Asal sayma işlevi - Prime-counting function

Gelen matematik , ana sayma fonksiyonu olan fonksiyon sayısının sayılması asal sayılar bazıları için daha az ya da eşit gerçek sayı x . π ( x ) ile gösterilir ( π sayısıyla ilgisi yoktur ).

İlk 60 pozitif tam sayı için π ( n ) değerleri

Tarih

Sayı teorisinde büyük ilgi gören , asal sayma fonksiyonunun büyüme oranıdır . Bu edilmiş conjectured tarafından 18. yüzyılın sonunda Gauss tarafından Legendre yaklaşık olarak

${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$

anlamda olduğu

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.}$

Bu ifade asal sayı teoremidir . Eşdeğer bir ifade

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatör adı {li} (x)=1}$

burada li logaritmik integral fonksiyonudur. Asal sayı teoremi ilk olarak 1896'da Jacques Hadamard ve Charles de la Vallée Poussin tarafından Riemann tarafından 1859'da tanıtılan Riemann zeta fonksiyonunun özelliklerini kullanarak bağımsız olarak kanıtlandı. Asal sayı teoreminin zeta fonksiyonunu veya karmaşık analizi kullanmayan kanıtları bulundu. 1948 civarında Atle Selberg ve Paul Erdős tarafından (çoğunlukla bağımsız olarak).

1899'da de la Vallée Poussin bunu kanıtladı (ayrıca bkz. Teorem 23)

${\displaystyle \pi (x)=\operatöradı {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\sağ)\quad {\text{as }}x \to \infty }$

bazı pozitif sabitler için a . Burada, Ey (...) olan büyük Ç notasyonu .

Artık daha kesin tahminler biliniyor. Örneğin, 2002'de Kevin Ford bunu kanıtladı. ${\görüntüleme stili \pi (x)\!}$

${\displaystyle \pi (x)=\operatöradı {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \ log x)^{-{\frac {1}{5}}}\sağ)\sağ)}$

Mossinghoff ve Trudgian, ve arasındaki fark için açık bir üst sınır olduğunu kanıtladı : ${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\displaystyle \operatöradı {li} (x)}$

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatöradı {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}} \exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\sağ)}$

için . ${\displaystyle x\geq 229}$

İlgilendiğimiz çoğu değer için (yani, makul olmayan bir şekilde büyük olmadığında) 'den büyüktür . Ancak sonsuz sayıda işaret değiştirdiği bilinmektedir. Bununla ilgili bir tartışma için bkz. Skewes' number . ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle \operatöradı {li} (x)}$${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\displaystyle \pi (x)-\operatöradı {li} (x)}$

Tam form

İçin let zaman bir asal sayı ve olduğu aksi. Derin bir öneme sahip olan Bernhard Riemann , bunun eşit olduğunu kanıtladı . ${\displaystyle x>1}$${\displaystyle \pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle \pi _{0}(x)=\pi (x)}$ ${\görüntüleme stili \pi _{0}(x)}$

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatöradı {R} (x)-\sum _{\rho }\operatöradı {R} (x^{\rho })}$

nerede

${\displaystyle \operatöradı {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatöradı {li} (x^{1/ n}),}$

μ ( n ) olan Möbiüs fonksiyonu , Li ( x ) bir logaritmik integral fonksiyonu , ρ endeksler her sıfır Riemann zeta fonksiyonu ve li ( x ^{ρ / n} ) bir ile değerlendirilmez dal kesme yerine olarak kabul Ei ( ρ/ngünlük x ) Ei ( X ) olan üslü yekpare . Önemsiz sıfırlar toplanır ve toplamı alınırsa sadece önemsiz olmayan sıfır üzerinde p ait Riemann zeta fonksiyonu daha sonra, yaklasık edilebilir ${\görüntüleme stili \pi _{0}(x)}$

${\displaystyle \pi _{0}(x)\yaklaşık \operatöradı {R} (x)-\sum _{\rho }\operatöradı {R} (x^{\rho })-{\frac {1} {\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.}$

Riemann hipotezi ileri sürmektedir boyunca her tür önemsiz olmayan sıfır yalan Re ( s ) =1/2.

π ( x ), x / log x ve li( x ) tablosu

Tablo, π ( x ), x / log x ve li( x ) üç fonksiyonunun 10'un kuvvetleriyle nasıl karşılaştırıldığını gösterir. Ayrıca bkz. ve

x	π ( x )	π ( x ) - x / log x	li( x ) − π ( x )	x / π ( x )	x / günlük x  % Hata
10	4	-0,3	2.2	2.500	-%7,5
10 2	25	3.3	5.1	4.000	%13.20
10 3	168	23	10	5.952	%13.69
10 4	1.229	143	17	8.137	%11,64
10 5	9.592	906	38	10.425	%9,45
10 6	78.498	6.116	130	12.740	%7,79
10 7	664.579	44,158	339	15.047	%6.64
10 8	5.761.455	332.774	754	17.357	%5,78
10 9	50.847.534	2,592,592	1.701	19.667	%5,10
10 10	455,052,511	20.758.029	3.104	21.975	%4.56
10 11	4.118.054.813	169.923.159	11.588	24.283	%4,13
10 12	37.607.912.018	1.416.705.193	38.263	26.590	%3.77
10 13	346.065.536.839	11.992.858.452	108.971	28.896	%3.47
10 14	3,204,941,750,802	102.838.308.636	314.890	31.202	%3.21
10 15	29.844.570.422.669	891.604.962.452	1.052.619	33.507	%2,99
10 16	279.238.341.033.925	7.804.289.844.393	3.214.632	35.812	%2.79
10 17	2.623.557.157.654.233	68.883.734.693.281	7.956.589	38.116	%2.63
10 18	24.739.954.287.740.860	612,483,070,893,536	21.949.555	40.420	%2,48
10 19	234,057,667,276,344,607	5.481.624.169.369.960	99.877.775	42.725	%2.34
10 20	2.220.819.602.560.918.840	49.347.193.044.659.701	222.744,644	45.028	%2.22
10 21	21.127.269.486.018.731.928	446.579.871.578.168.707	597.394.254	47.332	%2.11
10 22	201.467.286.689.315.906.290	4.060.704.006.019.620.994	1.932.355.208	49.636	%2.02
10 23	1.925.320.391.606.803.968.923	37.083.513.766.578.631.309	7.250.186.216	51.939	%1,93
10 24	18.435.599.767.349.200.867.866	339,996,354,713,708,049,069	17.146.907.278	54.243	%1.84
10 25	176.846.309.399.143.769.411.680	3.128.516.637.843.038.351.228	55.160.980.939	56.546	%1,77
10 26	1.699.246.750.872.437.141.327.603	28.883.358.936.853.188.823.261	155.891.678.121	58.850	%1,70
10 27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267.479.615.611.131.274.163.365	508.666.658,006	61.153	%1,64

Asal sayma fonksiyonunun π ( x ) iki yaklaşımına oranını gösteren grafik , x /log x ve Li( x ). Olarak X artar (not X ekseni isimli logaritmik), her iki oranın 1. doğru yönelik oranı eğiliminde x / log X , yukarıda çok yavaş yakınsayan ise, Li (ilişkin oran X daha hızlı bir şekilde aşağıdan) birleşir.

Gelen tamsayı Dizilerin On-Line Ansiklopedisi , π ( x ) kolonu dizisidir OEIS :  A006880 , π ( X ) - X / günlük X bir dizi OEIS :  A057835 , ve Li ( X ) - π ( X ) olan sekans OEIS :  A057752 .

π değeri (10 ²⁴ ) orijinal olarak J. Buethe, J. Franke , A. Jost ve T. Kleinjung tarafından Riemann hipotezi varsayılarak hesaplanmıştır . Daha sonra DJ Platt tarafından yapılan bir hesaplamada koşulsuz olarak doğrulandı. Değeri tt (10 ²⁵ ), J. Buethe, kaynaklanmaktadır J. Franke , A. Jost, ve T. Kleinjung. Değeri tt (10 ²⁶ ) DB Zımba ile hesaplanmıştır. Bu tablodaki diğer tüm önceki girişler de bu çalışmanın bir parçası olarak doğrulandı.

10 ^27'nin değeri 2015 yılında David Baugh ve Kim Walisch tarafından açıklandı.

π ( x ) değerlendirmek için algoritmalar

Çok büyük değilse bulmanın basit bir yolu , Eratosthenes eleğini kullanarak asal sayıları eşit veya daha küçük üretmek ve sonra onları saymaktır. ${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$

Bulgunun daha ayrıntılı bir yol kaynaklanmaktadır Legendre (kullanarak içerme-dışlama prensibi verilen:) eğer, farklı asal sayılar tamsayılar sayısı az sonra, ya hiç eşit olan hiçbir ile bölünebilir olduğu ${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor { \frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j} p_{k}}}\sağ\rzemin +\cdots }$

(burada zemin fonksiyonunu gösterir ). Bu sayı bu nedenle eşittir ${\displaystyle \lfloor {x}\rfloor }$

${\displaystyle \pi (x)-\pi \sol({\sqrt {x}}\sağ)+1}$

sayılar , kareköküne eşit veya küçük asal sayılar olduğunda . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$${\görüntüleme stili x}$

Meissel-Lehmer algoritması

1870 ve 1885 yılları arasında yayınlanan bir dizi makalede Ernst Meissel , . Izin ilk tarafından asal ve göstermektedirler daha büyük olmayan doğal sayıların sayı hiçbir bölünebilir olan . Sonra ${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili \Phi (m,n)}$${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \sol({\frac {m}{p_{n}}},n-1\sağ).}$

Bir doğal sayı verildiğinde , if ve if , o zaman ${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle n=\pi \sol({\sqrt[{3}]{m}}\sağ)}$${\displaystyle \mu =\pi \sol({\sqrt {m}}\sağ)-n}$

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{ k=1}^{\mu }\pi \sol({\frac {m}{p_{n+k}}}\sağ).}$

Bu yaklaşım kullanılarak, Meißel bilgisayarlı için, 5'e eşit x 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷ , ve 10 ⁸ . ${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\görüntüleme stili x}$

1959'da Derrick Henry Lehmer , Meissel'in yöntemini genişletti ve basitleştirdi. Gerçekçi ol, tanımlayın ve doğal sayılar için ve , sayıların sayısından daha büyük olmayan olarak m aynen ile k asal faktörleri, daha hepsinden büyük . Ayrıca, ayarlayın . Sonra ${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle P_{k}(m,n)}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle P_{0}(m,n)=1}$

${\displaystyle \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)}$

toplamın aslında yalnızca sonlu sayıda sıfır olmayan terime sahip olduğu yer. Öyle bir tamsayı gösterelim ve set edelim . Sonra ve ne zaman . Öyleyse, ${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}}$${\görüntüleme stili n=\pi (y)}$${\displaystyle P_{1}(m,n)=\pi (m)-n}$${\displaystyle P_{k}(m,n)=0}$${\görüntüleme stili k\geq 3}$

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)}$

hesaplanması şu şekilde elde edilebilir: ${\displaystyle P_{2}(m,n)}$

${\displaystyle P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\sağ) )-\pi (p)+1\sağ),}$

burada toplam asal sayıların üzerindedir.

Öte yandan, aşağıdaki kurallar kullanılarak hesaplanması yapılabilir: ${\görüntüleme stili \Phi (m,n)}$

1. ${\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor }$
2. ${\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \sol({\frac {m}{p_{b}}},b-1\sağ)}$

Lehmer kendi yöntemini ve bir IBM 701'i kullanarak hesaplamayı başardı . ${\displaystyle \pi \sol(10^{10}\sağ)}$

Bu yöntemde daha fazla iyileştirme Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise ve Rivat tarafından yapılmıştır.

Diğer asal sayma işlevleri

Çalışmak için daha uygun oldukları için diğer asal sayma işlevleri de kullanılır. Biri, genellikle veya olarak gösterilen Riemann'ın asal sayma işlevidir . Bu 1 / atlar etmiştir n için asal güçler p ⁿ o süreksizliklerinde iki taraf arasında yarım bir değer alarak. Bu eklenen ayrıntı kullanılır çünkü o zaman fonksiyon ters bir Mellin dönüşümü ile tanımlanabilir . Resmi olarak, şu şekilde tanımlayabiliriz : ${\görüntüleme stili \Pi _{0}(x)}$${\görüntüleme stili J_{0}(x)}$${\görüntüleme stili \Pi _{0}(x)}$

${\displaystyle \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ + \sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\sağ)}$

burada p bir asaldır.

biz de yazabiliriz

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {1}{2 }}{\frac {\Lambda (x)}{\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\ bigl (}x^{1/n}{\bigr )}}$

burada bir Von Mangoldt fonksiyonu ve ${\ Displaystyle \ Lambda (n)}$

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Möbiüs ters formül sonra verir

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}{\bigl ( }x^{1/n}{\bigr )}}$

Logaritması arasındaki ilişkiyi bilmek Riemann zeta fonksiyonu ve von Mangoldt fonksiyonu kullanılması ile ve Perron, aşağıdaki formüle sahip olduğumuz ${\ Displaystyle \ Lambda }$

${\displaystyle \log \zeta(s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,dx}$

Chebyshev fonksiyonu ağırlıkları asal veya asal güçler p ^{, n} log ( s ):

${\displaystyle \theta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta {\bigl (}x^{1) /n}{\bigr )}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$

Asal sayma işlevleri için formüller

Asal sayma işlevleri için formüller iki çeşittir: aritmetik formüller ve analitik formüller. Asal sayım için analitik formüller, asal sayı teoremini kanıtlamak için ilk kullanılanlardı . Riemann ve von Mangoldt'un çalışmalarından kaynaklanırlar ve genellikle açık formüller olarak bilinirler .

ψ için aşağıdaki ifadeye sahibiz :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1 }{2}}\log \sol(1-x^{-2}\sağ),}$

nerede

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Burada ρ sıfırları olan Riemann zeta fonksiyonu gerçek parçası kritik şerit bölgesi p'ye sıfır ve bir arasında olmasıdır. Formül, ilgilenilen bölge olan x'in birden büyük değerleri için geçerlidir . Köklerin toplamı koşullu yakınsaktır ve sanal kısmın artan mutlak değerine göre alınmalıdır. Önemsiz kökler üzerindeki aynı toplamın formüldeki son çıkarmayı verdiğine dikkat edin .

Çünkü daha karmaşık bir formülümüz var ${\görüntüleme stili \Pi _{0}(x)}$

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatöradı {li} (x)-\sum _{\rho }\operatöradı {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _ {x}^{\infty }{\frac {dt}{t\sol(t^{2}-1\sağ)\log t}}.}$

Zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan ilk 200 sıfırını kullanan Riemann'ın açık formülü

Yine formül x > 1 için geçerlidir , ρ ise mutlak değerlerine göre sıralanmış zeta fonksiyonunun önemsiz sıfırlarıdır. İntegral, önemsiz sıfırlar üzerindeki seriye eşittir:

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\sağ)\log t}}=\int _{ x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}(\sum _{m}t^{-2m})\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\ int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{ -2m})}{=}}-\sum _{m}\operatöradı {li} (x^{-2m})}$

İlk terim li( x ) olağan logaritmik integral fonksiyonudur ; sentezleme li ( x ^ρ ikinci dönem) Ei (olarak kabul edilmelidir ρ  günlük  x Ei), analitik devam ait üstel entegre pozitif reals boyunca dal kesim ile kompleks düzlemine negatif reals fonksiyonu.

Böylece Möbius inversiyon formülü bize

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatöradı {R} (x)-\sum _{\rho }\operatöradı {R} (x^{\rho })-\sum _{m}\ operatör adı {R} (x^{-2m})}$

x > 1 için geçerlidir , burada

${\displaystyle \operatöradı {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatöradı {li} (x^{1/ n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

Riemann Ar-fonksiyonu ve bir μ ( n ) olan Möbiüs fonksiyonu . Bunun için ikinci seri Gram serisi olarak bilinir . Çünkü hepsi için , bu seri , için serisine kıyasla tüm pozitif x için yakınsar . Önemsiz olmayan sıfır katkı üzerindeki toplamın Gram serisindeki logaritması olarak değerlendirilmeli ve değil olarak değerlendirilmelidir . ${\görüntüleme stili \log(x)<x}$${\görüntüleme stili x>0}$${\görüntüleme stili e^{x}}$${\görüntüleme stili \rho \log x}$${\displaystyle \log x^{\rho }}$

Log ölçeğinde Δ fonksiyonu (kırmızı çizgi)

Formüldeki önemsiz olmayan zeta sıfırların toplamı , kalan terimler asal sayma fonksiyonunun "pürüzsüz" bölümünü verirken, dalgalanmaları açıklar , bu yüzden biri kullanılabilir ${\görüntüleme stili \pi _{0}(x)}$${\görüntüleme stili \pi _{0}(x),}$

${\displaystyle \operatöradı {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatöradı {R} (x^{-2m})}$

iyi bir tahmin olarak için x "gürültülü" kısmının büyüklüğü yaklaşık sezgisel olarak ise, ikinci dönem yakınsak itibaren 0 Aslında> 1., tahmin ile ${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\displaystyle {\sqrt {x}}/\log x,}$${\görüntüleme stili \pi (x)}$

${\görüntüleme stili \operatör adı {R} (x)}$

tek başına da aynı derecede iyidir ve asal sayıların dağılımındaki dalgalanmalar , fonksiyonla açıkça temsil edilebilir.

${\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatör adı {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}$

Hemen hemen aynı fonksiyonun değerlerinin kapsamlı bir tablosu mevcuttur. Burada, ek terimler , Riesel ve Göhl nedeniyle bir yaklaşımdan gelmektedir. ${\displaystyle \Delta (x)=\left(\pi _{0}(x)-\operatöradı {R} (x)+{\tfrac {1}{\log x}}-{\tfrac {1} {\pi }}\arctan {\tfrac {\pi }{\log x}}\sağ){\tfrac {\log x}{\sqrt {x}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\log x}}-{\tfrac {1}{\pi }}\arctan {\tfrac {\pi }{\log x}}=O{\bigl (}( \log x)^{-3}{\bigr )}}$${\displaystyle \sum _{m}\operatöradı {R} (x^{-2m})}$

eşitsizlikler

Burada π ( x ) için bazı yararlı eşitsizlikler verilmiştir .

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}}$

için x ≥ 17.

Sol eşitsizlik x ≥ 17 için ve sağ eşitsizlik x > 1 için geçerlidir. 1.25506 sabiti , x = 113'teki maksimum değerine sahip olduğu gibi 5 ondalık basamağa kadardır . ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$${\textstyle {\frac {\pi (x)\log x}{x}}}$

Pierre Dusart , 2010 yılında kanıtladı:

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)}$için ve${\displaystyle x\geq 5393}$

${\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}}$için .${\displaystyle x\geq 60184}$

İşte bazı eşitsizlikler n inci asal, s _n . Üst sınır Rosser'a (1941), alt sınır ise Dusart'a (1999) aittir:

${\displaystyle n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}}$n ≥ 6 için

Sol eşitsizlik n ≥ 2 için , sağ eşitsizlik n ≥ 6 için geçerlidir .

İçin bir yaklaşım n asal sayı inci olduğunu

${\displaystyle p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\sol({\ frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\sağ).}$

Ramanujan eşitsizliği kanıtladı

${\displaystyle \pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\sağ)}$

yeterince büyük tüm değerler için geçerlidir . ${\görüntüleme stili x}$

Dusart'ta kanıtladı (Önerme 6.6), için , ${\ Displaystyle n\geq 688383}$

${\displaystyle p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\sağ),}$

ve (Önerme 6.7), için , ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\sağ).}$

Daha yakın zamanlarda, Dusart kanıtladı (Teorem 5.1), için , ${\displaystyle x>1}$

${\displaystyle \pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^ {2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\sağ)}$ ,

ve bunun için , ${\displaystyle x\geq 88789}$

${\displaystyle \pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{ 2}x}}\sağ).}$

Riemann hipotezi

Riemann hipotezi için tahminindeki hata bağlı daha sıkı eşdeğerdir , ve dolayısıyla asal sayıların daha düzenli dağılımına ${\görüntüleme stili \pi (x)}$

${\displaystyle \pi (x)=\operatöradı {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

özellikle,

${\displaystyle |\pi (x)-\operatöradı {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{ tümü için }}x\geq 2657.}$

Ayrıca bakınız

• Foia sabiti
• Bertrand'ın varsayımı
• Oppermann'ın varsayımı
• Ramanujan başbakanı

Referanslar

Dış bağlantılar

• Chris Caldwell, N. Prime Sayfa at Prime Sayfalar .
• Tomás Oliveira e Silva, Asal sayma fonksiyonlarının tabloları .