Büyük daire mesafesi - Great-circle distance

Bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki (kırmızı ile çizilmiş) büyük daire mesafesini gösteren bir diyagram, P ve Q. Ayrıca , zıt kutuplu olan iki düğüm noktası, u ve v gösterilmektedir.

Büyük-daire mesafesi , ortodromik bir mesafe ya da küresel bir mesafe olan mesafe bir birlikte büyük bir çember .

Bir kürenin yüzeyindeki iki nokta arasındaki en kısa mesafedir , kürenin yüzeyi boyunca ölçülür (kürenin içinden geçen düz bir çizginin aksine). Öklid uzayında iki nokta arasındaki uzaklık, aralarındaki düz bir çizginin uzunluğudur, ancak küre üzerinde düz çizgi yoktur. Gelen bir kavis ile boşluklar , düz çizgiler ile ikame edilir Geodezikler . Küre üzerindeki jeodezikler, merkezleri kürenin merkeziyle çakışan küre üzerindeki çemberlerdir ve 'büyük çemberler' olarak adlandırılırlar.

Büyük daire mesafesinin belirlenmesi , uç noktalarda ve ara yol noktalarındaki azimutları da hesaplayan daha genel büyük daire navigasyonu probleminin bir parçasıdır .

Bir küre üzerinde, zıt noktalar olmayan (birbirinin tam karşısında) herhangi iki noktadan, benzersiz bir büyük daire vardır. İki nokta büyük daireyi iki yaya ayırır. Kısa yayın uzunluğu, noktalar arasındaki büyük daire mesafesidir. Böyle bir mesafe ile donatılmış bir büyük çember denen Riemannsal daire içinde Riemann geometrisi .

Antipodal nokta arasında, orada sonsuz çok büyük çevreler, ve antipot noktası arasındaki büyük daire yaylarının yarısı bir uzunluğa sahip çevresi daire, ya da , R bir yarıçap kürenin. ${\görüntüleme stili\pi r}$

Toprak Hemen hemen küresel olan büyük daire mesafesi formüller üzerindeki noktalar arasındaki mesafeyi verir, böylece Dünya yüzeyinin% 0.5 içinde için doğru .

Tepe büyük bir çember üzerinde en yüksek enlem noktasıdır.

formüller

İki nokta, P ve Q arasındaki Δσ, merkez açısının bir gösterimi. λ ve φ, sırasıyla P'nin boyuna ve enlem açılarıdır.

1 ve 2 nolu iki noktanın radyan cinsinden coğrafi boylam ve enlemleri olsun ve bunların mutlak farklılıkları olsun; Daha sonra , merkezi açı , aralarında, ile verilmektedir cosines küresel hakları direkleri bir küre üzerinde bir yardımcı üçüncü noktası olarak kullanılırsa: ${\displaystyle \lambda _{1},\phi _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2},\phi _{2}}$${\displaystyle \Delta \lambda ,\Delta \phi }$${\ Displaystyle \ Delta \ sigma }$

${\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos) (\Delta \lambda ){\bigr )}.}$

Problem normalde merkez açıyı bulmakla ifade edilir . Radyan cinsinden bu açı verildiğinde, r yarıçaplı bir küre üzerindeki gerçek yay uzunluğu d , önemsiz bir şekilde şu şekilde hesaplanabilir: ${\ Displaystyle \ Delta \ sigma }$

${\görüntüleme stili d=r\,\Delta \sigma .}$

hesaplama formülleri

Düşük kayan nokta hassasiyetine sahip bilgisayar sistemlerinde , mesafe küçükse küresel kosinüs formülü formülü büyük yuvarlama hatalarına sahip olabilir (iki nokta Dünya yüzeyinde bir kilometre uzaktaysa, merkez açının kosinüsü 0,99999999'a yakındır). ). Modern 64-bit kayan nokta sayıları için , yukarıda verilen küresel kosinüs yasası formülü, Dünya yüzeyinde birkaç metreden daha büyük mesafeler için ciddi yuvarlama hatalarına sahip değildir. Haversinüs formülü olduğunu rakamsal olarak daha iyi klimalı küçük mesafeler için:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\Delta \sigma &=\operatöradı {archav} \left(\operatöradı {hav} \left(\Delta \phi \sağ)+\cos \phi _{1}\cos \ phi _{2}\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \sağ)\sağ)\\[3pt]&=2\arcsin {\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac { \Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cos {\phi _{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda) }{2}}\sağ)}}.\end{hizalı}}}$

Tarihsel olarak, bu formülün kullanımı, haversine işlevi için tabloların mevcudiyeti ile basitleştirilmiştir : hav( θ ) = sin ² ( θ /2).

Bu formül bir küre üzerindeki çoğu mesafe için doğru olmasına rağmen, özel (ve biraz alışılmadık) antipodal noktalar için yuvarlama hatalarından da muzdariptir. Tüm mesafeler için doğru olan bir formül, eşit büyük ve küçük eksenlere sahip bir elipsoid için Vincenty formülünün aşağıdaki özel durumudur :

${\displaystyle \Delta \sigma =\arctan {\frac {\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin(\Delta \lambda )\right)^{2}+\left(\cos \ phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )\sağ)^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )}}.}$

vektör versiyonu

Benzer formüllerin başka bir temsili, ancak konumları tanımlamak için enlem ve boylam yerine normal vektörler kullanılarak, nokta çarpım , çapraz çarpım veya bir kombinasyon kullanılarak 3B vektör cebiri aracılığıyla bulunur :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \ sol|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \ mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{hizalı}}}$

1 ve 2 konumunda elipsoidin normalleri nerede ve bunlardır. Yukarıdaki enlem ve boylam temelli denklemlere benzer şekilde, arktana dayalı ifade , tüm açılar için iyi koşullu olan tek ifadedir . Arctan'a dayalı ifade, çapraz ürünün nokta ürüne göre büyüklüğünü gerektirir. ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$

akor uzunluğundan

Bir faiz noktaları arasındaki üç boyutlu uzayda bir çizgi küresel Dünya'nın olan akor noktaları arasındaki büyük dairenin. Merkezi açısı , iki nokta arasındaki kiriş uzunluğu ile belirlenebilir. Büyük daire mesafesi merkez açıyla orantılıdır.

Büyük daire kiriş uzunluğu, kartezyen çıkarma yoluyla, karşılık gelen birim küre için aşağıdaki gibi hesaplanabilir : ${\displaystyle C_{h}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1}; \\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z} &=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\C&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2 }+(\Delta {Z})^{2}}}\end{hizalı}}}$

Merkez açı:

${\displaystyle \Delta \sigma =2\arcsin {\frac {C}{2}}.}$

Küresel Dünya için yarıçap

1984 Dünya Jeodezi Sistemi revizyonunda tanımlandığı gibi ekvatoral ( a ), kutupsal ( b ) ve ortalama Dünya yarıçapları . ( ölçekli değil .)

Dünya'nın şekli yakından düzleştirilmiş küreyi (a benzeyen sfero ekvatoral yarıçapında) 6378,137 km; mesafe her direğe sfero merkezine 6356.7523142 km mesafededir. Ekvatordaki kısa bir kuzey-güney çizgisinin uzunluğunu hesaplarken, bu çizgiye en iyi yaklaşan dairenin yarıçapı (bu, meridyenin yarı latus rektumuna eşittir ) veya 6335.439 km'dir, kutuplardaki sferoid ise en iyi şekilde yaklaşılır. yarıçaplı bir küre veya 6399.594 km, %1'lik bir fark. Küresel bir Dünya varsayıldığı sürece, Dünya üzerindeki mesafe için herhangi bir tek formülün yalnızca %0,5 içinde doğru olduğu garanti edilir (ancak formülün yalnızca sınırlı bir alana uygulanması amaçlanıyorsa daha iyi doğruluk mümkündür). Kullanma ortalama yer yarıçapı , (için WGS84 küçük düzleşme limiti, ortalama kare bu araçlar elipsin) bağıl hata mesafe için tahminler en aza indirilir. ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$${\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}}$${\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\yaklaşık 6371.009{\text{ km}}}$

Ayrıca bakınız

Referanslar ve notlar

Dış bağlantılar

• GreatCircle at MathWorld