Zemin ve tavan fonksiyonları - Floor and ceiling functions

Zemin ve tavan fonksiyonları
Zemin fonksiyonu
tavan fonksiyonu

Gelen matematik ve bilgisayar biliminin , zemin işlevi olan işlev , girdi olarak bir alır reel sayı x , ve en büyük çıkış olarak veren tam sayı daha az veya eşit , x , gösterilen kat ( x ) ya da x . Benzer şekilde, tavan fonksiyonu haritalar x daha az tam sayı için ya da eşit , x , gösterilen ceil ( x ) ya da x .

Örneğin, ⌊2.4⌋ = 2 , ⌊−2.4⌋ = −3 , ⌈2.4⌉ = 3 ve ⌈−2.4⌉ = −2 .

Parçası ya da tam sayı kısmı arasında x genellikle belirtilen, [ X ] , genellikle gibi tanımlanmıştır x eğer X negatif olmayan ve x aksi. Örneğin, [2.4] = 2 ve [−2.4] = -2 . Kesme işlemi, bunu belirli bir basamak sayısına genelleştirir: sıfır anlamlı basamaklara kesme, tamsayı kısmıyla aynıdır.

Bazı yazarlar , bunun için çeşitli gösterimler kullanarak , x işaretinden bağımsız olarak tamsayı kısmını taban olarak tanımlar .

İçin , n bir tam sayı, N ⌋ = ⌈ N ⌉ = [ n ] = n .

gösterim

Parçası ya da tam sayı kısmı bir dizi ( partie entière orijinal), ilk olarak 1798 yılında tanımlanmıştır Free & Marie Legendre onun kanıt Legendre, formül .

Carl Friedrich Gauss , ikinci dereceden karşılıklılığın (1808) üçüncü ispatında köşeli parantez gösterimini tanıttı . Bu, Kenneth E. Iverson , 1962 tarihli A Programming Language kitabında "zemin" ve "tavan" adlarını ve bunlara karşılık gelen gösterimleri ve . Her iki gösterim de artık matematikte kullanılmaktadır, ancak bu makalede Iverson'un gösterimi izlenecektir.

Bazı kaynaklarda zemin için kalın veya çift parantez , tavan için ters parantez veya ] x [ kullanılır. Bazen sıfıra doğru yuvarlama işlevi anlamına gelir.

Ondalık kısmı olan testere dişi fonksiyonu ile gösterilmiştir, gerçek x formülü ile ve tanımlanmış

tüm x için ,

Örnekler

x kat Tavan kesirli kısım
2 2 2 0
2.4 2 3 0,4
2.9 2 3 0.9
-2,7 -3 -2 0,3
-2 -2 -2 0

dizgi

Zemin ve tavan işlevleri genellikle üst (zemin işlevi için) veya alt (tavan işlevi için) yatay çubukların eksik olduğu ( zemin ve tavan için) sol ve sağ köşeli parantezlerle dizilir . Bu karakterler Unicode'da sağlanır:

  • U+2308 SOL TAVAN (HTML ⌈  · ⌈, ⌈ )
  • U+2309 SAĞ TAVAN (HTML ⌉  · ⌉, ⌉ )
  • U+230A SOL KAT (HTML ⌊  · ⌊, ⌊ )
  • U+230B SAĞ KAT (HTML ⌋  · ⌋, ⌋ )

Gelen LaTeX dizgi sisteminde, bu semboller ile belirtilebilir \lfloor, \rfloor, \lceilve \rceilmatematik modunda komutları ve kullanma boyutunda genişletilmiş \left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceilve \right\rceilgerektiği gibi.

Tanım ve özellikler

Verilen gerçek sayılar x ve y , k , m , n tamsayıları ve tamsayılar , taban ve tavan kümesi denklemlerle tanımlanabilir

1 uzunluğundaki yarı açık bir aralıkta tam olarak bir tam sayı olduğundan, herhangi bir x gerçek sayısı için , denklemi sağlayan benzersiz m ve n tam sayıları vardır.

nerede  ve  ayrıca zemin ve tavan tanımı olarak alınabilir.

denklikler

Bu formüller, zemin ve tavanları içeren ifadeleri basitleştirmek için kullanılabilir.

Düzen teorisi dilinde , zemin işlevi artık bir haritalamadır , yani bir Galois bağlantısının parçasıdır : tamsayıları gerçeklere gömen işlevin üst birleşimidir.

Bu formüller, bağımsız değişkenlere tamsayı eklemenin işlevleri nasıl etkilediğini gösterir:

n bir tamsayı değilse , yukarıdakiler asla doğru değildir; ancak, her x ve y için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:

Fonksiyonlar arasındaki ilişkiler

Tanımlardan da anlaşılacağı

  eşitlikle ancak ve ancak x bir tamsayıysa, yani

Aslında, n tamsayıları için hem taban hem de tavan işlevleri kimliktir :

Argümanın olumsuzlanması, zemin ve tavan arasında geçiş yapar ve işareti değiştirir:

ve:

Argümanın olumsuzlanması, kesirli kısmı tamamlar:

Zemin, tavan ve kesirli kısım işlevleri önemsizdir :

İç içe döşeme veya tavan işlevlerinin sonucu en içteki işlevdir:

tamsayılar için kimlik özelliği nedeniyle.

Bölümler

Eğer m ve n tamsayı olup n ≠ 0,

Eğer n pozitif bir tam sayıdır

Eğer m pozitiftir

İçin m = 2 olan bu ima

Daha genel olarak, pozitif m için (Bkz. Hermite'nin kimliği )

Aşağıdakiler, zemini tavana dönüştürmek için kullanılabilir ve tersi de kullanılabilir ( m pozitif)

Tüm m ve n kesinlikle pozitif tam sayılar için:

pozitif ve asal m ve n için ,

Genel durumun sağ tarafı m ve n'de simetrik olduğundan , bu şu anlama gelir:

Daha genel olarak, eğer m ve n pozitif ise,

Buna bazen mütekabiliyet yasası denir .

iç içe bölümler

n pozitif tamsayı ve keyfi gerçek sayılar m , x için :

Süreklilik ve seri açılımları

Bu makalede açıklanan işlevlerin hiçbiri vardır sürekli , ama hepsi parçalı lineer : fonksiyonlar , ve tamsayılar de kesintilere sahip.

  bir yarı-sürekli üst ve     ve   alt yarı süreklidir.

Bu makalede tartışılan işlevlerin hiçbiri sürekli olmadığından, hiçbirinin bir kuvvet serisi açılımı yoktur. Zemin ve tavan periyodik olmadığından, düzgün yakınsak Fourier serisi açılımları yoktur. Kesirli parça işlevi Fourier serisi genişletmeye sahiptir

için , x bir tamsayı olup.

Süreksizlik noktalarında, bir Fourier serisi, taban, tavan ve kesirli parça fonksiyonlarının aksine, sol ve sağdaki limitlerinin ortalaması olan bir değere yakınsar: y sabit ve x y'nin bir katı için verilen Fourier serisi yakınsar. için y / 2 ziyade, x  mod  y  süreklilik noktalarına gerçek değere serisi yakınsak de = 0.

Floor(x) = x − {x} formülünü kullanarak

için , x bir tamsayı olup.

Uygulamalar

mod operatörü

Bir tamsayıdır için x ve pozitif bir tam sayı , y , modüllük işlemde ile gösterilen, x mod y zaman, geri kalan değer verir X bölünür y . Bu tanım , formülle gerçek x ve y , y ≠ 0'a genişletilebilir.

Daha sonra, bu genişletilmiş işlemin birçok doğal özelliği karşıladığı, zemin fonksiyonunun tanımından çıkar. Özellikle, x mod y her zaman 0 ile y arasındadır , yani

Eğer y olumlu,

ve y negatifse,

ikinci dereceden karşılıklılık

Eisenstein tarafından değiştirildiği şekliyle Gauss'un ikinci dereceden karşılıklılığın üçüncü kanıtının iki temel adımı vardır.

Let p ve q farklı pozitif tek asal sayılar olmak ve izin

İlk olarak, Gauss'un lemması , Legendre sembollerinin şu şekilde verildiğini göstermek için kullanılır.

ve

İkinci adım, bunu göstermek için geometrik bir argüman kullanmaktır.

Bu formülleri birleştirmek, formda ikinci dereceden karşılıklılık verir.

Küçük sayıların ikinci dereceden karakterini ifade etmek için floor kullanan formüller vardır mod tek asal p :

Yuvarlama

Rastgele bir gerçek sayı için , pozitif sonsuza doğru bağ kopması olan en yakın tam sayıya yuvarlama ; negatif sonsuza yuvarlama olarak verilir .

Tie-kırma uzaklıkta 0 ila ise, yuvarlama işlevi , ve hatta doğru yuvarlanması daha hantal ile ifade edilebilir Pozitif sonsuza yuvarlama için yukarıda ifade, eksi bir bütünlüğü göstergesi için .

Basamak sayısı

Basamak sayısı baz b pozitif bir tamsayı ve k ise

Faktöriyellerin Faktörleri

Let n pozitif bir tamsayı ve olmayacak p pozitif bir asal sayı. p'nin n'yi bölen en yüksek kuvvetinin üssü ! Legendre formülünün bir versiyonu tarafından verilir

p tabanında n yazmanın yolu nerede ? p k > n olduğunda katlar sıfır olduğundan bu sonlu bir toplamdır .

Beatty dizisi

Beatty dizisi her pozitif gösterilmiştir mantıksız numarası verir bir bölüme yükselmesi doğal sayılar zemin işlevi ile iki dizi halinde.

Euler sabiti (γ)

Euler sabiti γ = 0.57721 56649 ... için zemini ve tavanı içeren formüller vardır , örn.

ve

Riemann zeta fonksiyonu (ζ)

Kesirli kısım fonksiyonu ayrıca Riemann zeta fonksiyonunun integral gösterimlerinde de ortaya çıkar . [ a , b ] kapalı aralığında sürekli türevi olan herhangi bir fonksiyon olup olmadığını (parçalarla integrasyon kullanarak) kanıtlamak kolaydır.

Letting için gerçek parçanın ait lar 1'den büyük ve icar bir ve b tamsayı ve icar b sonsuza yaklaşmaktadır verir

Bu formül, tüm için geçerlidir s (hariç -1'den gerçek parça büyüktür ile s ve {Fourier genişleme ile birlikte orada = 1, bir kutup) x tüm karmaşık düzlemine zeta fonksiyonu genişletmek için kullanılabilir} ve fonksiyonel denklemini kanıtlamak için.

İçin s = σ + o kritik şerit 0 <içinde σ <1,

1947'de van der Pol , zeta fonksiyonunun köklerini bulmak için bir analog bilgisayar oluşturmak için bu gösterimi kullandı.

Asal sayılar için formüller

Kat işlevi, asal sayıları karakterize eden çeşitli formüllerde görünür. Örneğin, m , n'yi bölerse 1'e , aksi halde 0'a eşit olduğundan , pozitif bir n tamsayısının , ancak ve ancak şu durumda asal olduğu sonucu çıkar.

Asal sayıları üretmek için formüller de verilebilir. Örneğin, izin p , n olduğu , n -inci asal ve herhangi bir tam sayı için r > 1 ise, gerçek sayı tanımlar a toplamı

Sonra

Benzer bir sonuç, şu özelliğe sahip bir θ = 1.3064... ( Mills sabiti ) sayısının olmasıdır.

hepsi asal.

Ayrıca ω = 1,9287800... sayısı da vardır ve bu özelliğe sahiptir.

hepsi asal.

Let π ( X ) olmak asal sayısını daha az ya da eşit , x . Bu bir basit kesinti olduğunu Wilson'ın teoremi o

Ayrıca, n ≥ 2 ise,

Bu bölümdeki formüllerin hiçbiri pratik kullanımda değildir.

Çözülmüş problemler

Ramanujan bu problemleri Journal of the Indian Mathematical Society'ye sundu .

Eğer n pozitif bir tam sayıdır, kanıtlamak

çözülmemiş sorun

Waring'in sorununun incelenmesi, çözülmemiş bir soruna yol açtı:

k ≥ 6 pozitif tamsayılar var mı?

 ?

Mahler'in ancak böyle bir sonlu sayıda olabilir kanıtlamıştır k ; hiçbiri bilinmiyor.

Bilgisayar uygulamaları

C'de kayan nokta dönüşümünden gelen int işlevi

Çoğu programlama dilinde, kayan noktalı bir sayıyı tam sayıya dönüştürmenin en basit yöntemi taban veya tavan değil, kesme işlemidir . Bunun nedeni tarihseldir, çünkü kullanılan ilk makineler, tamamlayıcı ve kesmenin uygulanması daha basitti (zemin, ikinin tamamlayıcısında daha basittir ). FORTRAN bu davranışı gerektirecek şekilde tanımlandı ve bu nedenle neredeyse tüm işlemciler dönüştürmeyi bu şekilde uygular. Bazıları bunun, menşenin negatif tarafında negatif ofsetler ve grafiklerle uğraşan hatalara yol açan talihsiz bir tarihsel tasarım kararı olduğunu düşünüyor.

Bir bit temelinde sağa kaydırma imzalı tamsayı ile aynıdır . 2'nin kuvvetiyle bölme genellikle sağa kaydırma olarak yazılır, sanıldığı gibi optimizasyon için değil, negatif sonuçların tabanı gerekli olduğu için. Bu tür kaymaların "erken optimizasyon" olduğunu varsaymak ve bunları bölme ile değiştirmek yazılımı bozabilir.

(Dahil birçok programlama dilleri C , C ++ , C # , Java , PHP , R ve Python ) taban ve tavan, genellikle denilen standart işlevleri sağlamak floorve ceilveya daha nadir ceiling. APL'nin⌊x zemin için kullandığı dil . J Programlama Dili , müteakiben bir standart klavye sembolleri kullanır kullanmak üzere tasarlanmıştır APL için <.zemin için ve >.tavan için. ALGOLentier zemin için kullanır .

Elektronik tablo yazılımı

Çoğu elektronik tablo programı, bir ceilingişlevin bir biçimini destekler . Ayrıntılar programlar arasında farklılık gösterse de, çoğu uygulama ikinci bir parametreyi destekler - verilen sayının bir katına yuvarlanacak olan. Örneğin, ceiling(2, 3)2'yi 3'ün en yakın katına kadar yuvarlar ve 3 verir. Bununla birlikte, "yuvarlamanın" ne anlama geldiğinin tanımı programdan programa farklılık gösterir.

Microsoft Excel , standart gösterimin neredeyse tam tersini kullandı INT: zemin için ve FLOORsıfıra doğru CEILINGyuvarlanma ve sıfırdan yuvarlama anlamına gelir. Bu, Office Open XML dosya biçimine kadar geldi. Excel 2010 artık standart tanımı takip ediyor.

OpenDocument dosya biçimi, tarafından kullanılan OpenOffice.org , LibreOffice'i ve diğerleri, onun tavan matematiksel bir tanımını aşağıdaki ceilingExcel uyumluluk için isteğe bağlı bir parametre ile fonksiyonu. Örneğin, CEILING(-4.5)-4 döndürür.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar