yarı alan - Semifield

Cebirsel yapı → Halka teorisi Halka teorisi
Temel konseptler Yüzükler • Alt halkalar • İdeal • Bölüm halkası • Kesirli ideal • Toplam bölüm halkası • Ürün halkası • İlişkili cebirlerin ücretsiz ürünü • Halkaların tensör ürünü Halka homomorfizmaları • Çekirdek • İç otomorfizm • Frobenius endomorfizmi cebirsel yapılar • Modül • İlişkisel cebir • Dereceli halka • İç içe halka • Yüzük kategorisi • İlk zil ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Terminal halkası ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ İlgili yapılar • Alan • Sonlu alan • İlişkisel olmayan halka • Yalan yüzüğü • Ürdün yüzüğü • Semiring • Yarı saha
değişmeli cebir değişmeli halkalar • İntegral etki alanı • Bütünleşik olarak kapalı alan • GCD alanı • Benzersiz çarpanlara ayırma alanı • Asıl ideal alan • Öklid alanı • Alan • Sonlu alan • Kompozisyon halkası • Polinom halka • Resmi güç serisi halkası cebirsel sayı teorisi • Cebirsel sayı alanı • Tamsayılar halkası • Cebirsel bağımsızlık • Aşkın sayı teorisi • Aşkınlık derecesi p -adic sayı teorisi ve ondalık sayılar • Doğrudan limit / Ters limit • Sıfır halka ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Tamsayılar modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Taban - p daire halkası ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Taban - p tamsayıları ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • p -adic rasyoneller ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Taban - p gerçek sayılar ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -adic tam sayılar ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -adic sayılar ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -adik solenoid ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ cebirsel geometri • Afin çeşidi
değişmeyen cebir değişmeyen halkalar • Bölüm halkası • Yarı ilkel halka • Basit halka • Komütatör Değişmez cebirsel geometri serbest cebir Clifford cebiri • Geometrik cebir operatör cebiri
v t e

In matematik , bir semifield bir olan cebirsel yapısı iki ile ikili operasyonlar bir benzer, ek ve çarpma, sahada , ancak bazı aksiyomları ile rahat.

genel bakış

Yarı alan teriminin, her ikisi de özel bir durum olarak alanları içeren iki çelişkili anlamı vardır.

• Olarak yansıtmalı geometri ve sonlu geometri ( MSC 51A, 51E, 12K10), bir semifield a, nonassociative bölme halka çarpımsal kimlik elemanı. Daha doğrusu, sıfır olmayan elemanları çarpma altında bir döngü oluşturan, ilişkisel olmayan bir halkadır . Başka bir deyişle, bir yarı alan, + (toplama) ve · (çarpma) olmak üzere iki işlem içeren bir S kümesidir , öyle ki
  • ( S ,+) bir değişmeli gruptur ,
  • çarpma hem sola hem de sağa dağılır ,
  • çarpımsal bir kimlik öğesi vardır ve
  • bölme her zaman mümkündür: Her için a ve her sıfır olmayan b olarak S , benzersiz orada var x ve y de S olan b · X = bir ve y · b = bir .

Özellikle çarpmanın değişmeli veya birleştirici olarak varsayılmadığına dikkat edin . Birleştirici olan bir yarı alan bir bölme halkasıdır ve hem birleştirici hem de değişmeli olan bir alandır . Bu tanımdaki bir yarı alan, yarı alanın özel bir durumudur . Eğer S sonlu yukarıdaki tanımı, son belit bir olduğu varsayımı ile ikame edilmiş olabilir sıfır bölen böylece, bir · b = 0 ima bir = 0 ya da b = 0 Not bu nedeniyle ilişkilendirilebilirlik eksikliği , son aksiyom, genellikle alanların ve bölme halkalarının tanımlarında bulunduğu gibi, sıfır olmayan her öğenin bir çarpımsal tersinin olduğu varsayımına eşdeğer değildir .

• Olarak halka teori , kombinatorik , fonksiyonel analiz ve teorik bilgisayar biliminin ( MSC 16Y60), bir semifield a, semiring ( S tüm sıfır olmayan elemanları, çarpımsal ters sahip olduğu, + ·). Bu nesnelere uygun yarı alanlar da denir . Bu tanımın bir varyasyonu ortaya S çarpımsal birimi farklı olan bir emici sıfır, e , sıfır olmayan elemanları, ters çevrilebilir olması gerekir ve bir · 0 = 0 · bir = 0 çarpma olduğu birleştirici , bir yarı alanın (sıfır olmayan) öğeleri bir grup oluşturur . Ancak, ( S ,+) çifti yalnızca bir yarı gruptur , yani toplamsal tersin var olması gerekmez veya halk dilinde 'çıkarma yoktur'. Bazen, çarpmanın birleştirici olduğu varsayılmaz.

Yarı alanların ilkelliği

D*'nin sıfır olmayan öğeleri kümesi w'nin tüm sağ (solda) asal kuvvetlerine eşit olacak şekilde bir w öğesine sahipse, bir D yarı alanı sağ (solda) ilkel olarak adlandırılır.

Örnekler

Biz sadece ikinci anlamdaki yarı-alan örnekleri veriyoruz, yani dağılım çarpımı ile toplamalı yarıgruplar. Ayrıca, örneklerimizde toplama değişmeli ve çarpma bir ilişkiseldir.

• Her zamanki toplama ve çarpma ile pozitif rasyonel sayılar değişmeli bir yarı alan oluşturur.

  Bu, bir emici 0 ile genişletilebilir.

• Her zamanki toplama ve çarpma ile pozitif gerçek sayılar değişmeli bir yarı alan oluşturur.

  Bu, bir soğurucu 0 ile genişletilebilir ve

  log yarı halkasına izomorf olan olasılık yarı halkasını oluşturur .
• Rasyonel fonksiyonlar formunun f / g , f ve g olan polinomları pozitif katsayılı bir değişkeninde, bir değişmeli semifield oluşturur.

  Bu, 0'ı içerecek şekilde genişletilebilir.

• Reel sayılar R iki unsurların toplamı maksimum ve olağan toplamı olarak ürünü için tanımlanmış olan bir semifield izlenebilir; bu yarı alan daha kompakt bir şekilde gösterilir ( R , max, +). Benzer şekilde ( R , min, +) bir yarı alandır. Bunlara tropikal semiring denir .

  Bu, − by (bir soğurucu 0); Bu sınır (olup tropicalization arasında) semiring log tabanı sonsuza gider.

• Önceki örneği genelleştirirsek, eğer ( A ,·,≤) kafes sıralı bir grupsa , o zaman ( A ,+,·) iki öğenin üstünlüğü olarak tanımlanan yarı-alan toplamı ile toplamsal olarak bağımsız bir yarı- alandır . Tersine, herhangi bir toplamsal olarak idempotent yarı alan ( A ,+,·) kafes sıralı bir grup ( A ,·,≤) tanımlar , burada a ≤ b ancak ve ancak a + b = b ise .
• Boolean yarı alanı B = {0, 1} mantıksal veya ile tanımlanan toplama ve mantıksal ve ile tanımlanan çarpma .

Ayrıca bakınız

• Düzlemsel üçlü halka (birinci anlamda)

Referanslar