Haversine formülü - Haversine formula

Haversinüs formül belirleyen büyük daire mesafe bir iki nokta arasındaki küre kendilerine verilen boylam ve paralelleri . Önemli navigasyon , bu bir daha genel formülün özel bir durumudur küresel trigonometri , haversines kanunu , yani tarafını ve küresel üçgenlerin açıları ile ilgilidir.

İngilizce'deki ilk haversines tablosu James Andrew tarafından 1805'te yayınlandı, ancak Florian Cajori , 1801'de José de Mendoza y Ríos tarafından daha önceki bir kullanıma atıfta bulunuyor. Haversine terimi , 1835'te James Inman tarafından icat edildi .

Bu isimler, alışılmış olarak $hav( θ ) = sin 2 (.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} θ/2)$ . Formüller, eski versine işlevi gibi (haversinin iki katı) haversine'nin herhangi bir katı cinsinden eşit olarak yazılabilir . Bilgisayarların ortaya çıkmasından önce, ikinin çarpanlarına göre bölme ve çarpmanın ortadan kaldırılması, haversine değerleri ve logaritma tablolarının 19. ve 20. yüzyılın başlarında navigasyon ve trigonometrik metinlere dahil edilmesi için yeterince uygun olduğunu kanıtladı . Bu günlerde, haversine formu, $sin 2$ fonksiyonunun önünde katsayıya sahip olmaması açısından da uygundur .

formülasyon

Let merkezi açı $θ$ bir küre üzerinde herhangi iki nokta arasında:

\theta ={\frac {d}{r}}

nerede:

$d$ ,kürenin büyük bir çemberi boyunca iki nokta arasındaki mesafedir(bkz. küresel mesafe ),
$r$ kürenin yarıçapıdır.

Haversinüs Formül sağlar haversinüs ait $İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin$ (olup $hav (θ)$ enlem, direkt olarak hesap edilmesi (ile temsil edilen) $cp$ ) ve boylam (ile temsil edilen $N-$ iki nokta arasında):

\operatöradı {hav} \left(\theta \right)=\operatöradı {hav} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos \left(\varphi _ {1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatöradı {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)

nerede

$φ 1$ , $φ 2$ , 1. noktanın enlemleri ve 2. noktanın enlemleridir,
$λ 1$ , $λ 2$ nokta 1'in boylamı ve nokta 2'nin boylamıdır.

Son olarak, yukarıda hem merkez açıya $θ$ hem de enlem ve boylam farklılıklarına uygulanan haversine fonksiyonu $hav(θ)$ şudur:

\operatöradı {hav} (\theta )=\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\sağ)={\frac {1-\cos(\theta )} {2}}

Haversinüs fonksiyon yarım hesaplar versine açısı $İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin$ .

$d$ mesafesini bulmak için, $h$ $= hav($ $θ$ $)'$ ye arkaversin ( ters haversin ) uygulayın veya arksinüs (ters sinüs) işlevini kullanın:

d=r\operatöradı {archav} (h)=2r\arcsin \left({\sqrt {h}}\sağ)

veya daha açık bir şekilde:

{\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatöradı {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1) })\cos(\varphi _{2})\operatöradı {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\sağ)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\sağ)+\cos(\varphi _{1})\cos(\ varphi _{2})\sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\sağ)}}\sağ)\end{hizalı} }

Bu formülleri kullanırken, kayan nokta hatası nedeniyle $h'nin$ 1'i geçmediğinden emin olunmalıdır ( $d$ yalnızca $0 \leq$ $h$ $\leq 1$ için gerçektir ). $h$ sadece karşıt kutup noktaları için 1'e yaklaşır (kürenin karşıt taraflarında)—bu bölgede, sonlu kesinlik kullanıldığında formülde nispeten büyük sayısal hatalar ortaya çıkma eğilimindedir. Çünkü $d$ sonra büyük (yaklaşan $π$ $R$ (diğer olsa küçük bir hata genellikle bu sıradışı durumda bir kavram yoktur yarım çevresi,) Büyük daire mesafesi bu sorunu önlemek formüller). (Yukarıdaki formül bazen arktanjant işlevi cinsinden yazılır , ancak bu, $h$ $= 1$ civarında benzer sayısal problemlerden muzdariptir .)

Aşağıda açıklandığı gibi, haversins yerine kosinüsler (bazen küresel kosinüs yasası olarak adlandırılır, düzlem geometrisi için kosinüs yasasıyla karıştırılmamalıdır) kullanılarak benzer bir formül yazılabilir, ancak iki nokta birbirine yakınsa (örn. ayrı, Dünya'da) biri $cos(NS / r) = 0,99999999$ , yanlış bir cevaba yol açar. Haversine formülü sinüs kullandığından, bu sorunu önler.

Her iki formül de, mükemmel bir küre olmayan Dünya'ya uygulandığında yalnızca bir yaklaşıklıktır : " Dünya yarıçapı " $R$ , kutuplarda 6356.752 km'den ekvatorda 6378.137 km'ye kadar değişir. Daha da önemlisi, dünya yüzeyindeki bir kuzey-güney hattının eğrilik yarıçapı , kutuplarda (≈6399,594 km) ekvatordan (≈6335.439 km) %1 daha büyüktür—bu nedenle haversine formülü ve kosinüs yasası garanti edilemez. %0.5'ten daha iyi olacak şekilde düzeltin. Dünyanın eliptikliğini dikkate alan daha doğru yöntemler, Vincenty'nin formülleri ve coğrafi uzaklık makalesindeki diğer formüller tarafından verilmektedir .

Haversines yasası

Haversines yasası ile çözülen küresel üçgen

Bir birim küre verildiğinde, kürenin yüzeyindeki bir "üçgen", küre üzerindeki $u$ , $v$ ve $w$ noktalarını birleştiren büyük daireler tarafından tanımlanır . Bu üç kenarlarının uzunlukları ise $bir$ (dan $u$ için $v$ ), $b$ (dan $u$ için $ağırlık$ ) ve $c$ (den $v$ için $ağırlık$ ) ve köşe ters açısını $c$ olan $Cı$ haversines durumlarının daha sonra hukuk, :

\operatöradı {hav} (c)=\operatöradı {hav} (ab)+\sin(a)\sin(b)\operatöradı {hav} (C).

Bu bir birim küre olduğundan, $a$ , $b$ ve $c$ uzunlukları , kürenin merkezinden bu kenarların oluşturduğu açılara ( radyan cinsinden ) eşittir ( birim olmayan bir küre için, bu yay uzunluklarının her biri eşittir) onun için , merkezi açı yarıçapı ile çarpılır $R$ kürenin).

Bu yasa önceki bölümün haversinüs formülü elde etmek amacıyla, tek bir sadece özel bir durum dikkate $u$ olan kuzey kutbu ise, $v$ ve $w$ olan ayırma iki nokta vardır $d$ belirlenecek. Bu durumda, $bir$ ve $b$ vardır $π / 2 - φ 1,2$ (yani, ortak enlemler), $C$ boylam ayrımı $λ 2 - λ 1$ 'dir ve $c$ istenen değerdir $NS / r$ . Bu $günahı$ not etmek $(π / 2 - φ) = cos(φ)$ , haversine formülü hemen ardından gelir.

Haversines yasasını türetmek için , kosinüslerin küresel yasasıyla başlanır :

\cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,

Yukarıda sözü edildiği gibi, bu formül için çözme bir sinirli bir yoldur $c$ zaman $C$ küçüktür. Bunun yerine, $cos(θ) = 1 - 2 hav(θ)$ olan özdeşliği değiştiririz ve ayrıca $cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)$ ekleme kimliğini kullanırız. , yukarıdaki haversines yasasını elde etmek için.

Kanıt

Şu formülü kanıtlayabiliriz:

\operatöradı {hav} \left(\theta \right)=\operatöradı {hav} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos \left(\varphi _ {1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatöradı {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)

enlem ve boylamları tarafından verilen noktaları kartezyen koordinatlara dönüştürerek , ardından nokta çarpımlarını alarak .

Birim küre üzerinde enlem ve boylamlarına göre verilen iki noktayı ele alalım : ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ ${\görüntüleme stili \varphi }$ ${\ Displaystyle \ lambda }$

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\lambda _{2},\varphi _{2})\\{\bf {p_{1}}}&= (\lambda _{1},\varphi _{1})\end{hizalı}}

Bu gösterimler küresel koordinatlara çok benzer , ancak enlem kuzey kutbundan değil ekvatordan açı olarak ölçülür. Bu noktalar, kartezyen koordinatlarda aşağıdaki temsillere sahiptir:

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\cos(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}}}&=(\cos(\lambda _ {1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}) )\end{hizalanmış}}

Buradan doğrudan nokta çarpımını hesaplamaya çalışabilir ve devam edebiliriz, ancak şu gerçeği göz önünde bulundurduğumuzda formüller önemli ölçüde basitleşir: Küreyi z ekseni boyunca döndürürsek iki nokta arasındaki mesafe değişmez. Bu aslında bir sabit ekleyecektir . Benzer hususların enlemleri dönüştürmek için geçerli olmadığını unutmayın - enlemlere bir sabit eklemek, noktalar arasındaki mesafeyi değiştirebilir. olmak sabitimizi seçerek ve ayarlayarak , yeni noktalarımız şöyle olur: $\lambda _{1},\lambda _{2}$ $-\lambda _{1}$ $\lambda '=\lambda _{2}-\lambda _{1}$

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}'}}&=(\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda ') \cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}'}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\&=(\cos(\varphi _{1) }),\;0,\;\sin(\varphi _{1}))\end{hizalı}}

İle arasındaki açıyı gösteren ve , şimdi buna sahip: ${\görüntüleme stili\teta }$ ${\bf {p_{1}}}$ ${\bf {p_{2}}}$

{\begin{aligned}\cos(\theta )&=\langle {\bf {p_{1}}},{\bf {p_{2}}}\rangle =\langle {\bf {p_ {1}'}},{\bf {p_{2}'}}\rangle =\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})+\ sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\&=\sin(\varphi _{2})\sin(\varphi _{1})+\cos(\varphi _ {2})\cos(\varphi _{1})-\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})+\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{ 2})\cos(\varphi _{1})\\&=\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})(-1+\cos(\lambda '))\Rightarrow \\\operatöradı {hav} \left(\theta \right)&=\operatöradı {hav} \left(\varphi _{2} -\varphi _{1}\right)+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\operatöradı {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{ 1}\sağ)\end{hizalı}}

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ van Brummelen, Glen Robert (2013). Göksel Matematik: Küresel Trigonometrinin Unutulmuş Sanatı . Princeton Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 9780691148922. 0691148929 . 2015-11-10 alındı .
^ de Mendoza y Ríos, Joseph (1795). Memoria sobre algunos metodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplikasyon de su teórica á la çözüm de otros problemas de navegacion (İspanyolca). Madrid, İspanya: Imprenta Real.
^ Cajori, Florian (1952) [1929]. Matematiksel Gösterimlerin Tarihi . 2 (2 (1929 sayısının 3. düzeltilmiş baskısı) ed.). Chicago: Açık mahkeme yayıncılık şirketi . P. 172. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147 . 2015-11-11 alındı . Haversine ilk olarak José de Mendoza y Rios'un (Madrid, 1801, ayrıca 1805, 1809) logaritmik versines tablolarında ve daha sonra James Inman'ın (1821) navigasyon üzerine bir incelemesinde görülür . (NB. ISBN ve Cosimo, Inc., New York, 2013 tarafından ikinci baskının yeniden basımı için bağlantı.)
^ Inman, James (1835) [1821]. Seyrüsefer ve Deniz Astronomisi: İngiliz Denizcilerin Kullanımı İçin (3 ed.). Londra, Birleşik Krallık: W. Woodward, C. & J. Rivington . 2015-11-09 alındı .(Dördüncü baskı: [1] .)
^ "haversin". Oxford İngilizce Sözlüğü (2. baskı). Oxford Üniversitesi Yayınları . 1989.
^ HB Goodwin, Deniz astronomisinde haversine , Naval Institute Proceedings , cilt. 36, hayır. 3 (1910), s. 735-746: Açıktır ki, bir Haversines Tablosu kullanılırsa, ilk etapta logaritmaların toplamını ikiye bölme ve ikinci olarak tablolar aynı numaraya göre. Bu, yaklaşık bir asır önce Portsmouth Kraliyet Donanma Koleji'nden Profesör Inman tarafından ilk kez tanıtılan masa biçiminin özel avantajıdır.
^ WW Sheppard ve CC Soule, Pratik navigasyon (World Technical Institute: Jersey City, 1922).
^ ER Hedrick, Logaritmik ve Trigonometrik Tablolar (Macmillan, New York, 1913).
^ Gade, Kenneth (2010). "Bir Tekil Olmayan Yatay Konum Temsili". Navigasyon Dergisi . 63 (3): 395-417. doi : 10.1017/S0373463309990415 . ISSN 0373-4633 .
^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. "Ek B: B9. Düzlem ve Küresel Trigonometri: Haversine Fonksiyonu Açısından İfade Edilen Formüller". Bilim adamları ve mühendisler için matematik el kitabı: Referans ve inceleme için tanımlar, teoremler ve formüller (3. baskı). Mineola, New York: Dover Yayınları . s. 892-893. ISBN'si 978-0-486-41147-7.

daha fazla okuma

ABD Sayım Bürosu Coğrafi Bilgi Sistemleri SSS, (içerik taşındı 2 nokta arasındaki mesafeyi hesaplamanın en iyi yolu nedir? )
RW Sinnott, "Haversine'nin Erdemleri", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
Haversine formülünü türetme , Ask Dr. Math (20-21 Nisan 1999). (kırık bağlantı)
Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Küresel trigonometri , İlköğretim-Geometri Trigonometrisi web sayfası (1997).
W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner ve H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , 2. baskı, ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

Dış bağlantılar

Haversine formülünün 91 dilde rosettacode.org'da ve 17 dilde codecodex.com'da uygulamaları
Diğer uygulamalar C ++ , C (MacOS) , Pascal , Python , Ruby , JavaScript , PHP , Matlab , MySQL

[Brummelen_2013-1] van Brummelen, Glen Robert (2013). Göksel Matematik: Küresel Trigonometrinin Unutulmuş Sanatı . Princeton Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 9780691148922. 0691148929 . 2015-11-10 alındı .

[Ríos_1795-2] Mendoza y Ríos, Joseph (1795). Memoria sobre algunos metodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplikasyon de su teórica á la çözüm de otros problemas de navegacion (İspanyolca). Madrid, İspanya: Imprenta Real.

[Cajori_1929-3] Cajori, Florian (1952) [1929]. Matematiksel Gösterimlerin Tarihi . 2 (2 (1929 sayısının 3. düzeltilmiş baskısı) ed.). Chicago: Açık mahkeme yayıncılık şirketi . P. 172. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147 . 2015-11-11 alındı . Haversine ilk olarak José de Mendoza y Rios'un (Madrid, 1801, ayrıca 1805, 1809) logaritmik versines tablolarında ve daha sonra James Inman'ın (1821) navigasyon üzerine bir incelemesinde görülür . (NB. ISBN ve Cosimo, Inc., New York, 2013 tarafından ikinci baskının yeniden basımı için bağlantı.)

[Inman_1835-4] Inman, James (1835) [1821]. Seyrüsefer ve Deniz Astronomisi: İngiliz Denizcilerin Kullanımı İçin (3 ed.). Londra, Birleşik Krallık: W. Woodward, C. & J. Rivington . 2015-11-09 alındı .(Dördüncü baskı: [1] .)

[OED_1989_Haversine-5] "haversin". Oxford İngilizce Sözlüğü (2. baskı). Oxford Üniversitesi Yayınları . 1989.

[6] HB Goodwin, Deniz astronomisinde haversine , Naval Institute Proceedings , cilt. 36, hayır. 3 (1910), s. 735-746: Açıktır ki, bir Haversines Tablosu kullanılırsa, ilk etapta logaritmaların toplamını ikiye bölme ve ikinci olarak tablolar aynı numaraya göre. Bu, yaklaşık bir asır önce Portsmouth Kraliyet Donanma Koleji'nden Profesör Inman tarafından ilk kez tanıtılan masa biçiminin özel avantajıdır.

[7] WW Sheppard ve CC Soule, Pratik navigasyon (World Technical Institute: Jersey City, 1922).

[8] ER Hedrick, Logaritmik ve Trigonometrik Tablolar (Macmillan, New York, 1913).

[Gade2010-9] Gade, Kenneth (2010). "Bir Tekil Olmayan Yatay Konum Temsili". Navigasyon Dergisi . 63 (3): 395-417. doi : 10.1017/S0373463309990415 . ISSN 0373-4633 .

[Korn_2000-10] Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. "Ek B: B9. Düzlem ve Küresel Trigonometri: Haversine Fonksiyonu Açısından İfade Edilen Formüller". Bilim adamları ve mühendisler için matematik el kitabı: Referans ve inceleme için tanımlar, teoremler ve formüller (3. baskı). Mineola, New York: Dover Yayınları . s. 892-893. ISBN'si 978-0-486-41147-7.

Languages

In other projects