Kolmogorov–Zurbenko filtresi - Kolmogorov–Zurbenko filter

Kolmogorov-Zurbenko (KZ) filtre ilk BİR tarafından önerilmiştir Kolmogorov ve resmi Zurbenko ile tanımlanır. m uzunluğunda bir hareketli ortalama filtresinin bir dizi yinelemesidir , burada m pozitif, tek bir tam sayıdır. KZ filtresi, alçak geçiren filtreler sınıfına aittir . KZ filtresinin iki parametresi vardır, hareketli ortalama penceresinin uzunluğu m ve hareketli ortalamanın kendisinin yineleme sayısı k . Spektral sızıntıyı ortadan kaldırmak için tasarlanmış özel bir pencere işlevi olarak da düşünülebilir .

Andrey Kolmogorov ve Igor Zurbenko, Pasifik'te bir araştırma gemisinde.

Andrey Kolmogorov ve Igor Zurbenko

Igor Zurbenko ile E.Parzen, TWAnderson ve İstatistik Departmanı UC Berkeley

Arka plan

AN Kolmogorov , Pasifik Okyanusu'ndaki türbülans çalışması sırasında KZ filtresi için orijinal fikre sahipti . Kolmogorov sadece Uluslararası almıştı Balzan Ödülü onun için türbülans enerji spektrumlarında 5/3 kanunu . Şaşırtıcı bir şekilde, Pasifik Okyanusu'nda 5/3 yasasına uyulmaması büyük endişe yarattı. Standart hızlı Fourier dönüşümü (FFT), gürültülü ve durağan olmayan okyanus ortamı tarafından tamamen kandırıldı. KZ filtrasyonu sorunu çözdü ve Kolmogorov yasasının bu alanda kanıtlanmasını sağladı. Filtre yapısı, sürekli Fourier dönüşümünün ana kavramlarına ve bunların ayrık analoglarına dayanıyordu . Algoritma KZ filtrenin daha yüksek dereceden farkları gibi ayrı işlevler için daha yüksek dereceden türevlerinin tanımından geldi. Gauss penceresindeki sonsuz düzgünlüğün, gerçekten ayrık bir dünyanın güzel ama gerçekçi olmayan bir yaklaşımı olduğuna inanan Kolmogorov , sonlu destek ile sonlu türevlenebilir bir sivrilen pencere seçti ve ayrık durum için bu matematiksel yapıyı yarattı. KZ filtresi sağlamdır ve neredeyse optimaldir. İşlemi basit bir Hareketli Ortalama (MA) olduğundan, KZ filtresi eksik veri ortamında, özellikle kayıp veri sorununun uzamsal seyreklikten kaynaklandığı çok boyutlu zaman serilerinde iyi performans gösterir. KZ filtresinin bir başka güzel özelliği de, farklı alanlardaki uzmanlar tarafından kolayca benimsenebilmesi için iki parametrenin net bir yorumuna sahip olmasıdır. KZ filtresi ve uzantılarının farklı alanlarda kullanımını kolaylaştıran popüler istatistik yazılımı R'de zaman serileri, boylamsal ve konumsal veriler için birkaç yazılım paketi geliştirilmiştir. I.Zurbenko, UC Berkeley'de Jerzy Neyman ve Elizabeth Scott ile doktora sonrası pozisyonu, Murray Rosenblatt , Robert Shumway , Harald Cramér , David Brillinger, Herbert Robbins , Wilfrid Dixon , Emanuel Parzen ile temaslarda desteklenen birçok uygulama fikri sağladı , alt resme bakın Igor Zurbenko, E.Parzen, TWAnderson ve UC Berkeley İstatistik Departmanı ile birlikte.

Tanım

KZ Filtresi

Let bir olmak gerçek değerli zaman serileri ile KZ filtre parametreleri ve olarak tanımlanır ${\displaystyle \{X(t)\},t=0,\pm 1,\pm 2,\dots}$ ${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili k}$

${\displaystyle KZ_{m,k}[X(t)]=\sum _{s=-k(m-1)/2}^{k(m-1)/2}{X(t+s) \times {a_{s}^{m,k}}}}$

nerede katsayılar

${\displaystyle a_{s}^{m,k}={\frac {c_{s}^{k,m}}{m^{k}}},s={\frac {-k(m-1) )}{2}},\dots ,{\frac {k(m-1)}{2}}}$

denklemden elde edilen polinom katsayıları ile verilir

${\displaystyle \sum _{r=0}^{k(m-1)}{z^{r}c_{rk(m-1)/2}^{k,m}=(1+z+\dots +z^{m-1})^{k}}}$

Başka bir bakış açısından, KZ filtresi parametrelerle ve hareketli ortalama (MA) noktaların zaman yinelemeleri olarak tanımlanabilir . Yinelemeler yoluyla elde edilebilir. ${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili m}$

İlk yineleme, süreç üzerine bir MA filtresi uygulamaktır. ${\görüntüleme stili X(t)}$

${\displaystyle KZ_{m,k=1}[X(t)]=\sum _{s=-(m-1)/2}^{(m-1)/2}{X(t+s) }\times {\frac {1}{m}}}$

İkinci yineleme, MA işlemini birinci yinelemenin sonucuna uygulamaktır,

${\displaystyle {\begin{hizalı}&KZ_{m,k=2}[X(t)]=\sum _{s=-(m-1)/2}^{(m-1)/2}{ KZ_{m,k=1}[X(t+s)]\times {\frac {1}{m}}}\\={}&\sum _{s=-2(m-1)/2 }^{2(m-1)/2}{X(t+s)\times {a_{s}^{m,k=2}}}\end{hizalı}}}$

Genel olarak k, yineleme th (MA filtrenin bir uygulamadır k  inci yineleme - 1). Basit bir MA işleminin yineleme süreci, hesaplama açısından çok uygundur.

Özellikler

Filtrelerin ürününün dürtü yanıt işlevi, dürtü yanıtlarının evrişimidir. KZ filtresinin katsayıları a^{m , k}
_sBir şekilde yorumlanabilir dağılımı ile elde edilen kıvrım ve k aralığına muntazam ayrı dağılımlar [- ( m - 1) / 2, ( m / 2-1)] m bir tek tamsayıdır. Bu nedenle, katsayı a
[ ( m − 1) k + 1] sonlu desteği olan bir sivrilen pencere oluşturur . KZ filtresi bir
ana ağırlığı m √ k uzunluğunda, ağırlıkları ise dışarıda sıfıra iniyor. KZ filtresinin dürtü yanıt fonksiyonu k − 2 sürekli türevine sahiptir ve asimptotik olarak Gauss dağılımına sahiptir. Darbe yanıt fonksiyonu için kenarlardaki sıfır türevleri, yüksek frekans çözünürlüğünde çözülen şeyi keskin bir şekilde azalan bir fonksiyon haline getirir. KZ filtresinin enerji transfer fonksiyonu ,

${\displaystyle |B_{m,k}(\omega )|^{2}=\left\{{\frac {1}{m}}{\frac {\sin(\pi m\omega )}{\ günah(\pi \omega )}}\doğru\}^{2k}.}$

kesme frekansına sahip bir alçak geçiren filtredir.

${\displaystyle \omega _{0}\yaklaşık {\frac {\sqrt {6}}{\pi }}{\sqrt {\frac {1-(1/2)^{1/2k}}{m^ {2}-(1/2)^{1/2k}}}}.}$

İçin filtrenin Şekil 1.Transfer fonksiyonu k = 1.

Bir MA filtresi ile karşılaştırıldığında, KZ filtresi, frekans bileşenlerini kesme frekansının üzerinde azaltma açısından çok daha iyi performansa sahiptir. KZ filtresi, esasen tekrarlayan bir MA filtresidir. Hesaplaması kolaydır ve eksik verilerle başa çıkmak için basit bir yol sağlar. Bu prosedürün ana parçası, aralık içindeki eksik gözlemleri göz ardı ederek m nokta aralığındaki mevcut bilgilerin basit bir ortalamasıdır. Aynı fikir, mekansal veri analizine kolayca genişletilebilir. Kayıp değerlerin KZ filtresinin transfer fonksiyonu üzerinde çok az etkisi olduğu gösterilmiştir.

Keyfi k , bu transfer fonksiyonunun k gücünü sağlayacak ve yan lob değerini 0,05 ^k'ye düşürecektir . Mükemmel bir alçak geçiren filtre olacaktır. Pratik amaçlar için , normal MA ( k  = 1) yaklaşık %5'lik güçlü bir spektral sızıntı sağladığında , 3 ila 5 aralığında bir k seçimi genellikle yeterlidir .

Optimallik

KZ filtresi sağlamdır ve neredeyse optimaldir. İşlemi basit bir hareketli ortalama olduğundan, KZ filtresi, eksik veri ortamında, özellikle çok boyutlu zaman ve uzayda, eksik verilerin uzamsal seyreklikten kaynaklanan sorunlara neden olabileceği yerlerde iyi performans gösterir. KZ filtresinin bir başka güzel özelliği de, iki parametrenin her birinin net yorumlara sahip olması ve böylece farklı alanlardaki uzmanlar tarafından kolayca benimsenebilmesidir. KZ filtresinin ve uzantılarının farklı alanlarda kullanımını kolaylaştıran popüler istatistik paketi R'de zaman serileri, boylamsal ve uzamsal veriler için yazılım uygulamaları geliştirilmiştir .

KZ filtresi, periodogramı düzeltmek için kullanılabilir . Bir stokastik süreç sınıfı için Zurbenko, bir süreç hakkında mevcut olan tek bilginin Hölder koşuluyla ölçülen spektral yoğunluğu ve pürüzsüzlüğü olduğu en kötü durum senaryosunu değerlendirdi . Spektral yoğunluğun altta yatan düzgünlüğüne bağlı olan spektral pencerenin optimal bant genişliğini türetmiştir. Zurbenko, Kolmogorov-Zurbenko (KZ) penceresinin performansını Bartlett penceresi , Parzen penceresi , Tukey-Hamming penceresi ve tek biçimli pencere dahil olmak üzere tipik olarak kullanılan diğer spektral pencerelerle karşılaştırdı ve KZ penceresinden elde edilen sonucun optimuma en yakın olduğunu gösterdi.

Soyut ayrık bir yapı olarak geliştirilen KZ filtrasyonu sağlamdır ve istatistiksel olarak neredeyse optimaldir. Aynı zamanda, doğal biçimi nedeniyle, gözlemlerin %90'ı eksik olan ve birkaç farklı fiziksel fenomenin karmaşık bir kombinasyonunu temsil eden verilerle uzay/zaman problemlerinin analizine izin veren hesaplama avantajlarına sahiptir. Genellikle "çözülemeyen" problemler için net cevaplar bulunabilir. Bazı matematiksel gelişmelerin aksine KZ, arkasında net bir fiziksel yoruma sahip olduğu için farklı alanlardaki uzmanlar tarafından uyarlanabilir.

Uzantılar

Şekil 2: ν ₀ = .04, m = 100 ve k = 1 (siyah) veya k = 5 (kırmızı) ile KZFT _{m , k} filtresi için transfer fonksiyonunun logaritması .

Şekil 3: Birim zaman başına 0.08 ve 0.10 döngü frekansları artı %70 eksik değerlerle N(0,16) gürültü ile ilgili iki sinüs dalgasının toplamı olan sinyalin spektrumu. Simüle edilmiş veri setinin spektrumunu belirlemek için uyarlanabilir şekilde düzleştirilmiş KZP algoritması kullanıldı.

Şekil 4: Ek gürültü ~N(0, 16) olan ve değerlerin %60'ının mevcut olmadığı orijinal bir sinyalden birim zaman başına 0,08 ve 0,10 döngü frekansları hakkında iki sinüs dalgasının toplamı olan yeniden yapılandırılmış sinyal.

KZ filtresinin uzantıları arasında KZ uyarlamalı (KZA) filtre, uzamsal KZ filtresi ve KZ Fourier dönüşümü (KZFT) bulunur. Yang ve Zurbenko, KZ filtresi ve uzantılarının ayrıntılı bir incelemesini sağladı. KZ filtrelemesini uygulamak için R paketleri de mevcuttur

KZFT

KZFT filtresi, yoğun gürültü tarafından kapsanan periyodik sinyallerin veya mevsimselliğin yeniden yapılandırılması için tasarlanmıştır. Mevsimsellik, zaman serilerinde sıklıkla görülen durağan olmamanın temel biçimlerinden biridir. Genellikle zaman serisi içindeki periyodik bileşenler olarak tanımlanır. Spektral analiz, mevsimsellik ile zaman serilerini analiz etmek için güçlü bir araçtır. Bir süreç durağan ise, spektrumu da sürekli bir formdur. Tahmin kolaylığı için parametrik olarak ele alınabilir. Bir spektrum çizgiler içeriyorsa, sürecin durağan olmadığını ve periyodiklikler içerdiğini gösterir. Bu durumda, parametrik uyum genellikle düşük enerjili mevsimsel artıklarla sonuçlanır. Bunun nedeni mevsimden mevsime farklılıklardır. Bu sorunu önlemek için bant geçiren filtreleri içeren parametrik olmayan yaklaşımlar önerilir. Kolmogorov–Zurbenko Fourier Dönüşümü (KZFT) bu filtrelerden biridir. Birçok uygulamanın amacı, gürültülü ortamlardan yüksek çözünürlüklü dalgacıkları yeniden oluşturmaktır. KZFT'nin spektral alanda mümkün olan en iyi çözünürlüğü sağladığı kanıtlanmıştır. Teorik olarak en küçük mesafenin kenarında iki sinyalin ayrılmasına veya ağır gürültü ile kapsanan ve zaman içinde düzensiz olarak gözlemlenen periyodik sinyallerin yeniden oluşturulmasına izin verir. Bu nedenle KZFT, çeşitli uygulamalar için benzersiz bir fırsat sunar. R yazılımında KZFT'yi uygulamak için bir bilgisayar algoritması sağlanmıştır. KZFT, temel olarak, benzersiz bir zaman penceresine sahip kısa zamanlı Fourier dönüşümü (STFT) kategorisine ait bir bant geçiren filtredir .

KZFT , bilgisayar rasgele sayı üretecinden kaynaklanan sabit spektral beyaz gürültü yoğunluğundan küçük sapmaları kolayca ortaya çıkarır . Bu tür bilgisayar rasgele sayı nesilleri uzun vadede tahmin edilebilir hale gelir. Kolmogorov karmaşıklığı , öngörülemeyen rastgele sayı dizileri oluşturma fırsatı sağlar.

Biçimsel olarak, X ( t ) , t = ...,−1,0,1,... , bir işlemimiz var, m ve k parametrelerine sahip KZFT filtresi , ν ₀ frekansında hesaplanan bir çıktı işlemi üretir. aşağıdaki gibi tanımlanır:

${\displaystyle KZFT_{m,k,\nu _{0}}[X(t)]=\sum _{s=-k(m-1)/2}^{k(m-1)/2} {X(t+s)\kez {a_{s}^{m,k}\kez {e^{-i(2m\nu _{0})s}}}}}$

nerede bir^{m , k}
_sşu şekilde tanımlanır: bir^{m , k}
_s = C^{m , k}
_s/m ^k , s = −k(m − 1)/2 ,..., −k(m − 1)/2 ve polinom katsayıları C^{m , k}
_sΣ ile verilir^{k ( m  − 1)}
_{r = 0}z ^r C^k,m
_{r  -  k ( m  - 1)/2}= (1 + z + ... + z ^{( m − 1)} ) ^k . Görünüşe göre KZFT
_{m,k,v 0}(t) [ X ( t )] filtresi KZFT uygulamasına eşdeğerdir
_{m, k}( t ) X ( t + s ) e ^{− i 2( mν ₀ ) s} sürecine filtre uygulayın . Benzer şekilde, KZFT filtresi, KZ filtresiyle aynı şekilde yinelemeler yoluyla elde edilebilir.

ρ ₀ = S periyotları boyunca KZFT karesinin ortalaması1/ν ₀ t momenti etrafındaki 2 Sρ ₀ gözlemine dayalı olarak ν ₀ frekansında veya KZ periyodogramında (KZP) dalganın kare genliğinin bir tahminini sağlayacaktır :

${\displaystyle \operatöradı {KZP} (t,m,k,\nu _{0})=2\left|{\frac {1}{2S\rho _{0}}}\sum _{\tau = -S\rho _{0}}^{S\rho _{0}}2\operatöradı {Re} [KZFT_{m,k,\nu +0}[X(\tau +t)]]^{2 }\sağ|}$

Şekil 2'de verilen KZFT'nin transfer fonksiyonu, c /( m √ k ) ile sınırlı bant genişliği ile çok keskin bir frekans çözünürlüğüne sahiptir . Karmaşık değerli bir süreç X ( t ) = e ^{i(2mν ₀ )t için} , KZFT _{m,k,ν 0} ( t ) sonucu değişmez. Gerçek değerli bir süreç için, enerjiyi gerçek ve karmaşık alanlara eşit olarak dağıtır. Başka bir deyişle, 2Re[ KZFT _{m,k,ν 0} ( t )] aynı frekansta ν ₀ bir kosinüs veya sinüs dalgasını yeniden oluşturur . Bu izler 2RE [ KZFT _{m, k, ν 0} ( t )] doğru ν frekans ile bilinmeyen bir dalganın genliği ve fazı yeniden yapılandırır ₀ . Aşağıdaki şekil, KZFT filtrasyonunun güç aktarım işlevini sağlamaktadır. İlgili frekansı ν ₀ = 0.4 mükemmel bir şekilde yakaladığını ve k filtrasyon parametresi tarafından kontrol edilen bir yan lobdan pratik olarak hiçbir spektral sızıntı sağlamadığını açıkça gösterir . Pratik amaçlar için , normal FFT ( k  = 1) yaklaşık %5'lik güçlü bir sızıntı sağladığında , 3-5 aralığında k seçimi genellikle yeterlidir .

Örnek: Simüle edilmiş sinyal
sin 2π(0.10) t + sin 2 π (0.02) t + normal rastgele gürültü N(0,16), KZFT algoritmasının eksik değerlere sahip veri kümelerinin spektrumlarını doğru bir şekilde belirleme yeteneğini test etmek için kullanıldı. Pratik değerlendirmeler için, spektrumun baskın frekansları yakalamaya devam edip edemeyeceğini belirlemek için eksik değerlerin yüzdesi p=%70'de kullanıldı. Daha geniş bir pencere uzunluğu m=600 ve k=3 yineleme kullanılarak, simüle edilmiş uzunlamasına veri kümesi için spektrumu belirlemek için uyarlanabilir şekilde düzleştirilmiş KZP algoritması kullanıldı. Şekil 3'te, birim zaman başına 0,08 ve 0,10 devirlik baskın frekansların, sinyalin doğal frekansları olarak tanımlanabilir olduğu açıktır.

Uzunlamasına gözlemlerin yüksek gürültüsüne gömülü orijinal sinyalin KZFT rekonstrüksiyonu (eksik oran %60.) R-yazılımının KZA paketindeki KZFT filtresinin bir f  = frekans parametresi vardır . Spektrumda bulunan bilinen baskın frekansların her biri için bu parametreyi tanımlayarak, KZFT m=300 ve k=3 parametreleriyle her bir frekansla ilgili sinyali yeniden yapılandırmak için (birim zaman başına 0,08 ve 0,10 döngü) KZFT filtresi. Yeniden oluşturulan sinyal, KZFT filtresinin iki kez (her baskın frekans hakkında bir kez) uygulanması ve ardından her filtrenin sonuçlarının toplanmasıyla belirlendi. Gerçek sinyal ile yeniden oluşturulmuş sinyal arasındaki korelasyon %96,4 idi; şekil 4'te gösterilmiştir. Orijinal gözlemler, algoritma tarafından mükemmel bir şekilde yeniden oluşturulmuş karmaşık, gizli periyodiklik hakkında hiçbir tahminde bulunmaz.

Ham veriler sıklıkla gizli frekanslar içerir. Birkaç sabit frekans dalgasının kombinasyonları, sinyallerin karışımının tanınmasını zorlaştırabilir, ancak yine de zaman içinde tahmin edilebilir kalır. Yayınlar, atmosfer basıncının, ayın yerçekimi kuvvetinden ve güneşin günlük periyodundan kaynaklanan gizli periyodiklikler içerdiğini göstermektedir. Atmosferik gelgit dalgalarının bu periyodik sinyallerinin yeniden yapılandırılması, aşırı hava koşullarında mevcut olan birçok anomalinin açıklanmasına ve tahmin edilmesine olanak tanır. Gezegenlerin yerçekimi kuvvetinden kaynaklanan güneşte de benzer gelgit dalgaları mevcut olmalıdır. Güneşin kendi ekseni etrafındaki dönüşü, dünyadaki ekvator akımına benzer bir akıma neden olacaktır. Akıntı etrafındaki bozulmalar veya girdaplar, güneşin yüzeyinde anormalliklere neden olur. Yüksek manyetik plazmadaki yatay dönme girdapları, daha derin, daha sıcak plazmayı güneş yüzeyinin üzerine taşıyacak dikey bir patlama yaratacaktır. Her gezegen, güneşte belirli bir frekansta bir gelgit dalgası yaratır. Bazen dalgalardan herhangi ikisi aynı fazda olacak ve diğer zamanlarda faz dışı olacaktır. Ortaya çıkan genlik, bir fark frekansı ile salınacaktır. DZ algoritması kullanılarak güneş lekesi verilerinin spektrumlarının tahmini, 9.9 ve 11.7 yıllara yakın periyodikliklere sahip iki keskin frekans çizgisi sağlar. Bu frekans çizgileri, Jüpiter ve Satürn (9.9) ve Venüs ve Dünya'nın (11.7) neden olduğu fark frekansları olarak düşünülebilir. 9.9 ile 11.7 arasındaki fark frekansı 64 yıllık bir sıklık verir. Bu dönemlerin tümü güneş lekesi verilerinde tanımlanabilir. 64 yıllık dönem bileşeni şu anda düşüş modunda. Bu düşüş yakın gelecekte dünya üzerinde bir soğuma etkisine neden olabilir. Birden fazla gezegenin ortak etkisinin incelenmesi, güneş aktivitesindeki bazı uzun dönemleri ortaya çıkarabilir ve dünyadaki iklim dalgalanmalarını açıklamaya yardımcı olabilir.

KZA

Şekil 5a: Sinyal grafiği + mevsimsellik + gürültü. Şekil 5b: Şekil 5a'daki verilerden kopan sinyalin KZA rekonstrüksiyonu. Mavi çizgi, orijinal sinyalin siyah bir çizgi olarak yeniden yapılandırılmasıdır.

Şekil 6: Uygulama KZFT _{m , k,} Şekil 5a'da verilere. Normal bir alçak geçiren filtre, uzun vadeli bileşendeki kesintiyi yeniden üretemez.

KZ uyarlanabilir (KZA) filtre olarak adlandırılan KZ filtresinin uyarlanabilir versiyonu, ağır gürültü tarafından kapsanan parametrik olmayan sinyallerdeki kesintilerin aranması için geliştirilmiştir. KZA filtresi, bir kesinti meydana geldiğinde ilk olarak potansiyel zaman aralıklarını tanımlar. Ardından pencere boyutunu küçülterek bu zaman aralıklarını daha dikkatli inceler, böylece düzleştirilmiş sonucun çözünürlüğü artar.

Kırılma noktası tespitinin bir örneği olarak, mevsimsellik ve gürültüye gömülü bir kırılmayı içeren uzun vadeli bir eğilimi simüle ediyoruz. Şekil 2, 1 birim genliğe, normal dağılmış gürültüye ( σ = 1 ) ve kesintili bir temel sinyale sahip bir mevsimsel sinüs dalgasının bir grafiğidir . İşleri daha zor hale getirmek için, temel sinyal 1 birimlik genel bir düşüş eğilimi ve 0,5 birimlik bir yukarı kırılma içerir. Düşüş eğilimi ve kırılma, orijinal verilerde pek görülmez. Baz sinyali bir adım fonksiyonudur y =-1/7300t + sin(2 π t ) , t < 3452 ve y = ile-1/7300( t − 3452) + sin(2 π t ) ile 3452 < t < 7300 . Düşük geçişli bir yumuşatma filtresi KZ _3,365'in orijinal verilere uygulanması, Şekil 6'da gösterildiği gibi kopmanın aşırı yumuşatılmasıyla sonuçlanır. _{Kırılmanın} konumu artık belirgin değildir. KZ filtresinin (KZA) uyarlanabilir bir versiyonunun uygulanması, kırılmayı Şekil 5b'de gösterildiği gibi bulur. KZA'nın yapısı, yinelenen yumuşatma filtresi KZ'nin uyarlanabilir bir versiyonuna dayanmaktadır. Buradaki fikir, KZ ile bulunan trendlere göre filtreleme penceresinin boyutunu değiştirmektir. Bu, filtrenin verilerin değiştiği alanlara yakınlaşmasına neden olur; değişim ne kadar hızlı olursa, yakınlaştırma o kadar sıkı olur. KZA'yı oluşturmanın ilk adımı KZ'yi kullanmaktır; KZ _{q , k} [ X ( t )] burada k yinelemeler ve q filtre uzunluğudur, burada KZ _{q , k} yinelenen hareketli ortalamadır y _i =1/(2 q + 1)Σ^q,
_{J = -q}X _{i + j} burada x _i orijinal veridir ve y _i filtrelenmiş veridir. Bu sonuç, filtrenin uyarlanabilir bir sürümünü oluşturmak için kullanılır. Filtre,verilere yanıt olarak boyut olarak ayarlanan, verilerin hızla değiştiği bölgelere etkin bir şekilde yakınlaşan f = kafa ve b = kuyruk) ile sırasıylabir baş ve kuyruktan ( q _f ve q _b ) oluşur. Kafa q _f , verilerdeki kesintiye yanıt olarak küçülür. KZ'den oluşturulan fark vektörü; D ( t ) = | Z ( t + q ) - Z ( t - q ) | D ' ( t ) = D ( t + 1) - D ( t ) türevinin kesikli eşdeğerini bulmak için kullanılır. Bu sonuç, filtreleme penceresininbaş ve kuyruk (sırasıyla q _f ve q _b )boyutlarını belirler. Eğim pozitifse baş küçülür ve kuyruk tam boyuta genişler ( D '( t ) > 0 , o zaman q _f ( t ) = f ( D ( t )) q ve q _b ( t ) = q ) ile f ( D ( t )) 1 = -D ( t )/maks[ D ( t )]. Eğim negatif ise, pencerenin başı tam boyutlu olurken, kuyruk küçülür ( D ' ( t ) < 0 , o zaman q _f ( t ) = q ve q _b ( t ) = f ( D ( t )) q KZA'nın ayrıntılı kodu mevcuttur.

Şekil 7: σ=2 ile normal gürültüye gömülmüş seviye 1'in 2 boyutlu sinyalinin kare görüntüsünün yeniden oluşturulması. Solda gürültülü görüntü, sağda 2 boyutlu KZA'nın uygulanması. Toplam gösterim alanı 100x100 punto, orijinal görüntü merkezde 30x30'dur.

KZA algoritması, parametrik olmayan bir yaklaşımın tüm tipik avantajlarına sahiptir; incelenmekte olan zaman serilerinin belirli bir modelini gerektirmez. Ağır gürültünün kapsadığı herhangi bir türdeki düşük frekanslı bir sinyal üzerindeki ani değişiklikleri arar. KZA, çok düşük sinyal-gürültü oranıyla bile kırılma tespiti için çok yüksek hassasiyet gösterir; mola zamanının tespitinin doğruluğu da çok yüksektir.

Gürültülü iki boyutlu görüntüleri geri yüklemek için KZA algoritması uygulanabilir. Bu, güçlü parazitten zarar görmüş siyah beyaz bir resim veya çok seviyeli bir renkli resim olarak iki seviyeli bir f(x,y) işlevi olabilir. KZA, kırılmayı (renk değişikliği) algılamak için satır satır uygulanabilir, daha sonra farklı satırlardaki kırılma noktaları normal KZ filtresi tarafından yumuşatılır. Mekansal KZA'nın gösterimi Şekil 7'de verilmiştir.

Spektrumdaki keskin frekans çizgilerinin belirlenmesi, uyarlanabilir şekilde düzleştirilmiş periodogram ile belirlenebilir. Algoritmanın ana fikri, bir KZ periodogramının logaritmasını uyarlamalı olarak yumuşatmaktır. Düzgünleştirme aralığı, toplam entropiden belirli bir sabit koşullu entropi yüzdesi ile sağlanır . Kabaca konuşursak, algoritma bir frekans ölçeğinden ziyade bir bilgi ölçeğinde düzgün bir şekilde çalışır. Bu algoritma ayrıca KZP'deki k=1 parametresi için Dirienzo-Zurbenko algoritması olarak bilinir ve yazılımda sağlanır.

Mekansal KZ filtresi

Mekansal KZ filtresi, zaman ve mekanda kaydedilen değişkene uygulanabilir. Filtrenin parametreleri zaman ve mekanda ayrı ayrı seçilebilir. Genellikle fiziksel anlamda, uzayda hangi ortalama alma ölçeğinin makul olduğu ve zamanda hangi ortalama alma ölçeğinin makul olduğu uygulanabilir. Parametre k, filtrenin çözünürlüğünün keskinliğini veya frekans sızıntısının bastırılmasını kontrol eder. R yazılımında uzamsal KZ filtresi için bir algoritma mevcuttur. Sonuç zamanı parametresi sanal zaman olarak ele alınabilir, daha sonra uzayda süzme sonuçlarının görüntüleri sanal zamanda "film" olarak gösterilebilir. Zaman t , boylam x ve enlem y'nin bir fonksiyonu olarak sıcaklık T ( t , x , y ) dünya rekorlarına uygulanan 3B uzaysal KZ filtresinin uygulamasını gösterebiliriz . Küresel iklim dalgalanmalarını seçmek için t zamanı için 25 aylık bileşen parametreleri , KZ filtrasyonu için boylam ve enlem için 3° seçilmiştir. Parametre k , ölçeklerin çözünürlüklerini yerleştirmek için 5'e eşit olarak seçildi. "Film" sonucunun tek slaytı aşağıdaki Şekil 8'de verilmiştir. İklimin zaman ve mekandaki dalgalanmalarını belirlemek için enlemler boyunca düşük standart ortalama kosinüs kare sıcaklık dağılımı çıkarıldı.

Şekil 8: Aralık 2007 KZ filtresindeki Küresel Uzun Vadeli Bileşen m = (3°, 3°, 25 ay), k  = 5, enlem ve irtifa etkileri için ayarlanmış.

2007 yılı için dünya üzerinde kosinüs kare yasasından sıcaklık dalgalanmalarının anormalliklerini görebiliriz. Sıcaklık anormallikleri, sağdaki şekil ölçeğinde dünya üzerinde gösterilir. Son 100 yıla yayılan Avrupa ve Kuzey Afrika'da çok yüksek pozitif anomali gösteriyor. Zurbenko Igor ve Smith Devin tarafından yakın zamanda Kolmogorov-Zurbenko filtrelerinde uzay-zaman analizinde gösterildiği gibi, mutlak nem değişkeni büyük bölgesel iklim değişikliklerinin sorumluluğunu üstleniyor. KZ filtrasyonunun "filminde" bu anormallikler zamanla yavaş yavaş değişiyor, gözlemlenen anormalliklerin zamanla yavaş yoğunlaşması tespit edildi. El Niño ölçeği ve diğerleri gibi farklı ölçek dalgalanmaları da mekansal KZ filtrasyonu ile tanımlanabilir. Bu ölçeklerin yüksek çözünürlüklü "filmi" Kuzey Amerika'da sağlanmaktadır. Farklı bir değişken için KZ filtrasyonu ile farklı ölçekler seçilebilir ve karşılık gelen çok değişkenli analiz, sonuç değişkenini diğer ortak değişkenlere göre araştırmak için yüksek verimli sonuçlar sağlayabilir. KZ filtre çözünürlüğü, geleneksel yöntemlerle karşılaştırıldığında son derece iyi performans gösterir ve aslında hesaplama açısından optimaldir.

Uygulamalar

• W. Yang ve I. Zurbenko. kzft: Kolmogorov–Zurbenko Fourier dönüşümü ve uygulaması. R paketi, 2006.
• B. Kapat ve I. Zurbenko. kza: Görüntü algılama için Kolmogorov–Zurbenko uyarlamalı algoritma. R paketi, 2016 ( https://cran.r-project.org/web/packages/kza/ )
• Andreas Weiler ve Michael Grossniklaus'un (Konstanz Üniversitesi, Almanya) 1 boyutlu dizileri için KZ ve KZA Java uygulaması ( https://web.archive.org/web/20140914054417/http://dbis.uni-konstanz.de/ araştırma/sosyal-medya-akış-analizi/ )
• Mathieu Schopfer'in (Lozan Üniversitesi, İsviçre) KZ, KZFT ve KZP'nin Python uygulaması ( https://github.com/MathieuSchopfer/kolmogorov-zurbenko-filter )

Referanslar