulamalar

Rasyonel fonksiyonlar, fonksiyonların enterpolasyonu ve yaklaşımı için sayısal analizde kullanılır , örneğin Henri Padé tarafından tanıtılan Padé yaklaşımları . Rasyonel fonksiyonlar açısından yaklaşımlar, bilgisayar cebir sistemleri ve diğer sayısal yazılımlar için çok uygundur . Polinomlar gibi, doğrudan değerlendirilebilirler ve aynı zamanda polinomlardan daha çeşitli davranışlar gösterirler.

Rasyonel fonksiyonlar, fizikte alanlar ve kuvvetler, analitik kimyada spektroskopi, biyokimyada enzim kinetiği, elektronik devreler, aerodinamik, in vivo ilaç konsantrasyonları, atomlar ve moleküller için dalga fonksiyonları, optik dahil olmak üzere bilim ve mühendislikte daha karmaşık denklemleri tahmin etmek veya modellemek için kullanılır. ve görüntü çözünürlüğünü ve akustiği ve sesi iyileştirmek için fotoğrafçılık.

Gelen sinyal işleme , Laplace dönüşümü (sürekli sistemler için) ya da Z-dönüşümü ve (ayrık zamanlı sistemler için) dürtü yanıtı yaygın olarak kullanılan bir lineer zaman içinde değişmez sistemleri ile (filtre) sonsuz darbe yanıt karmaşık sayılar üzerinde rasyonel fonksiyonlar .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar