Coğrafi mesafe - Geographical distance

Manzara Suabiya Jura için Alpler

Coğrafi uzaklık , dünya yüzeyi boyunca ölçülen mesafedir . Bu makaledeki formüller, enlem ve boylam cinsinden coğrafi koordinatlarla tanımlanan noktalar arasındaki mesafeleri hesaplar . Bu mesafe, ikinci (ters) jeodezik problemin çözümünde bir unsurdur .

Tanıtım

Coğrafi koordinatlar arasındaki mesafenin hesaplanması, bir miktar soyutlama düzeyine dayanır; dünya yüzeyindeki her düzensizliği hesaba katmaya çalışıldığında ulaşılamaz olan kesin bir mesafe sağlamaz . İki coğrafi nokta arasındaki yüzey için ortak soyutlamalar şunlardır:

  • Düz yüzey;
  • Küresel yüzey;
  • Elipsoidal yüzey.

Yukarıdaki tüm soyutlamalar, yükseklikteki değişiklikleri yok sayar. İdealleştirilmiş yüzeye göre yükseklikteki değişiklikleri hesaba katan mesafelerin hesaplanması bu makalede tartışılmamaktadır.

isimlendirme

Mesafe, iki nokta arasında hesaplanır ve . İki nokta coğrafi koordinatları, (enlem, boylam) çiftler halinde vardır ve sırasıyla. İki noktadan hangisinin gösterildiği mesafe hesabı için önemli değildir.

Haritalardaki enlem ve boylam koordinatları genellikle derece olarak ifade edilir . Aşağıdaki formüllerin verilen formlarında , doğru sonucu elde etmek için bir veya daha fazla değer belirtilen birimlerde ifade edilmelidir . Bir trigonometrik fonksiyonun argümanı olarak coğrafi koordinatlar kullanıldığında, değerler trigonometrik fonksiyonun değerini belirlemek için kullanılan yöntemle uyumlu herhangi bir açısal birimlerde ifade edilebilir. Birçok elektronik hesap makinesi, trigonometrik fonksiyonların derece veya radyan cinsinden hesaplanmasına izin verir . Hesap makinesi modu, geometrik koordinatlar için kullanılan birimlerle uyumlu olmalıdır.

Enlem ve boylamdaki farklılıklar aşağıdaki gibi etiketlenir ve hesaplanır:

Aşağıdaki formüllerde kullanıldığında sonucun pozitif veya negatif olması önemli değildir.

"Ortalama enlem" şu şekilde etiketlenir ve hesaplanır:

Colatitude şu şekilde etiketlenir ve hesaplanır:

Radyan cinsinden ifade edilen enlemler için:
Derece olarak ifade edilen enlemler için:

Aksi belirtilmedikçe, aşağıdaki hesaplamalar için dünyanın yarıçapı :

= 6.371.009 kilometre = 3.958.761 kanun mili = 3.440.069 deniz mili .

= Aksi belirtilmedikçe, dünyanın yüzeyi boyunca ölçülen ve yarıçap için kullanılan değerle aynı birimlerde ölçülen iki nokta arasındaki mesafe.

Enlem/boylamın tekillikleri ve süreksizliği

Boylam sahip tekillik de Kutup (boylam tanımlanmamış) ve bir süreksizlik ± az 180 ° meridyen . Ayrıca, sabit enlem dairelerinin düzlemsel izdüşümleri , Kutupların yakınında oldukça eğridir. Bu nedenle, delta enlem/boylam ( , ) ve ortalama enlem ( ) için yukarıdaki denklemler Kutuplara veya ±180° meridyene yakın konumlar için beklenen yanıtı vermeyebilir. Örneğin değeri göz önünde ( "Doğu yer değiştirme") ne zaman ve ± 180 ° meridyen veya değerinin her iki tarafında olan (iki konum için ( "ortalama enlem") = 89 °, (= 45 °) ve = 89°, =-135°).

Enlem/boylam bazında bir hesaplamanın tüm Dünya konumları için geçerli olması gerekiyorsa, süreksizliğin ve Kutupların doğru işlendiği doğrulanmalıdır. Başka bir çözüm, enlem/boylam yerine n -vector kullanmaktır, çünkü bu gösterimde süreksizlikler veya tekillikler yoktur.

