Nokta ürün - Dot product

Gelen matematik , nokta ürün veya sayısal ürünü bir bir cebirsel işlem numaraları (genellikle iki eşit uzunlukta dizileri alır vektörleri koordinat ) ve tek bir numara verir. Gelen Öklid geometrisi , nokta ürünü Kartezyen koordinat iki vektörleri yaygın olarak kullanılmaktadır. Öklid uzayında tanımlanabilen tek iç ürün olmamasına rağmen , genellikle Öklid uzayının "" iç çarpımı (veya nadiren izdüşüm çarpımı ) olarak adlandırılır ( daha fazlası için İç çarpım uzayına bakınız ).

Cebirsel olarak, nokta çarpım, iki sayı dizisinin karşılık gelen girişlerinin çarpımlarının toplamıdır . Geometrik olarak, iki vektörün Öklid büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımıdır . Kartezyen koordinatlar kullanılırken bu tanımlar eşdeğerdir. Modern geometride , Öklid uzayları genellikle vektör uzayları kullanılarak tanımlanır . Bu durumda, nokta ürün (bir vektör uzunluğu uzunluklarının belirlenmesi için kullanılan kare kökü (iki vektörün açısının kosinüsü başına vektörün iki nokta arasında) ve açıları bölüm kendi iki nokta arasında uzunluklarının çarpımı ile).

"Nokta çarpım" adı  , genellikle bu işlemi belirtmek için kullanılan ortalanmış· " noktasından türetilmiştir ; "skaler ürün" alternatif adı , üç boyutlu uzayda vektör ürünü için olduğu gibi, sonucun bir vektörden ziyade bir skaler olduğunu vurgular .

Tanım

Nokta çarpım cebirsel veya geometrik olarak tanımlanabilir. Geometrik tanım, açı ve mesafe (vektörlerin büyüklüğü) kavramlarına dayanmaktadır. Bu iki tanımın denkliği, Öklid uzayı için bir Kartezyen koordinat sistemine sahip olmasına dayanır .

Modern sunumlarda Öklid geometrisi , alan noktaları, cinsinden tanımlanır Kartezyen koordinatlar ve Öklid alan kendisinin, yaygın ile tanımlanır gerçek koordinat alan R, n . Böyle bir sunumda uzunluk ve açı kavramları nokta çarpım ile tanımlanır. Bir vektörün uzunluğu , vektörün kendi başına nokta çarpımının karekökü olarak tanımlanır ve bir uzunluğundaki iki vektörün (yönlenmemiş) açısının kosinüsü , bunların nokta çarpımı olarak tanımlanır. Dolayısıyla, nokta çarpımının iki tanımının denkliği, Öklid geometrisinin klasik ve modern formülasyonlarının denkliğinin bir parçasıdır.

cebirsel tanım

a = [ a 1 , a 2 , …, a n ] ve b = [ b 1 , b 2 , …, b n ] vektörlerinin nokta çarpımı şu şekilde tanımlanır:

Σ göstermekte olup burada toplamı ve n, bir boyuta ve vektör alanı . Örneğin, üç boyutlu uzayda [1, 3, −5] ve [4, −2, −1] vektörlerinin nokta çarpımı şöyledir:

Vektörler satır matrisleri ile tanımlanırsa , nokta çarpım matris çarpımı olarak da yazılabilir.

burada belirtmektedir devrik arasında .

Yukarıdaki örneği bu şekilde ifade edersek, 1 × 3 matris ( satır vektör ), benzersiz girişi ile tanımlanan 1 × 1 matris elde etmek için 3 × 1 matris ( sütun vektörü ) ile çarpılır :

.

geometrik tanım

Nokta çarpım kullanılarak vektörler arasındaki açının nasıl bulunacağını gösteren çizim
Nokta ürünü kullanarak simetrik dört yüzlü moleküler geometrinin bağ açılarını hesaplama

Gelen Öklid alan , bir Öklid vektör büyüklük ve yön de bulunan bir geometrik amacıdır. Bir vektör bir ok olarak gösterilebilir. Büyüklüğü uzunluğudur ve yönü, okun gösterdiği yöndür. Bir vektörün büyüklüğü a ile gösterilir . İki Öklid vektörü a ve b'nin nokta çarpımı şu şekilde tanımlanır:

burada θ olan açı arasındaki bir ve b .

Vektörleri, özellikle, bir ve b olan ortogonal (yani, bunların açı π / 2 , daha sonra da 90 ° C) anlamına gelir ki,

Diğer uçta, eğer eş yönlü iseler, aralarındaki açı ve ile sıfırdır.

Bu bir vektör skaler çarpımı ima a kendisiyle olan

hangi verir

vektörün Öklid uzunluğu formülü .

Skaler izdüşüm ve ilk özellikler

skaler izdüşüm

Skalar çıkıntı Öklid vektör (veya sayısal bileşen) a bir Öklid vektör yönünde b ile verilir

burada θ a ve b arasındaki açıdır .

Nokta çarpımının geometrik tanımı açısından, bu yeniden yazılabilir.

burada bir birim vektör yönünde b .

Nokta çarpım için dağıtım yasası

Nokta ürün böylece geometrik olarak şu şekilde karakterize edilir:

Bu şekilde tanımlanan nokta çarpım, her değişkende ölçekleme altında homojendir, yani herhangi bir skaler α için ,

Aynı zamanda bir dağıtım yasasını da karşılar , yani

Bu özellikler nokta çarpım çift doğrusal bir formdur denilerek özetlenebilir . Ayrıca, bu çift doğrusal biçim pozitif tanımlıdır , yani bu hiçbir zaman negatif değildir ve ancak ve ancak -sıfır vektörü ise- sıfırdır.

Nokta ürün normunu (uzunluk) çarpılması ve böylece denk b çıkıntısının normu bir fazla b .

Tanımların denkliği

Eğer e 1 , ..., e n olan standart taban vektörleri içinde R n , o zaman yazabilirsiniz

e i vektörleri ortonormal bir tabandır , yani birim uzunlukları vardır ve birbirlerine dik açıdadırlar. Dolayısıyla bu vektörlerin birim uzunluğu olduğundan

ve birbirleriyle dik açı oluşturduklarından, eğer ij ise ,

Yani genel olarak şunu söyleyebiliriz:

δ ij , Kronecker deltasıdır .

Bir ortonormal temelde vektör bileşenleri

Ayrıca, geometrik tanımla, herhangi bir e i vektörü ve bir a vektörü için şunu not ederiz:

burada bir I vektör bileşeni olan a yönünde e ı . Eşitlikteki son adım şekilden görülebilir.

Şimdi nokta çarpımının geometrik versiyonunun dağılabilirliğini uygulayarak

bu tam olarak nokta çarpımının cebirsel tanımıdır. Yani geometrik nokta çarpım cebirsel nokta çarpımına eşittir.

Özellikler

a , b ve c gerçek vektörler ve r bir skaler ise nokta çarpım aşağıdaki özellikleri yerine getirir .

  1. değişmeli :
    bu tanımdan çıkar ( θ a ve b arasındaki açıdır ):
  2. Vektör toplamaya göre dağılım :
  3. çift ​​doğrusal :
  4. Skaler çarpma :
  5. Değil , birleştirici bir sayısal (arasında nokta ürün için bir ⋅ b ) ve bir vektöre ( c ) tanımlanmamış olan araçlarının birleştirici özelliği katılan ifadeler, ( a ⋅ b ) ⋅ C ya da bir ⋅ ( b ⋅ c ) ikisi de kötü tanımlanmıştır. Bununla birlikte, daha önce bahsedilen skaler çarpma özelliğinin bazen "skaler ve nokta çarpım için birleştirici yasa" olarak adlandırıldığına veya c ( ab ) = ( c a olduğu için " nokta çarpım skaler çarpmaya göre birleşiktir" denebileceğine dikkat edin. ) ⋅ b = bir ⋅ ( c b ).
  6. ortogonal :
    Sıfır olmayan iki a ve b vektörü , ancak ve ancak ab = 0 ise ortogonaldir .
  7. İptal yok :
    Sıradan sayıların çarpımının aksine, ab = ac ise , a sıfır olmadığı sürece b her zaman c'ye eşittir , nokta çarpım iptal yasasına uymaz :
    Eğer birb = ac ve bir0 , o zaman yazabiliriz: Bir ⋅ ( b - c ) = 0 ile dağıtıcı yasa ; Yukarıda verilen sonuç, bu sadece bir araç diyor bir dik olan ( b - c ) olanak vererek, ( b - c ≠) 0 ve bu nedenle izin verir bc .
  8. Ürün Kuralı :
    Eğer a ve b (vektör değerli) türevlenebilir fonksiyonlarsa , o zaman ab'nin türevi ( ′ asal ile gösterilir ) ( ab )′ = a ′ ⋅ b + ab kuralıyla verilir .

kosinüs yasasına uygulama

θ açısıyla ayrılmış a ve b vektör kenarlarına sahip üçgen .

θ açısıyla ayrılmış iki a ve b vektörü verildiğinde (sağdaki resme bakın), üçüncü kenarı c = ab olan bir üçgen oluştururlar . Bunun kendisiyle nokta çarpımı:

hangi kosinüs yasasıdır .

üçlü ürün

Nokta çarpım ve çapraz çarpım içeren iki üçlü işlem vardır .

Karma çarpımlar üç vektörün olarak tanımlanmaktadır

Değeri, sütunları üç vektörün Kartezyen koordinatları olan matrisin determinantıdır . Bu imzalı hacim arasında paralel yüzlü üç vektör ile tanımlanır.

Vektör üç ürün ile tanımlanır

Olarak da bilinen bu kimlik, Lagrange formül , Hatırlanacağı vektörler birlikte noktalı göz önünde tutarak, "BAC eksi CAB" olarak adlandırılmaktadır. Bu formülün fizikte vektör hesaplamalarını basitleştirmede uygulamaları vardır .

Fizik

Olarak fizik , vektör büyüklüğü a, skaler fiziksel anlamda (örn, bir fiziksel bir miktar koordinat sisteminin bağımsız olarak) olarak ifade edilir, ürünün a sayısal değerine ve bir fiziksel birim , sadece bir dizi. Nokta çarpım da bu anlamda koordinat sisteminden bağımsız olarak formülle verilen bir skalerdir. Örneğin:

genellemeler

karmaşık vektörler

Karmaşık girişleri olan vektörler için, verilen nokta çarpım tanımının kullanılması oldukça farklı özelliklere yol açacaktır. Örneğin, bir vektörün kendisiyle nokta çarpımı keyfi bir karmaşık sayı olabilir ve vektör sıfır vektör olmadan sıfır olabilir (bu tür vektörlere izotropik denir ); bunun da uzunluk ve açı gibi kavramlar için sonuçları olacaktır. Pozitif tanımlı norm gibi özellikler, alternatif tanım yoluyla, skaler ürünün simetrik ve çift doğrusal özelliklerinden vazgeçme pahasına kurtarılabilir.

burada bir kompleks eşlenik arasında . Vektörler satır vektörleriyle temsil edildiğinde , nokta çarpım , üst simge H ile gösterilen bir eşlenik devrik içeren bir matris ürünü olarak ifade edilebilir :

Gerçek bileşenli vektörler söz konusu olduğunda, bu tanım gerçek durumdakiyle aynıdır. Herhangi bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı negatif olmayan bir gerçek sayıdır ve sıfır vektörü dışında sıfırdan farklıdır. Bununla birlikte, kompleks sayısal ürün sesquilinear olduğu gibi, oldukça bilenear daha konjugat doğrusal olup lineer bir . Skaler ürün simetrik değildir, çünkü

İki karmaşık vektör arasındaki açı daha sonra şu şekilde verilir:

Karmaşık skaler çarpım , matematik ve fizikte yaygın olarak kullanılan Hermit formları ve genel iç çarpım uzayları kavramlarına götürür .

Karmaşık bir vektörün kendi nokta çarpımı, karmaşık bir sayının mutlak karesinin genelleştirilmesidir .

İç ürün

İç çarpım, nokta çarpımını , ya gerçek sayıların alanı ya da karmaşık sayıların alanı olmak üzere , bir skaler alanı üzerinde vektör uzaylarını soyutlamak için genelleştirir . Genellikle kullanılarak gösterilir açısal parantez ile .

Karmaşık sayılar alanı üzerindeki iki vektörün iç çarpımı, genel olarak bir karmaşık sayıdır ve çift doğrusal yerine seskuilineerdir . Bir iç çarpım uzayı normlu bir vektör uzayıdır ve bir vektörün kendisiyle olan iç çarpımı reel ve pozitif tanımlıdır.

Fonksiyonlar

Nokta çarpımı, sonlu sayıda girişi olan vektörler için tanımlanır . Bu nedenle, bu vektörler olarak kabul edilebilir farklı işlevleri a uzunluk- n vektörü u , daha sonra ise, bir işlev alanı { k ∈ ℕ | 1 ≤ kn } , ve u ı görüntü için bir gösterim olan i fonksiyonu ile /vektör u .

Bu kavram ile genelleştirilebilir sürekli fonksiyonlar : vektörler, iç ürün karşılık gelen bileşenleri üzerinde bir miktar kullanır gibi, işlevleri, iç ürün bir kısmı üzerinde tamamlayıcı olarak tanımlanır aralığı birxb (de gösterilen [ a , b ] ) :

ψ ( x ) ve χ ( x ) karmaşık işlevlerine daha da genelleştirilmiş , yukarıdaki karmaşık iç çarpımla analojiyle, şunu verir:

Ağırlık fonksiyonu

İç ürünler bir ağırlık fonksiyonuna sahip olabilir (yani, iç ürünün her terimini bir değerle ağırlıklandıran bir fonksiyon). Açıkça, fonksiyonların ve ağırlık fonksiyonuna göre iç çarpımı şu şekildedir :

İkili ve matrisler

Matrisler sahip Frobemino iç ürünü vektör iç çarpım benzerdir. Aynı boyuta sahip iki A ve B matrisinin karşılık gelen bileşenlerinin ürünlerinin toplamı olarak tanımlanır :

(Gerçek matrisler için)

Diyadik bir nokta ürün ve üzerlerinde tanımlanan "çift" dot ürünü görmesine diyadik ve dyadic ait diyadik § Ürün onların tanımları için.

Tensörler

Bir arasındaki iç ürün tensörünün düzenin n ve sipariş bir tensör m düzenin bir tensör olup , n + m, - 2 , bkz tensör daralma bilgi için bkz.

Hesaplama

algoritmalar

Vektörlerin kayan noktalı bir nokta çarpımını hesaplamak için basit algoritma, feci bir iptalden zarar görebilir . Bunu önlemek için Kahan toplama algoritması gibi yaklaşımlar kullanılır.

Kütüphaneler

Nokta çarpım işlevi şunlara dahildir:

  • BLAS seviye 1 gerçek SDOT, DDOT; karmaşık CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC ZDOTC = X^H * Y
  • Matlab as A' * B veya conj(devrik(A)) * B veya toplam( conj(A) .* B)
  • GNU Octave as sum (conj (X) .* Y, dim)
  • Intel® oneAPI Matematik Çekirdek Kitaplığı gerçek p?dot dot = sub(x)'*sub(y); karmaşık p?dotc nokta = conjg(sub(x)')*sub(y)

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar