Eğim - Slope

Eğim: ${\displaystyle m=\sol({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\sağ)=\tan(\theta )}$

Matematikte, bir çizginin eğimi veya eğimi , çizginin hem yönünü hem de dikliğini tanımlayan bir sayıdır . Eğim genellikle m harfi ile gösterilir ; Eğim için neden m harfinin kullanıldığı sorusunun net bir cevabı yoktur , ancak İngilizce'deki ilk kullanımı, düz bir çizginin denklemini " y = mx + b " olarak yazan O'Brien'da (1844) görülür ve " y = mx + c " olarak yazan Todhunter'da (1888) de bulunabilir .

Eğim, bir doğru üzerindeki (herhangi bir) iki farklı nokta arasındaki "dikey değişim"in "yatay değişime" oranı bulunarak hesaplanır. Bazen oran, aynı çizgi üzerindeki her iki farklı nokta için aynı sayıyı vererek, bir bölüm olarak ifade edilir ("uzunluk üzerinde yükselme"). Azalan bir çizginin negatif bir "yükselişi" vardır. Hat pratik olabilir - bir yol araştırmacısı tarafından belirlendiği gibi veya bir yolu veya bir çatıyı tarif veya plan olarak modelleyen bir diyagramda.

Diklik bir çizgi, eğim veya derece ile ölçülür mutlak değer eğimi. Mutlak değeri daha büyük olan bir eğim, daha dik bir çizgiyi gösterir. Yönü a hattı ya yatay ya da dikey azaltılması, artmaktadır.

• Bir çizgi olduğunu artan böyle devam ederse yukarı sağa soldan. Eğim pozitiftir , yani .${\görüntüleme stili m>0}$
• Bir çizgi olduğunu azalan böyle devam ederse aşağı soldan sağa. Eğim negatiftir , yani .${\görüntüleme stili m<0}$
• Bir doğru yatay ise eğim sıfırdır . Bu sabit bir fonksiyondur .
• Bir doğru dikey ise eğim tanımsızdır (aşağıya bakınız).

Bir yolun iki nokta arasındaki yükselişi, bu iki noktadaki yolun yüksekliği arasındaki farktır, diyelim ki y ₁ ve y ₂ , ya da başka bir deyişle, yükseliş ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y'dir . Dünyanın eğriliğinin ihmal edilebildiği nispeten kısa mesafeler için, mesafe, bir düz, yatay çizgi boyunca ölçülen sabit bir noktadan mesafe farkıdır veya başka bir deyişle, mesafe ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . Burada iki nokta arasındaki yolun eğimi basitçe, yükseklik değişiminin doğru üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki yatay mesafeye oranı olarak tanımlanır.

Matematiksel dilinde eğim m çizgisinin olduğu

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Yamaç kavramı doğrudan uygulanır sınıflar veya gradyanlar içinde coğrafya ve inşaat mühendisliği . Trigonometri yoluyla , bir doğrunun eğimi m , teğet fonksiyonu ile eğim açısı θ ile ilişkilidir.

${\displaystyle m=\tan(\teta )}$

Böylece, 45° yükselen doğrunun eğimi +1'dir ve 45° düşen doğrunun eğimi -1'dir.

Bu pratik açıklamanın bir genellemesi olarak, diferansiyel hesabın matematiği , bir noktadaki eğrinin eğimini, o noktadaki teğet doğrunun eğimi olarak tanımlar . Eğri, bir diyagramda veya noktaların koordinatları listesinde bir dizi nokta tarafından verildiğinde, eğim bir noktada değil, verilen herhangi iki nokta arasında hesaplanabilir. Eğri sürekli bir fonksiyon olarak, belki de cebirsel bir formül olarak verildiğinde, diferansiyel hesap, eğrinin ortasındaki herhangi bir noktada eğrinin eğimi için bir formül veren kurallar sağlar.

Eğim kavramının bu genelleştirilmesi, yatay veya dikey olan statik yapıların çok ötesine geçen, ancak zamanla değişebilen, eğrilerde hareket edebilen ve diğer faktörlerin değişim hızına bağlı olarak değişebilen çok karmaşık yapıların planlanmasına ve inşa edilmesine olanak tanır. . Böylece, basit eğim fikri, hem teknoloji hem de yapılı çevre açısından modern dünyanın temel dayanaklarından biri haline gelir.

Tanım

y  = (3/2) x  − 1 için gösterilen eğim . Büyütmek için üzerine tıklayın.

Koordinatlar sisteminde bir doğrunun eğimi, f(x)=-12x+2'den f(x)=12x+2'ye

x ve y eksenlerini içeren düzlemdeki bir doğrunun eğimi genellikle m harfi ile gösterilir ve y koordinatındaki değişikliğin, doğru üzerindeki iki farklı nokta arasındaki x koordinatındaki karşılık gelen değişikliğe bölümü olarak tanımlanır . Bu, aşağıdaki denklemle açıklanmaktadır:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{dikey}}}\,{\text{değişiklik}}}{{\text{yatay}}\ ,{\text{değiştir}}}}={\frac {\text{yükselt}}{\text{çalıştır}}}.}$

(Yunanca delta harfi , Δ, matematikte yaygın olarak "fark" veya "değişim" anlamında kullanılır.)

İki nokta ve verildiğinde , birinden diğerine değişim ( koş ), değişim ise ( yükseliş ). Her iki miktarı da yukarıdaki denklemde yerine koymak, formülü üretir: ${\görüntüleme stili (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Formül, eksene paralel dikey bir çizgi için başarısız olur (bkz . Sıfıra bölme ), burada eğim sonsuz olarak alınabilir , bu nedenle dikey bir çizginin eğimi tanımsız olarak kabul edilir. ${\görüntüleme stili y}$

Örnekler

Bir doğrunun iki noktadan geçtiğini varsayalım: P  = (1, 2) ve Q  = (13, 8). -koordinatlardaki farkı -koordinatlardaki farka bölerek doğrunun eğimi elde edilebilir: ${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$.

Eğim pozitif olduğu için doğrunun yönü artmaktadır. |m|<1 olduğundan, eğim çok dik değildir (eğim <45°).

Başka bir örnek olarak, (4, 15) ve (3, 21) noktalarından geçen bir doğru düşünün. O halde doğrunun eğimi

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Eğim negatif olduğu için doğrunun yönü azalmaktadır. |m|>1'den beri bu düşüş oldukça diktir (düşüş >45°).

cebir ve geometri

• Eğer 'bir olan doğrusal fonksiyon arasında ' daha sonra katsayısı fonksiyonunu çizilerek oluşturulan doğrunun eğimi olduğunu. Bu nedenle, doğrunun denklemi şeklinde verilirse${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$

${\görüntüleme stili y=mx+b}$

sonra eğimdir. Bir hat denkleminin Bu şekilde adlandırılan eğim-kesişim formu , çünkü olarak yorumlanabilir y-kesişimi çizgisi arasında, hat kesişen -coordinate -Axis.${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili y}$

• Bir doğrunun eğimi ve doğru üzerindeki bir noktanın her ikisi de biliniyorsa, o zaman doğrunun denklemi nokta-eğim formülü kullanılarak bulunabilir :${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}$

• Doğrusal denklem tarafından tanımlanan doğrunun eğimi

${\displaystyle balta+by+c=0}$

NS

${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$.

• İki hatları paralel ise ve aynı hat (çakışık) değildir ve ya eğimleri eşit ya da her ikisi de dikey olan ve bu nedenle, her iki tanımlanmamış eğime sahip sadece. İki hat olan dik eğimleri ürünü ise, -1 veya bir 0 bir eğime (yatay çizgi) sahiptir ve diğer tanımlanmamış bir eğime (dikey bir hat) sahiptir.
• Bir doğrunun x ekseniyle yaptığı -90° ile 90° arasındaki θ açısı , m eğimi ile şu şekilde ilişkilidir :

${\displaystyle m=\tan(\teta )}$

ve

${\görüntüleme stili \teta =\arctan(m)}$   (bu, tanjantın ters fonksiyonudur; bkz. ters trigonometrik fonksiyonlar ).

Örnekler

Örneğin, (2,8) ve (3,20) noktalarından geçen bir doğru düşünün. Bu doğrunun eğimi, m ,

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12.}$

Daha sonra doğrunun denklemi nokta-eğim biçiminde yazılabilir:

${\görüntüleme stili y-8=12(x-2)=12x-24}$

veya:

${\görüntüleme stili y=12x-16.}$

Bu doğrunun x ekseni ile yaptığı -90° ile 90° arasındaki θ açısı

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\yaklaşık 85.2^{\circ }\,.}$

İki satırı göz önünde bulundurun: y = -3 x + 1 ve y = -3 x − 2 . Her iki doğrunun da eğimi m = -3 . Aynı çizgide değiller. Yani paralel doğrulardır.

y = −3 x + 1 ve y = olmak üzere iki satırı göz önünde bulundurun. x/3- 2 . İlk doğrunun eğimi m ₁ = -3'tür . İkinci doğrunun eğimi m ₂ =1/3. Bu iki eğimin çarpımı -1'dir. Yani bu iki doğru birbirine diktir.

İstatistik

Olarak istatistik , gradyanı en küçük kareler regresyonu en iyi uyan bir çizgi , belirli bir için örnek verileri aşağıdaki şekilde yazılabilir:

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$,

Bu miktar m, olarak adlandırılan regresyon eğim hattı için . Miktar olan Pearson korelasyon katsayısı , bir standart sapma y değerlerinin ve bir standart sapma X-değerleri. Bu aynı zamanda bir kovaryans oranı olarak da yazılabilir : ${\görüntüleme stili y=mx+c}$${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili s_{y}}$${\displaystyle s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\operatöradı {cov} (Y,X)}{\operatöradı {cov} (X,X)}}}$

Bir yolun veya demiryolunun eğimi

Ana maddeler: Derece (eğim) , Derece ayrımı

Bir yolun veya demiryolunun dikliğini tanımlamanın iki yaygın yolu vardır . Biri 0° ile 90° (derece olarak) arasındaki açıya göre, diğeri ise yüzde olarak eğime göredir. Ayrıca bkz. dik eğimli demiryolu ve raflı demiryolu .

Yüzde olarak verilen bir eğimi derece cinsinden açıya çevirmek ve bunun tersini yapmak için formüller:

${\displaystyle {\text{açı}}=\arctan \left({\frac {\text{eğim}}{100\%}}\sağ)}$  , (bu tanjantın ters fonksiyonudur; bkz. trigonometri )

ve

${\displaystyle {\mbox{eğim}}=100\%\cdot \tan({\mbox{açı}}),}$

burada açı derece cinsindendir ve trigonometrik fonksiyonlar derece olarak faaliyet göstermektedir. Örneğin, % 100 veya 1000 ‰ 'lik bir eğim, 45°'lik bir açıdır.

Üçüncü bir yol, örneğin 10, 20, 50 veya 100 yatay birimde bir birim yükselme vermektir, örneğin 1:10. 1:20, 1:50 veya 1:100 (veya "10'da 1" , "20'de 1" vb.) 1:10'un 1:20'den daha dik olduğuna dikkat edin. Örneğin, %20'lik diklik 1:5 veya 11,3° açılı bir eğim anlamına gelir.

Karayolları ve demiryolları hem uzunlamasına eğimlere hem de çapraz eğimlere sahiptir.

• 

  Hollanda'da eğim uyarı levhası

• 

  Polonya'da eğim uyarı levhası

• 

  20 ‰ eğimli bir demiryolunun 1371 metrelik mesafesi . Çek Cumhuriyeti

• 

  Meols tren istasyonunda , Birleşik Krallık'ta her iki yönde bir eğimi gösteren buhar çağındaki demiryolu eğim direği

kalkülüs

Her bir noktada türev bir eğimi doğrultusunda olan teğet için eğri bu noktada. Not: A noktasındaki türev, yeşil ve kısa çizgili olduğunda pozitif , kırmızı ve kesikli olduğunda negatif ve siyah ve düz olduğunda sıfırdır .

Eğim kavramı diferansiyel hesabın merkezindedir . Doğrusal olmayan fonksiyonlar için değişim oranı eğri boyunca değişir. Türevinin bir noktada fonksiyonun hattı eğimidir teğet noktasında eğriye, ve bu noktada fonksiyonun değişim oranına eşit olandır.

Bir eğri üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeler ( sırasıyla x ve y eksenleri boyunca) Δ x ve Δ y olsun , yukarıdaki tanımla verilen eğim,

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

bir kesen doğrunun eğriye olan eğimidir . Bir doğru için, herhangi iki nokta arasındaki kesen, doğrunun kendisidir, ancak bu, başka herhangi bir eğri türü için geçerli değildir.

Örneğin, sekant kesişme eğimi y = x ² (0,0) ve (3,9) 3. (tanjantın eğimi , x = 3 / 2 , aynı zamanda, 3- , bir sonucu ortalama değeri teorem .)

İki noktayı, Δ y ve Δ x azalacak şekilde birbirine yaklaştırarak, kesen doğru, eğriye teğet bir doğruya daha çok yaklaşır ve bu nedenle, sekantın eğimi, teğetin eğimine yaklaşır. Kullanarak diferansiyel hesap , tespit edilebilir sınırı veya Δ bu değeri Y / Δ x Δ yaklaşımları y ve Δ x olsun daha yakın sıfır ; bu sınırın tanjantın tam eğimi olduğu sonucu çıkar. Eğer y , x'e bağlıysa , sadece Δ x'in sıfıra yaklaştığı yerde limiti almak yeterlidir . Bu nedenle, Δ x sıfıra veya dy / dx'e yaklaşırken teğetin eğimi Δ y /Δ x sınırıdır . Bu limite türev diyoruz .

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Fonksiyonun bir noktasındaki değeri bize o noktadaki teğetin eğimini verir. Örneğin, y = x ^{2 olsun} . Bu fonksiyon üzerindeki bir nokta (-2,4). Bu fonksiyonun türevi ^{d y} / _{d x} =2 x'tir . Yani (-2,4)'de y'ye teğet olan doğrunun eğimi 2·(-2) = -4'tür. Bu teğet doğrunun denklemi: y -4=(-4)( x -(-2)) veya y = -4 x - 4.

eğim farkı

Açı fikrinin bir uzantısı, eğim farkından kaynaklanır. Kesme haritasını düşünün

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\başlangıç{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Ardından (1,0), (1, v ) ile eşlenir . (1,0)'in eğimi sıfırdır ve (1, v )'nin eğimi v'dir. Kayma eşlemesi v eğimini ekledi . İki üzerindeki noktalar {(1 için, y :) y içinde R eğimleri içeren} m ve n , görüntü

${\displaystyle (1,y){\başlangıç{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

eğimi v artar , ancak n − m eğim farkı , kaymadan önce ve sonra aynıdır. Eğim farklılıklarının bu değişmezliği, eğimi , sıkıştırma eşlemelerinin değişmezlik grubuyla birlikte dairesel açı (dönme altında değişmez) ve hiperbolik açı ile eşit bir açısal değişmez ölçü yapar .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar

• "Bir Doğrunun Eğimi (Koordinat Geometrisi)" . Matematik Açık Referans. 2009 . Erişim tarihi: 30 Ekim 2016 . etkileşimli