Düz yüzey formülleri

Dünya yüzeyi için düzlemsel bir yaklaşım, küçük mesafelerde faydalı olabilir. Bu yaklaşımı kullanan mesafe hesaplamalarının doğruluğu, şu şekilde giderek daha hatalı hale gelmektedir:

  • Noktalar arasındaki ayrım büyür;
  • Bir nokta bir coğrafi direğe daha yakın hale gelir.

Düzlemde iki nokta arasındaki en kısa mesafe düz bir çizgidir. Pisagor bir düzlemde noktalar arasındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılır.

Kısa mesafelerde bile, Dünya'nın düz olduğunu varsayan coğrafi mesafe hesaplamalarının doğruluğu, enlem ve boylam koordinatlarının uçağa yansıtıldığı yönteme bağlıdır . Enlem ve boylam koordinatlarının bir düzleme izdüşümü haritacılık alanıdır .

Bu bölümde sunulan formüller, değişen derecelerde doğruluk sağlar.

Küresel Dünya bir uçağa yansıtıldı

Bu formül, enlem ile meridyenler arasındaki mesafe değişimini hesaba katar:

nerede:
ve radyan cinsindendir;
belirlemek için kullanılan yöntemle uyumlu birimlerde olmalıdır.
Enlem veya boylamı radyana dönüştürmek için

Bu yaklaşım çok hızlıdır ve küçük mesafeler için oldukça doğru sonuçlar verir. Ayrıca, bir veritabanı sorgusunda olduğu gibi konumları mesafeye göre sıralarken, mesafenin karesine göre sipariş vermek daha hızlıdır ve karekök hesaplama ihtiyacını ortadan kaldırır.

Elipsoidal Dünya bir uçağa yansıtıldı

FCC 475 km (295 mil) aşmayan mesafeler için aşağıdaki formülleri belirler:

nerede
= Kilometre cinsinden mesafe;
ve derece cinsindendir;
belirlemek için kullanılan yöntemle uyumlu birimlerde olmalıdır.
Derece başına kilometre cinsinden nerede ve nerede . Şunu belirtmek ilginç olabilir:
= enlem farkı derecesi başına kilometre;
= boylam farkı derecesi başına kilometre;
burada ve vardır m eridional ve dik ya da " N ormal ", eğrilik yarıçapları (FCC formül ifadeler türetilir binom serileri genişleme şeklinde ve , setin Clarke 1866 referans elipsoid ).

Yukarıdaki formülün hesaplama açısından daha verimli bir şekilde uygulanması için, birden fazla kosinüs uygulaması, Chebyshev polinomları için tek bir uygulama ve tekrarlama ilişkisinin kullanımı ile değiştirilebilir .

Kutupsal koordinat düz Dünya formülü

colatitude değerlerinin radyan cinsinden olduğu yer. Derece olarak ölçülen bir enlem için, radyan cinsinden enlem aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

Küresel yüzey formülleri

% 0,5'lik olası bir hatayı kabul etmeye istekliyse , dünya yüzeyine en iyi yaklaşan küre üzerinde küresel trigonometri formülleri kullanılabilir .

Bir kürenin yüzeyindeki iki nokta arasındaki en kısa mesafe, iki noktayı içeren büyük çember boyuncadır.

Büyük-daire mesafesi Makale, Dünya büyüklüğünde bir küre üzerinde büyük bir daire boyunca mesafenin hesaplanması için formül verir. Bu makale hesaplamanın bir örneğini içerir.

tünel mesafesi

Dünya üzerindeki noktalar arasındaki bir tünel, ilgi noktaları arasındaki üç boyutlu uzaydan geçen bir çizgi ile tanımlanır. Büyük daire kiriş uzunluğu, karşılık gelen birim küre için aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

Küresel bir Dünya'nın yüzeyindeki noktalar arasındaki tünel mesafesi . Kısa mesafeler ( ) için bu, büyük daire mesafesini şu şekilde hafife alır .

Elipsoidal yüzey formülleri

Yassı bir elipsoid üzerinde jeodezik

Bir elipsoid, dünyanın yüzeyine bir küre veya düz bir yüzeyden çok daha iyi yaklaşır. Bir elipsoidin yüzeyi boyunca, yüzeydeki iki nokta arasındaki en kısa mesafe, jeodezik boyuncadır . Jeodezikler, büyük dairelerden daha karmaşık yollar izlerler ve özellikle, genellikle dünyanın bir turundan sonra başlangıç ​​konumlarına geri dönmezler. Bu, etkiyi vurgulamak için f'nin 1/50 olarak alındığı sağdaki şekilde gösterilmektedir . Ters jeodezik problemi olarak adlandırılan, yeryüzündeki iki nokta arasındaki jeodeziyi bulmak, Clairaut , Legendre , Bessel ve Helmert'in büyük katkılarıyla 18. ve 19. yüzyıllar boyunca birçok matematikçi ve jeodezistin odak noktasıydı . Rapp, bu çalışmanın iyi bir özetini sunar.

Jeodezik mesafeyi hesaplama yöntemleri, coğrafi bilgi sistemlerinde , yazılım kitaplıklarında, bağımsız yardımcı programlarda ve çevrimiçi araçlarda yaygın olarak bulunur . En yaygın olarak kullanılan algoritma, elipsoidin düzleşmesinde üçüncü mertebeye kadar doğru olan, yani yaklaşık 0,5 mm'lik bir dizi kullanan Vincenty'ye aittir ; ancak, algoritma neredeyse antipodal olan noktalar için yakınsayamamaktadır . (Ayrıntılar için Vincenty'nin formüllerine bakın .) Bu kusur, düzleştirmede altıncı sıraya kadar doğru olan serileri kullanan Karney tarafından verilen algoritmada giderilmiştir. Bu, tam çift kesinliğe kadar doğru olan ve dünyadaki rastgele nokta çiftleri için yakınsayan bir algoritma ile sonuçlanır. Bu algoritma GeographicLib'de uygulanmaktadır.

Bir bilgisayarda hesaplamalar yapılırken yukarıdaki kesin yöntemler uygulanabilir. Herhangi bir uzunluktaki satırlarda milimetrik doğruluk sağlamaları amaçlanmıştır; Milimetre doğruluğu gerekmiyorsa veya milimetre doğruluğu gerekiyorsa ancak satır kısaysa daha basit formüller kullanılabilir. Rap, Bölüm. 6, Puissant yöntemini, Gauss orta enlem yöntemini ve Bowring yöntemini açıklar .

Uzun çizgiler için Lambert formülü

Lambert'in formülleri, binlerce kilometrede 10 metrelik bir doğruluk sağlar. İlk enlemleri dönüştürmek , iki puan düşürülmüş enlemlerde ,

burada bir düzleştirme . Daha sonra, iki nokta arasındaki merkez açıyı ve bir küre üzerinde , Büyük-daire uzaklığı yöntemini ( kosinüs kanunu veya haversine formülü ) kullanarak, boylamlarla ve küredeki ile küredeki ile aynı olan merkez açıyı hesaplayın .

seçilen sferoidin ekvator yarıçapı nerede .

On GRS 80 sfero Lambert'in formülü olarak kapalıdır

0 Kuzey 0 Batı - 40 Kuzey 120 Batı, 12.6 metre
0N 0W - 40N 60W, 6,6 metre
40N 0W - 40N 60W, 0,85 metre

Kısa çizgiler için Bowring yöntemi

Bowring, noktaları enlem ve boylam φ′ ve λ′ olarak temsil edilen R′ yarıçaplı bir küreye eşler . Tanımlamak

ikinci eksantrikliğin karesi nerede

küresel yarıçap

( Elipsoidin φ 1'deki Gauss eğriliği 1/ R′ 2'dir .) Küresel koordinatlar şu şekilde verilmiştir:

nerede , , , . Küre üzerinde ortaya çıkan problem , küresel mesafe ve kerteriz için yaklaşık değerler vermek için büyük çember navigasyonu teknikleri kullanılarak çözülebilir . Ayrıntılı formüller Rapp, §6.5 ve Bowring tarafından verilmiştir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar