Kısa zamanlı Fourier dönüşümü - Short-time Fourier transform
Fourier dönüşümü Kısa süreli ( STFT ), bir Fourier transform ile ilişkili bu zaman içinde değişen bir sinyal lokal bölümlerinin sinüzoidal frekans ve faz içeriğini belirlemek için kullanılan. Pratikte, STFT'leri hesaplama prosedürü, daha uzun bir zaman sinyalini eşit uzunlukta daha kısa bölümlere bölmek ve ardından Fourier dönüşümünü her bir kısa bölümde ayrı ayrı hesaplamaktır. Bu, her kısa segmentteki Fourier spektrumunu ortaya çıkarır. Daha sonra, genellikle Yazılım Tanımlı Radyo (SDR) tabanlı spektrum ekranlarında yaygın olarak kullanılanlar gibi, bir spektrogram veya şelale grafiği olarak bilinen, değişen spektrumları zamanın bir fonksiyonu olarak çizer . Bir SDR'nin tüm aralığını kapsayan tam bant genişliği ekranları, masaüstü bilgisayarlarda yaygın olarak 2^24 noktalı Hızlı Fourier Dönüşümleri (FFT'ler) kullanır.
İleri STFT
Sürekli zamanlı STFT
Basitçe, sürekli zaman durumunda, dönüştürülecek fonksiyon , sadece kısa bir süre için sıfır olmayan bir pencere fonksiyonu ile çarpılır . Fourier dönüşüm penceresi sinyalinin bir iki boyutlu temsil sonuçlanan zaman ekseni boyunca kayar iken elde edilen sinyalin (tek boyutlu bir fonksiyonu) alınır. Matematiksel olarak, bu şöyle yazılır:
burada bir pencere fonksiyonu genellikle, Hann penceresi veya Gauss penceresi yaklaşık sıfır merkezli ve transforme edilecek sinyali (pencere fonksiyonu arasındaki farkı dikkat olan ve frekans ). esasen, zaman ve frekans üzerinden sinyalin fazını ve büyüklüğünü temsil eden karmaşık bir fonksiyonun Fourier dönüşümüdür . Genellikle faz açma , STFT'nin faz sonucunun herhangi bir atlama süreksizliğini bastırmak için zaman ekseni ve frekans ekseninin biri veya her ikisi boyunca kullanılır . Zaman indeksi normalde " yavaş " zaman olarak kabul edilir ve genellikle zaman kadar yüksek çözünürlükte ifade edilmez .
Ayrık zamanlı STFT
Ayrık zaman durumunda, dönüştürülecek veriler parçalara veya çerçevelere bölünebilir (sınırdaki yapaylıkları azaltmak için genellikle birbiriyle örtüşen). Her yığın Fourier dönüştürülmüştür ve karmaşık sonuç, zaman ve frekanstaki her nokta için büyüklük ve fazı kaydeden bir matrise eklenir. Bu şu şekilde ifade edilebilir:
aynı şekilde, x [ n ] sinyali ve w [ n ] penceresi ile . Bu durumda, m ayrıktır ve ω süreklidir, ancak çoğu tipik uygulamada STFT, hızlı Fourier dönüşümü kullanılarak bir bilgisayarda gerçekleştirilir , bu nedenle her iki değişken de ayrık ve nicelenir .
STFT'nin karesi alınan büyüklük , fonksiyonun Güç Spektral Yoğunluğunun spektrogram gösterimini verir :
Ayrıca, örtüşen pencereler kullanan Fourier ile ilgili bir dönüşüm olan değiştirilmiş ayrık kosinüs dönüşümüne (MDCT) bakın.
Kayar DFT
Yalnızca az sayıda ω isteniyorsa veya STFT'nin pencerenin her m kayması için değerlendirilmesi isteniyorsa , STFT kayan bir DFT algoritması kullanılarak daha verimli bir şekilde değerlendirilebilir .
Ters STFT
STFT tersine çevrilebilir , yani orijinal sinyal, Ters STFT tarafından dönüşümden geri kazanılabilir. STFT'yi tersine çevirmenin en yaygın olarak kabul edilen yolu , STFT karmaşık spektrumunda değişikliklere de izin veren örtüşme-ekleme (OLA) yöntemini kullanmaktır . Bu, örtüşme ve modifikasyonlarla ekleme yöntemi olarak adlandırılan çok yönlü bir sinyal işleme yöntemi sağlar.
Sürekli zamanlı STFT
w ( t ) pencere fonksiyonunun genişliği ve tanımı göz önüne alındığında, başlangıçta pencere fonksiyonunun alanının ölçeklenmesini istiyoruz, böylece
Bunu kolayca takip eder
ve
Sürekli Fourier dönüşümü
İkame x ( t ile elde edilmiş):
Entegrasyonun takas sırası:
Bu nedenle Fourier dönüşümü, x ( t ) ' nin tüm STFT'lerinin bir tür faz uyumlu toplamı olarak görülebilir . Ters Fourier dönüşümü olduğundan
o zaman x ( t ), X (τ,ω)' den şu şekilde elde edilebilir:
veya
Yukarıdaki ile karşılaştırıldığında, x ( t )'nin pencereli "tane" veya "dalgacık"ının olduğu görülebilir.
τ için X'in (τ,ω) ters Fourier dönüşümü sabit.
Çözünürlük sorunları
STFT'nin tuzaklarından biri, sabit bir çözünürlüğe sahip olmasıdır. Pencereleme fonksiyonunun genişliği, sinyalin nasıl temsil edildiği ile ilgilidir - iyi frekans çözünürlüğünün (birbirine yakın frekans bileşenleri ayrılabilir) veya iyi zaman çözünürlüğünün (frekansların değiştiği zaman) olup olmadığını belirler. Geniş bir pencere daha iyi frekans çözünürlüğü, ancak zayıf zaman çözünürlüğü sağlar. Daha dar bir pencere, iyi bir zaman çözünürlüğü, ancak zayıf frekans çözünürlüğü sağlar. Bunlara sırasıyla dar bant ve geniş bant dönüşümleri denir.
Bu, birçok gerçek sinyal için en uygun kombinasyon olan yüksek frekanslı olaylar için iyi zaman çözünürlüğü ve düşük frekanslı olaylar için iyi frekans çözünürlüğü verebilen dalgacık dönüşümü ve çoklu çözünürlük analizinin yaratılmasının nedenlerinden biridir .
Bu özellik, Heisenberg belirsizlik ilkesi ile ilgilidir , ancak doğrudan değildir - tartışma için Gabor limitine bakın . Zaman ve frekanstaki standart sapmanın ürünü sınırlıdır. Gauss, Fourier belirsizlik ilkesini en aza indirdiğinden, belirsizlik ilkesinin sınırına (her ikisinin de en iyi eşzamanlı çözünürlüğü) bir Gauss pencere işlevi ile ulaşılır . Buna Gabor dönüşümü denir (ve çoklu çözünürlük için yapılan değişikliklerle Morlet dalgacık dönüşümü olur).
Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, pencere boyutunu değiştirerek hesaplanabilen, iki boyutlu bir alan (zaman ve frekans) olarak değişen pencere boyutu için STFT düşünülebilir. Ancak, bu artık katı bir zaman-frekans gösterimi değildir – çekirdek tüm sinyal boyunca sabit değildir.
Örnek
Sırayla birleştirilmiş dört sinüzoidal dalga biçiminden oluşan aşağıdaki örnek sinyali kullanarak . Her dalga biçimi, yalnızca dört frekanstan (10, 25, 50, 100 Hz ) birinden oluşur . tanımı şudur:
Daha sonra 400 Hz'de örneklenir. Aşağıdaki spektrogramlar üretildi:
25 ms'lik pencere, sinyallerin değiştiği kesin bir zamanı belirlememize izin verir, ancak kesin frekansların belirlenmesi zordur. Ölçeğin diğer ucunda, 1000 ms penceresi frekansların tam olarak görülmesine izin verir ancak frekans değişiklikleri arasındaki süre bulanıktır.
Açıklama
Örnekleme ve Nyquist frekansı referans alınarak da açıklanabilir .
Örnekleme hızı f s'de rastgele gerçek değerli bir sinyalden bir N örnek penceresi alın . Fourier dönüşümünü almak N karmaşık katsayı üretir . Bu katsayıların sadece yarısı faydalıdır (son N/2 , ilk N/2'nin ters sırada karmaşık eşleniğidir , çünkü bu gerçek değerli bir sinyaldir).
Bu N/2 katsayıları, 0 ila f s /2 (Nyquist) arasındaki frekansları temsil eder ve ardışık iki katsayı, f s / N Hz ile birbirinden ayrılır .
Pencerenin frekans çözünürlüğünü arttırmak için katsayıların frekans aralığının azaltılması gerekir. Yalnızca iki değişken vardır, ancak f s'yi azaltmak (ve N'yi sabit tutmak ) pencere boyutunun artmasına neden olacaktır - çünkü artık birim zaman başına daha az örnek vardır. Diğer alternatif ise N değerini artırmaktır , ancak bu yine pencere boyutunun artmasına neden olur. Dolayısıyla, frekans çözünürlüğünü artırmaya yönelik herhangi bir girişim, daha büyük bir pencere boyutuna ve dolayısıyla zaman çözünürlüğünde bir azalmaya neden olur - ve bunun tersi de geçerlidir.
Rayleigh frekansı
Olarak Nyquist frekansı anlamlı analiz edilebilir maksimum frekansta bir sınırlama yoktur, bu nedenle Rayleigh frekansı minimum frekans üzerinde bir sınırlama yoktur.
Rayleigh frekansı, sonlu bir zaman penceresi tarafından çözülebilen minimum frekanstır.
Τ saniye uzunluğunda bir zaman penceresi verildiğinde, çözülebilecek minimum frekans 1/Τ Hz'dir.
Rayleigh frekansı, kısa süreli Fourier dönüşümü (STFT) uygulamalarında ve ayrıca sonlu kayıt uzunluğundaki bir sinyal üzerinde herhangi bir diğer harmonik analiz yönteminde önemli bir husustur.
Başvuru
STFT'lerin yanı sıra standart Fourier dönüşümleri ve diğer araçlar müziği analiz etmek için sıklıkla kullanılır. Spektrogram , örneğin, düşük frekanslarda ile yatay eksende gösterisi frekansı, soldaki ve sağdaki en yüksek olabilir. Her çubuğun yüksekliği (renkle artırılmış), o bant içindeki frekansların genliğini temsil eder . Derinlik boyutu, her yeni çubuğun ayrı bir dönüşüm olduğu zamanı temsil eder. Ses mühendisleri bu tür görselleri bir ses örneği hakkında bilgi edinmek, örneğin belirli seslerin frekanslarını (özellikle daha yüksek frekans çözünürlüğü ile kullanıldığında) bulmak veya sesin bulunduğu alanda az çok rezonanslı olabilecek frekansları bulmak için kullanır. sinyal kaydedildi. Bu bilgi, diğer ses efektlerini eşitlemek veya ayarlamak için kullanılabilir .
uygulama
Orijinal işlev
Ayrık forma dönüştürme:
Farz et ki
Sonra orijinal işlevi yazabiliriz
Doğrudan uygulama
kısıtlamalar
a. Nyquist kriteri (Örme etkisinden kaçınma):
- , bant genişliği nerede
FFT tabanlı yöntem
Kısıtlama
a. , tamsayı nerede
B.
C. Nyquist kriteri (Örme etkisinden kaçınma):
- , bant genişliği
özyinelemeli yöntem
Kısıtlama
a. , tamsayı nerede
B.
C. Nyquist kriteri (Örme etkisinden kaçınma):
- , bant genişliği
NS. Yalnızca dikdörtgen-STFT'yi uygulamak için
Dikdörtgen pencere kısıtlamayı uygular
Değiştirme şunları sağlar:
n için n -1 değişkeninin değiştirilmesi :
Hesaplama ile N -Point FFT:
nerede
Hesaplamak için özyinelemeli formülü uygulama
Chirp Z dönüşümü
Kısıtlama
Bu yüzden
Uygulama karşılaştırması
Yöntem | karmaşıklık |
---|---|
Doğrudan uygulama | |
FFT tabanlı | |
özyinelemeli | |
Chirp Z dönüşümü |
Ayrıca bakınız
Diğer zaman-frekans dönüşümleri:
- Koni şeklindeki dağıtım işlevi
- Sabit-Q dönüşümü
- Kesirli Fourier dönüşümü
- Gabor dönüşümü
- Newland dönüşümü
- S dönüşümü
- Dalgacık dönüşümü
- Chirplet dönüşümü
Referanslar
- ^ Sejdic E.; Djurović I.; Jiang J. (2009). "Enerji konsantrasyonu kullanılarak zaman-frekans özelliği gösterimi: Son gelişmelere genel bakış". Dijital Sinyal İşleme . 19 (1): 153-183. doi : 10.1016/j.dsp.2007.12.004 .
- ^ E. Jacobsen ve R. Lyons, The sürgülü DFT , Signal Processing Magazine vol. 20, sayı 2, s. 74–80 (Mart 2003).
- ^ Jont B. Allen (Haziran 1977). "Ayrık Fourier Dönüşümü ile Kısa Zamanlı Spektral Analiz, Sentez ve Modifikasyon". Akustik, Konuşma ve Sinyal İşleme Üzerine IEEE İşlemleri . ASSP-25 (3): 235–238. doi : 10.1109/TASSP.1977.1162950 .
- ^ https://physics.ucsd.edu/neurophysics/publications/Cold%20Spring%20Harb%20Protoc-2014-Kleinfeld-pdb.top081075.pdf
- ^ ""İstenen frekans çözünürlüğü için dolgu yeterli değil" ne anlama geliyor? – FieldTrip araç kutusu" .
- ^ Zeitler M, Fries P, Gielen S (2008). "Gama salınımlarının genliklerindeki varyasyonlar yoluyla önyargılı rekabet" . J Comput Neurosci . 25 (1): 89-107. doi : 10.1007/s10827-007-0066-2 . PMC 2441488 . PMID 18293071 .
- ^ Wingerden, Marijn van; Vinck, Martin; Lankelma, Ocak; Pennartz, Cyriel MA (2010-05-19). "Ödül Beklentisi Sırasında Orbitofrontal Nöronların Teta-Bandı Faz Kilitlenmesi" . Nörobilim Dergisi . 30 (20): 7078–7087. doi : 10.1523/JNEUROSCI.3860-09.2010 . ISSN 0270-6474 . PMC 6632657 . PMID 20484650 .
Dış bağlantılar
- DiscreteTFD'ler - kısa süreli Fourier dönüşümü ve diğer zaman-frekans dağılımlarını hesaplamak için yazılım
- Tekil Spektral Analiz – MultiTaper Method Toolkit – kısa, gürültülü zaman serilerini analiz etmek için ücretsiz bir yazılım programı
- SpectraWorks'ten Mac OS X için kSpectra Toolkit
- Ultra geniş bant sinyallerinin zaman frekans analizi için zaman uzatılmış kısa süreli Fourier dönüşümü
- STFT ve ters STFT gerçekleştirmek için BSD lisanslı bir Matlab sınıfı
- LTFAT – Kısa süreli Fourier dönüşümleri ve zaman-frekans analizi ile çalışmak için ücretsiz (GPL) bir Matlab / Octave araç kutusu
- Sonogram görünür konuşma – Kısa süreli Fourier dönüşümleri ve zaman-frekans analizi için ücretsiz (GPL) ücretsiz bir yazılım