Bir sayıyı en yakın iki tam sayıya yuvarlayan matematiksel fonksiyonlar
Gelen matematik ve bilgisayar biliminin , zemin işlevi olan işlev , girdi olarak bir alır reel sayı x , ve en büyük çıkış olarak veren tam sayı daha az veya eşit , x , gösterilen kat ( x ) ya da ⌊ x ⌋ . Benzer şekilde, tavan fonksiyonu haritalar x daha az tam sayı için ya da eşit , x , gösterilen ceil ( x ) ya da ⌈ x ⌉ .
Örneğin, ⌊2.4⌋ = 2 , ⌊−2.4⌋ = −3 , ⌈2.4⌉ = 3 ve ⌈−2.4⌉ = −2 .
Parçası ya da tam sayı kısmı arasında x genellikle belirtilen, [ X ] , genellikle gibi tanımlanmıştır ⌊ x ⌋ eğer X negatif olmayan ve ⌈ x ⌉ aksi. Örneğin, [2.4] = 2 ve [−2.4] = -2 . Kesme işlemi, bunu belirli bir basamak sayısına genelleştirir: sıfır anlamlı basamaklara kesme, tamsayı kısmıyla aynıdır.
Bazı yazarlar , bunun için çeşitli gösterimler kullanarak , x işaretinden bağımsız olarak tamsayı kısmını taban olarak tanımlar .
İçin , n bir tam sayı, ⌊ N ⌋ = ⌈ N ⌉ = [ n ] = n .
gösterim
Parçası ya da tam sayı kısmı bir dizi ( partie entière orijinal), ilk olarak 1798 yılında tanımlanmıştır Free & Marie Legendre onun kanıt Legendre, formül .
Carl Friedrich Gauss , ikinci dereceden karşılıklılığın (1808) üçüncü ispatında köşeli parantez gösterimini tanıttı . Bu, Kenneth E. Iverson , 1962 tarihli A Programming Language kitabında "zemin" ve "tavan" adlarını ve bunlara karşılık gelen gösterimleri ve . Her iki gösterim de artık matematikte kullanılmaktadır, ancak bu makalede Iverson'un gösterimi izlenecektir.
Bazı kaynaklarda zemin için kalın veya çift parantez , tavan için ters parantez veya ] x [ kullanılır. Bazen sıfıra doğru yuvarlama işlevi anlamına gelir.
Ondalık kısmı olan testere dişi fonksiyonu ile gösterilmiştir, gerçek x formülü ile ve tanımlanmış
tüm x için ,
Örnekler
x
|
kat
|
Tavan
|
kesirli kısım
|
2
|
2
|
2
|
0
|
2.4
|
2
|
3
|
0,4
|
2.9
|
2
|
3
|
0.9
|
-2,7
|
-3
|
-2
|
0,3
|
-2
|
-2
|
-2
|
0
|
dizgi
Zemin ve tavan işlevleri genellikle üst (zemin işlevi için) veya alt (tavan işlevi için) yatay çubukların eksik olduğu ( zemin ve tavan için) sol ve sağ köşeli parantezlerle dizilir . Bu karakterler Unicode'da sağlanır:
-
U+2308 ⌈ SOL TAVAN (HTML
⌈
· ⌈, ⌈
)
-
U+2309 ⌉ SAĞ TAVAN (HTML
⌉
· ⌉, ⌉
)
-
U+230A ⌊ SOL KAT (HTML
⌊
· ⌊, ⌊
)
-
U+230B ⌋ SAĞ KAT (HTML
⌋
· ⌋, ⌋
)
Gelen LaTeX dizgi sisteminde, bu semboller ile belirtilebilir \lfloor, \rfloor, \lceil
ve \rceil
matematik modunda komutları ve kullanma boyutunda genişletilmiş \left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceil
ve \right\rceil
gerektiği gibi.
Tanım ve özellikler
Verilen gerçek sayılar x ve y , k , m , n tamsayıları ve tamsayılar , taban ve tavan kümesi denklemlerle tanımlanabilir
1 uzunluğundaki yarı açık bir aralıkta tam olarak bir tam sayı olduğundan, herhangi bir x gerçek sayısı için , denklemi sağlayan
benzersiz m ve n tam sayıları vardır.
nerede ve ayrıca zemin ve tavan tanımı olarak alınabilir.
denklikler
Bu formüller, zemin ve tavanları içeren ifadeleri basitleştirmek için kullanılabilir.
Düzen teorisi dilinde , zemin işlevi artık bir haritalamadır , yani bir Galois bağlantısının parçasıdır : tamsayıları gerçeklere gömen işlevin üst birleşimidir.
Bu formüller, bağımsız değişkenlere tamsayı eklemenin işlevleri nasıl etkilediğini gösterir:
n bir tamsayı değilse , yukarıdakiler asla doğru değildir; ancak, her x ve y için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
Fonksiyonlar arasındaki ilişkiler
Tanımlardan da anlaşılacağı
-
eşitlikle ancak ve ancak x bir tamsayıysa, yani
Aslında, n tamsayıları için hem taban hem de tavan işlevleri kimliktir :
Argümanın olumsuzlanması, zemin ve tavan arasında geçiş yapar ve işareti değiştirir:
ve:
Argümanın olumsuzlanması, kesirli kısmı tamamlar:
Zemin, tavan ve kesirli kısım işlevleri önemsizdir :
İç içe döşeme veya tavan işlevlerinin sonucu en içteki işlevdir:
tamsayılar için kimlik özelliği nedeniyle.
Bölümler
Eğer m ve n tamsayı olup n ≠ 0,
Eğer n pozitif bir tam sayıdır
Eğer m pozitiftir
İçin m = 2 olan bu ima
Daha genel olarak, pozitif m için (Bkz. Hermite'nin kimliği )
Aşağıdakiler, zemini tavana dönüştürmek için kullanılabilir ve tersi de kullanılabilir ( m pozitif)
Tüm m ve n kesinlikle pozitif tam sayılar için:
pozitif ve asal m ve n için ,
Genel durumun sağ tarafı m ve n'de simetrik olduğundan , bu şu anlama gelir:
Daha genel olarak, eğer m ve n pozitif ise,
Buna bazen mütekabiliyet yasası denir .
iç içe bölümler
n pozitif tamsayı ve keyfi gerçek sayılar m , x için :
Süreklilik ve seri açılımları
Bu makalede açıklanan işlevlerin hiçbiri vardır sürekli , ama hepsi parçalı lineer : fonksiyonlar , ve tamsayılar de kesintilere sahip.
bir yarı-sürekli üst ve ve alt yarı süreklidir.
Bu makalede tartışılan işlevlerin hiçbiri sürekli olmadığından, hiçbirinin bir kuvvet serisi açılımı yoktur. Zemin ve tavan periyodik olmadığından, düzgün yakınsak Fourier serisi açılımları yoktur. Kesirli parça işlevi Fourier serisi genişletmeye sahiptir
için , x bir tamsayı olup.
Süreksizlik noktalarında, bir Fourier serisi, taban, tavan ve kesirli parça fonksiyonlarının aksine, sol ve sağdaki limitlerinin ortalaması olan bir değere yakınsar: y sabit ve x y'nin bir katı için verilen Fourier serisi yakınsar. için y / 2 ziyade, x mod y süreklilik noktalarına gerçek değere serisi yakınsak de = 0.
Floor(x) = x − {x} formülünü kullanarak
için , x bir tamsayı olup.
Uygulamalar
mod operatörü
Bir tamsayıdır için x ve pozitif bir tam sayı , y , modüllük işlemde ile gösterilen, x mod y zaman, geri kalan değer verir X bölünür y . Bu tanım , formülle gerçek x ve y , y ≠ 0'a
genişletilebilir.
Daha sonra, bu genişletilmiş işlemin birçok doğal özelliği karşıladığı, zemin fonksiyonunun tanımından çıkar. Özellikle, x mod y her zaman 0 ile y arasındadır , yani
Eğer y olumlu,
ve y negatifse,
ikinci dereceden karşılıklılık
Eisenstein tarafından değiştirildiği şekliyle Gauss'un ikinci dereceden karşılıklılığın üçüncü kanıtının iki temel adımı vardır.
Let p ve q farklı pozitif tek asal sayılar olmak ve izin
-
İlk olarak, Gauss'un lemması , Legendre sembollerinin şu şekilde verildiğini
göstermek için kullanılır.
ve
İkinci adım, bunu göstermek için geometrik bir argüman kullanmaktır.
Bu formülleri birleştirmek, formda ikinci dereceden karşılıklılık verir.
Küçük sayıların ikinci dereceden karakterini ifade etmek için floor kullanan formüller vardır mod tek asal p :
Yuvarlama
Rastgele bir gerçek sayı için , pozitif sonsuza doğru bağ kopması olan en yakın tam sayıya yuvarlama ; negatif sonsuza yuvarlama olarak verilir .
Tie-kırma uzaklıkta 0 ila ise, yuvarlama işlevi , ve hatta doğru yuvarlanması daha hantal ile ifade edilebilir Pozitif sonsuza yuvarlama için yukarıda ifade, eksi bir bütünlüğü göstergesi için .
Basamak sayısı
Basamak sayısı baz b pozitif bir tamsayı ve k ise
Faktöriyellerin Faktörleri
Let n pozitif bir tamsayı ve olmayacak p pozitif bir asal sayı. p'nin n'yi bölen en yüksek kuvvetinin üssü ! Legendre formülünün bir versiyonu tarafından verilir
p tabanında n yazmanın yolu nerede ? p k > n olduğunda katlar sıfır olduğundan bu sonlu bir toplamdır .
Beatty dizisi
Beatty dizisi her pozitif gösterilmiştir mantıksız numarası verir bir bölüme yükselmesi doğal sayılar zemin işlevi ile iki dizi halinde.
Euler sabiti (γ)
Euler sabiti γ = 0.57721 56649 ... için zemini ve tavanı içeren formüller vardır , örn.
ve
Riemann zeta fonksiyonu (ζ)
Kesirli kısım fonksiyonu ayrıca Riemann zeta fonksiyonunun integral gösterimlerinde de ortaya çıkar . [ a , b ]
kapalı aralığında sürekli türevi olan herhangi bir fonksiyon olup olmadığını (parçalarla integrasyon kullanarak) kanıtlamak kolaydır.
Letting için gerçek parçanın ait lar 1'den büyük ve icar bir ve b tamsayı ve icar b sonsuza yaklaşmaktadır verir
Bu formül, tüm için geçerlidir s (hariç -1'den gerçek parça büyüktür ile s ve {Fourier genişleme ile birlikte orada = 1, bir kutup) x tüm karmaşık düzlemine zeta fonksiyonu genişletmek için kullanılabilir} ve fonksiyonel denklemini kanıtlamak için.
İçin s = σ + o kritik şerit 0 <içinde σ <1,
1947'de van der Pol , zeta fonksiyonunun köklerini bulmak için bir analog bilgisayar oluşturmak için bu gösterimi kullandı.
Asal sayılar için formüller
Kat işlevi, asal sayıları karakterize eden çeşitli formüllerde görünür. Örneğin, m , n'yi bölerse 1'e , aksi halde 0'a eşit olduğundan , pozitif bir n tamsayısının , ancak ve ancak şu durumda asal olduğu sonucu çıkar.
Asal sayıları üretmek için formüller de verilebilir. Örneğin, izin p , n olduğu , n -inci asal ve herhangi bir tam sayı için r > 1 ise, gerçek sayı tanımlar a toplamı
Sonra
Benzer bir sonuç, şu özelliğe sahip bir θ = 1.3064... ( Mills sabiti ) sayısının olmasıdır.
hepsi asal.
Ayrıca ω = 1,9287800... sayısı da vardır ve bu özelliğe sahiptir.
hepsi asal.
Let π ( X ) olmak asal sayısını daha az ya da eşit , x . Bu bir basit kesinti olduğunu Wilson'ın teoremi o
Ayrıca, n ≥ 2 ise,
Bu bölümdeki formüllerin hiçbiri pratik kullanımda değildir.
Çözülmüş problemler
Ramanujan bu problemleri Journal of the Indian Mathematical Society'ye sundu .
Eğer n pozitif bir tam sayıdır, kanıtlamak
-
-
-
çözülmemiş sorun
Waring'in sorununun incelenmesi, çözülmemiş bir soruna yol açtı:
k ≥ 6
pozitif tamsayılar var mı?
-
?
Mahler'in ancak böyle bir sonlu sayıda olabilir kanıtlamıştır k ; hiçbiri bilinmiyor.
Bilgisayar uygulamaları
C'de kayan nokta dönüşümünden gelen int işlevi
Çoğu programlama dilinde, kayan noktalı bir sayıyı tam sayıya dönüştürmenin en basit yöntemi taban veya tavan değil, kesme işlemidir . Bunun nedeni tarihseldir, çünkü kullanılan ilk makineler, tamamlayıcı ve kesmenin uygulanması daha basitti (zemin, ikinin tamamlayıcısında daha basittir ). FORTRAN bu davranışı gerektirecek şekilde tanımlandı ve bu nedenle neredeyse tüm işlemciler dönüştürmeyi bu şekilde uygular. Bazıları bunun, menşenin negatif tarafında negatif ofsetler ve grafiklerle uğraşan hatalara yol açan talihsiz bir tarihsel tasarım kararı olduğunu düşünüyor.
Bir bit temelinde sağa kaydırma imzalı tamsayı ile aynıdır . 2'nin kuvvetiyle bölme genellikle sağa kaydırma olarak yazılır, sanıldığı gibi optimizasyon için değil, negatif sonuçların tabanı gerekli olduğu için. Bu tür kaymaların "erken optimizasyon" olduğunu varsaymak ve bunları bölme ile değiştirmek yazılımı bozabilir.
(Dahil birçok programlama dilleri C , C ++ , C # , Java , PHP , R ve Python ) taban ve tavan, genellikle denilen standart işlevleri sağlamak floor
ve ceil
veya daha nadir ceiling
. APL'nin⌊x
zemin için kullandığı dil . J Programlama Dili , müteakiben bir standart klavye sembolleri kullanır kullanmak üzere tasarlanmıştır APL için <.
zemin için ve >.
tavan için.
ALGOLentier
zemin için kullanır .
Elektronik tablo yazılımı
Çoğu elektronik tablo programı, bir ceiling
işlevin bir biçimini destekler . Ayrıntılar programlar arasında farklılık gösterse de, çoğu uygulama ikinci bir parametreyi destekler - verilen sayının bir katına yuvarlanacak olan. Örneğin, ceiling(2, 3)
2'yi 3'ün en yakın katına kadar yuvarlar ve 3 verir. Bununla birlikte, "yuvarlamanın" ne anlama geldiğinin tanımı programdan programa farklılık gösterir.
Microsoft Excel , standart gösterimin neredeyse tam tersini kullandı INT
: zemin için ve FLOOR
sıfıra doğru CEILING
yuvarlanma ve sıfırdan yuvarlama anlamına gelir. Bu, Office Open XML dosya biçimine kadar geldi. Excel 2010 artık standart tanımı takip ediyor.
OpenDocument dosya biçimi, tarafından kullanılan OpenOffice.org , LibreOffice'i ve diğerleri, onun tavan matematiksel bir tanımını aşağıdaki ceiling
Excel uyumluluk için isteğe bağlı bir parametre ile fonksiyonu. Örneğin, CEILING(-4.5)
-4 döndürür.
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
-
JWS Cassels (1957), Diophantine yaklaşımına bir giriş , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45 , Cambridge University Press
-
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Asal Sayılar: Hesaplamalı Bir Perspektif , New York: Springer , ISBN 0-387-94777-9
-
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Ören (1994), Beton Matematik , Okuma Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
-
Hardy, GH; Wright, EM (1980), Sayılar Teorisine Giriş (Beşinci baskı) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
- Nicholas J. Higham, Matematik bilimleri için yazma el kitabı , SIAM. ISBN 0-89871-420-6 , s. 25
-
ISO / IEC . ISO/IEC 9899::1999(E): Programlama dilleri — C (2. baskı), 1999; Bölüm 6.3.1.4, s. 43.
-
Iverson, Kenneth E. (1962), Bir Programlama Dili , Wiley
-
Lemmermeyer, Franz (2000), Mütekabiliyet Kanunları: Euler'den Eisenstein'a , Berlin: Springer , ISBN 3-540-66957-4
-
Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
-
Ribenboim, Paulo (1996), Asal Sayı Kayıtlarının Yeni Kitabı , New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
- Michael Sullivan. Precalculus , 8. baskı, s. 86
-
Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), Riemann Zeta-fonksiyonu Teorisi (2. baskı), Oxford: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1
Dış bağlantılar
-
"Kat fonksiyonu" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
- Štefan Porubský, "Tamsayı yuvarlama işlevleri" , Algorithmic Mathematics için Etkileşimli Bilgi Portalı , Çek Bilimler Akademisi Bilgisayar Bilimleri Enstitüsü, Prag, Çek Cumhuriyeti, erişim tarihi 24 Ekim 2008
- Weisstein, Eric W. "Zemin Fonksiyonu" . Matematik Dünyası .
- Weisstein, Eric W. "Tavan İşlevi" . Matematik Dünyası .