Hiperbolik açı - Hyperbolic angle

Hiperbolik açı, iki ışın ve bir hiperbolik yay tarafından çevrelenen bir şekildir. Gölgeli sektör içinde , standart pozisyonda ise bir 1 =

Gelen matematik , bir hiperbolik açısı bir tanımlayan bir geometrik şekil bir hiperbolik sektörü . Hiperbolik bir açının bir hiperbol ile ilişkisi, "sıradan" bir açının bir daire ile ilişkisine paraleldir .

Hiperbolik açının büyüklüğü olan alan hiperbol gelen sektörün xy = 1. Bu hiperbol olan dikdörtgen bir yarı-büyük eksene sahip dairesel bir büyüklük benzer, açı bir alanına karşılık gelen dairesel sektörün a'da yarıçaplı daire . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Hiperbolik açı, sinh, cosh ve tanh hiperbolik fonksiyonları için bağımsız değişken olarak kullanılır , çünkü bu fonksiyonlar, hiperbolik bir açıyı bir hiperbolik üçgeni tanımlayarak dikkate alarak, karşılık gelen dairesel trigonometrik fonksiyonlara hiperbolik analojilere dayandırılabilir . Böylece parametre , gerçek değişkenlerin hesabında en faydalı olanlardan biri haline gelir .

Tanım

Dikdörtgen hiperbolü düşünün ve (geleneksel olarak) dallara özellikle dikkat edin . ${\displaystyle \textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}}$ ${\displaystyle x>1}$

İlk tanımlayın:

• Hiperbolik açı standart pozisyonda olan açı en ışının arasında ve ışının , .${\görüntüleme stili (0,0)}$${\görüntüleme stili (1,1)}$${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$${\displaystyle x>1}$
• Bu açının büyüklüğü olan alan karşılık gelen hiperbolik sektör olduğu ortaya çıkıyor, .${\displaystyle \operatöradı {ln} x}$

Doğal logaritmanın oynadığı rol nedeniyle şunu unutmayın :

• Dairesel açıdan farklı olarak, hiperbolik açı sınırsızdır (çünkü sınırsızdır); bu harmonik serinin sınırsız olduğu gerçeğiyle ilgilidir .${\displaystyle \operatöradı {ln} x}$
• Açının büyüklüğü için formül , hiperbolik açının negatif olması gerektiğini önerir . Bu, tanımlandığı gibi açının yönlendirildiği gerçeğini yansıtır .${\görüntüleme stili 0<x<1}$

Son olarak, hiperbolik açının tanımını, hiperbol üzerindeki herhangi bir aralığın gördüğü açıya genişletin . Varsayalım ki ve , ve hiperbol üzerindeki noktalar olan pozitif reel sayılar olsun ve üzerinde bir aralık belirlesin . Sonra sıkmak haritalama açısını eşler için standart pozisyon açısı . Gregoire de Saint-Vincent'in sonucu olarak , bu açılar tarafından belirlenen hiperbolik sektörler, açının büyüklüğü olarak alınan aynı alana sahiptir. Bu büyüklük . ${\görüntüleme stili a,b,c,d}$${\displaystyle ab=cd=1}$${\displaystyle c>a>1}$${\görüntüleme stili (a,b)}$${\görüntüleme stili (c,d)}$${\ Displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$${\displaystyle \açı \!\sol((a,b),(0,0),(c,d)\sağ)}$${\displaystyle \açı \!\sol((1,1),(0,0),(bc,ad)\sağ)}$${\displaystyle \operatöradı {ln} {(bc)}=\operatöradı {ln} (c/a)=\operatöradı {ln} c-\operatöradı {ln} a}$

Dairesel açı ile karşılaştırma

Birim hiperbol, hiperbolik açının yarısı kadar alana sahip bir sektöre sahiptir.

Dairesel ve hiperbolik açı

Bir birim çember , radyan cinsinden dairesel açının yarısı kadar bir alana sahip dairesel bir sektöre sahiptir. Benzer şekilde, bir birim hiperbol , hiperbolik açının yarısına sahip bir hiperbolik sektöre sahiptir. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

Dairesel ve hiperbolik olan gruplar arasında yansıtmalı çözünürlüğü vardır: Her iki eğriler konik kesitler ve dolayısıyla olarak kabul edilir yansıtmalı aralıklar içinde yansıtmalı geometri . Bu aralıklardan birinde bir başlangıç ​​noktası verildiğinde, diğer noktalar açılara karşılık gelir. Bilim için temel olan açıların toplanması fikri, bu aralıklardan birinde noktaların toplanmasına şu şekilde karşılık gelir:

Dairesel açılar geometrik olarak şu özellik ile karakterize edilebilir: Eğer iki kiriş P ₀ P ₁ ve P ₀ P ₂ bir dairenin merkezinde L ₁ ve L ₂ açılarını karşılarsa , bunların toplamları L ₁ + L ₂ bir kirişin gördüğü açıdır. PQ , burada PQ'nun P ₁ P _2'ye paralel olması gerekir .

Aynı yapı hiperbol için de uygulanabilir. Eğer p ₀ noktası olarak alınır (1, 1) , p ₁ nokta ( X ₁ , 1 / x ₁ ) ve P ₂ nokta ( x ₂ , 1 / x ₂ ) , sonra paralel durum gerektirir Q noktası olsun ( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ ) . Bu nedenle, P _0'dan eğri üzerindeki herhangi bir noktaya hiperbolik açıyı , noktanın x değerinin logaritmik bir fonksiyonu olarak tanımlamak mantıklıdır .

Öklid geometrisinde orijinden gelen bir ışına dik doğrultuda hareket eden bir daire bir daire çizerken, sözde Öklid düzleminde orijinden bir ışına sürekli olarak ortogonal olarak hareket eden bir hiperbol çizer. Öklid uzayında, belirli bir açının katı, hiperbolik çizgi üzerinde üstel mesafeleri takip ederken, bir daire etrafında eşit mesafeleri takip eder.

Hem dairesel hem de hiperbolik açı, değişmez bir ölçünün örneklerini sağlar . Bir daire üzerinde açısal büyüklüğe sahip yaylar , daire döndükçe veya döndükçe büyüklüğü değişmeyen daire üzerinde belirli ölçülebilir kümeler üzerinde bir ölçü üretir . Hiperbol için dönüş, sıkıştırma eşlemesi ile yapılır ve hiperbolik açı büyüklükleri, düzlem bir eşleme tarafından sıkıştırıldığında aynı kalır.

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), r > 0 ile.

Minkowski Doğrusu Elemanıyla İlişkisi

Ayrıca hiperbolik açı ve Minkowski uzayında tanımlanan metrik ile ilginç bir ilişki vardır. Tıpkı iki boyutlu Öklid geometrisinin çizgi öğesini şu şekilde tanımlaması gibi:

${\displaystyle ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},}$

Minkowski uzayındaki çizgi elemanı

${\displaystyle ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.}$

İki boyutlu Öklid uzayına gömülü bir eğri düşünün,

${\görüntüleme stili x=f(t),y=g(t).}$

Parametrenin ve ( ) arasında çalışan gerçek bir sayı olduğu yer . Bu eğrinin Öklid uzayındaki yay uzunluğu şu şekilde hesaplanır: ${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\displaystyle a\leqslant t<b}$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sol({\frac {dx}{dt}}\sağ) ^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\sağ)^{2}}}dt.}$

Eğer oluşturan bir birim çember bu denkleme tek parametreli bir çözüm kümesi ve . İzin vermek , yay uzunlukları işlem sağlar . Şimdi aynı prosedürü, Öklid öğesini Minkowski çizgi öğesiyle değiştirmek dışında yapıyoruz, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\görüntüleme stili x=\çünkü t}$${\görüntüleme stili y=\sin t}$${\displaystyle 0\leqslant t<\theta}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S=\teta}$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sol({\frac {dx}{dt}}\sağ) ^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\sağ)^{2}}}dt,}$

ve karşılık gelen parametreli çözüm kümesi ve ile olduğu gibi bir "birim" hiperbol tanımladı ve izin vererek (hiperbolik açı), sonucuna varıyoruz . Başka bir deyişle, bu, tıpkı dairesel açının, Öklid tanımlı metrik kullanılarak aynı açı tarafından karşılanan birim çember üzerindeki bir yayın yay uzunluğu olarak nasıl tanımlanabileceği anlamına geliyorsa, hiperbolik açı, "birim" üzerindeki yayın yay uzunluğudur. Minkowski tarafından tanımlanan metriği kullanarak hiperbolik açı ile gösterilen hiperbol. ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$${\displaystyle y=\cosh t}$${\displaystyle x=\sinh t}$${\displaystyle 0\leqslant t<\eta }$${\ Displaystyle S=\eta }$

Tarih

Dördün içinde Hiperbolün bir alanının değerlendirilmesi hiperbolik sektörü . Bir asimptot karşısında karşılık gelen alana eşit olduğu gösterilebilir . Kareleme ilk olarak Gregoire de Saint-Vincent tarafından 1647'de Opus geometrikum quadrature circuli etsectionum coni'de gerçekleştirildi . Bir tarihçinin ifade ettiği gibi,

Onun için bir hiperbol kareleme [O yapılan] Asimptotun ve aynı olduğunu göstermiştir alan artış aritmetik seri abscissas artmış geometrik dizi .

AA de Sarasa , kareyi bir logaritma olarak yorumladı ve bu nedenle geometrik olarak tanımlanmış doğal logaritma (veya "hiperbolik logaritma"), x = 1'in sağındaki y = 1/ x altındaki alan olarak anlaşılır . Transandantal fonksiyona bir örnek olarak logaritma, motive edicisi hiperbolik açıdan daha tanıdıktır. Bununla birlikte, hiperbolik açı , Saint-Vincent teoremi sıkıştırma eşleme ile ilerletildiğinde bir rol oynar .

Dairesel trigonometri , Augustus De Morgan tarafından Trigonometry and Double Algebra adlı ders kitabında hiperbole genişletildi . 1878'de WK Clifford , bir birim hiperbolü parametreleştirmek için hiperbolik açıyı kullandı ve onu "yarı harmonik hareket " olarak tanımladı .

1894'te Alexander Macfarlane , Hiperbolik açılar üretmek için hiperbolik açıları kullanan "Cebir Hayali" adlı makalesini , Uzay Analizi Üzerine Kağıtlar kitabında dolaştırdı . Ertesi yıl Amerikan Matematik Derneği Bülteni Mellen W. Haskell'in hiperbolik fonksiyonların ana hatlarını yayınladı .

Ne zaman Ludwik Silberstein yeni onun popüler 1914 ders kitabı kaleme izafiyet teorisi , kullandığı sürat hiperbolik açı dayalı kavram a , nereye tanh bir = v / c , hız oranı v için ışık hızı . O yazdı:

Birim hıza, ışık hızının 3/4'ü kadar büyük bir hıza tekabül ettiğini belirtmekte fayda var ; daha doğrusu a = 1 için v = (.7616) c'ye sahibiz .

[...] hız a = 1 , [...] sonuç olarak sudaki ışık hızının biraz üzerinde olan .76 c hızını temsil edecektir  .

Silberstein ayrıca cos Π( a ) = v / c'yi elde etmek için Lobachevsky'nin paralellik açısı concept ( a ) kavramını kullanır .

hayali dairesel açı

Hiperbolik açı genellikle hayali bir sayıymış gibi sunulur . Böylece, x bir gerçek sayıysa ve i ² = -1 ise , o zaman

${\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x)\dörtlü {\metin{ve}}\dörtlü \sin(ix)=i\sinh(x)}$

böylece hiperbolik fonksiyonlar cosh ve sinh dairesel fonksiyonlar aracılığıyla sunulabilir. Ancak bu özdeşlikler bir çember veya rotasyondan doğmaz, daha ziyade sonsuz seriler açısından anlaşılabilirler . Özellikle üstel fonksiyonu ( ) ifade eden çift ​​ve tek terimlerden oluşur, ilki cosh fonksiyonunu ( ), ikincisi sinh fonksiyonunu ( ) içerir. Kosinüs için sonsuz seri, cosh'tan alternatif bir seriye dönüştürülerek türetilir ve sinüs için seri , sinh'i alternatif bir seriye dönüştürmekten gelir. Yukarıdaki özdeşlikler , üstel serinin tam yarısını geri yüklemek için alternatif faktör (-1) ^n'yi serinin terimlerinden çıkarmak için i sayısını kullanır . Bununla birlikte, holomorfik fonksiyonlar teorisinde , hiperbolik sinüs ve kosinüs fonksiyonları karmaşık sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına dahil edilir . ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$${\displaystyle \textstyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$${\displaystyle \textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

Ayrıca bakınız

• aşkın açı

Notlar

Referanslar

• Janet Heine Barnett (2004) "Giriş, sahne merkezi: hiperbolik fonksiyonların erken draması", (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30'da veya (b) Euler at 300'ün 7. bölümünde , RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer editörleri, Mathematical Association of America ISBN  0-88385-565-8 .
• Arthur Kennelly (1912) Hiperbolik fonksiyonların elektrik mühendisliği problemlerine uygulanması
• William Mueller, Precalculus'u Keşfetmek , § Sayı e, Hiperbolik Trigonometri .
• John Stillwell (1998) Sayılar ve Geometri alıştırması 9.5.3, s. 298, Springer-Verlag ISBN  0-387-98289-2 .