Clifford cebiri - Clifford algebra

Cebirsel yapı → Halka teorisi Halka teorisi
Temel konseptler Yüzükler • Alt halkalar • İdeal • Bölüm halkası • Kesirli ideal • Toplam bölüm halkası • Ürün halkası • İlişkili cebirlerin ücretsiz ürünü • Halkaların tensör ürünü Halka homomorfizmaları • Çekirdek • İç otomorfizm • Frobenius endomorfizmi cebirsel yapılar • Modül • İlişkisel cebir • Dereceli halka • İç içe halka • Yüzük kategorisi • İlk zil ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Terminal halkası ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ İlgili yapılar • Alan • Sonlu alan • İlişkisel olmayan halka • Yalan yüzüğü • Ürdün yüzüğü • Semiring • Yarı saha
değişmeli cebir değişmeli halkalar • İntegral etki alanı • Bütünleşik olarak kapalı alan • GCD alanı • Benzersiz çarpanlara ayırma alanı • Asıl ideal alan • Öklid alanı • Alan • Sonlu alan • Kompozisyon halkası • Polinom halka • Resmi güç serisi halkası cebirsel sayı teorisi • Cebirsel sayı alanı • Tamsayılar halkası • Cebirsel bağımsızlık • Aşkın sayı teorisi • Aşkınlık derecesi p -adic sayı teorisi ve ondalık sayılar • Doğrudan limit / Ters limit • Sıfır halka ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Tamsayılar modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Taban - p daire halkası ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Taban - p tamsayıları ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • p -adic rasyoneller ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Taban - p gerçek sayılar ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -adic tam sayılar ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -adic sayılar ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -adik solenoid ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ cebirsel geometri • Afin çeşidi
değişmeyen cebir değişmeyen halkalar • Bölüm halkası • Yarı ilkel halka • Basit halka • Komütatör Değişmez cebirsel geometri serbest cebir Clifford cebiri • Geometrik cebir operatör cebiri
v T e

Gelen matematik bir Clifford cebir bir olan cebri bir tarafından üretilen vektör alan bir ile ikinci dereceden formu , ve a unital birleştirici cebir . As K -algebras , bunlar genelleme reel sayılar , karmaşık sayılar , kuaterniyonlar ve diğer bazı hypercomplex sayı sistemleri. Clifford cebirleri teorisi, ikinci dereceden formlar ve ortogonal dönüşümler teorisi ile yakından bağlantılıdır . Clifford cebirleri, geometri , teorik fizik ve dijital görüntü işleme dahil olmak üzere çeşitli alanlarda önemli uygulamalara sahiptir . İsimlerini İngiliz matematikçi William Kingdon Clifford'dan almıştır .

En tanıdık Clifford cebirleri, ortogonal Clifford cebirleri , simplektik Clifford cebirlerinden farklı olarak ( sözde ) Riemann Clifford cebirleri olarak da adlandırılır .

Giriş ve temel özellikler

Bir Clifford cebir olan unital birleştirici cebir içerir ve bir tarafından oluşturulan vektör uzayı V bir fazla alan K , V ile donatılmış olması ikinci dereceden bir şekilde Q  : V → K . Clifford cebiri Cl( V , Q ) , koşula bağlı olarak V tarafından üretilen "en serbest" birimsel çağrışımsal cebirdir.

${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\ {\metin{ tümü için }}v\in V,}$

burada soldaki ürün cebirinkidir ve 1 onun çarpımsal kimliğidir . Bu özdeşliğe tabi olan "en özgür" veya "en genel" cebir olma fikri, aşağıda yapıldığı gibi , evrensel bir özellik kavramıyla biçimsel olarak ifade edilebilir .

Burada V , bir sonlu boyutlu gerçek vektör uzayı ve Q, bir dejenere olmayan , CI ( V , Q, ) etiket Cı tanımlanabilir _{s , q,} ( R olduğunu gösterir), V ile bir ortogonal temeli vardır s olan elemanlar E _ı ² = +1 , q ile e _i ² = -1 , ve burada R bunun gerçekler üzerinde bir Clifford cebiri olduğunu gösterir; yani cebirin elemanlarının katsayıları gerçek sayılardır. Bu temel, ortogonal köşegenleştirme ile bulunabilir .

Serbest cebri tarafından oluşturulan V olarak yazılabilir tensör cebri ⊕ _{N ≥0} V ⊗ ⋯ ⊗ V , toplamı, tensör ürün arasında N kopyaları V tüm n bir Clifford cebir olur, böylece ve bölüm bu tensör cebirinin tüm elemanları için v ⊗ v − Q ( v )1 formundaki elemanlar tarafından üretilen iki taraflı ideal tarafından v ∈ V . Bölüm cebirinde tensör çarpımı tarafından indüklenen çarpım, yan yana (örneğin uv ) kullanılarak yazılır . Onun çağrışımsallığı, tensör ürününün çağrışımsallığından gelir.

Clifford cebri seçkin olan alt uzay V olan, görüntü ve gömme haritası. Böyle bir altuzay , Clifford cebirine yalnızca bir K- cebiri izomorfik verildiğinde genel olarak benzersiz bir şekilde belirlenemez .

Eğer karakteristik zemin alanının K 2 değildir, daha sonra bir biçimde, yukarıda temel kimliğini yeniden olabilir

${\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ for all }}u,v\in V,}$

nerede

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\sağ)}$

bir simetrik iki-doğrusal bir şekilde ilişkili Q ile, polarizasyon kimliği .

İkinci dereceden formlar ve karakteristik 2'deki Clifford cebirleri istisnai bir durum oluşturur. Özellikle, eğer char( K ) = 2 ise, ikinci dereceden bir formun Q ( v ) = ⟨ v , v ⟩ sağlayan simetrik çift doğrusal bir formu benzersiz bir şekilde belirlediği veya her ikinci dereceden formun bir ortogonal temeli kabul ettiği doğru değildir . Bu makaledeki ifadelerin çoğu, özelliğin 2 olmadığı koşulunu içerir ve bu koşul kaldırılırsa yanlıştır.

Dış cebirin nicelleştirilmesi olarak

Clifford cebirleri, dış cebirlerle yakından ilişkilidir . Gerçekten de, eğer Q = 0 ise, o zaman Clifford cebiri Cl( V , Q ) sadece ⋀( V ) dış cebiridir . Sıfır olmayan Q için ⋀( V ) ve Cl( V , Q ) arasında , zemin alanı K'nin karakteristik iki özelliği olmadığı zaman, bir kanonik lineer izomorfizm vardır . Yani, vektör uzayları olarak doğal olarak izomorfiktirler , ancak farklı çarpmalarla (karakteristik iki olması durumunda, vektör uzayları olarak hala izomorfiktirler, sadece doğal olarak değiller). Clifford çarpımı, ayırt edici alt uzay ile birlikte, Q tarafından sağlanan ekstra bilgiyi kullandığından , dış çarpımdan kesinlikle daha zengindir .

Clifford cebiri filtrelenmiş bir cebirdir , ilişkili dereceli cebir dış cebirdir.

Daha kesin olarak, Clifford cebirleri , Weyl cebirinin simetrik cebirin bir nicelemesi olduğu gibi , dış cebirin nicelleştirmeleri ( kuantum grubuyla karşılaştırın ) olarak düşünülebilir .

Weyl cebirleri ve Clifford cebirleri bir *-cebirinin daha ileri bir yapısını kabul eder ve CCR ve CAR cebirlerinde tartışıldığı gibi bir süper cebirin çift ​​ve tek terimleri olarak birleştirilebilir .

Evrensel mülkiyet ve inşaat

Let V bir olmak vektör uzayı bir aşkın saha K ve let Q  : V → K bir olmak kuadratik formu üzerinde V . İlgilenilen çoğu durumda, K alanı ya gerçek sayıların alanı R ya da karmaşık sayıların alanı C ya da sonlu bir alandır .

Bir Clifford cebri CI ( V , Q, ) bir çift ( A , I ) , bir a, unital birleştirici cebir üzerinde K ve i bir edilir doğrusal harita i  : V → CI ( V , Q, ) karşılayan I ( v ) ² = Q, ( v ) 1 tüm v içinde V aşağıdaki özellikleri taşıyan, genel özelliği : bir unital birleştirici cebri verilen bir fazla K ve herhangi bir lineer harita j  : V → A şekildedir

${\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}{\text{ tümü için }}v\in V}$

(1 burada _bir çarpımsal kimliğini gösterir A ), benzersiz olduğu cebir homomorfizmi f  : CI ( V , Q, →) bir şekilde, aşağıdaki diyagram yolculukları (yani bu şekilde ön ∘ i = j ):

İkinci dereceden Q formu , ⟨ v , v ⟩ = Q ( v ), v ∈ V özelliğine sahip (zorunlu olarak simetrik olmayan) bir çift doğrusal form ⟨⋅,⋅⟩ ile değiştirilebilir, bu durumda j üzerinde eşdeğer bir gereklilik şudur:

${\displaystyle j(v)j(v)=\langle v,v\rangle 1_{A}\quad {\text{ for all }}v\in V,}$

Alanın karakteristiği 2 olmadığında, bu, eşdeğer bir gereklilik olan ile değiştirilebilir,

${\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle )1_{A}\quad {\text{ hepsi için }}v,w\in V,}$

burada çift doğrusal form ek olarak genellik kaybı olmaksızın simetrik olmakla sınırlandırılabilir.

Yukarıda açıklandığı gibi bir Clifford cebiri her zaman mevcuttur ve aşağıdaki gibi oluşturulabilir: V içeren en genel cebir , yani tensör cebir T ( V ) ile başlayın ve ardından uygun bir bölüm alarak temel özdeşliği uygulayın . Bizim durumumuzda biz iki taraflı almak isteyen ideali I _Q içinde T ( V formun tüm unsurları tarafından oluşturulan)

${\displaystyle v\otimes vQ(v)1}$ hepsi için ${\displaystyle v\in V}$

ve bölüm cebiri olarak Cl( V , Q ) tanımlayın

${\displaystyle \operatöradı {Cl} (V,Q)=T(V)/I_{Q}.}$

Halka bu bölüm tarafından miras ürün bazen olarak anılır Clifford ürün dış ürün ve skaler üründen ayırmak için.

O zaman Cl( V , Q )' nun V içerdiğini ve yukarıdaki evrensel özelliği karşıladığını, böylece Cl'nin benzersiz bir izomorfizme kadar benzersiz olduğunu göstermek kolaydır ; böylece "" Clifford cebiri Cl( V , Q )'dan söz edilir . Aynı zamanda bu inşaat izler i ise birebir . Kişi genellikle i'yi düşürür ve V'yi Cl( V , Q ) ' nin lineer bir alt uzayı olarak kabul eder .

Clifford cebri gösterir evrensel karakterizasyonu yapımında olduğu Cl ( V , Q, ) olduğu Funktor doğada. Yani, Cı bir şekilde kabul edilebilir funktor gelen kategori (kare biçimleri vektör boşlukların morfizimler karesel formunu koruyarak doğrusal haritalar olan), birleştirici cebirlerin kategori. Evrensel özellik, vektör uzayları arasındaki lineer haritaların (ikinci dereceden formu koruyarak), ilişkili Clifford cebirleri arasındaki cebir homomorfizmalarına benzersiz bir şekilde uzanmasını garanti eder.

Temel ve boyut

Yana V ikinci dereceden bir şekilde ile donatılmıştır Q , karakteristik orada mevcut 2'ye eşit bazlar için V olan ortogonal . Bir ortogonal temel , simetrik çift doğrusal bir form için

${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$için ve${\görüntüleme stili i\neq j}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i}).}$

Temel Clifford özdeşliği, ortogonal bir temel için

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$için , ve .${\görüntüleme stili i\neq j}$${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i})}$

Bu, ortogonal tabanlı vektörlerin manipülasyonunu oldukça basit hale getirir. Bir ürün verilen ait farklı ortogonal baz vektörleri V sayısına göre belirlenen, bir genel işareti dahil ederken, bir standart düzen içine koymak ikili takası (yani bunu yapmak için gerekli imza sipariş ve permütasyon ). ${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$

Eğer boyut ve V boyunca K olduğu , n ve { e ₁ , ..., e _n } ortogonal bir temeli ( V , Q, ) , daha sonra CI ( V , Q, ) üzerinde serbest olan K esaslı

${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k} \leq n{\mbox{ ve }}0\leq k\leq n\}}$.

Boş çarpım ( k = 0 ) çarpımsal kimlik öğesi olarak tanımlanır . Her bir değeri için k orada olan n seçim k Clifford cebir toplam boyutu bu yüzden, esas unsurları

${\displaystyle \dim \operatöradı {Cl} (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}.}$

Örnekler: gerçek ve karmaşık Clifford cebirleri

En önemli Clifford cebirleri, dejenere olmayan ikinci dereceden formlarla donatılmış gerçek ve karmaşık vektör uzayları üzerinde olan cebirlerdir .

Cl _{p , q} ( R ) ve Cl _n ( C ) cebirlerinin her biri A veya A ⊕ A ile izomorfiktir ; burada A , R , C veya H'den girişleri olan bir tam matris halkasıdır . Bu cebirlerin tam bir sınıflandırması için Clifford cebirlerinin sınıflandırılmasına bakınız .

Gerçek sayılar

Clifford cebirlerine bazen geometrik cebirler de denir , çoğu zaman gerçek sayılar üzerindedir.

Sonlu boyutlu bir gerçek vektör uzayındaki dejenere olmayan her ikinci dereceden form, standart köşegen forma eşdeğerdir:

${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^ {2},}$

burada n = p + q vektör uzayının boyutudur. Tam sayı çiftine ( p , q ) ikinci dereceden formun imzası denir . Bu ikinci dereceden forma sahip gerçek vektör uzayı genellikle R ^{p , q} ile gösterilir . R ^{p , q} üzerindeki Clifford cebiri Cl _{p , q} ( R ) olarak gösterilir. Simgesi Cl _N ( R ' ) vasıtası Cl ya _{, n , 0} ( R ) ya da Cı- _{0, N} ( R' yazar pozitif belirli veya negatif kesin boşluk tercih bağlı olarak).

Standart bir baz { e ₁ , ..., e _n } için R, ^{p , q,} oluşur , n = p + q karşılıklı olarak ortogonal vektörler, s + 1 kare olan ve q burada kare için 1. Böyle bir temelden, cebir Cl _{p , q} ( R ) dolayısıyla +1'e kare olan p vektörlerine ve -1'e kare yapan q vektörlerine sahip olacaktır.

Birkaç düşük boyutlu durumlar şunlardır:

Sıfırdan farklı vektörler olmadığından Cl _0,0 ( R ), doğal olarak R ile izomorfiktir .

Cl _0,1 ( R ), e ₁ tarafından üretilen ve -1'e kare olan iki boyutlu bir cebirdir ve karmaşık sayıların alanı olan C'ye cebir-izomorfiktir .

Cl _0,2 ( R ), {1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ } tarafından yayılan dört boyutlu bir cebirdir . Son üç elemanın tümü -1'e karedir ve ters-değişimlidir ve bu nedenle cebir, H kuaterniyonlarına eşbiçimlidir .

Cl _0,3 ( R ), bölünmüş iki kuaterniyonlar olan H ⊕ H doğrudan toplamının 8 boyutlu bir cebir izomorfudur .

Karışık sayılar

Clifford cebirleri karmaşık vektör uzayları üzerinde de çalışılabilir. n boyutlu karmaşık bir vektör uzayı üzerindeki dejenere olmayan her ikinci dereceden form , standart köşegen forma eşdeğerdir.

${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}}$.

Böylece, izomorfizme kadar her boyut n için , dejenere olmayan ikinci dereceden bir forma sahip karmaşık bir vektör uzayının yalnızca bir Clifford cebiri vardır. C ⁿ üzerindeki Clifford cebirini standart ikinci dereceden formla Cl _n ( C ) ile göstereceğiz .

İlk birkaç vaka için kişi şunu bulur:

Cl ₀ ( C ) ≅ C , karmaşık sayılar

Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C , bikompleks sayılar

Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C ), bikuaterniyonlar

burada M _{, n} ( Cı ) ve cebir belirtmektedir n x n fazla matrisler C .

Örnekler: kuaterniyonlar ve ikili kuaterniyonlar oluşturma

kuaterniyonlar

Bu bölümde Hamilton kuaterniyonları , Clifford cebiri Cl _0,3 ( R ) ' nin çift alt cebiri olarak oluşturulmuştur .

Vektör uzayı olsun V gerçek üç boyutlu bir alan olarak R ³ ve ikinci dereceden bir şekilde S olağan Öklidci metrik negatif olabilir. Daha sonra, için v , w içinde R ³ biz iki-doğrusal form (veya sayısal ürün) sahip

${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$

Şimdi v ve w vektörlerinin Clifford çarpımını tanıtın .

${\displaystyle vw+wv=-2(v\cdot w).}$

Bu formülasyon, negatif işareti kullanır, böylece kuaterniyonlarla yazışma kolayca gösterilir.

Ortogonal birim vektörleri kümesi Ifade R ³ olarak e ₁ , e ₂ ve e ₃ , Clifford ürün ilişkileri verir

${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3},\,\ ,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$

ve

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1.}$

Clifford cebirinin genel elemanı Cl _0,3 ( R ) ile verilir

${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+ a_{5}e_{3}e_{1}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$

Cl _0,3 ( R ) çift ​​dereceli elemanlarının lineer kombinasyonu Cl çift ​​alt cebirini tanımlar^[0]
_0,3( R ) genel eleman ile

${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{3}e_{1}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$

Temel elemanlar dördey esas elemanlarla i , j , k olarak tanımlanabilir.

${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},}$

bu da Cl alt cebirinin çift olduğunu gösterir.^[0]
_0,3( R ) Hamilton'un gerçek kuaterniyon cebiridir.

Bunu görmek için hesaplayın

${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2} e_{3}e_{3}=-1,}$

ve

${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$

Nihayet,

${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}e_{1}e_{2}=-1.}$

çift ​​kuaterniyonlar

Bu bölümde, çift ​​kuaterniyonlar , dejenere ikinci dereceden bir forma sahip gerçek dört boyutlu uzayın çift Clifford cebiri olarak inşa edilmiştir.

Vektör uzayı olsun V gerçek dört boyutlu uzay R ' ⁴ ve ikinci dereceden bir şekilde izin S ile Öklidci metrik türetilen dejenere formu R ³ . İçin v , w içinde R ⁴ dejenere iki doğrusal formu tanıtmak

${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$

Bu dejenere skalar çarpım projeleri mesafe ölçümleri R ⁴ üzerine R ³ hiper.

v ve w vektörlerinin Clifford çarpımı şu şekilde verilir:

${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$

Kuaterniyonlarla yazışmayı basitleştirmek için negatif işaretin verildiğine dikkat edin.

Karşılıklı ortogonal birim vektörleri kümesi Ifade R ⁴ olarak e ₁ , e ₂ , e ₃ ve e ₄ , Clifford ürün ilişkileri verir

${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$

ve

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

Clifford cebirinin genel elemanı Cl( R ⁴ , d ) 16 bileşene sahiptir. Hatta derecesi elemanlarının doğrusal kombinasyon daha altcebirine tanımlar Cı^[0]
( R ⁴ , d ) genel eleman ile

${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_ {4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2} e_{3}e_{4}.}$

Temel elemanlar kuaterniyon temel elemanları i , j , k ve ikili birim ε ile şu şekilde tanımlanabilir:

${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2 }e_{3}e_{4}.}$

Bu, Cl'nin yazışmasını sağlar^[0]
_0,3,1( R ) ikili dördey cebirli.

Bunu görmek için hesaplayın

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_ {1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3 }=0,}$

ve

${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4} e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$

Mübadelesi E ₁ ve E ₄ alternatif işaretler kez çift sayıda ve çift birimin göstermek ε Dördey baz elemanları ile yolculuklardan i , j ve k .

Örnekler: küçük boyutta

K , 2 olmayan herhangi bir karakteristik alan olsun .

Boyut 1

İçin loş V = 1 ise, Q, köşegenleştime diag sahiptir ( bir ), bu bir sıfır olmayan vektör vardır x öyle ki Q, ( x ) = a , o zaman CI ( V , Q, ) cebri-izomorfik bir etmektir K cebiri bir eleman tarafından üretilen X tatmin x ² = bir , ikinci dereceden cebir K [ X ] / ( X- ² - bir ) .

Özellikle, eğer a = 0 ise (yani, Q sıfır ikinci dereceden biçimdir), o zaman Cl( V , Q ) çift ​​sayı cebirinin K üzerinde cebir-izomorfiktir .

Eğer bir bir sıfır olmayan kare K sonra, CI ( V , Q, ) ≃ K ⊕ K .

Aksi takdirde, CI ( V , Q, ) karesel alan uzantısına izomorf K ( √ bir bölgesinin) K .

Boyut 2

İçin loş V = 2 ise, Q, köşegenleştime sahip diag ( a , b ) sıfır olmayan sahip a ve b (her zaman eğer var S yozlasmamıstır), daha sonra CI ( V , Q, ) bir izomorf K oluşturulan cebiri x ² = a , y ² = b ve xy = − yx sağlayan x ve y öğelerine göre .

Böylece Cl( V , Q ) (genelleştirilmiş) kuaterniyon cebirine ( a , b ) _K eşbiçimlidir . Biz Hamilton quaternions almak bir = b = -1 , çünkü , H = (-1, -1) _{R '} .

Özel bir durum olarak, bazı halinde x de V tatmin S ( x ) 1 = , daha sonra CI ( V , Q, ) ≃ M ₂ ( K ) .

Özellikler

Dış cebir ile ilişkisi

Bir vektör uzayı verilen V gerçekleştirebilmesi bir dış cebir ⋀ ( V tanımlarını herhangi bir ikinci derece formunda bağımsızdır), V . Bu ise çıkıyor K karakteristik 2 bulunmamaktadır sonra orada doğal izomorfizm (⋀ arasında V ) ve CI ( V , Q, ) vektör uzayı olarak kabul edilir (ve doğal olmayabilecek karakteristik iki bir izomorfizm, vardır). Bu bir cebir izomorfizmidir, ancak ve ancak Q = 0 ise . Böylece, Clifford cebiri Cl( V , Q ) , V üzerindeki dış cebirin Q'ya bağlı bir çarpımla zenginleştirilmesi (veya daha kesin olarak bir niceleme, bkz. Giriş) olarak düşünülebilir (hala dış çarpım tanımlanabilir). Q'dan bağımsız olarak ).

İzomorfizmi oluşturmanın en kolay yolu , V için { e ₁ , …, e _n } ortogonal bir taban seçmek ve bunu yukarıda açıklandığı gibi Cl( V , Q ) için bir tabana genişletmektir . Cl( V , Q ) → ⋀( V ) haritası şu şekilde belirlenir:

${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$

Bunun yalnızca { e ₁ , …, e _n } temeli dik olduğunda işe yaradığını unutmayın . Bu haritanın ortogonal temel seçiminden bağımsız olduğu ve dolayısıyla doğal bir izomorfizm verdiği gösterilebilir.

Eğer karakteristik arasında K = 0, bir de antisymmetrizing ile izomorfizm kurabilir. İşlevlerini tanımlar f _k : V x ⋯ x V → CI ( V , Q, ) ile

${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k} }{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$

burada toplam, k elemanları üzerindeki simetrik grup üzerinden alınır , S _k . Yana f _k olan alternatif bir tek lineer ilk indükler ⋀ ^k ( V Cl →) ( V , Q, ) . Doğrudan toplam Bu haritaların (⋀ arasında doğrusal bir ilk veren V ) ve CI ( V , Q ) . Bu haritanın lineer bir izomorfizm olduğu gösterilebilir ve bu doğaldır.

İlişkiyi görmenin daha karmaşık bir yolu , Cl( V , Q ) üzerinde bir süzme oluşturmaktır . Tensör cebri T ( V )'nin doğal bir filtrelemeye sahip olduğunu hatırlayın : F ⁰ ⊂ F ¹ ⊂ F ² ⊂ ⋯ , burada F ^k , ≤ k dereceli tensörlerin toplamını içerir . Bunu Clifford cebirine yansıtmak, Cl( V , Q ) üzerinde bir filtreleme sağlar . Bağlantılı kademeli cebri

${\displaystyle \operatöradı {Gr} _{F}\operatöradı {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$

doğal olarak dış cebir ⋀( V ) ile izomorfiktir . Bir filtre cebir bağlantılı kademeli cebri (tamamlayıcıları seçerek süzüldü vektör alanları olarak filtre cebire zaman izomorfik olduğu için F ^k olarak F ^{k + 1} için tüm k ), bu herhangi bir (her ne kadar doğal değildir) bir izomorfizm sağlar karakteristik, hatta iki.

derecelendirme

Aşağıda, özelliğin 2 olmadığını varsayalım.

Clifford cebirleridir Z ₂ - kademeli cebir (aynı zamanda superalgebras ). Gerçekten de, v ↦ − v ( orijinden yansıma) ile tanımlanan V üzerindeki lineer harita , ikinci dereceden Q formunu korur ve böylece Clifford cebirlerinin evrensel özelliği ile bir cebir otomorfizmine uzanır.

${\displaystyle \alpha :\operatöradı {Cl} (V,Q)\to \operatöradı {Cl} (V,Q).}$

Yana α bir bir karışıklık (o kareler yani özdeşlik bir ayrıştırmak) Cl ( V , Q, ) pozitif ve negatif Aygen içine a

${\displaystyle \operatöradı {Cl} (V,Q)=\operatöradı {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatöradı {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$

nerede

${\displaystyle \operatöradı {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatöradı {Cl} (V,Q)\orta \alpha (x)=(-1)^ {i}x\sağ\}.}$

Yana α bir otomorfizma olup bu şu şekildedir:

${\displaystyle \operatöradı {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatöradı {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatöradı {Cl} ^{[i+j]}( V,Q)}$

parantez içindeki üst simgeler modulo 2. okunur burada verir CI ( V , Q, ) bir yapısını Z ₂ - kademeli cebir . Alt uzay Cı ^[0] ( V , Q, ) bir oluşturan altcebirine arasında Cl ( V , Q, ) olarak adlandırılan, daha alt cebiri . Alt uzay Cı ^[1] ( V , Q, ) olarak adlandırılan tek bir parçası arasında Cl ( V , Q, ) (bir alt cebiri değildir). Bu Z'nin ₂ -grading Clifford cebirlerinin analizi ve uygulamada önemli bir rol oynar. Otomorfizm α , ana involüsyon veya derece involüsyon olarak adlandırılır . Bu temiz olanlara Elemanları Z ₂ -grading basitçe çift veya tek olduğu söyleniyor.

Açıklama . 2'de olmayan karakteristikte, Cl( V , Q ) ' nin altında yatan vektör uzayı, dış cebirin ⋀( V ) altında yatan vektör uzayı ile kanonik izomorfizmden bir N- derecelendirmesini ve bir Z- derecelendirmesini miras alır . Bununla birlikte, bunun yalnızca bir vektör uzayı derecelendirmesi olduğuna dikkat etmek önemlidir . Kendisine, Clifford çarpma saygı değildir , N -grading veya Z -grading, sadece Z'nin ₂ -grading: Örneğin, eğer Q, ( v ) ≠ 0 , daha sonra hacim ∈ Cl ¹ ( V , Q, ) , ancak v ² ∈ Cl ⁰ ( V , Q, ) , değil Cl ² ( V , Q, ) . Neyse ki, derecelendirmeler doğal bir şekilde ilişkilidir: Z ₂ ≅ N /2 N ≅ Z /2 Z . Ayrıca, Clifford cebiri Z - filtrelidir :

${\displaystyle \operatöradı {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatöradı {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatöradı {Cl} ^{\leqslant i+ j}(V,Q).}$

Derece bir Clifford sayısının genellikle derecesi anlamına gelir , N -grading.

Bir Clifford cebirinin çift ​​alt cebiri Cl ^[0] ( V , Q ) , bir Clifford cebirine eş biçimlidir. Eğer V olan ortogonal doğrudan toplamı için bir vektör bir a sıfır olmayan bir norm Q ( a ) ve bir alt uzay u , o Cı ^[0] ( V , Q, ) izomorf Cl ( U -, S ( a ) Q, ) burada, - Q ( a ) Q , U ile sınırlandırılmış ve − Q ( a ) ile çarpılmış Q formudur . Özellikle gerçekler üzerinde bu şu anlama gelir:

${\displaystyle \operatöradı {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{durumlar}\operatöradı {Cl} _{p,q-1}(\ mathbf {R} )&q>0\\\operatöradı {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{durumlar}}}$

Negatif tanımlı durumda bu , diziyi genişleten bir Cl _{0, n −1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R ) içermesini verir.

R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ …

Benzer şekilde, karmaşık durumda, Cl _n ( C ) çift ​​alt cebirinin Cl _{n -1} ( C ) ile izomorfik olduğu gösterilebilir .

Antiotomorfizmler

Otomorfizme α ek olarak, Clifford cebirlerinin analizinde önemli rol oynayan iki antiotomorfizm vardır. Hatırlatma; cebri tensör T ( V ) Vektörlerin tüm ürünlerde tersten bir antiautomorphism sahiptir:

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$

İdeal I _Q , bu tersine çevirme altında değişmez olduğundan, bu işlem, x ^t ile gösterilen devrik veya ters çevirme işlemi olarak adlandırılan Cl( V , Q )' nun bir antiotomorfizmine iner . Devir, bir antiotomorfizmdir: ( xy ) ^t = y ^t x ^t . Devrik işlemi hiçbir kullanır Z ₂ biz oluşturarak ikinci antiautomorphism tanımlayan çok -grading a ve devrik. Bu işlemi Clifford konjugasyonu ile ifade ediyoruz. ${\görüntüleme stili {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$

İki antiotomorfizmden devrik daha temeldir.

Tüm bu işlemlerin döngüler olduğuna dikkat edin . Z- derecelendirmesinde saf olan elementler üzerinde ±1 olarak hareket ettikleri gösterilebilir . Aslında, her üç işlem de yalnızca modulo 4 derecesine bağlıdır. Yani, x , k derecesi ile saf ise, o zaman

${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$

işaretler aşağıdaki tabloda verildiğinde:

k 4 mod	0	1	2	3	…
${\görüntüleme stili \alfa (x)\,}$	+	-	+	-	(-1) k
${\displaystyle x^{\mathrm {t} }\,}$	+	+	-	-	(−1) k ( k − 1)/2
${\görüntüleme stili {\bar {x}}}$	+	-	-	+	(−1) k ( k + 1)/2

Clifford skaler çarpımı

Karakteristik 2 olmadığında , V üzerindeki ikinci dereceden Q formu, tüm Cl( V , Q ) üzerinde ikinci dereceden bir forma genişletilebilir (ki biz bunu Q ile de gösterdik ). Böyle bir uzantının temelden bağımsız bir tanımı,

${\displaystyle Q(x)=\sol\langle x^{\mathrm {t} }x\sağ\rangle _{0}}$

burada ⟨ bir ⟩ ₀ anlamına gelir: skaler kısmı bir (derecesi 0 kısım Z -grading). Biri bunu gösterebilir

${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$

v _i'nin V'nin elemanları olduğu durumlarda - bu özdeşlik Cl( V , Q )' nun rastgele elemanları için doğru değildir .

Cl( V , Q ) üzerindeki ilişkili simetrik çift doğrusal form şu şekilde verilir:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sol\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$

V ile sınırlandırıldığında bunun orijinal çift doğrusal forma indirgendiği kontrol edilebilir . Tüm ilgili iki-doğrusal bir şekilde Cl ( V , Q, ) olup , dejenere olmayan , ancak ve ancak bu ilgili dejenere ise V .

Devrik ile sol (sırasıyla, sağ) Clifford çarpma operatörü bir ^ton bir eleman a olan eşlenik sol (sırasıyla sağ) Clifford çarpma bir iç bu ürüne göre. Yani,

${\displaystyle \ langle baltası,y\rangle =\sol\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$

ve

${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\sol\langle x,ya^{\mathrm {t} }\sağ\rangle .}$

Clifford cebirlerinin yapısı

Bu bölümde, özelliğin 2 olmadığını, vektör uzayı V'nin sonlu boyutlu olduğunu ve Q'nun ilişkili simetrik çift doğrusal formunun tekil olmadığını varsayıyoruz . Bir merkezi kolay cebri üzerinde K merkezi ile (sonlu boyutlu) bölme cebir üzerinde bir matris cebirdir K . Örneğin, gerçekler üzerindeki merkezi basit cebirler, gerçekler veya kuaterniyonlar üzerindeki matris cebirleridir.

• Eğer V daha boyuta sahip sonra CI ( V , Q, ) üzerinde merkezi bir basit cebirdir K .
• Eğer V , o zaman bile boyuta sahip Cl ^[0] ( V , Q, ) bir dörtgen uzantısı boyunca merkezi bir basit cebir K ya da üzerinden iki izomorf merkezi basit cebirlerin bir miktar K .
• Eğer V tek bir boyuta sahiptir sonra CI ( V , Q, ) bir dörtgen uzantısı boyunca merkezi bir basit cebir K ya da üzerinden iki izomorf merkezi basit cebirlerin bir miktar K .
• Eğer V daha sonra tek bir boyuta sahiptir Cl ^[0] ( V , Q, ) üzerinde merkezi bir basit cebirdir K .

Clifford cebirlerinin yapısı, aşağıdaki sonuç kullanılarak açıkça ortaya çıkarılabilir. Varsayalım ki U bile boyut ile bir tekil olmayan iki-doğrusal formu vardır diskriminant d ve varsayalım V ikinci dereceden bir formu olan bir vektör alanıdır. Clifford cebri u + v Clifford Cebirlerin tensör ürünü izomorf U ve (1) ^{sönük ( U ) / 2} dV alanıdır, V ile (1) arttırılabilecek dörtgen şeklinde olan ^{dim ( u )/2} d . Gerçekler üzerinde, bu özellikle şunu ima eder:

${\displaystyle \operatöradı {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatöradı {Cl} _{q ,p}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \operatöradı {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatöradı {Cl} _ {p,q}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \operatöradı {Cl} _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \operatöradı {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ). }$

Bu formüller, tüm gerçek Clifford cebirlerinin ve tüm karmaşık Clifford cebirlerinin yapısını bulmak için kullanılabilir; Clifford cebirlerinin sınıflandırılmasına bakınız .

Özellikle, bir Clifford cebirinin Morita denklik sınıfı (temsil teorisi: onun üzerindeki modüller kategorisinin denklik sınıfı) sadece ( p - q ) mod 8 imzasına bağlıdır . Bu, Bott periyodikliğinin cebirsel bir şeklidir .

Lipschitz grubu

Lipschitz grupları sınıfı ( aka Clifford grupları veya Clifford-Lipschitz grupları) Rudolf Lipschitz tarafından keşfedildi .

Bu bölümde varsayılmaktadır V sonlu boyutlu ve ikinci dereceden bir şekilde S olan dejenere .

Bir Clifford cebirinin öğeleri üzerindeki birim grubu tarafından bir işlem, bükülmüş bir konjugasyon açısından tanımlanabilir: x map y ↦ α ( x ) y x ^{−1 ile} bükülmüş konjugasyon , burada α , yukarıda tanımlanan ana involüsyondur .

Lipschitz grubu Γ tersinir elemanlar kümesi olarak tanımlanır x vektörleri kümesi stabilize tüm yani bu etkisi altında v içinde V Elimizdeki:

${\displaystyle \alpha (x)vx^{-1}\V.}$

Bu formül aynı zamanda Lipschitz grubunun , ikinci dereceden Q formunu koruyan V vektör uzayı üzerindeki etkisini tanımlar ve böylece Lipschitz grubundan ortogonal gruba bir homomorfizm verir. Lipschitz grubu tüm unsurları içerir r ve V olan S ( r ) 'de ters çevrilebilir olup K , ve bu hareket V almak gelen yansımalardan v için v - (⟨ r , v ⟩ + ⟨ v , r ⟩) r / S ( r ) . (Karakteristik 2'de bunlara yansımalar yerine ortogonal transveksiyonlar denir.)

Eğer V , bir ile sonlu boyutlu gerçek vektör alanıdır dejenere olmayan karesel formu daha sonra Lipschitz grubu ortogonal grup üzerine eşler V ile (biçimine göre Cartan-Dieudonné teoremi ) ve çekirdek arasında sıfır olmayan bir elemandan oluşur alan K . Bu kesin dizilere yol açar

${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times}\rightarrow \Gama \rightarrow {\mbox{O}}_{V}(K)\rightarrow 1,\,}$

${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times}\rightarrow \Gama ^{0}\rightarrow {\mbox{SO}}_{V}(K)\rightarrow 1.\,}$

Diğer alanlar üzerinde veya belirsiz formlarda, harita genel olarak üzerine değildir ve başarısızlık spinor normu tarafından yakalanır.

Spinor normu

Keyfi karakteristikte, spinor normu Q , Lipschitz grubu üzerinde şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$

Bu gruba Lipschitz grubundan bir homomorfizma K ^x sıfır olmayan elemanları K . Bu ikinci dereceden bir şekilde denk Q bir V V Clifford cebri bir bölme odası ile tanımlanır. Birkaç yazar, spinor normunu biraz farklı tanımlar, böylece buradakinden -1, 2 veya −2 faktörü ile Γ ^1'de farklılık gösterir . Fark, 2 dışındaki özelliklerde çok önemli değildir.

Sıfırdan farklı elemanları K grubundan (spinör normu olan K ^x ) ² alanının sıfır olmayan elemanları kareler K . Böylece V sonlu boyutlu ve tekil olmadığında, V'nin ortogonal grubundan K ^× /( K ^× ) ² grubuna , aynı zamanda spinor normu olarak da adlandırılan bir indüklenmiş harita elde ederiz . Herhangi bir r vektörü için r ^⊥ hakkındaki yansımanın spinor normu, K ^× /( K ^× ) ^2'de Q ( r ) görüntüsüne sahiptir ve bu özellik onu ortogonal grupta benzersiz olarak tanımlar. Bu kesin dizileri verir:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)&\to {\mbox{O}}_{V}( K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Spin}}_ {V}(K)&\to {\mbox{SO}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\ bitiş{hizalı}}}$

Karakteristik 2'de {±1} grubunun sadece bir elemana sahip olduğuna dikkat edin.

Bakış açısından Galois kohomolojisi ait cebirsel gruplar , spinor norm bir olduğunu bağlayan homomorfizma kohomoloji. 1'in kareköklerinin cebirsel grubu için μ ₂ yazılması (2 olmayan bir karakteristik alan üzerinde, kabaca önemsiz Galois eylemine sahip iki elemanlı bir grupla aynıdır), kısa tam dizi

${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow {\mbox{Pin}}_{V}\rightarrow {\mbox{O}}_{V}\rightarrow 1}$

başlayan kohomoloji üzerinde uzun kesin bir dizi verir

${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}({\mbox{Pin}}_{V};K)\to H^{0} ({\mbox{O}}_{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$

Katsayıları K olan bir cebirsel grubun 0. Galois kohomoloji grubu sadece K- değerli noktaların grubudur : H ⁰ ( G ; K ) = G ( K ) , ve H ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× /( K ^× ) ² , önceki diziyi kurtarır

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{ \times }/\left(K^{\times }\sağ)^{2},}$

burada spinor normu, bağlantı homomorfizmidir H ⁰ (O _V ; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K ) .

Spin ve Pin grupları

Bu bölümde V'nin sonlu boyutlu olduğunu ve çift doğrusal formunun tekil olmadığını varsayıyoruz .

Pim grubu Pim _V ( K ) spinor norm 1 elemanlarının Lipschitz grubu y alt grubu olan, ve benzer şekilde Spin grubu Spin _V ( K ) elemanlarının alt grubudur Dickson değişmez Pim içinde 0 _V ( K ). Karakteristik 2 olmadığında, bunlar determinant 1'in elemanlarıdır. Spin grubu, Pin grubunda genellikle indeks 2'ye sahiptir.

Lipschitz grubundan ortogonal gruba bir homomorfizma olduğunu önceki bölümden hatırlayın. Özel ortogonal grubu Γ ^0'ın görüntüsü olarak tanımlıyoruz . Eğer K karakteristik 2 bulunmamaktadır, bu ise belirleyici 1. ortogonal grubun elemanlarının sadece grubudur K sonra ortogonal grubun tüm elemanları belirleyici 1, ve ortogonal grup elemanlarının setidir, karakteristik 2 var Dickson değişmezi 0.

Pin grubundan ortogonal gruba bir homomorfizma vardır. Görüntü, spinor norm 1 ∈ K ^× /( K ^× ) ² öğelerinden oluşur . Çekirdek, +1 ve -1 öğelerinden oluşur ve K özelliği 2'ye sahip olmadığı sürece 2. sıraya sahiptir. Benzer şekilde, Spin grubundan V'nin özel ortogonal grubuna bir homomorfizma vardır .

V'nin gerçekler üzerinde pozitif veya negatif belirli bir uzay olduğu genel durumda , spin grubu özel ortogonal grupla eşlenir ve V en az 3 boyuta sahip olduğunda basitçe bağlanır . Ayrıca bu homomorfizmin çekirdeği 1 ve − 1. Dolayısıyla bu durumda, Spin( n ) spin grubu, SO( n )' nin bir çift örtüsüdür . Bununla birlikte, sıkma grubunun basit bağlantılılık genel olarak doğru değildir Lütfen, eğer: V olan R, ^{s , q} için p ve q daha sonra sıkma grup sadece bağlı değildir hem de en az 2. Bu durumda Spin _{p , q} cebirsel grubu bir cebirsel grup olarak basitçe bağlanır, gerçi onun gerçek değerli noktaları Spin _{p , q} ( R ) basit bir şekilde bağlı değildir. Bu, spin grupları hakkında en az bir standart kitabın yazarlarını tamamen karıştıran oldukça ince bir noktadır.

Spinörler

Clifford Cl cebir _{s , q,} ( Cı ) ile, p + q = 2 , n da, boyutu 2 karmaşık bir gösterimi olan matris cebirleridir ⁿ . Pin _{p , q} ( R ) grubuyla sınırlayarak , aynı boyuttaki Pin grubunun spin temsili olarak adlandırılan karmaşık bir temsilini elde ederiz . Bunu Spin _{p , q} ( R ) spin grubuyla sınırlarsak _, o zaman 2 ^{n -1} boyutunun iki yarım spin temsilinin (veya Weyl temsillerinin ) toplamı olarak bölünür .

Eğer p + q = 2 , n + 1 sonra tek Clifford cebir Cl _{p , q,} ( Cı ) boyutu 2 bir temsilini, her biri, iki matris cebirlerin, bir toplamıdır ⁿ , ve bunlar da Pin iki temsilleridir grup Pin _{p , q} ( R ). Spin grubu Spin _{p , q} ( R ) ile sınırlandırıldığında bunlar izomorfik hale gelir, dolayısıyla spin grubu ²ⁿ boyutunun karmaşık bir spinor temsiline sahiptir .

Daha genel olarak, herhangi bir alan üzerindeki spinor grupları ve pin grupları, kesin yapısı karşılık gelen Clifford cebirlerinin yapısına bağlı olan benzer temsillere sahiptir: bir Clifford cebiri, bir bölme cebiri üzerinde bir matris cebiri olan bir faktöre sahip olduğunda, buna karşılık gelen bir temsil elde ederiz. bu bölme cebiri üzerindeki pin ve spin grupları. Gerçekten mi üzerindeki örnekler için ilgili makaleye bakın spinörleri .

Gerçek spinörler

Gerçek spin temsillerini tanımlamak için, spin grubunun Clifford cebiri içinde nasıl oturduğunu bilmek gerekir. Pim grubu , pim _{s , q,} Cl içinde tersinir elemanları seti olan _{p , q} birim vektörlerin bir ürün şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\ öğleden sonra 1\doğru\}.}$

Clifford cebirlerinin yukarıdaki somut gerçekleriyle karşılaştırıldığında, Pin grubu keyfi olarak birçok yansımanın ürünlerine karşılık gelir: O( p , q ) tam ortogonal grubunun bir örtüsüdür . Sıkma grubu Pim bu elemanlardan oluşur _{p , q} birim vektörlerin çift sayıda ürünleridir. Böylece, Cartan-Dieudonné teoremi tarafından Spin, uygun rotasyonlar SO( p , q ) grubunun bir kapağıdır .

Let α  : Cı → Cı haritalama ile verilir otomorfizm olmak v ↦ - v saf vektörlerle üzerine etki eden. O halde özellikle, Spin _{p , q} , elemanları α tarafından sabitlenen Pin _{p , q'nun} alt grubudur . İzin vermek

${\displaystyle \operatöradı {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatöradı {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$

(Bunlar tam olarak Cl _{p , q'da} çift ​​dereceli elemanlardır .) O zaman spin grubu Cl'nin içinde yer alır.^[0]
_{p , q}.

Cı indirgenemez temsilleri _{s , q} pim grubunun temsilini elde kısıtlar. Tersine, pin grubu birim vektörler tarafından üretildiğinden, indirgenemez temsilinin tamamı bu şekilde indüklenir. Böylece iki temsil örtüşür. Aynı nedenlerle, spinin indirgenemez temsilleri, Cl'nin indirgenemez temsilleriyle çakışır.^[0]
_{p , q}.

Pin gösterimlerini sınıflandırmak için Clifford cebirlerinin sınıflandırmasına başvurmak yeterlidir . Spin temsillerini (çift alt cebirin temsilleridir) bulmak için önce izomorfizmlerden herhangi biri kullanılabilir (yukarıya bakın)

${\displaystyle \operatöradı {Cl} _{p,q}^{[0]}\yaklaşık \operatöradı {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$

${\displaystyle \operatöradı {Cl} _{p,q}^{[0]}\yaklaşık \operatöradı {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$

ve imzada ( p , q ) bir spin temsilini imzada ( p , q − 1) veya ( q , p − 1) bir pin temsili olarak gerçekleştirir .

Uygulamalar

diferansiyel geometri

Dış cebir başlıca uygulamaları biri olan diferansiyel geometri tanımlamak için kullanıldığı demeti arasında farklı formları , bir ilgili düz manifoldu . Bir ( sözde -) Riemann manifoldu durumunda , tanjant uzayları , metrik tarafından indüklenen doğal bir ikinci dereceden formla donatılmış olarak gelir . Böylece, dış demete benzer şekilde bir Clifford demeti tanımlanabilir . Bunun Riemann geometrisinde bir dizi önemli uygulaması vardır . Belki daha da önemlisi, bir spin manifolduna , onunla ilişkili spinor demetine ve spin ^c manifoldlarına olan bağlantıdır.

Fizik

Clifford cebirlerinin fizikte çok sayıda önemli uygulaması vardır. Fizikçiler genellikle bir Clifford cebirini Dirac matrisleri olarak adlandırılan γ ₀ , …, γ ₃ matrisleri tarafından üretilen bir cebir olarak kabul ederler.

${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}\,}$

burada η , ikinci dereceden bir imza biçiminin matrisidir (1, 3) (veya metrik imzanın iki eşdeğer seçeneğine karşılık gelen (3, 1) ). Bunlar tam olarak Clifford cebiri Cl için tanımlayıcı ilişkilerdir.
_1,3( R ) olan, kompleksleşen bir Cı
_1,3( R ) _C ile olan Clifford Cebirlerin sınıflandırılması , bir cebri izomorf 4 x 4 karmaşık matrisler Cı ₄ ( C ) ≈ M ₄ ( Cı ) . Ancak, Cl gösterimini korumak en iyisidir.
_1,3( R ) _C , çünkü çift doğrusal formu kanonik forma alan herhangi bir dönüşüm, altta yatan uzay-zamanın bir Lorentz dönüşümü değildir .

Fizik kullanılan uzay-Clifford cebri böylece daha fazla bir yapıya sahip Cl ₄ ( Cı ) . Ayrıca bir dizi tercih edilen dönüşüme sahiptir – Lorentz dönüşümleri. İster karmaşıklaştırma delikanlı dahil etmek istediği ne kadar tek kullanılan sözleşmelere ve kısmen de bağlıdır başlamak için gerekli olduğunu, ancak kompleksleşen kuantum mekaniği en sık nerede Lie cebir spin gösterimi gereklidir böylece (1, 3) oturan içeride Clifford cebiri geleneksel olarak karmaşık bir Clifford cebiri gerektirir. Referans olarak, spin Lie cebiri şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\sol[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\sağ],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\sağ]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\ sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^ {\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\sağ).\end{hizalı}}}$

Bu içinde (3, 1) , dolayısıyla sığdığı sözleşmeye Cl
_3,1( R ) _C .

Dirac matrisleri ilk olarak Paul Dirac tarafından elektron için göreli bir birinci dereceden dalga denklemi yazmaya ve Clifford cebirinden karmaşık matrislerin cebirine açık bir izomorfizm vermeye çalışırken yazılmıştır . Sonuç Dirac denklemini tanımlamak ve Dirac operatörünü tanıtmak için kullanıldı . Clifford cebirinin tamamı kuantum alan teorisinde Dirac alan çift doğrusalları şeklinde ortaya çıkar .

Kuantum teorisini açıklamak için Clifford cebirlerinin kullanımı ile diğerleri arasında ileri olmuştur Mario Schönberg tarafından, David Hestenes açısından geometrik hesap ile, David Bohm ve Basil Hiley bir formunda ve iş Clifford cebirlerinin hiyerarşi ve Elio Conte tarafından et al.

Bilgisayar görüşü

Clifford cebirleri, bilgisayarlı görüde eylem tanıma ve sınıflandırma probleminde uygulanmıştır . Rodriguez et al. geleneksel MACH filtrelerini videoya (3B uzaysal-zamansal hacim) ve optik akış gibi vektör değerli verilere genelleştirmek için bir Clifford yerleştirmesi önerir . Vektör değerli veriler, Clifford Fourier Dönüşümü kullanılarak analiz edilir . Bu vektörlere dayalı olarak Clifford Fourier alanında eylem filtreleri sentezlenir ve eylemlerin tanınması Clifford korelasyonu kullanılarak gerçekleştirilir. Yazarlar, klasik uzun metrajlı filmlerde ve spor yayını yapan televizyonlarda tipik olarak gerçekleştirilen eylemleri tanıyarak Clifford yerleştirmenin etkinliğini göstermektedir.

genellemeler

• Bu makale bir alan üzerindeki bir vektör uzayının Clifford cebirine odaklanırken, tanım herhangi bir birimsel, birleştirici, değişmeli halka üzerinde bir modüle değişmeden uzanır .
• Clifford cebirleri, bir vektör uzayı üzerinde ikinci dereceden daha yüksek bir dereceye genelleştirilebilir.

Konferanslar ve dergiler

Clifford ve Geometrik Cebirler çevresinde çok çeşitli uygulamalara sahip canlı ve disiplinler arası bir topluluk vardır. Bu konudaki ana konferanslar, Uluslararası Clifford Cebirleri ve Matematiksel Fizikteki Uygulamaları (ICCA) ve Bilgisayar Bilimi ve Mühendisliğinde Geometrik Cebir Uygulamaları (AGACSE) serilerini içerir. Ana yayın organlarından biri Springer dergisi Advances in Applied Clifford Algebras'dır .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

• Bourbaki, Nicolas (1988), Cebir , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-19373-9, bölüm IX.9.
• Carnahan, S. Borcherds Seminer Notları, Kesilmemiş. 5. Hafta, "Spinors ve Clifford Cebirleri".
• Garling, DJH (2011), Clifford cebirleri. Bir giriş , London Mathematical Society Student Texts, 78 , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-09638-7, Zbl  1235.15025
• Jagannathan, R. (2010), Genelleştirilmiş Clifford cebirleri ve fiziksel uygulamaları üzerine , arXiv : 1005.4300 , Bibcode : 2010arXiv1005.4300J
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Fields üzerinde Kuadratik Formlar giriş , Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları , 67 , Amerikan Matematik Derneği , ISBN 0-8218-1095-2, MR  2104929 , Zbl  1068.11023
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometrisi , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5. Clifford cebirleri ve diferansiyel geometriye uygulamaları üzerine gelişmiş bir ders kitabı.
• Lounesto, Pertti (2001), Clifford cebirleri ve spinörleri , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-00551-7
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford cebirleri ve klasik gruplar , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9
• Sylvester, JJ (1882), Nonionlar üzerine bir söz , Johns Hopkins Üniversitesi Genelgeleri, I , s. 241–2, hdl : 1774.2/32845; aynı eser II (1883) 46; age III (1884) 7-9. Özetlenen James Joseph Sylvester Toplanan Matematik Papers (Cambridge University Press, 1909) v III . çevrimiçi ve daha fazlası .
• Vaz, J.; da Rocha, R. (2016), Clifford Cebirleri ve Spinörlere Giriş , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-878292-6
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields , 1 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-5001-7

daha fazla okuma

• Knus, Max-Albert (1991), Halkalar üzerinde Kuadratik ve Hermityen formlar , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294 , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-75401-2 , ISBN 3-540-52117-8, MR  1096299 , Zbl  0756.11008

Dış bağlantılar

• "Clifford cebiri" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Clifford cebirlerinde Planetmath girişi
• Clifford cebirlerinin tarihi (doğrulanmamış)
• Clifford cebirleri üzerinde John Baez
• Clifford Cebiri: Görsel Bir Giriş